Modelagem e Validação do Volume de Líquidos em um
Recipiente Cilíndrico Inclinado
Rodrigo Zanette
Marcos Pinheiro de Lima
Luana Lazzari
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Sul – Câmpus Bento Gonçalves
95700-000, Av. Osvaldo Aranha, Juventude da Enologia – Bento Gonçalves, RS
E-mail: [email protected], [email protected],
[email protected]
Julhane Alice Thomas Schulz
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Sul – Câmpus Bento Gonçalves
95700-000, Av. Osvaldo Aranha, Juventude da Enologia – Bento Gonçalves, RS
E-mail: [email protected]
RESUMO
O homem está sempre buscando formas de descrever, explicar e compreender o mundo que o
cerca, tentativas estas que contribuíram no desenvolvimento da matemática e de outras ciências.
A partir desta busca, surgiram métodos, como a Modelagem Matemática, que procuram
descrever matematicamente uma aproximação da realidade. Este método possibilita ainda a
integração de diversas ciências pelo fato de necessitar de conhecimentos interdisciplinares, por
este motivo tem sido utilizada por pesquisadores, estudiosos, assim como dos profissionais da
educação.
Para Bassanezi (2009, p.16, grifo do autor), “A modelagem matemática consiste na arte de
transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas
soluções na linguagem do mundo real”. Nesse sentido, a manipulação de um problema permite
mesclar saberes de diversas áreas, além de transformá-lo em uma linguagem matemática.
Segundo Meyer (2011, p.125) “Toda Modelagem visa não apenas descrever um ou mais
fenômenos, mas, e sobretudo, compreendê-lo(s)”. Nessa perspectiva, o presente trabalho
descreve a validação de um modelo matemático desenvolvido com o intuito de solucionar o
problema de um trabalhador do setor de transporte que consistia em medir a quantidade de óleo
diesel de um tanque inclinado de formato cilíndrico para que este pudesse controlar a
quantidade de compra e venda do mesmo.
A inclinação do reservatório teve como intuito concentrar os resíduos do combustível em
uma pequena área no fundo do tanque, conforme ilustrado na Figura 1. Ohphata (2009) em seus
escritos descreve que o diesel por ser de origem orgânica sofre um processo de deterioração
natural, principalmente se estiver em ambientes úmidos e quentes, como é o caso de um
reservatório.
Figura 1: Cilindro na posição inclinada.

Bolsistas do Programa de Educação Tutorial - PET/FNDE.
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Durante a pesquisa deste problema encontramos outras situações semelhantes como
apresentada pela empresa Norte Americana LMNO Engineering, Research and Software (2006)
que buscava encontrar o volume dos líquidos dentro das tubulações ou dos tanques cilíndricos
inclinados a fim de determinar a massa do líquido que há dentro deles, multiplicando a
densidade do líquido pelo volume.
Na modelação do problema surgiram diferentes situações da posição do líquido dentro do
cilindro como ilustra as Figuras 1, 2, 3 e 4, o que nos levou a consolidação de uma modelo para
cada caso, conforme suas particularidades, variações da inclinação, do comprimento e do raio
do cilindro, os quais serão descritos a seguir:
 1º Caso: quando o líquido toca parcialmente a extremidade inferior, porém sem alcançar a
superior.
 2º Caso: o líquido toca parcialmente tanto a extremidade inferior como a superior.
 3º Caso: o líquido preenche totalmente a extremidade inferior, porém parcialmente a
superior.
 4º Caso: quando o líquido cobre totalmente a extremidade inferior e não toca a superior.
Figura 2: 1º caso.
Figura 3: 2º caso.
Figura 4: 3º caso.
Figura 5: 4º caso.
A formulação do modelo teve início com a transfiguração do problema para o plano
cartesiano, pois para obter o modelo utilizamos o método das integrais triplas definidas.
Iniciamos definindo o cilindro com a equação x2 y 2 r 2 , em seguida se fez necessário
encontrar a equação do plano (superfície do líquido) para ser possível delimitar os limites das
integrações como será visto posteriormente.
