Curso
Itaipu
3ª Parte
Prof. Pacher
Data de impressão:18/05/2006
Matemática
Aprovada Receita Federal 2002-2
4º Lugar em Aduana
ADRIANA KINDERMANN SPECK
9ª Região Fiscal
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EQUAÇÃO DO 1º GRAU
Matemática
II) Adicionando as três partes obteremos o
todo “x”.
DEFINIÇÃO
P1 + P2 + P3 = x
Equação do primeiro grau com uma incógnita,
é a equação que pode ser reduzida à forma:
a≠0
ax + b = 0
x
4
+
x
3
+ 1 000 = x ...o
3x + 4x + 12 000
12
=
mmc (3 , 4) = 12
12x
12
....simplifique
o
denominador comum aos membros
Em que:
• x é a incógnita
• a e b são constantes
denominadas coeficientes.
• b é o termo independente
3x + 4x + 12 000 = 12x ....adicione
reais
RESOLUÇÃO
Nas equações, é costume chamar os valores
que satisfazem as equações de raízes.
Resolver uma equação significa determinar o
seu conjunto-verdade, isto é, o conjunto de
suas raízes.
o
semelhantes em x e passe para o
segundo membro
termos
12 000 = 5x ....isole
x, passando o multiplicador 5
de x para a operação inversa, divisão.
Execute a operação de divisão.
Resposta: R$ 2 400
PRATICANDO
Resolva as seguintes equações:
Para a equação do 1º grau
ax + b = 0
Passe o termo independente para o
2º membro
ax = - b
Para isolar x, passe o a operando
inversamente.
x = - b/a
O conjunto verdade (raízes) é:
V={ -b/a }
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. Um prêmio em dinheiro foi dividido entre 3
pessoas: a primeira recebeu 1/4 do valor do
prêmio, a segunda recebeu 1/3 e a terceira
ganhou R$ 1 000,00. Então, o valor desse
prêmio, em reais, era de:
a) 2 400,00
c) 2 100,00
e) 1 400,00
01.
02. (PUC-RJ) A raiz da equação
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
04.
x − 3 x −1
=
é:
7
4
-3/5
3/5
-5/3
5/3
03. (FIA-SP) Se 3x =
x −3
+2
4
0
1/11
5/11
11
(UFU-MG)
O
valor
de
x
tal
que
4 x − 1 −2 x + 1
é:
=
2
3
a)
b)
c)
d)
b) 2 200,00
d) 1 800,00
12x - 4=10x + 3
0
5/16
3
16/5
Resolução
I) Fazendo x= prêmio, P1, P2 e P3 as três
pessoas
P1 1/4 de x
=
P2 1/3 de x
=
R$
1
P3
=
000,00
1/4.x
1/3.x
=
=
1 000 =
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X/4
X/3
1 000
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05. (F. OBJETIVO-SP) Se
x +3
− 5 = x + 1,
4
então:
a) x = 6
b) x = 8
c) x = -7
d) x = -9
06. 6-(3x - 3) - [2 - (-4x - 1)] = -(-3x + 2)
07. (FCC) O esquema abaixo mostra, passo a
passo, a seqüência de operações a serem
efetuadas a partir de um certo número, a fim
de obter o resultado final 10,4.
ponto de
partida: ?
(multiplicar
(dividir por 8) (somar 1 ) por 0,4) (subtrair 0,28) (dividir por 5)
5
10,4: resultado final
Matemática
12. (OBM) Renata digitou um número em sua
calculadora, multiplicou-o por 3, somou 12,
dividiu o resultado por 7 e obteve o número 15.
O número digitado foi:
a) 31
b) 7
c) 39
d) 279
e) 27
13. Dada a proporção:
0,1 y − 0, 4
1
=
,
1 − 0, 4 y
2
determine y :
5
0, 2
= 6 . Então, o
14. É dada a proporção
x 12,5
quadrado do número x é igual a:
O número que deve ser considerado como
ponto de partida está compreendido entre
a) 1 000 e 1 050
b) 1 050 e 1 100
c) 1 100 e 1 150
d) 1 150 e 1 200
e) 1 250 e 1 300
08. Resolvendo-se a equação 2.(x + 4) = 4x
+ 11, obtém-se:
a) x=-2,4
b) x=-1,5
c) x=-0,5
d) x=1,2
09. (FCC) Qual a idade atual de uma pessoa
se daqui a 8 anos ela terá exatamente o
triplo da idade que tinha há 8 anos atrás?
a) 15 anos.
b) 16 anos.
c) 24 anos.
d) 30 anos.
e) 32 anos.
10. Roberto disse a Valéria: "pense um
número, dobre esse número, some 12 ao
resultado, divida o novo resultado por 2.
Quanto deu?". Valéria disse "15", ao Roberto
que imediatamente revelou o número original
que Valéria havia pensado. Calcule esse
número.
15. Sobre a equação (x + 2) (x + 3) = x² + 6x
+ 3 é verdade que:
a) x é igual a 0
b) x é igual a 3
c) x é igual a 6
d) todos os números são soluções
e) x é igual a 2
16.(OBJETIVO) Dividindo-se
o numero
natural n por 17, obtemos o quociente 283
e o resto 6. podemos afirmar que n é igual
a:
a) 4 817
b) 4 917
c) 3 815
d) 4 618
e) 4 418
17. Um número decimal x o resultado da
divisão de 73 por 8. Quanto vale x?
18. (TRE) João gasta 1/3 do seu salário no
aluguel do apartamento onde mora e 2/5 do
que lhe sobra em alimentação, ficando com R$
480,00 para as demais despesas. Portanto, o
salário de João é igual a:
a) R$ 1 200,00
b) R$ 1 500,00
c) R$ 1 800,00
d) R$ 2 100,00
e) R$ 2 400,00
11. (FCC) Obter dois números consecutivos
inteiros cuja soma seja igual a 57.
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19. (TRE) Em uma escola, o aluno deve obter
média 6,0 em cada disciplina para ser
aprovado. Essa média é calculada dividindo-se
o total de pontos que ele obteve nos quatro
bimestres, por quatro. Portanto, o aluno que
não totalizar 24 pontos nos 4 bimestres deverá
fazer prova final. Nessa prova, ele deverá
obter, no mínimo, a diferença entre 10,0 e a
sua média anual, para ser aprovado.
