Instituto Superior Técnico
Departamento de Matemática
Secção de Álgebra e Análise
Prof. Gabriel Pires
Teorema da Mudança de Coordenadas
1
Mudança de Coordenadas
Definição 1 Seja T ⊂ Rn um aberto. Diz-se que uma função g : T → Rn é uma Mudança de
Coordenadas em T se verificar as seguintes condições:
i) g é de classe C 1 .
ii) g é injectiva.
iii) A derivada de g é injectiva, ou seja, det Dg(t) 6= 0 ; ∀t ∈ T.
Exemplo 1.1 Coordenadas Polares (r, θ) em R2 :
As coordenadas polares (r, θ) são definidas por
x
= r cos θ
y
= r sen θ
p
De acordo com a figura 1, r = x2 + y 2 designa a distância de cada ponto de coordenadas
(x, y) à origem e θ é o ângulo formado entre o semi-eixo positivo x e o vector (x, y).
(x, y)
y
r
PSfrag replacements
θ
0
x
Figura 1: Coordenadas Polares (r, θ) em R2
Seja g(r, θ) = (r cos θ, r sen θ) = (x, y). Então, g é de classe C 1 em R2 e a derivada é injectiva
em R2 \ {(0, 0)}. De facto temos
cos θ −r sen θ
= r(cos2 θ + sen2 θ) = r.
det Dg(r, θ) =
sen θ r cos θ
Dado que as funções trigonométricas são periódicas, a função g não é injectiva em R 2 \ {(0, 0)}.
Mas, se definirmos
T = {(r, θ) ∈ R2 : r > 0 ; 0 < θ < 2π}
então, a função g : T → R2 é uma mudança de coordenadas.
A função g transforma T no conjunto
g(T ) = R2 \ {(x, y) : y = 0 ; x ≥ 0}
Dado que x2 + y 2 = r2 , para cada r fixo em T obtemos, em (x, y), uma circunferência de raio
r e centro na origem tal como se representa na figura 2.
1
y
θ
2π
θ
PSfrag replacements
r
0
R
x
θ
0
r
R
r
Figura 2:
Por outro lado, para cada θ fixo em T obtemos, em (x, y) um segmento de recta tal como se
mostra na figura 2. Portanto, ao cı́rculo centrado na origem e de raio R e do qual se retire o
semi-eixo positivo x corresponde, nas coordenadas polares (r, θ), o rectângulo ]0, R[×]0, 2π[ tal
como se apresenta na figura 2.
Exemplo 1.2 Coordenadas Cilı́ndricas (ρ, θ, z) em R3 :
As coordenadas cilı́ndricas (ρ, θ, z) são definidas por
x = ρ cos θ
y = ρ sen θ
z = z
p
De acordo com a figura 3, ρ = x2 + y 2 designa a distância de cada ponto de coordenadas
(x, y, z) ao eixo z, θ é o ângulo formado entre o semi-eixo positivo x e o vector (x, y, 0).
z
(x, y, z)
PSfrag replacements
0
y
ρ
θ
x
(x, y, 0)
Figura 3: Coordenadas Cilı́ndricas (ρ, θ, z) em R3
Seja
T = {(ρ, θ, z) ∈ R3 : ρ > 0 ; 0 < θ < 2π ; z ∈ R}
2
então a função g : T → R3 definida por
g(ρ, θ, z) = (ρ cos θ, ρ sen θ, z)
é de classe C 1 , injectiva e a respectiva derivada é injectiva porque


cos θ −ρ sen θ 0
det Dg(ρ, θ, z) = det  sen θ ρ cos θ 0  = ρ > 0
0
0
1
Portanto a função g : T → R3 é uma mudança de coordenadas.
z
h
z
PSfrag replacements
h
X
T
2π
R
0
θ
R
ρ
y
x
Figura 4:
Facilmente se verifica que ao cilindro com eixo z, de raio R e altura h e do qual se retire o plano
{x ≥ 0 ; y = 0} corresponde, em coordenadas cilı́ndricas, o paralelipı́pedo ]0, R[×]0, 2π[×]0, h[ tal
como se mostra na figura 4.