Para a construção do plano é necessário um vetor normal em função do ângulo de inclinação
e um ponto pertencente ao plano em função da altura do líquido e do ângulo:
 Vetor normal: AB ( 0,cos( α ),sen( α )) ;
 Ponto do plano: P ( 0,h r,0 ) .
A partir desses objetos encontramos a equação do plano:
y cos( α ) z sen( α ) ( h r ) cos( α )
(1)
Após definir o plano, a equação do cilindro e os quatro casos em que o líquido pode se
encontrar, interpretamos os limites de integração descritos a seguir:
1º caso:
r 2 y2
h r
r 2 y2
r
( h r ) cos( α ) y cos( α )
sen( α )
0
dzdxdy
2º caso:
( h r ) cos( α ) y s en( α )
cos( α )
r
c
0
r 2 y2
r 2 y2
dxdydz
3º caso:
c
0
( h r ) cos( α ) c sen( α )
cos( α )
r
r 2 y2
r
2
y
2
dxdydz
( h r ) cos( α ) y cos( α )
r
s en( α )
( h r ) cos( α ) c sen( α )
0
cos( α )
4º caso:
r
r
r 2 y2
r 2 y2
( h r ) cos( ) y cos( )
s en ( )
0
47
dxdzdy
r 2 y2
r 2 y2
dxdzdy
Concluída a construção do modelo para os quatro casos, utilizamos o software Scilab para
programar sua plotagem. Esta rotina foi programada de tal forma que, o próprio software realiza
a interpolação de um caso para o outro, bastando apenas o usuário entrar com os dados do
cilindro e da inclinação. Assim, o software apresenta o valor do volume a partir da altura do
líquido informada e ainda, constrói um gráfico do volume em função da altura do líquido.
Para validação do modelo realizou-se um experimento com um recipiente cilíndrico, com as
seguintes dimensões: raio 5,13 cm, comprimento 10,75 cm e com uma inclinação de 45º. O
experimento consistiu em depositar 50 ml (1 ml equivale a 1 cm³) por vez, dentro do cilindro, e
assim medir as respectivas alturas do líquido. O que proporcionou a construção do gráfico do
modelo e dos pontos coletados, apresentados no Gráfico 1:
Modelo
Dados Experimentais
Gráfico 1: modelo x dados experimentais.
Analisando o gráfico percebemos que o modelo descrito confere de maneira satisfatória,
mesmo contendo uma pequena margem de erro, pois estes podem ter ocorrido na imprecisão na
mensuração das alturas ou na quantidade de líquido depositado no cilindro.
A partir desta metodologia foi possível a determinação do volume do reservatório cilíndrico
inclinado, pois através das alturas, dos parâmetros do cilindro e do ângulo de inclinação, o
modelo determinou os respectivos volumes, oportunizando a construção de uma tabela de
consulta para o trabalhador e a empresa compradora de combustível.
Palavras-chave: Modelagem Matemática, Cilindro Inclinado, Cálculo Integral, Volume do
Cilindro, Implementação Computacional.
Referências
[1] J. F. C. A. Meyer; A. D. Caldeira; A. P. S. Malheiros. Modelagem em Educação Matemática.
Belo Horizonte: Autêntica, 2011. 142p.
[2] LMNO Engineering, Research and Software Ltd. “Inclined Cylinder Volume Calculation”.
Athens: 2006. Disponível em: <http://www.lmnoeng.com/Volume/ InclinedCyl.htm>.
Acesso em: 20 jan. 2013.
[3]T. OHPHATA, Sujeira no tanque causa entupimento dos bicos e bombas injetoras: cuidados
com o combustível é fundamental para manter a qualidade do motor. Bombarco: o mercado
náutico
é
aqui.
27
dez.
2009.
Disponível
em:
<http://bombarco.com.br/materias/exibir/sujeira-no-tanque-causa-entupimento-dos-bicos-ebombas-injetoras>. Acesso em: 30 mar. 2013.
[4] R. C. Bassanezi. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia. 3.
ed. São Paulo: Contexto, 2009. 389 p.
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