RESOLUÇÃO DA AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA
– 2o ANO DO ENSINO MÉDIO –
DATA: 07/08/10
PROFESSOR: MALTEZ
O número de soluções da equação sen2x = 1 + cos x, que pertencem ao intervalo [0; π] é:
2
2
2
2
Como sen x = 1 – cos x, então 1 – cos x = 1 + cos x ou cos x + cos x = 0
cos x = 0
cos x (cos x + 1) = 0
cos x = – 1
No intervalo [0; π] , as soluções são
O conjunto-solução da equação
3 .
3 . tg x = 2 . sen x, no intervalo −
sen x
− 2 sen x = 0
cos x
3 sen x − 2 sen x cos x = 0
sen x
(
)
3 − 2 cos x = 0
sen x = 0 → x = 0
cos x =
3
−π
π
→x =
ou x =
2
6
6
−π
π
V = 
, 0, 
6
 6
π
e π; portanto duas soluções.
2
π
π
<x<
é:
4
4
(
Considerando o universo U = [0, 2 π] , o maior ângulo que satisfaz à igualdade tg x −
tg x −
3 = 0 ⇒ tg x =
3 ; log o, x =
2
tg x – 1 = 0 ⇒ tg x = ± 1; logo, x =
Então o maior ângulo de todos é
)(
)
3 tg2 x − 1 = 0 é:
π
4π
e x=
3
3
3π
5π
7π
,x=
,x=
4
4
4
7π
rad.
4
 3π

π

tg (π + x ) . sec 
− x  . cos  + x 
 2

2

Obedecidas as condições de existência, a expressão
na sua
 3π

cot g (π − x ) . sec 
+ x  . sen (2π − x )
 2

forma mais simplificada é:
1
. (− sen x )
− sen x
=
− cos x
1
.
. − sen x
sen x sen x
tg x .
=
tg x
tg x
=
= tg2 x
1
cot g x
tg x
Sendo a um arco do 2 quadrante tal que sen a =
1
3 . sen 2a + 4 . tga
, então o valor da expressão
é
3
3 . cos 2a
igual a:
2
1
1
8
cos 2 a = 1 − sen 2 a = 1 −   = 1 −
=
3
9
9
 
cos a =
−2 2
− 2
o
(a∈ 2 quadrante); tg a =
4
3
sen 2a = 2 .
cos 2a =
1  − 2 2  − 4 2
(sen 2a = 2 . sen a . cos a ) .
.
=
3  3 
9
8
1 7
−
=
cos 2a = cos 2 a − sen 2 a
9 9
9
(
)
−4 2 


 + 4 . − 2 
3.
 9 
 4 



 =
Substituindo na expressão
7
3.
9
− 12 2
−
9
=
21
9
2
− 21 2
9
=
=− 2
21
9
Simplificando-se y = cos 80º + cos 40º - cos 20º, obtém-se:
y = 2 . cos
80 º + 40 º
80 º − 40 º
. cos
− cos 20 º =
2
2
= 2 . cos 60 º . cos 20 º − cos 20 º =
= 2.
1
. cos 20 º − cos 20º = cos 20º − cos 20º = 0
2
A expressão:
sen 17º . cos 13º + cos 17º . sen 13º + cos 73º . cos 17º – sen 73º . sen 17º +
sen (17 º + 13 º ) + cos (73 º + 17 º ) − tg (31 + 14 º ) =
= sen 30 º + cos 90 º + tg 45 º =
=
1
1
3
+ 0 + 1= + 1=
2
2
2
tg 310 + tg 14 º
vale:
1 − tg 31º . tg 14 º
2
Se y = 4 cos 15º . cos 75º, então y vale:
y = 4 . cos 15 º . sen 15 º = 2 . 2 sen 15 º . cos 15 º = 2 . sen 2 . 15 º = 2 . sen 30 º = 2 .
2
1
=1
2
2
Logo, y = 1 = 1
No intervalo [0; 2π] , a igualdade cos x =
2k − 4
é verdadeira se:
5
Como − 1 ≤ cos x ≤ 1 no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π , então:
−1 ≤
2k − 4
≤1
5
−5≤2k − 4≤5
−1≤ 2 k ≤ 9
−1
9
≤k≤
2
2
A Grande Roda de Pequim é a maior roda-gigante do mundo. Podemos descrever seu movimento de
giro por meio de uma função trigonométrica. Por exemplo, considerando um extremo A de um diâmetro
horizontal, podemos descrever o movimento através da função f ( t ) = 112 + 97 sen
πt
, em que f(t) é a
15
altura, em metro, do ponto A em relação ao terreno no instante t, em minuto, a partir do início da
medição do tempo (t = 0).
Qual é a altura máxima atingida pelo ponto A e em quantos minutos a roda dá uma volta completa,
respectivamente?
Como sen
πt
atinge o máximo em 1
15
112 + 97 . 1 = 112 + 97 = 209 metros
Em quantos minutos a roda dá uma volta completa, podemos utilizar a fórmula do período:
2π
p=
= 30 minutos.
π
15
Resposta: 209 metros e 30 minutos.
QUESTÕES DISCURSIVAS
1
1 + tg x
+
= 1 no intervalo [0; 2π] .
2 + tg x
3
Resolva a equação
Fazendo tg x = t
1
1+ t
+
=1
2+t
3
mmc = 3 (2 + t)
3 + (1 + t) (2 + t) = 3 (2 + t)
2
3 + 2 + t + 2t + t = 6 + 3t
2
t –1=0
2
t = 1 ⇒ t = ±1
 π 3π 5π 7π 
Logo, tg x = ± 1 ⇒ V =  ,
,
,

4 4 4 4 
2π 

Dada a função f(x) = 2 ⋅ 3 cos  2x −
 , determine:
3 

a) p =
2π 2π
=
=π
c
2
b) 2 + 3 . 1 = 5
2 + 3 . (– 1) = – 1
Im = [− 1; 5]