Curso de Geometria Analítica
Abrangência: Graduação em Engenharia e Matemática - Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis
Resumo Teórico 11 - Coordenadas Polares e Cilíndricas.
O resumo a seguir trata das Coordenadas Polares no plano e no espaço, assim como as
Coordenadas Cilíndricas no espaço e suas relações com as Coordenadas do Sistema Cartesiano já
amplamente conhecido.
I. COORDENADAS POLARES NO PLANO
Considerando um Plano Orientado segundo o Sistema Cartesiano (Ortogonal) e um Ponto P de
coordenadas P=(x,y). Afirmamos que estas coordenadas representam de forma única e exclusiva
o ponto P no Plano. Pois este ponto é a intersecção de duas retas perpendiculares,
respectivamente aos eixos das abscissas e ordenadas nos pontos de abscissa x e ordenada y,
como pode ser observado na representação a seguir:
•
O
P=(x , y) = (ρ , θ)
ρ
y
θ
x
O ponto P no Plano, pode também ser representado de forma única e exclusiva, através dos
valores de ρ e θ, que representam respectivamente a distância do ponto P à Origem O do Sistema
e o ângulo formado entre o semi eixo positivo das abscissas (Ox) e a semi-reta com origem em O
(origem do sistema) que contem o ponto P.
Os números ρ e θ são denominados Coordenadas Polares do Ponto P no plano.
A coordenada ρ é definida como Raio Vetor do ponto P.
A coordenada θ é definida como Argumento do ponto P.
O ponto P é definido como Polo do sistema de Coordenadas Polares.
O semi-eixo Ox é definido como Eixo Polar do Sistema de Coordenadas Polares.
Observamos:
i. Por representar a distância de P e O, temos que ρ >0 ;
ii. Por representar a medida do ângulo formado entre o semi eixo positivo das abscissas e a
semi-reta OP , temos que 0 ≤ θ< 2π.
Formulas de Conversão:
De Coordenadas Cartesianas para Polares:
ρ = √x2+y2
y
θ = arc tg( /x), com x≠0.
De Coordenadas Polares para Cartesianas:
x=ρ cos θ
y=ρ sen θ
Para cada par ordenado (x,y) ≠ (0,0), podemos determinar um único par ordenado (ρ,θ), assim
como para cada par ordenado (ρ,θ), com ρ>0 e 0≤θ<2π, podemos determinar um único par
ordenado (x,y), através das fórmulas de conversão.
II. COORDENADAS POLARES NO ESPAÇO
Considerando no Espaço Orientado segundo o Sistema Cartesiano (Ortogonal) e um Ponto P de
coordenadas P=(x,y,z). Afirmamos que estas coordenadas representam de forma única e
exclusiva o ponto P no Espaço como pode ser observado na representação a seguir:
•P=(x,y,z)=(ρ, θ, ϕ)
z ϕ
O
x
θ
ρ
ρ’
y
•P’
O ponto P no Plano, pode também ser representado de forma única e exclusiva, através dos
valores de ρ , θ e ϕ, que representam respectivamente:
ρ: a distância do ponto P à Origem O do Sistema;
θ: o ângulo formado entre o semi eixo positivo das abscissas(Ox) e a semi-reta com origem em O
(origem do sistema) que contem o ponto P’, projeção do ponto P no plano XY;
ϕ: o ângulo formado entre o semi eixo positivo das cotas (Oz) e a semi-reta com origem em O
(origem do sistema) que contem o ponto P.
Os números ρ, θ e ϕ são denominados Coordenadas Polares do Ponto P no Espaço.
A coordenada ρ é definida como Raio Vetor do ponto P.
A coordenada θ é definida como Latitude (ou Argumento) do ponto P.
A coordenada ϕ é definida como Longitude (ou Co-latitude) do ponto P.
O ponto P é definido como Polo do sistema de Coordenadas Polares.
Observamos:
i. Por representar a distância de P e O, temos que ρ >0 ;
ii. Por representar a medida do ângulo formado entre o semi eixo positivo das abscissas (Ox) e
a semi-reta OP’ , temos que 0 ≤ θ< 2π;
iii. Por representar a medida do ângulo formado entre o semi eixo positivo das cotas(Oz) e a
semi-reta OP , temos que 0 ≤ ϕ ≤ π.
Formulas de Conversão:
De Coordenadas Cartesianas para Polares:
ρ = √x2+y2+z2
y
θ = arc tg( /x), com x≠0.
z
ϕ = arc cos
√x2+y2+z2
De Coordenadas Polares para Cartesianas:
x = ρ cos θ sen ϕ
y = ρ sen θ sen ϕ
z = ρ cos ϕ
Para cada par ordenado (x,y,z) ≠ (0,0,0), podemos determinar um único par ordenado (ρ,θ, ϕ),
assim como para cada par ordenado (ρ,θ,ϕ), com ρ>0 , 0≤ θ< 2π e 0 ≤ ϕ ≤ π, podemos determinar
um único par ordenado (x,y,z), através das fórmulas de conversão.
III. COORDENADAS CILÍNDRICAS NO ESPAÇO
Considerando no Espaço Orientado segundo o Sistema Cartesiano (Ortogonal) e um Ponto P de
coordenadas P=(x,y,z). Afirmamos que estas coordenadas representam de forma única e
exclusiva o ponto P no Espaço como pode ser observado na representação a seguir:
•P=(x,y,z)=(ρ, θ, ϕ)=(ρ, θ, z)
z
O
x
θ
ρ
ρ’
y
•P’
O ponto P no Plano, pode também ser representado de forma única e exclusiva, através dos
valores de ρ , θ e z que representam respectivamente:
ρ: a distância do ponto P à Origem O do Sistema;
θ: o ângulo formado entre o semi eixo positivo das abscissas(Ox) e a semi-reta com origem em O
(origem do sistema) que contem o ponto P’, projeção do ponto P no plano XY;
z: o valor da cota(z) do ponto P em coordenadas cartesianas.
Os números ρ, θ e z são denominados Coordenadas Cilíndricas do Ponto P no Espaço.
Observamos:
i. Por representar a distância de P e O, temos que ρ >0 ;
ii. Por representar a medida do ângulo formado entre o semi eixo positivo das abscissas (Ox) e
a semi-reta OP’ , temos que 0 ≤ θ< 2π;
Formulas de Conversão:
De Coordenadas Cartesianas para Cilíndricas:
ρ = √x2+y2+z2
y
θ= arc tg( /x), com x≠0.
z =z
De Coordenadas Cilíndricas para Cartesianas:
x = (√ρ2−z2 ) cos θ
y = (√ρ2−z2 ) sen θ
z =z
De Coordenadas Polares para Cilíndricas:
ρ =ρ
θ =θ
z = ρ cos ϕ
De Coordenadas Cilíndricas para Polares:
ρ =ρ
θ =θ
ϕ = arc tg
√x2+y2
√ρ2 - z2
= arc tg
z
z
Para cada par ordenado (x,y,z) ≠ (0,0,0) ou (ρ,θ,ϕ), com ρ>0, 0≤ θ< 2π e 0 ≤ ϕ ≤ π, podemos
determinar um único par ordenado (ρ,θ, z), através das fórmulas de conversão.
Centro Universitário da FSA
Prof.: Anastassios H.K.