As notas de Geografia de um certo aluno
foram:
1º bimestre: 5,0
2º bimestre: 6,0
3º bimestre: 2,0
4º bimestre: 5,0
Logo, a nota mínima que esse aluno deverá
obter na prova final de Geografia é:
a) 4,5
b) 5,0
c) 5,5
d) 6,0
e) 6,5.
20. (FCC) Nos três andares de um prédio de
apartamentos moram 68 pessoas. Sabe-se
que: o número de residentes no segundo
andar é o dobro do número dos que residem
no primeiro; os residentes no terceiro andar
excedem em 20 pessoas o número dos que
residem no primeiro andar. Se x, y e z são os
números de residentes no primeiro,
segundo
e
terceiro
andares,
respectivamente, então
a) x = 15
b) y = 25
c) z = 36
d) x = 12
e) y = 20
21. (FGV) Uma cafeteira elétrica tem, no
recipiente onde se coloca a água, um
mostrador indicando de 1 a 20 cafezinhos. São
gastos 2 minutos para aquecer o resistor.
Aquecido o resistor, a água flui com taxa
constante,
misturando-se
ao
pó
e
transformando-se em café. Se o tempo gasto
para fazer 8 cafezinhos é de 6 minutos, qual
é o tempo gasto por essa mesma cafeteira
para fazer 4 cafezinhos?
a) 3 min
b) 3 min 15 s
c) 3 min 30 s
d) 4 min
e) 5 min
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Matemática
22. (OBM) Em Tumbólia, um quilograma de
moedas de 50 centavos equivale em dinheiro a
dois quilogramas de moedas de 20 centavos.
Sendo 8 gramas o peso de uma moeda de
20 centavos, uma moeda de 50 centavos
pesará:
a) 15 gramas
b) 10 gramas
c) 12 gramas
d) 22 gramas
e) 20 gramas
23. (OBM) Toda a produção mensal de latas
de refrigerante de uma certa fábrica foi vendida
a três lojas. Para a loja A, foi vendida metade
da produção; para a loja B, foram vendidos 2/5
da produção e para a loja C, foram vendidas
2500 unidades. Qual foi a produção mensal
dessa fábrica?
a) 4166 latas
b) 10000 latas
c) 20000 latas
d) 25000 latas
e) 30000 latas
24.(CESGRANRIO) Um prêmio em dinheiro foi
dividido entre 3 pessoas: a primeira recebeu
1/4 do valor do prêmio, a segunda recebeu 1/3
e a terceira ganhou R$ 1 000,00. Então, o
valor desse prêmio, em reais, era de:
a) 2 400,00
b) 2 200,00
c) 2 100,00
d) 1 800,00
e) 1 400,00
25. Pedro saiu de casa e fez compras em
quatro lojas, cada uma num bairro diferente.
Em cada uma gastou a metade do que possuía
e a seguir, ainda pagou R$ 2,00 de
estacionamento em cada local. Se no final
ainda tinha R$ 8,00, que quantia tinha Pedro
ao sair de casa?
a) R$ 220,00
b) R$ 204,00
c) R$ 196,00
d) R$ 188,00
e) R$ 180,00
26.(FGV) Uma empresa, a título de promoção,
tira fotocópias cobrando R$ 0,10 por folha, até
um máximo de 100 folhas; o que exceder 100
folhas a empresa cobra R$ 0,08 por folha.
Se um cliente deseja tirar 200 fotocópias,
qual o preço total?
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27. (FGV) Para uma determinada viagem foi
fretado um avião com 200 lugares. Cada
pessoa deve pagar R$ 300,00 mais uma taxa
de R$ 6,00 por cada lugar que ficar vago.
Qual a receita arrecadada se comparecerem
150 pessoas para a viagem?
Matemática
32. (OBM)
Na balança a seguir temos
pesadas bolas de chumbo, todas iguais, e
leves saquinhos de plástico, todos com a
mesma quantidade de bolinhas, iguais às que
estão fora dos mesmos. Quantas bolinhas há
em cada saquinho?
28.(UNICAMP-SP) Em uma empresa, 1/3 dos
funcionários tem idade menor que 30 anos, 1/4
tem idade entre 30 e 40 anos e 40 funcionários
têm mais de 40 anos.
a) Quantos funcionários tem a referida empresa?
b) Quantos deles têm pelo menos 30 anos?
29.(UNICAMP-SP) Após ter corrido 2/7 de um
percurso e, em seguida, caminhado 5/11 do
mesmo percurso um atleta verificou que ainda
faltavam 600 metros para o final do percurso.
a) Qual o comprimento total do percurso?
b) Quantos metros o atleta havia corrido?
c) Quantos metros o atleta havia caminhado?
30.(NC.UFPR) Qual é o valor de x na
expressão 1+
1
1
= ?
1
2
1+
1+ x
3
4
2
−
3
1
−
2
3
−
2
4
−
3
a) −
b)
c)
d)
e)
31.(NC.UFPR) Qual o valor de x que torna a
expressão
a)
b)
c)
d)
e)
4
0,25 ⋅ 0,4 + 0,75 ⋅ x
= 0,5 verdadeira?
0,2
0,25
–0,15
0
–0,5
–0,25
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a)
b)
c)
d)
e)
1
2
3
5
6
33.(FGV-SP)
O
Sr.
Eduardo
gasta
integralmente seu salário em 4 despesas:
moradia, alimentação, vestuário e transporte.
Ele gasta ¼ do salário com moradia, 35% do
salário com alimentação, R$ 400,00 com
vestuário e R$ 300,00 com transporte. Sua
despesa com moradia é igual a:
a) R$ 430,00
b) R$ 432,50
c) R$ 435,00
d) R$ 437,50
e) R$ 440,00
GABARITO EQUAÇÕES DO 1 GRAU
01 7/2
18 A
02 C
19 B
03 C
20 D
04 B
21 D
05 C
22 B
06 4/5
23 D
07 A
24 A
08 B
25 D
09 B
26 18
10 9
27 90 000
11 28 e 29
28 a) 96 b) 64
12 A
29 a) 2310 b)
660
13 3
c) 1050
14 3
30 E
15 C
31 C
16 A
32 B
17 9,125
33 D
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SISTEMAS DE EQUAÇÕES
DEFINIÇÃO
Sistema de equações é o conjunto de
equações que são satisfeitas simultaneamente
pelos mesmos valores das incógnitas. As
equações que formam um sistema, são
denominadas equações simultâneas.
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
Sistemas de equações lineares é o conjunto de
equações com todas as incógnitas de
expoente 1 (um) ou, também denominadas de
grau 1 (um).