Exemplo 1.3 Coordenadas Esféricas (r, θ, φ) em R3 :
As coordenadas esféricas (r, θ, φ) são definidas por
x = r sen φ cos θ
y
z
= r sen φ sen θ
= r cos φ
p
De acordo com a figura 5, r = x2 + y 2 + z 2 designa a distância de cada ponto de coordenadas
(x, y, z) à origem, θ é o ângulo formado entre o semi-eixo positivo x e o vector (x, y, 0) e φ designa
o ângulo entre o semieixo positivo z o vector (x, y, z).
Seja
T = {(r, θ, φ) ∈ R3 : r > 0 ; 0 < θ < 2π ; 0 < φ < π}
então a função g : T → R3 definida por
g(r, θ, φ) = (r sen φ cos θ, r sen φ sen θ, r cos φ)
1
é de classe C , injectiva e a respectiva derivada é injectiva porque


sen φ cos θ −r sen φ sen θ r cos φ cos θ
det Dg(r, θ, φ) = det  sen φ sen θ r sen φ cos θ r cos φ sen θ  = −r2 sen φ 6= 0
cos φ
0
−r sen φ
Portanto, a função g : T → R3 é uma mudança de coordenadas.
Assim, à bola centrada na origem, de raio R e da qual se retire o plano {x ≥ 0 ; y = 0}
corresponde o paralelipı́pedo [0, R[×]0, 2π[×]0, π[ tal como se representa na figura 6.
3
z
(x, y, z)
φ
PSfrag replacements
r
0
y
θ
x
(x, y, 0)
Figura 5: Coordenadas Esféricas (r, θ, φ) em R3
z
X
φ
PSfrag replacements
π
T
0
0
R
2π
θ
r
x
Figura 6:
4
y
Exemplo 1.4 Transformação Linear de Coordenadas em Rn :
Seja g : Rn → Rn uma transformação linear e seja A a matriz que a representa, ou seja
g(v) = Av ; v ∈ Rn . Tendo em conta que uma transformação linear é de classe C 1 e que a
respectiva derivada é representada pela matriz A, então g é uma mudança de coordenadas em R n
desde que se verifique a condição
det A 6= 0
2
Teorema da Mudança de Coordenadas
Nesta secção apresenta-se uma versão do teorema da mudança de coordenadas. O caso geral e
respectiva demonstração podem ser vistos em [1, 2].
Teorema 2.1 Seja X ⊂ Rn um conjunto aberto, f : X → R uma função integrável em X e
g : T → Rn uma mudança de coordenadas tal que X = g(T ). Então
Z
Z
f (x)dx =
f (g(t)) |det Dg(t)|dt
X
T
Exemplo 2.1 Área de um cı́rculo em R2 :
Seja S o cı́rculo centrado na origem de R2 e de raio R
S = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < R2 }
Seja X o conjunto que se obtém de S retirando-lhe o semi-eixo positivo x
X = S \ {(x, 0) : x ≥ 0}
Considerando a transformação de coordenadas polares em R2
g(r, θ) = (r cos θ, r sen θ) = (x, y)
sabemos que
X = g(T )
em que
T = {(r, θ) : 0 < r < R ; 0 < θ < 2π}
Notando que o semi-eixo positivo x tem medida nula em R2 e, aplicando o teorema da mudança
de coordenadas e o teorema de Fubini, obtemos
!
Z
Z
Z
2π
vol2 (S) = vol2 (X) =
R
rdrdθ =
rdr
0
T
dθ = πR2 .
0
É de salientar que o conjunto T é um intervalo e, portanto, a aplicação do teorema de Fubini
no cálculo do integral duplo é muito simples.
5
Exemplo 2.2 Volume de um cilindro em R3 :
Seja S o cilindro vertical de raio R e altura h dado por
S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 < R2 ; 0 < z < h}
Seja X o conjunto que se obtém de S retirando-lhe o semi-plano {y = 0 ; x ≥ 0 }, ou seja,
X = S \ {(x, y, z) : x ≥ 0 ; y = 0}
e consideremos a transformação de coordenadas cilı́ndricas em R3
g(ρ, θ, z) = (ρ cos θ, ρ sen θ, z) = (x, y, z)
Então,
X = g(T )
em que
T = {(ρ, θ, z) : 0 < ρ < R ; 0 < θ < 2π ; 0 < z < h}
Sabendo que o semi-plano {y = 0 ; x ≥ 0} tem medida nula em R3 e, aplicando o teorema da
mudança de coordenadas e o teorema de Fubini, obtemos
! !
