SÉTIMA LISTA DE EXERCÍCIOS
Fundamentos da Matemática II
MATEMÁTICA — DCET — UESC
Humberto José Bortolossi
http://www.uesc.br/arbelos/
Semelhança de triângulos
Dizemos que o triângulo ∆ABC é semelhante ao triângulo ∆XY Z e escrevemos ∆ABC ∼ ∆XY Z se, e somente se, existe uma correspondência
bijetiva entre seus vértices A ↔ X, B ↔ Y e C ↔ Z tal que
m(∠CAB) = m(∠ZXY ), m(∠ABC) = m(∠XY Z), m(∠BCA) = m(∠Y ZA),
m(AB) = k · m(XY ), m(AC) = k · m(XZ) e m(BC) = k · m(Y Z),
onde k é um número real denominado razão de semelhança (figura (1)).
X
A
C
B
Y
Z
Figura 1: Semelhança de triângulos.
Teorema 1 (critério AAA de semelhança de triângulos) Se os ângulos de um triângulo forem respectivamente congruentes aos ângulos correspondentes de outro triângulo, então os triângulos são semelhantes.
Demonstração: Suponha que
m(∠CAB) = m(∠ZXY ), m(∠ABC) = m(∠XY Z) e
m(∠BCA) = m(∠Y ZA).
Vamos demonstrar que
m(AC)
m(BC)
m(AB)
=
=
= k.
m(XY ) m(XZ)
m(Y Z)
1
Suponha que m(AB) < m(XY ) (se m(AB) < m(XY ), a demonstração
será a mesma, trocando-se as letras A, B e C por X, Y e Z e se m(AB) =
m(XY ), então temos um caso de congruência de triângulos (critério ALA)
com k = 1).
Considere os pontos P sobre XY e Q sobre XZ tais que m(AB) = m(XP )
e m(AC) = m(XQ) (figure (2)). Pelo critério LAL temos que
∆ABC ∼
= ∆XP Q.
Em particular, m(∠XP Q) = m(∠ABC).
X
A
P
B
C
Y
Q
Z
Figura 2: Semelhança de triângulos.
Como, por hipótese, m(∠ABC) = m(∠XY Z), concluı́mos então que
m(∠XP Q) = m(∠XY Z). Sendo assim, os segmentos P Q e Y Z são paralelos.
Observe que os triângulos ∆XP Q e ∆P Y Q têm a mesma altura (figura (3)) e, portanto, a razão entre suas áreas é
S∆XP Q
S∆P Y Q
m(XP ) · h
m(XP )
2
=
=
.
m(P Y ) · h
m(P Y )
2
(1)
Da mesma forma,
m(XQ)
S∆XP Q
=
.
(2)
S∆P QZ
m(QZ)
Como P Q Y Z, os triângulos ∆P QY e ∆P QZ têm a mesma altura, logo
S∆P QY = S∆P QZ .
Combinando as equações (1), (2) e (3), segue-se que
m(XP ) m(XQ)
=
.
m(P Y )
m(QZ)
2
(3)
X
h
P
Q
Z
Y
Figura 3: Semelhança de triângulos.
Temos então que
m(XP ) m(XQ)
m(P Y )
m(QZ)
=
⇐⇒
=
m(P Y )
m(QZ)
m(XP ) m(XQ)
m(XP ) + m(P Y ) m(XQ) + m(QZ)
=
⇐⇒
m(XP )
m(XQ)
m(XZ)
m(XY )
=
⇐⇒
m(XP ) m(XQ)
m(XY ) m(XZ)
⇐⇒
=
m(AB)
m(AC)
m(AC)
m(AB)
=
.
⇐⇒
m(XY ) m(XZ)
Procedendo da mesma maneira, podemos provar (figura (4)) que
m(BC)
m(AB)
=
m(XY )
m(Y Z)
e, portanto, concluir que
m(AB)
m(AC)
m(BC)
=
=
.
m(XY ) m(XZ)
m(Y Z)
Teorema 2 (critério AA de semelhança de triângulos) Se dois triângulos têm dois ângulos internos correspondentes congruentes, então os triângulos são semelhantes.
3
X
A
B
R
C
Y
S
Z
Figura 4: Semelhança de triângulos.
Demonstração: Exercı́cio.