SOLUÇÃO DE UM SISTEMA
Solução de um sistema é o conjunto de
valores, um para cada incógnita, pelos quais
as incógnitas devem ser substituídas, para que
todas as equações se reduzam a igualdades
numéricas ou a identidades algébricas.
Costuma-se dizer que este sistema de valores
verifica ou satisfaz todas as equações. Um
sistema de equações pode ter uma única
solução, mais de uma solução ou não ter
nenhuma solução.
SISTEMAS DE DUAS EQUAÇÕES LINEARES
COM DUAS INCÓGNITAS
É o sistema formado por duas equações
lineares com duas incógnitas. O sistema neste
formato, será estudado neste capítulo.
Matemática
Resolução:
⎧x + y = 21
+ ⎨
⎩x - y = 3
2x
= 24
⇒
x=
24
2
⇒
x = 12
Substituindo x=12 em qualquer uma das
equações, obtemos y=9.
Resultado final (12; 9).
RESOLUÇÃO POR COMPARAÇÃO
Consiste em isolar a mesma incógnita nas
duas equações e, compará-las pela
igualdade.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. Seja o sistema linear:
⎧x + y = 21
⎨
⎩x - y = 3
Resolução:
⎧x + y = 21 isolando x ⇒
⎨
⎩ x - y = 3 isolando x ⇒
x =21- y (I)
x = 3 + y (II)
Fazendo a comparação ( I ) = ( II ), obtemos a
equação:
21 - y = 3 + y
⇒ 2y = 24
⇒
RESOLUÇÃO POR ADIÇÃO
Substituindo y=9 em qualquer
equações, obtemos x=12.
Consiste em adicionar termo a termo
semelhantes nos membros, para eliminar uma
das incógnitas. Há quatro casos a considerar
conforme a natureza dos coeficientes da
incógnita a eliminar. No estudo para resolução
de sistemas de equações, apresento testes
que possibilitarão fazer contato com os quatro
casos.
Resultado final (12; 9).
y = 12
uma
das
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. Seja o sistema linear:
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⎧x + y = 21
⎨
⎩x - y = 3
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RESOLUÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Consiste
em
isolar
uma
incógnita
arbitrariamente a eliminar e substituí-la na
outra equação.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. Seja o sistema linear:
⎧x + y = 21
⎨
⎩x - y = 3
Matemática
⎧x + 2y = 11
⎨
⎩ x = 7 - y .......substitua
x = 7 - y
na 1ª
equação x + 2y = 11
(7-y) + 2y = 11........7-y + 2y = 11
y = 4.
Resposta: 4 notas de R$ 10,00
PRATICANDO
Resolução:
⎧ x + y = 21 (I) isolando x ⇒
⎨
⎩x - y = 3 (II)
Substituindo
obtemos:
x =21- y
Resolva os próximos sistemas lineares:
x =21- y
01.
{
02.
{
x + y = 17
na equação ( II ),
(21 - y )- y =3
21 - y - y = 3
x-y =5
2x + 5y = 18
x = 60 - y
⎧ 2x - 3y = 3
⎨
03. ⎩3x + 2y = 37
-2y = -18
2y = 18
y= 9
Substituindo y=9 em qualquer
equações, obtemos x=12.
uma
das
Resultado final (12; 9).
02.Geraldo devia R$ 55,00 a seu irmão e
pagou a dívida com notas de R$ 5,00 e de R$
10,00. Se, ao todo, o irmão de Geraldo
recebeu 7 notas, quantas eram as notas de
R$ 10,00?
Resolução:
I) Duas grandezas, número de notas e valor
das notas com duas incógnitas número de
notas de R$ 5,00 e de R$ 10,00. Neste caso é
possível elaborar um sistema de duas
equações com duas incógnitas.
04. (CEFET-PR)
Sabendo-se que a
diferença de preço entre uma boneca e uma
bola é R$ 15,00 e que a soma dos preços
de duas bonecas com duas bolas é R$
118,00 , podemos afirmar que o preço de
um dos brinquedos é:
a) R$ 15,00.
b) R$ 80,00.
c) R$ 65,00.
d) R$ 37,00.
e) R$ 10,00.
05. (FCC) Com um balde de água, eu encho 3
garrafas. Com uma garrafa, eu encho 5 copos.
Assim, o número de copos necessários
para encher 1 balde é:
a) 5
b) 8
c) 10
d) 15
e) 20
x = número de notas de R$ 5,00
y = número de notas de R$ 10,00
⎧5x + 10y = 55
⎨
⎩ x+y=7
...se desejar pode dividir a 1ª
equação por 5
⎧x + 2y = 11
⎨
⎩ x + y = 7 .......isole o x na 2ª equação
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06. (FCC) Uma empresa resolveu aumentar
seu quadro de funcionários. Numa 1a etapa
contratou 20 mulheres, ficando o número de
funcionários na razão de 4 homens para cada
3 mulheres. Numa 2a etapa foram
contratados 10 homens, ficando o número
de funcionários na razão de 3 homens para
cada 2 mulheres. Inicialmente, o total de
funcionários dessa empresa era:
a) 90
b) 120
c) 150
d) 180
e) 200
07. (FCC) Em um terreiro há galinhas e
coelhos, num total de 23 animais e 82 pés.
Quantas são as galinhas e os coelhos?
08. (FCC) A soma de dois números é 50 e o
maior deles é igual ao dobro do menor, menos
1. Quais são os números?
09. Um copo cheio de água pesa 325g. Se
jogarmos metade da água fora, seu peso cai
para 180g. O peso do copo vazio é?
a) 20g
b) 25g
c) 35g
d) 40g
e) 45g
10. (FCC) Somando-se os 2/3 de um número x
como os 3/5 do número y, obtém-se 84. Se o
número x é metade do número y, então a
diferença y-x é igual a:
a) 18
b) 25
c) 30
d) 45
e) 60
11. Cachorro quente com uma salsicha por $
15,00.Cachorro quente com duas salsichas por
$ 18,00.O gerente sabe quantos sanduíches
vendeu contando os pães.Com essa promoção
ele "faturou" $ 810,00.Quantas salsichas
foram
consumidas
nos
sanduíches
sabendo que usou 46 pães?
12. Uma pessoa comprou bicicletas de 2 rodas
e quarda-chuvas de 12 varetas. Se o total de
rodas e varetas é 38 000e o número de
guarda-chuvas é o triplo do de bicicletas,
então o número de guarda-chuvas é.