Z
Z
Z
Z
2π
h
R
ρ dρdθdz =
vol3 (S) = vol3 (X) =
T
ρdr
0
0
dz
dθ = πR2 h
0
Note-se que T é um intervalo e, portanto, a aplicação do teorema de Fubini ao cálculo do
integral é simples.
Exemplo 2.3 Volume de uma bola em R3 :
Seja B a bola centrada na origem de R3 e de raio R
B = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 < R2 }
Seja X o conjunto que se obtém de B retirando-lhe o semi-plano {y = 0 ; x ≥ 0}
X = S \ {(x, y, z) : y = 0 ; x ≥ 0}
e consideremos a transformação de coordenadas esféricas em R3
g(r, θ, φ) = (r sen φ cos θ, r sen φ sen θ, r cos φ) = (x, y, z)
Então,
X = g(T )
sendo
T = {(r, θ, φ) : 0 < r < R ; 0 < θ < 2π ; 0 < φ < π}
Tendo em conta que o semi-plano {y = 0 ; x ≥ 0} tem medida nula em R3 e, aplicando o
teorema da mudança de coordenadas e o teorema de Fubini, obtemos
! !
Z
Z 2π Z π Z R
4
2
2
vol3 (B) = vol3 (X) =
r sen φdrdθdφ =
r sen φdr dφ dθ = πR3 .
3
T
0
0
0
Tal como nos exemplos anteriores, o conjunto T é um intervalo e a aplicação do teorema de
Fubini ao cálculo do integral triplo é bastante simples.
6
z
R
h
PSfrag replacements
0
y
x
Figura 7: Calote esférica
Exemplo 2.4 Volume de uma calote esférica em R3 :
Seja S a calote esférica, representada na figura 7 e definida por
S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 < R2 ; z > h}
e seja X o conjunto que se obtém de S retirando-lhe o semi-plano {y = 0 ; x ≥ 0}
X = S \ {(x, y, z) : y = 0 ; x ≥ 0}
Sendo S uma porção de uma bola em R3 , consideremos a tranformação de coordenadas esféricas
g(r, θ, φ) = (r sen φ cos θ, r sen φ sen θ, r cos φ) = (x, y, z)
h
cos φ
Da condição z > h, obtemos r >
e, portanto,
X = g(T )
em que
T = {(r, θ, φ) : 0 < θ < 2π ; 0 < φ < arccos(
h
h
);
< r < R}
R cos φ
Assim, o volume de S é dado por
vol3 (S) = vol3 (X)
Z 2π Z
=
0
=
2π
3
Z
h
)
arccos( R
0
h
arccos( R
)
0
Z
R
2
r sen φ dr
h
cos φ
h3
sen φ R −
cos3 φ
3
!
!
dφ dθ
dφ
e, tendo em conta que
d
dx
obtemos
1
cos2 x
=2
sen x
cos3 x
π
2R3 − 3R2 h + h3
3
Por outro lado, a calote esférica S também apresenta simetria cilı́ndrica em torno do eixo z e,
portanto, consideremos a transformação de coordenadas cilı́ndricas
vol3 (S) =
g(ρ, θ, z) = (ρ cos θ, ρ sen θ, z) = (x, y, z)
7
Da inequação x2 + y 2 < R2 − z 2 obtemos ρ <
√
R2 − z 2 e então
X = g(T )
em que
T = {(ρ, θ, z) : h < z < R ; 0 < θ < 2π ; 0 < ρ <
Assim, o volume de S é dado por
vol3 (S) = vol3 (X)
Z
ρ dρdθdz
=
=
Z
= π
=
T
2π
0
Z
Z
R
Z
h
√
R2 −z 2
0
p
!