Teorema 3 (critério LAL de semelhança de triângulos) Se as medidas de dois dos lados de um triângulo são respectivamente proporcionais
às medidas de dois lados correspondentes de outro triângulo e os ângulos
determinados por estes lados são congruentes, então os triângulos são semelhantes.
Demonstração: Sejam ∆ABC e ∆XY Z dois triângulos tais que
m(∠CAB) = m(∠ZXY )
e
m(AC)
m(AB)
=
.
m(XY ) m(XZ)
Construa um triângulo ∆DEF tal que m(DE) = m(XY ), m(∠EDF ) =
m(∠BAC) e m(∠DEF ) = m(∠ABC). Pelo critério AA de semelhança de
triângulos temos que ∆ABC ∼ ∆DEF e, portanto, vale que
m(AC)
m(AB)
=
.
m(DE) m(DF )
(4)
Por hipótese, m(AB)/m(XY ) = m(AC)/m(XZ) e, por construção, m(XY ) =
m(DE), assim
m(AB)
m(AC)
=
.
(5)
m(DE) m(XZ)
Das relações (4) e (5) vemos que
m(DF ) = m(XZ).
(6)
Pelo critério LAL de congruência de triângulos, temos então que ∆DEF
e ∆XY Z são triângulos congruentes. De fato: (L) m(DE) = m(XY ) por
4
construção, (A) m(∠EDF ) = m(∠BAC) por construção e m(∠BAC) =
m(∠Y XZ) por hipótese e, assim, m(∠EDF ) = m(∠Y XZ) e (L) m(DF ) =
m(XZ) conforme estabelecido em (6).
Desta maneira, como ∆ABC ∼ ∆DEF e ∆DEF ∼
= ∆XY Z, concluı́mos
que ∆ABC ∼ ∆XY Z.
Teorema 4 (critério LLL de semelhança de triângulos) Se as medidas dos lados de um triângulo são respectivamente proporcionais às medidas
dos lados correspondentes de outro triângulo, então os triângulos são semelhantes.
Demonstração: Exercı́cio.
[01] Dados dois triângulos ∆ABC e ∆DEF tais que m(AB) = 8 cm,
m(AC) = 12 cm, m(BC) = 10 cm, m(DF ) = 6 cm, e m(∠BAC) =
m(∠EDF ), m(∠ABC) = m(∠DEF ) e m(∠BCA) = m(∠Y ZX). Calcule m(DEF ) e m(EF ). Justifique a sua resposta.
[02] Na figura (5), m(∠ABC) = m(∠DCA), m(AB) = 12 uc, m(AC) =
8 uc e m(BC) = 6 uc. Calcule m(CD) e m(BD). Observação: uc =
unidade de comprimento.
B
D
A
C
Figura 5: Um exercı́cio de semelhança de triângulos.
[03] Em um triângulo ∆ABC, m(AB) = 15 cm e m(BC) = 12 cm. Sejam D ∈ AB e E ∈ AC tais que m(AD) = 5 cm, m(AE) = 6 cm e DE
é paralelo a BC. Calcule m(AC) e m(DE).
5
[04] Diga se cada uma das sentenças abaixo é verdadeira ou falsa, apresentando um contra-exemplo caso ela seja falsa e uma demonstração caso
ela seja verdadeira.
(a) Se ∆ABC ∼ ∆DEF , então ∆ABC ∼
= ∆DEF .
(b) Se ∆ABC ∼
= ∆DEF , então ∆ABC ∼ ∆DEF .
(c) Se ∆ABC ∼ ∆DEF , então ∆ABC ∼ ∆DF E.
(d) Se ∆ABC e ∆DEF são dois triângulos eqüiláteros quaisquer, então
∆ABC e ∆DEF são triângulos semelhantes.
(e) Se ∆ABC e ∆DEF são dois triângulos isósceles quaisquer com
bases BC e EF , então ∆ABC e ∆DEF são triângulos semelhantes.
[05] (O teorema de Tales) Sejam r1 , r2 e r3 retas paralelas disjuntas e
sejam s e t duas retas transversais. As interseções destas retas estão
indicadas na figura (6).
s
t
A
r1
D
B
r2
E
C
F
r3
Figura 6: O teorema de Tales.