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13. (UNB-CESPE) Se Roberto tivesse 6 anos
mais, ele teria 4/5 da idade do seu irmão.
Juntos eles têm 30 anos. A idade de
Roberto é:
a) 24
b) 20
c) 16
d) 12
e) 10
14. Um baleiro vende dois tipos de balas: b1 e
b2. Três balas do tipo b1 custam R$ 0,10 e a
unidade da bala b2 custa R$ 0,15. No final de
um dia de trabalho, ele vendeu 127 balas e
arrecadou R$ 5,75. O número de balas do
tipo b1 vendidas foi:
a) 114
b) 113
c) 112
d) 111
e) 110
15. Três latas iguais de massa de tomate mais
uma lata de atum custam, juntas, R$ 3,00.
Duas latas de massa de tomate mais duas
latas de atum (todas iguais às anteriores)
custam, juntas, R$ 3,40.Qual é o preço de
uma lata de massa de tomate?
a) R$ 0,65
b) R$ 0,70
c) R$ 0,75
d) R$ 0,80
e) R$ 0,95
16. (OBM) Rafael tem 2/3 da idade de Roberto
e é 2 anos mais jovem que Reinaldo. A idade
de Roberto representa 4/3 da idade de
Reinaldo. Em anos, a soma das idades dos
três é:
a) 48
b) 72
c) 58
d) 60
e) 34
17. (UNB-CESPE) Se eu gastar R$1.200,00
ficarei com 3/4 da quantia que Paulo possui.
Juntos temos R$ 4.000,00. Nestas condições,
Paulo possui a importância de R$:
a) 1.200
b) 1.680
c) 1.600
d) 2.320
e) 2.400
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18. (FATEC-SP) Uma loja vendeu 112 pneus
para 37 veículos entre "Fuscas" e motos.
Somente dois "Fuscas" trocaram também o
pneu de estepe. Quantas motos trocaram
pneus?
19. Um cavalo e um burro caminhavam juntos,
carregando cada um pesados sacos. Como o
cavalo reclamava muito de sua pesada carga,
respondeu-lhe o burro: de que te queixas? se
me desses um saco, minha carga seria o
dobro da tua, mas se eu te der um saco tua
carga será igual a minha. Quantos sacos
cada um deles levava?
20. (FGV-SP) Num pátio existem automóveis e
bicicletas. O número total de rodas é 130 e o
número de bicicletas é o triplo do número de
automóveis. Então, o número total de
veículos que se encontram no pátio é:
a) 50
b) 42
c) 52
d) 54
e) 62
21. Num pátio existem automóveis e
motocicletas. O número total de rodas é 130 e
o número de veículos é 40. Quantos veículos
de cada tipo se encontram no pátio?
22. (FCC) Um criador tinha num sítio
unicamente cachorros de raça e pavões.
Contando os ‘pés’ de todos os animais,
observou que o total de ‘pés’ era igual ao
quadrado do número de pavões. Uma semana
depois, vendeu seis cachorros e dois pavões e
verificou que de novo o fato se dava, ou seja, o
número total de ‘pés’era o quadrado do
número de pavões. Assim, podemos afirmar
que, antes da venda, havia no sítio um
número de cachorros igual a:
a) 20
b) 18
c) 16
d) 14
e) 12
8
Atualizada 18/05/2006
Matemática
23. (UDE-SC) Em um treino de basquete, um
jogador ganha 5 pontos por cada cesta que
acerta e perde 3 pontos por cada cesta que
erra. Em 10 tentativas, um jogador obteve 26
pontos. Logo, o número de cestas que ele
acertou foi:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
24. (OBM) Ronaldo, sempre que pode, guarda
moedas de 50 centavos ou 1 real. Atualmente,
ele tem 100 moedas, num total de 76 reais.
Quantas moedas de um valor ele tem a
mais do que a de outro valor ?
a) 48
b) 4
c) 8
d) 52
e) 96
25. (BANESPA). Um fazendeiro cria galinhas e
coelhos. Num dado momento, esses animais
somam um total de 50 cabeças e 140 pés.
Pode-se concluir que a razão entre o
número de coelhos e o número de galinhas
é:
a) 1/3
b) 1/2
c) 2/3
d) 3/2
e) 3/4
26. (CESGRANRIO-RJ) Geraldo devia R$
55,00 a seu irmão e pagou a dívida com notas
de R$ 5,00 e de R$ 10,00. Se, ao todo, o
irmão de Geraldo recebeu 7 notas, quantas
eram as notas de R$ 10,00?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
27.(OCM) Um zoológico tem vários macacos e
várias girafas. Contando os olhos e as pernas
dos macacos e das girafas obtém-se 30 olhos
e 44 pernas. Quantos macacos e quantas
girafas há no zoológico? (Um macaco tem
duas pernas.)
a) 8 m e 7 g
b) 9 m e 6 g
c) 7 m e 8 g
d) 6 m e 9 g
e) 8 m e 9 g
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28.(ESAF) Um copo completamente cheio de
água “pesa” 275 gramas. Mas se metade da
água for jogada fora, seu “peso” cairá para 165
gramas. Então, o “peso” deste copo é em
gramas:
a) 32,5
b) 42,5
c) 55
d) 75
e) 110
29.(FGV-SP) Em uma prova de 20 questões, o
candidato recebe 4 pontos por cada resposta
certa e perde 1 ponto por cada questão não
respondida corretamente. André obteve 20
pontos. Qual seria a nota de André, se cada
resposta certa valesse 6 pontos e cada
resposta errada fizesse com que ele
perdesse 2 pontos?
a) 12
b) 16
c) 20
d) 22
e) 24
30.(OBM) No alvo abaixo, uma certa
pontuação é dada para a flecha que cai na
região A e outra para a flecha que cai na
região B. Alberto lançou 3 flechas: uma caiu
em B e duas em A, e obteve 17 pontos. Carlos
também lançou 3 flechas: uma caiu em A e
duas em B, e obteve 22 pontos. Quantos
pontos são atribuídos para uma flecha que
cai na região A?
a)
b)
c)
d)
e)
Matemática
Mauro foi 45.
Norberto foi 54.
Orlando foi 52.
Norberto foi
Mauro foi 42.