ρ dρ dz
R2 − z 2 }
!
dθ
R
h
(R2 − z 2 )dz
π
2R3 − 3R2 h + h3
3
Exemplo 2.5 Volume de um cone em R3 :
Seja S o cone representado na figura 8 e definido por
p
S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 < z < h}
em que h > 0.
z
h
X
PSfrag replacements
0
y
x
Figura 8: Cone em R3
Para cada valor de z temos um cı́rculo de raio z, ou seja, S apresenta simetria cilı́ndrica com
eixo em z e, portanto, consideremos a transformação de coordenadas cilı́ndricas
g(ρ, θ, z) = (ρ cos θ, ρ sen θ, z) = (x, y, z)
Seja X o conjunto
p que se obtém de S retirando-lhe o plano {y = 0 ; x ≥ 0}.
Das condições x2 + y 2 < z < h obtemos ρ < z < h e, portanto,
X = g(T )
8
em que
T = {(ρ, θ, z) : 0 < θ < 2π ; 0 < ρ < h ; ρ < z < h}
O volume de S é, então, dado por
vol3 (S) = vol3 (X)
Z 2π Z
=
0
= 2π
=
Z
π 3
h
3
h
0
Z
h
ρ dz
ρ
!
!
dρ dθ
h
0
ρ(h − ρ)dρ
Exemplo 2.6 Consideremos o sólido V representado na figura 9 e descrito por
V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 < 1 + z 2 ; x2 + y 2 + z 2 < 5 ; z > 0}
z
√
5
√
2
PSfrag replacements
0
y
1
x
Figura 9:
√
Das inequações x2 + y 2 + z 2 < 5 e z > 0, obtemos 0 < z < 5. Por outro lado, as superfı́cies
dadas, respectivamente, por x2 + y 2 = 1 + z 2 e x2 + y 2 + z 2 = 5 intersectam-se segundo a linha
dada pelas equações
√
z = 2 ; x2 + y 2 = 3
É claro que V apresenta simetria cilı́ndrica relativa ao eixo z. Assim, em coordenadas cilı́ndricas
(ρ, θ, z), V é descrito por
√
√
i) Para 0 < z < 2, temos 0 < θ < 2π ; 0 < ρ < 1 + z 2
√
√
√
ii) Para 2 < z < 5, temos 0 < θ < 2π ; 0 < ρ < 5 − z 2
Portanto, pelo teorema da mudança de coordenadas, o volume de V pode ser calculado da
seguinte maneira
! !
! !
Z 2π Z √5 Z √5−z2
Z 2π Z √2 Z √1+z2
ρdρ dz dθ +
ρdρ dz dθ
vol3 (V ) =
√
0
0
Z
√
2
0
(1 + z 2 )dz + π
√
√
10 5 − 8 2
= π
3
= π
0
0
Z
√
5
√
2
(5 − z 2 )dz
9
2
0
Exemplo 2.7 Seja S ⊂ R2 a região representada na figura 10 e definida por
S = {(x, y) ∈ R2 : −x ≤ y ≤ π − x,
x π
x
− ≤y≤ }
2
4
2
e consideremos função f : R2 → R definida por
f (x, y) = sen(x + y) cos(x − 2y)
y=
y
x
2
PSfrag replacements v
π
2
S
T
0
π
u
x
y = −x
Figura 10:
Para calcular o integral
R
S
f consideremos a transformação linear (u, v) = g(x, y) definida por
u = x+y
v = x − 2y
Note-se que através desta transformação a função f passa a ser o produto de duas funções de
uma variável cada. Este facto irá certamente simplificar o cálculo do integral.
Sendo linear, para que g seja uma mudança de coordenadas basta que a matriz que a representa
seja não singular. (Recorde-se que para uma transformação linear a matriz que a representa e a
sua derivada coincidem). Assim, g é uma mudança de coordenadas porque
1 1
det Dg(x, y) =
= −3 6= 0
1 −2
É de salientar que a transformação g permite mudar das coordenadas (u, v) para as coordenadas
(x, y) e o que se pretende é a mudança inversa.