Mostre que
m(DE) m(AB) m(DE)
m(BC)
m(EF )
m(AB)
=
,
=
e
=
.
m(BC)
m(EF ) m(AC)
m(DF )
m(AC)
m(DF )
Dica: para mostrar, que m(AB)/m(BC) = m(DE)/m(EF ), seja X
←→
a interseção da reta DC com a reta r2 . Verifique que ∆DXE ∼
6
∆DCF e conclua que m(CX)/m(DX) = m(EF )/m(DE). Verifique também que ∆BCX ∼ ∆ACD e conclua que m(CX)/m(DX) =
m(BC)/m(AB). Destas duas últimas igualdades segue-se a relação desejada: m(AB)/m(BC) = m(DE)/m(EF ).
[06] (O teorema de Pitágoras) Um triângulo é denominado retângulo se
um dos seus ângulos é reto (tem medida de 90◦ ). O lado de maior medida
é denominado hipotenusa e os outros dois lados de catetos do triângulo.
Na figura (7), o triângulo ∆ABC é retângulo, com m(∠BAC) = 90◦ ,
hipotenusa BC e catetos AB e AC. O ponto H é o pé da altura AH
relativa à hipotenusa BC do triângulo.
A
c
b
h
m
n
B
C
H
a
Figura 7: O teorema de Pitágoras.
(a) Mostre que os triângulos ∆ABC, ∆HBA e ∆HAC são semelhantes.
(b) A partir das semelhanças estabelecidas no item (a), deduza as seguintes relações métricas em um triângulo retângulo:
b2 = a · n,
c2 = a · m,
h2 = m · n,
b · c = a · h,
onde a = m(BC), b = m(AC), c = m(AB), m = m(BH), n =
m(HC) e h = m(AH).
(c) A partir das relações métricas estabelecidas no item (b), deduza
o teorema de Pitágoras: a soma dos quadrados das medidas dos
catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa. Em sı́mbolos:
a2 = b2 + c2 .
7
[07] (Recı́proca do teorema de Pitágoras) Mostre que se as medidas
dos lados de um triângulo satisfazem a relação a2 = b2 + c2 , então este
triângulo é retângulo.
[08] Construa em uma folha de papel dois quadrados de lados 4 cm e 5 cm
respectivamente. Em seguida, mostre como “dissecar” estes dois quadrados em triângulos e quadriláteros e rearranjá-los como um único
quadrado. Qual é a relação entre as medidas dos lados deste último
quadrado com as medidas dos lados dos dois primeiros? Dica: use a
figura (8).
c
b
b
b
a
c
c
b
b
c
c
a
a
a
a
c
b
c
a
b
b
c
Figura 8: Dissecação de dois quadrados em um quadrado.
[09] Construa em uma folha de papel três quadrados de lados 4 cm, 5 cm
e 8 cm respectivamente. Em seguida, mostre como “dissecar” estes três
quadrados em triângulos e quadriláteros e rearranjá-los como um único
quadrado.
[10] Construa, “para dentro” de quadrado ABCD, triângulos eqüiláteros
∆BCX e ∆CDY sobre os lados BC e CD. Sejam P a interseção da
←→
←→
←→
←→
reta AX com a reta BC e Q a interseção da reta AY com a reta CD
(figura (9)).
(a) Mostre que ∆AP Q é também um triângulo eqüilátero.
(b) Mostre que S∆AP B + S∆ADQ = S∆CP Q .
[11] (A demonstração de Euclides do teorema de Pitágoras) A figura (10) ilustra os passos da demonstração dada por Euclides para o
teorema de Pitágoras. Escreva os detalhes da demonstração!
8
D
C
Q
X
P
Y
A
B
Figura 9: Inscrevendo um triângulo eqüilátero em um quadrado.
A
B
A
C
B
A
B
C
A
C
B
C
Figura 10: A demonstração de Euclides do teorema de Pitágoras.
9
[12] Três moedas de ouro de mesma espessura mas com diâmetros diferentes
foram colocas sobre os três lados de um triângulo retângulo ∆ABC,
conforme a figura (11). O que você prefere? Ficar com as duas moedas
menores ou apenas com a moeda maior?
A
B
C
Figura 11: Uma conseqüência do teorema de Pitágoras.
Texto composto em LATEX2e, HJB, 11/05/2004.
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