32. (UEL-PR) Fernando fez um pedido de 4
m2 de um piso tipo A e alguns metros
quadrados de um piso tipo B. O piso tipo A
custa o dobro do piso tipo B. Ao anotar o
pedido, o vendedor trocou os tipos de piso, ou
seja, 4 m2 de piso tipo B e o resto tipo A. Isso
fez o pedido ficar 50% mais caro. A
quantidade de piso tipo B no pedido
original era:
a) 32
b) 16
c) 8
d) 6
e) 4
33. (UFF-RJ) Um jogador de basquete fez o
seguinte acordo com o seu clube: cada vez
que ele convertesse um arremesso, receberia
R$ 10,00 do clube e cada vez que ele errasse,
pagaria R$ 5,00 ao clube. Ao final de uma
partida em que arremessou 20 vezes, ele
recebeu R$ 50,00. Pode-se afirmar que o
número de arremessos convertidos pelo
jogador nesta partida foi:
a) 0
b) 5
c) 10
d) 15
e) 20
A
34.(CESPE) A diferença entre dois números
é 144 e o quociente entre eles é 5. Um
desses números é:
a) 35
b) 180
c) 60
d) 80
B
a)
b)
c)
d)
e)
2
3
4
5
6
31. (FCC) Na entrada de um estádio, em um
dia de jogo, 150 pessoas foram revistadas
pelos soldados Mauro, Norberto e Orlando. O
número
das
revistadas
por
Mauro
correspondeu a 3/4 do número das revistadas
por Orlando, e o número das revistadas por
Orlando correspondeu a 14/13 do número das
revistadas por Norberto. O número de
pessoas revistadas por:
Atualizada 18/05/2006
35.(UNB-CESPE) A metade da diferença
entre dois números é 325 e o dobro de seu
quociente é 28. Calcule o menor:
a) 28
b) 25
c) 14
d) 50
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36.(CESPE)
Dois
números
tais
que,
multiplicando-se por 5 e o menor por 6, os
produtos são iguais. Se o maior deles,
diminuído de 3 é igual ao menor aumentado
de 1, então um deles é:
a) 4
b) 7
c) 18
d) 24
37.(UNB-CESPE) A quantia de R$ 8,75 é
composta de 42 moedas de, 1 centavo e de 50
centavos. A diferença entre as quantidades
de moedas de 1 centavo e 50 centavos é de:
a) 6 moedas
b) 7 moedas
c) 8 moedas
d) 9 moedas
e) 10 moedas
38.(UNB-CESPE) Dois trabalhadores recebem
juntos R$ 1.080,00 por 20 dias de trabalho. O
mais especializado recebeu R$ 4,00 a mais do
que o outro, por dia de trabalho. A diária do
operário menos especializado foi de:
a) R$ 23,00
b) R$ 23,50
c) R$ 24,00
d) R$ 24,50
e) R$ 25,00
39.(ESAF) Numa eleição em que dois
candidatos disputaram I mesmo cargo,
votaram 2 150 eleitores. O candidato vencedor
obteve 148 votos a mais que o candidato
derrotado. Sabendo-se que houve 242 votos
nulos,
quantos
votos
obteve
cada
candidato?
a) 1 149 e 1 001
b) 1 100 e 952
c) 1 223 e 1 075
d) 1 028 e 880
e) 1 001 e 907
GABARITO SISTEMAS LINEARES
01 11 e 6
21 25 e 15
02 -34 e 94
22 E
03 9 e 5
23 E
04 37 e 22
24 B
05 D
25 C
06 B
26 C
07 18 e 5
27 A
08 17 e 33
28 C
09 C
29 E
10 D
30 C
10
Atualizada 18/05/2006
Matemática
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
86
3 000
E
A
A
C
C
72
7e5
C
31
32
33
34
35
36
37
38
39
E
B
C
B
D
D
C
E
D
FUNÇÕES DO 1º GRAU
FUNÇÃO CONSTANTE
Uma função é dita constante quando é do tipo
f(x) = k , onde k é um número real que não
depende de x .
Exemplos:
a) f(x) = 9
b) f(x) = -2
Nota : o gráfico de uma função constante é
uma reta paralela ao eixo dos x .
Veja o gráfico a seguir:
FUNÇÃO DO 1º GRAU
Uma função é dita do 1º grau , quando é do
tipo y = ax + b , onde a ≠ 0 .
Exemplos :
01. f(x) = 2x + 8 ( a = 2 ; b = 8 )
02. f(x) = -5x + 5 (a = -5; b = 5).
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CARACTERÍSTICAS DA FUNÇÃO DO 1º
GRAU
I) O gráfico de uma função do 1º grau é
sempre uma reta decrescente quando a<0.
a)
b)
c)
d)
e)
Matemática
1,75
4,00
2,50
3,20
3,75
02. Assinale a alternativa que corresponde
a função de acordo com o gráfico:
II) O gráfico de uma função do 1º grau é
sempre uma reta crescente quando a>0.
a)
b)
c)
d)
e)
f(x)= -x+2
f(x) = -x/2 + 1
f(x)= -x/2 + 2
f(x)=4x
f(x)= -x
03. Obtenha a função do 1º grau na variável
x que passa pelos pontos ( 0, 1 ) e ( -3, 0):
a) y= x/3
b) y=-x/3 + 1
c) y= 2x
d) y= x/3 +1
e) y= -x
III) Na função f(x) = ax + b ,
• se b = 0 , f é dita função linear e
• se b ≠ 0, f é dita função afim .
IV) O gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da
equação f(x) = 0 e, portanto, no ponto de
abscissa x = - b/a .
04. O gráfico abaixo representa a função
f(x)= ax + b . Assinale a alternativa correta:
V) O gráfico intercepta o eixo dos y no ponto
(0 , b), que é o termo independente b, onde b é
chamado coeficiente linear .
VI) O valor a é chamado coeficiente angular e
dá a inclinação da reta.
VII) quando a função é linear, ou seja, y = f(x)
= ax , o gráfico é uma reta que sempre passa
na origem, no ponto (0, 0).