No entanto, a transformação inversa g −1 é também uma mudança de coordenadas e
det Dg −1 (u, v) = −
1
3
Assim, seja T ⊂ R2 tal que S = g −1 (T ). Da definição de S, obtemos
T = {(u, v) : 0 ≤ u ≤ π ; 0 ≤ v ≤
10
π
}
2
Usando o teorema da mudança de coordenadas, obtemos,
Z Z
Z Z
f (x, y)dxdy =
f (g −1 (u, v)) |det Dg −1 (u, v)|dudv
S
T
!
Z
Z π2
1 π
sen(u) cos(v)dv du
=
3 0
0
!
Z π
Z π
2
1
=
sen(u)du
cos(v)dv
3
0
0
=
2
3
Exemplo 2.8 Seja S ⊂ R2 a região representada na figura 11 e definida por
S = {(x, y) ∈ R2 : 1 < xy < 2 ; x > 0 ; x < y < 3x}.
e consideremos o integral em S da função definida por
f (x, y) =
y
x(1 + x2 y 2 )
v
y
y = 3x
PSfrag replacements
3
T
y=x
S
xy = 2
xy = 1
1
0
1
2
0
u
x
Figura 11:
Note-se que S é um conjunto limitado e que a função f é limitada e contı́nua em S e, portanto,
o respectivo integral existe.
Tendo em conta que S pode ser dado por
S = {(x, y) ∈ R2 : 1 < xy < 2 ; x > 0 ; 1 <
e a função f depende do produto xy e da razão
definida por
y
x,
y
< 3}.
x
consideremos a transformação (u, v) = g(x, y)
u = xy
y
v =
x
Então,
T = g(S) = {(u, v) : 1 < u < 2 ; 1 < v < 3}
11
ou seja, a função g transforma S no rectângulo T = g(S).
Vejamos que g é uma mudança de coordenadas em S. É claro que g é de classe C 1 . Da
definição de g, obtemos
r
u
x =
v
√
uv
y =
e, portanto, g é invertı́vel, ou seja, injectiva.
A derivada de g é dada pela matriz
Dg(x, y) =
y
− xy2
x
1
x
e, tendo em conta que, y > x > 0, temos
det Dg(x, y) = 2
y
>0
x
Portanto, g é uma transformação de coordenadas.
Aplicando o teorema da mudança de coordenadas e, tendo o cuidado de notar que a transformação de coordenadas a usar é a função g −1 e que
1
2v
det Dg −1 (u, v) =
obtemos
Z Z
f (x, y)dxdy
S
=
Z Z
f (g −1 (u, v)) |det Dg −1 (u, v)|dudv
Z Z 2
1
1
du dv
=
2
2 1
1 1+u
= arctan(2) − arctan(1)
T
3
Exemplo 2.9 Seja S o cı́rculo centrado na origem de R2 e de raio R e consideremos a função
definida por
2
2
f (x, y) = e−(x +y )
Para calcular o integral de f em S consideremos a mudança de coordenadas polares
g(r, θ) = (r cos θ, r sen θ)
Do exemplo 1.1 sabemos que
g(T ) = S
em que
T = {(r, θ) : 0 < r < R ; 0 < θ < 2π}
Assim, temos
Z
f (x, y)dxdy
=
S
=
Z
f (g(r, θ)) |det Dg(r, θ)|drdθ
!
Z
T
Z 2π
0
= 2π
Z
R
2
re−r dr dθ
0
R
2
re−r dr
0
2
= π(1 − e−R )
12
Note-se que se aplicarmos o teorema de Fubini ao cálculo do integral em coordenadas (x, y),
obtemos
!
Z R
Z
Z √R2 −x2
−x2
−y 2
e
e dy dx
f (x, y)dxdy =
√
S
− R2 −x2
−R
e este integral não é facilmente calculável por não termos á disposição uma primitiva para a função
2
e−x .
2
Em coordendas polares este problema não existe porque a função a integrar é dada por re −r
cuja primitivação é imediata.
Referências
[1] Luı́s T. Magalhães. Integrais Múltiplos. Texto Editora, 1996.
[2] W. Rudin. Principles of Mathematical Analysis. McGraw Hill, 1996.
13