Trabalho – Métodos de Cálculo 2 – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Coordenadas cilíndricas e esféricas, Cônicas
Exemplo:
Coordenadas cilíndricas e esféricas
1. Transforme de coordenadas cilíndricas
para cartesianas:
P(, , z)  P(x, y, z):
x    cos 
y    sen
zz
Exemplo
1
(a) P( 1, 30°, 60°) (b) P( 4, 120°, 120°)
(c) P( 2, 230°, 150°) (d) P( 5, 320°, 90°)
(e) P( 1, , )
(f) P( 1, 3 , )
(g) P( 1,
(a) P( 2, 50°, 7)
(c) P( 3, 230°, 2)
(e) P( 2, , 7)
(g) P( 6,

2
, 2)
(b) P( 3, 160°, 7)
(d) P( 1, 330°, -5)
(f) P( 1, 3 , 7)
(h) P( 3,
3
4
  x2  y2
y
  arctg
x
z=z
(b) P( 6, -3, 7)
(d) P( -5, -4, -5)
(f) P( -3, 4, 7)
(h) P( 3, 2, -5)
3.
Transforme de coordenadas esféricas
para cartesianas:
P(r, , )  P(x, y, z):
x  r  cos   sen
y  r  sen  sen
z  r  cos 
,

6
)
(h) P( 4,
3
4
,

2
)
4. Transforme de coordenadas cartesianas para
esféricas:
P(x, y, z)  P(r, , ):
r  x2  y 2  z 2
  arctg
, -5)
2. Transforme de coordenadas cartesianas
para cilíndricas :
P(x, y, z)  P(, , z):
(a) P( 1, 2, 7)
(c) P( 2, 1, 2)
(e) P( -3, 2, 7)
(g) P( -5, 1, 2)

2
  arctg
(a) P( 4, 2, 7)
(c) P( 3, 1, 2)
y
x
x2  y 2
z
(b) P( 1, -3, 7)
(d) P( -2, -2, -5)
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Coordenadas cilíndricas e esféricas, Cônicas
3. Sabendo que:
Cônicas
(a)
(b)
2x 2  2 y 2  1
2 y 2  2x 2  1
(c) 2 y  4x  1
(d) y2  (x  2)2  1
2
2
2. Determine os parâmetros e construa a
equação das cônicas em coordenadas polares para:
(a) Elipse: e = ½ e a = 3
(b) Hipérbole: e = 2 e a = 4
(c) Elipse: e = 8/10 e a = 8
(d) Hipérbole: e = 3/2 e a = 6
(e) Parábola: a = 3
(f) Elipse: e = ½ e a = 8
(g) Hipérbole: e = 3 e a = 5
(h) Elipse: e = 1/10 e a = 5
(i) Hipérbole: e = 7/3 e a =2
(j) Parábola: a =13
(k) Círculo: R = 3
(l) Hipérbole: e = 4 e a = 4
(m) Elipse: e = 2/9 e a = 3
(n) Hipérbole: e = 13/5 e a = 3
(o) Parábola: a = 7
Cônicas
Equação em
coordenadas
cartesianas
com centro/
Vértice na
origem (0,0)
Eixo focal
em Ox
Equação em
coordenadas
cartesianas
com centro/
Vértice na
origem (0,0)
Eixo focal
em Oy
Equação em
coordenadas
cartesianas
com
centro/Vértic
e em (x0 , y0)
Eixo focal
em Ox
Equação em
coordenadas
cartesianas
com centro/
Vértice em
(x0 , y0)
Eixo focal
em Oy
Equação em
coordenadas
polares
Eixo focal
em Ox
Equação em
coordenadas
polares
Eixo focal
em Oy
Elipse
Hipérbole
Parábola
1
x2 y2
 1
a2 b2
y 2  4 ax
1
y 2 x2
 1
a 2 b2
x 2  4ay
( x  x0 ) 2 ( y  y 0 ) 2
 2 1
a2
b
( x  x0 ) 2 ( y  y 0 ) 2

1
a2
b2
y  y0 2  4ax  x0 
( x  x0 ) 2 ( y  y 0 ) 2

1
b2
a2
( y  y 0 ) 2 ( x  x0 ) 2

1
a2
b2
x  x0 2  4a y  y0 
x2
a2
x2
b
r
2

y2
b2
y2

a
2




a 1  e2
1  e cos 
r
a 1  e2
1  esen
0 < e <1
Equações
possíveis em
coordenadas
polares
Semi-eixo maior
a
Semieixo menor
b
Distância focal
2c e Foco F


r 
2a
1  cos


r 
2a
1  sen
r
a e2 1
1  e cos
r
a e2 1
1  esen
Excentricidade:
Parâmetros
1. Determine, para cada cônica, os parâmetros
indicados na tabela e esboce o gráfico.
e
c
a
e>1
Semi-eixo real
a
Semieixo
imaginário b
Distância focal
2c e Foco F
Excentricidade e
Retas diretrizes
assíntotas
Pontos A, B
r
e=1
Foco
Parâmetro p
a
d e
d e
r
1  e  cos
1  e  sen
Esboce os gráficos e ache os principais parâmetros:
2
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Coordenadas cilíndricas e esféricas, Cônicas
16
1  3cos
16
(b) r 
1  3cos
16
(c) r 
1  3sen
3
(d) r 
1
1  sen
2
3
(e) r 
1
1  sen
2
3
(f) r 
1
1  cos
2
(a)
r
No Mathcad:
1. Digite, por exemplo ra, rb, rc e rd, para as
funções que representam:
Exemplo Resolvido:
2. Determine os parâmetros e construa a
equação das cônicas em coordenadas polares para:
(a) Elipse: e = ½ e a = 3
 Solução:
 Equações possíveis:
Equação em coordenadas polares



Eixo focal em Ox:
a  1  e2
r
1  e  cos 
Eixo focal em Oy:
a  1  e2
r
1  e  sen
Eixo focal em Ox:
  1 2 
3  1    
 2 

r 
1
1   cos 
2
 4  12 
3

4 
r 
1  cos 
2

r




92
2  cos
Eixo focal em Oy:
  1 2 
3  1    
 2 

r 
1
1     sen
2
r
92
2  cos
92
r
2  cos
92
r
2  sen
92
r
2  sen :
4.5
ra( ) 
2  cos  
4.5
rb( ) 
2  cos  
4.5
rc( ) 
2  sin  
4.5
rd ( ) 
2  sin  
r
92
2  sen
2.
Chame a paleta Graph.
3.
Clique em Polar Plot, abaixo das fuinções
digitadas.
4. Coloque
θ: na caixa inferior.
ra(θ) r,b(θ), rc(θ) , rd(θ)
Na caixa lateral esquerda:
3