PRATICANDO
01.(NC.UFPR) Calculando o valor numérico
da expressão
( a + b )2
a2 − b2
, para a = 0,25
a)
b)
c)
d)
e)
a=0;b=0
a>0;b>0
a<0;b>0
a>0;b=0
a>0;b<0
e
b = 0,15, obtemos o valor:
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Matemática
05. ( UF-MA ) A representação da função y =
-3 é uma reta :
a) paralela aos eixo das ordenadas
b) perpendicular ao eixo das ordenadas
c) perpendicular ao eixo das abscissas
d) que intercepta os dois eixos
e) nda
09. ( PUC - MG ) Uma função do 1o grau é tal
que f(-1) = 5 e f(3)=-3. Então f(0) é igual a :
a) 0
b) 2
c) 3
d) 4
e) -1
06. ( PUC - SP ) O gráfico abaixo é o da reta
y = ax + b, quando :
10. ( FUVEST-SP ) A função que representa
o valor a ser pago após um desconto de 3%
sobre o valor x de uma mercadoria é :
a) f(x)= x-3
b) f(x)= 0,97x
c) f(x)=1,3x
d) f(x)=-3x
e) f(x)= 1,03x
a)
b)
c)
d)
e)
11. ( UF-RN ) Seja a função linear y = ax - 4 .
Se y = 10 para x = -2 então o valor de y para
x = -1 é:
a) 3
b) 4
c) -7
d) -11
e) nda
a<2
a<0
a=0
a>0
a=2
07. ( ITAJUBA-MG ) O gráfico abaixo pode
representar qual das expressões ?
12. ( MACK - SP ) A função f é definida por
f(x)= ax + b . Sabe-se que f(-1) = 3 e f(1) = 1.
O valor de f( 3 ) é :
a) 0
b) 2
c) -5
d) -3
e) -1
13. ( UNIFOR ) Seja a função f de R em R
definida por f(x) = mx + t representada pelo
gráfico abaixo. Nestas condições:
a)
b)
c)
d)
e)
y = 2x - 3
y = - 2x + 3
y = 1,5 x + 3
3y = - 2x
y = - 1,5x + 3
08. ( FGV - SP ) O gráfico da função f(x) =
mx + n passa pelos pontos ( 4, 2 ) e ( -1, 6 ).
Assim o valor de m + n é :
a) 13/5
b) 22/5
c) 7/5
d) 13/5
e) 2,4
12
Atualizada 18/05/2006
a)
b)
c)
d)
e)
m = 2t
t = 2m
m=t
m+t=0
m - t=4
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14. (AFA)
Hotel Fazenda B
Quantos ml de soro receberá um indivíduo
de 65 Kgf em cada aplicação?
ml
Chalés com acomodação para até 10 pessoas.
30
Diária do Chalé: 80 reais
O Sr. Souza, esposa e filhos optaram pelo
passeio acima anunciado e, aproveitando as
férias escolares, passaram 5 dias hospedados
no Hotel Fazenda B fazendo todas as
refeições, gastando ao todo 1100 reais, dos
quais 280 reais cobriram despesas com
telefone, frigobar e lazer.
É correto afirmar que
a) a família levou 6 filhos.
b) as despesas com refeições totalizaram 400
reais.
c) no chalé sobraram 4 acomodações.
d) se não tivessem ocorrido as despesas
extras com frigobar, telefone e lazer, eles
poderiam ter ficado mais 1 dia e teriam
economizado ainda 120 reais.
15.(FAE-PR) Dois números inteiros positivos
são tais que a sua soma mais a sua diferença
mais o seu produto é igual a 50. Quantas são
as possíveis soluções para esse problema?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
10
0
a)
b)
c)
d)
y
50
80
Kgf
20
2
40
4
19.(NC.UF-PR) Qual das histórias melhor se
adapta ao gráfico abaixo?
distância
de casa
tempo
a) Saí de casa calmamente, mas quando vi que
b)
0
20
18. (EXPCEX) Sabendo que a função
y = ax + b, pode-se afirmar que:
a) O gráfico da função passa sempre pela
origem.
b) O gráfico da função corta sempre o eixo
das ordenadas.
c) O zero da função é b/a.
d) A função é crescente para a < 0 .
e) O gráfico da função nunca passa pela
origem.
16. A função f é representada graficamente por
f
Matemática
a
x
Pode-se concluir que
a) se f(x) < 0 então x > a.
b) se f(x) < 0 então x < 0.
c) se x < a então f(x) < 0.
d) se 0 < b < a e x > b então f(x) > f(b).
17 .(EPCAR) A reta do gráfico abaixo indica a
quantidade de soro (em ml) que uma pessoa
deve tomar, em função de seu peso (dado em
Kgf), num tratamento de imunização.
A quantidade total de soro a ser tomada será
dividida em 10 injeções idênticas.
Atualizada 18/05/2006
c)
d)
e)
poderia me atrasar, comecei a caminhar mais
rápido.
Eu tinha acabado de sair de casa quando tive a
sensação de ter esquecido as chaves do
escritório. Parei para procurá-las na minha
mala, mas não as encontrei. Voltei para buscálas, abri a casa, fui até a gaveta pegar a chave
e depois pude seguir para o escritório.
Tinha acabado de sair de casa quando o pneu
furou. Como meu carro estava sem estepe,
precisei ficar horas esperando pelo borracheiro.
Ele veio, consertou o pneu, e eu pude seguir
viagem.
Logo que saí de casa encontrei um amigo que
não via há muito tempo. Parei para conversar
um pouco e depois segui para o escritório.
Saí de casa sem destino, dei uma volta na
quadra e resolvi voltar para casa. O tempo
estava para chuva e resolvi não sair mais de
casa.
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20.(ACAFE-SC) Suponha que uma companhia
de água cobre o consumo residencial pela
seguinte tabela:
Faixa
de
Valor
em
consumo por
reais por m3
3
m
0 - 10
1,20
11 - 25
2,00
mais de 25
2,50
O proprietário de uma residência, que num
determinado mês consumiu 27m3 de água,
pagará, em reais:
a) 55,00
b) 67,50
c) 54,00
d) 45,00
e) 47,00
21. (ACAFE-SC) Dois atiradores, A e B, numa
série de 20 tiros num alvo com a forma
indicada na figura abaixo, obtiveram os
resultados que estão anotados no quadro
dado.
0
10
20
30
d(m)
500
400
300
200
100
0
B
A
x
t(min)
10 20 30
Com base no gráfico, a alternativa correta é:
a) A é mais veloz que B, pois percorre 600m
em 20 min.
b) B percorre 1km em 20 min.
c) B é mais veloz que A, pois percorre 400m
em 5 min.
d) A e B correm na mesma velocidade.
e) A percorre 400m em 30 min.
23.(MACK-SP) Considere as funções f (x) =
3 x – 5, g (x) = 3x2 + 2x – 4 h(x) = x – x2 e o
f ( 0 ) ÷ g ( − 1)
.
h( 2 )
Então 5 . A– 1 vale:
a) 1/6
b) 6
c) – 6
d) 5
e) 1/5
atiradores 50 30
A
5
4
B
6
2
20 10
3
7
3
8
0
1
1
Observando a média de pontos dos
atiradores A e B, a alternativa correta é:
a) O atirador B superou o atirador A em 2
pontos.
b) O atirador A teve melhor desempenho que
o atirador B.
c) Os
atiradores
tiveram
o
mesmo
desempenho.
d) A média de pontos do atirador B é de 20
pontos.
e) A média de pontos do atirador A é de 24
pontos.
Atualizada 18/05/2006
22. (ACAFE-SC) Dois atletas A e B fazem
teste de Cooper numa pista retilínea, ambos
correndo com velocidade constante.
A
distância (d) que cada um percorre é mostrada
no gráfico abaixo.
número real A =
50
14
Matemática
FUNÇÃO DO 1 GRAU
01 B
12
02 C
13
03 D
14
04 E
15
05 B
16
06 B
17
07 C
18
08 B
19
09 C
20
10 B
21
11 A
22
23
E
C
C
D
A
D
B
B
E
C
B
B
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Matemática
EQUAÇÕES DO 2º GRAU
S = φ conjunto vazio, as raízes
não são reais.
DEFINIÇÃO
É toda a equação que pode ser reduzida à
forma:
ax2 + bx + c = 0
a≠0
OBTER AS RAÍZES PELO PRODUTO E
SOMA (RELAÇÕES DE GIRARD)
Seja a equação:
1x2 - Sx + P = 0
Em que:
• x é a incógnita
• a, b e c
são constantes reais
denominadas coeficientes.
• c é o termo independente
RESOLUÇÃO
Nas equações, é costume chamar os valores
que satisfazem as equações de raízes.
Resolver uma equação significa determinar o
seu conjunto-verdade, isto é, o conjunto de
suas raízes.
Para a equação do 2º grau
ax2 + bx + c = 0
Use a formula de Báskara
e x1 e x2 as raízes da equação, então podemos
ter:
soma
x 1 + x2 = S
produto x1 . x2 = P
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. Em certo momento, o número de
funcionários presentes em uma agência
bancária era tal que, se ao seu quadrado
somássemos o seu quádruplo, o resultado
obtido seria 572. Se 10 deles saíssem da
agência, o número de funcionários na
agência passaria a ser:
a) 12
-b ± b2 - 4ac
x=
2a
a=1
b) 13
c) 14
d) 15
e) 16
Resolução:
O conjunto solução é:
⎧⎪ -b + b2 - 4ac
S= ⎨
⎪⎩
2a
;
-b - b2 - 4ac ⎫
⎪
2a
⎬
⎪⎭
Considerações
Para a equação do 2º grau, quando
o
discriminante
da
equação,
radicando na fórmula de Báskara:
I)
x é o número de funcionários
x2=quadrado de x
4x=quádruplo de x
(x-10) é o que o teste solicita
I)
x2+4x=572
x2+4x-572=0
b2 - 4ac = ∆
Aplicando a fórmula de Bháskara, temos:
Quando ∆ > 0, ∆ maior que zero, a
equação tem duas raízes reais e
diferentes entre si..
x=
⎧⎪ -b + b2 - 4ac -b - b2 - 4ac ⎫⎪
;
S= ⎨
⎬
2a
2a
⎩⎪
⎭⎪
II)
Quando ∆ = 0, ∆ igual a zero, a
equação tem duas raízes reais e
iguais.
x=
⎧ -b -b ⎫
S= ⎨ ;
⎬
⎩ 2a 2a ⎭
x=
2a
2
-(4) ± (4) - 4(1)(-572)
2(1)
-4 ± 48
2
III) Quando ∆ < 0, ∆ menor que zero, a
equação tem duas raízes não reais e
diferentes entre si.
Atualizada 18/05/2006
2
-b ± b - 4ac
x1=-26 não serve por ser negativo.
x2=22 serve
II) Resposta: (x-10)=(22-10)=12
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PRATICANDO
01.
(FUVEST)
O
conjunto
verdade
da
x+2
2
-1
equação
+
=
2
x-2 2
02. Sobre a equação (x + 2) (x + 3) = x² + 6x
+ 3 é verdade que:
a) x é igual a 0
b) x é igual a 3
c) x é igual a 6
d) todos os números são soluções
e) x é igual a 2
03. 6x2 – x – 1 = 0
05. x2 - 6x + 9 = 0
06. x2 - 2x + 5 = 0
07. 3x2 + 12x = 0
08. 9 - 4x2 = 0
09. x2 - 5x + 6 = 0
10. O número de soluções inteiras da
a)
b)
c)
d)
e)
x-3 4
4
- =
x - 4 x x(x - 4)
0
1
2
3
4
11. A razão entre a soma e o produto das
raízes da equação 2x2 - 7x + 3 = 0.
a) 7/3
b) 7/2
c) 3/2
d) 3/7
e) 2/7
12. Qual o menor número que se deve
somar a cada fator do produto de 5 x 13 ,
para que este produto , aumente de 175
unidades ?
a) 7
b) 25
c) –7
d) –25
e) 13
16
Atualizada 18/05/2006
13. Qual é o menor valor de "x" de modo
que a divisão de 0,5 por "x" tenha o mesmo
resultado da adição de 0,5 com "x"?
a) 0,5
b) –0,5
c) –1
d) 1
e) 0
14. A soma de um número e o seu quadrado
é 4032. Qual é esse número ?
a) 66
b) 61
c) 62
d) 63
e) 64
15.(MACK-SP) Se (x – y)2 – (x + y)2 = – 20,
então x . y é igual a:
a) – 1
b) 0
c) 10
d) 5
e) 20
04. x2 - 8x + 7 = 0
equação
Matemática
16.(ACAFE-SC) Uma torneira deixa cair x
gotas de água a cada 20 segundos. Sabendose que esse número x corresponde à raiz
positiva da equação x( x-2 ) = 21 + 2x, o
volume de água que vaza por hora, supondo
que cada gota corresponde a 0,4ml, é:
a) 504ml
b) 540ml
c) 5040ml
d) 50,4ml
e) 5400ml
17. (EXPCEX-97) Sejam m e n dois números
inteiros positivos tais que m e n são ímpares
consecutivos,
com
m.n=483.
Nestas
condições, o valor de m+n é igual a:
a) 64
b) 52
c) 46
d) 44
e) 32
GABARITO EQUAÇÃO 2º GARU
01 1 e -2
10 B
02 C
11 A
03 -1/3 e 1/2
12 D
04 1 e 7
13 C
05 3
14 D
06 vazio
15 D
07 -4 e 0
16 A
08 -3/2 e 3/2
17 D
09 2 e 3
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Matemática
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
FUNÇÃO DO 2° GRAU
VÉRTICE DE UMA PARÁBOLA
y
Toda a função do 2° grau tem um ponto de
máximo ou de mínimo.
f( x ) = ax2 + bx + c =
a≠0
0
PONTO DE MÁXIMO V( xv , yv )
xv
0
x
yv
O ponto de máximo é ponto de maior ordenada
( yv ) da função:
f( x ) = ax2 + bx + c =
a<0
0
Obs.: O coeficiente a de x2 é NEGATIVO.
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
y
V
Ponto de
máximo
yv
0
V
CÁCULO DO VÉRTICE DA FUNÇÃO DO 2°
GRAU
CÁLCULO DA ABSCISSA xv DO VÉRTICE
xv =
−b
2⋅a
Ou também, calculando a média aritmética das
raízes ( x1 e x2 ):
xv =
x1 + x 2
2
CÁLCULO DA ORDENADA yv DO VÉRTICE
(MÁXIMO OU MÍNIMO)
xv
yv =
PONTO DE MÍNIMO V( xv , yv )
O ponto de mínimo é ponto de menor
ordenada ( yv ) da função:
f( x ) = ax2 + bx + c =
a>0
0
− (b 2 - 4 ⋅ a ⋅ c)
4⋅a
Ou também, substituindo xv na função:
f ( x v ) = a ⋅ ( x v )2 + b ⋅ ( x v ) + c
IMAGEM DA FUNÇÃO DO 2° GRAU
Obs.: O coeficiente a de x2 é POSITIVO.
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Ponto de
mínimo
Imagem
1) Se a > 0
y ≥ yv
2) Se a < 0
y ≤ yv
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PRATICANDO
01. (ACAFE-SC) A função f(x) = x2 - 2x + 1
tem mínimo no ponto em que x vale:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
02. (PUC-MG) O valor máximo da função
f(x) = - x2 + 2x + 2 é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
03. (CEFET-PR) O maior valor que y pode
de assumir na expressão y= - x2 +2x é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
04. (UEL-PR) Se x e y são as coordenadas
do vértice da parábola y= 3x2 -5x + 9, então
x + y é igual a:
a) 5/6
b) 31 /14
c) 83/12
d) 89/18
e) 93/12
05. (MACK-SP) O ponto (k, 3k) pertence à
curva dada por f(x) = x2 - 2x + k; então k
pode ser:
a) -2
b) -1
c) 2
d) 3
e) 4
06. (UF-CE) Considere a função f: IR è IR,
definida por f(x) = x2 - 2x + 5. Pode-se
afirmar corretamente que:
a) vértice do gráfico de f é o ponto (1; 4);
b) f possui dois zeros reais e distintos;
c) f atinge um máximo para x = 1;
d) gráfico de f é tangente ao eixo das
abscissas.
e) nda
18
Atualizada 18/05/2006
Matemática
07. (UF-GO) Se f(x) = x - 3, o conjunto de
valores de x tais que f(x2) = f(x) é:
a) {0; 1 }
b) {- 1 ; 0}
c) {1 }
d) {- 2; 3}
e) {3; 4}
08. (PUC-RS) A imagem da função f: IR è
IR, definida por f(x) = x2 - 1, é o intervalo:
a) [-1; ºº )
b) (-1;ºº )
c) [0; ºº )
d) (-°° ;-1)
e) (-ºº ;-11 ]
09. (UEPG-PR) Seja a função f(x) = 3x2 + 4
definida para todo x real. Seu conjunto imagem é:
a) {y E IR/y 4}
b) {y E IR/-4<y<4}
c) {y E IR/y>4}
d) {y E IR/y 4}
e) REAIS
10.. Em uma partida de vôlei, um jogador
deu um saque em que a bola atingiu uma
altura h em metros, num tempo t, em
segundos, de acordo com a relação h(t) = -t²
+ 8t.
a) Em que instante a bola atingiu a altura
máxima?
[Nota]: observem o vértice
b) De quantos metros foi a altura máxima
alcançada pela bola?
11.(FGV-SP) O lucro mensal de uma empresa
é dado por L = - x2 + 30x - 5, onde x é a
quantidade mensal vendida.
Qual o lucro mensal máximo possível?
12.(UNIFAP-FUNDAP) Segundo afirmam os
Fisiologistas, o número N de batimentos
cardíacos por minuto, para um indivíduo
sadio e em repouso, varia em função da
temperatura ambiente T, em graus Celsius,
e é dado pela função N(T) = (0,1) T2 – 4 T +
90.
a) Essa função possui máximo ou mínimo?
b) A que temperatura o número de
batimentos cardíacos por minuto de uma
pessoa sadia e em repouso será 90?
c) Se uma pessoa sadia estiver dormindo em
um quarto com refrigeração de 20º C, qual
será o número de seus batimentos
cardíacos por minuto?
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13. (UF-PR) Se a soma de dois números é
14/3 e o produto é −5/3, então um dos
números é:
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
Matemática
17.(MACK-SP) Se a figura mostra o esboço
do gráfico da função f(x) = x2 + mx + n então
m/n é:
14.(ACAFE-SC) O gráfico abaixo representa
uma função quadrática: y = ax2 + bx + c. Os
valores de a, b e c, respectivamente, são:
y
0
1
2
x
-1
a)
b)
c)
d)
e)
-1, -2 e -1
1, -2 e 1
-1, -2 e 1
-1, 2 e -1
1, 2 e 1
15. (UF-RG) O movimento de um projétil,
lançado para cima verticalmente, é descrito
pela equação y=-40x2+200x. Onde y é a altura,
em metros, atingida pelo projétil x segundos
após o lançamento. A altura máxima atingida
e o tempo que esse projétil permanece no
ar corresponde, respectivamente, a:
a) 6,25 m, 5s
b) 250 m, 0 s
c) 250 m, 5s
d) 250 m, 200 s
e) 10.000 m, 5s
16.(EPCAR) A soma e o produto das raízes
da função real f dada por f(x) = x2 + bx + c
são, respectivamente, –2 e –3. O vértice do
gráfico desta função é o par ordenado
a) (1, –2).
b) b) (–1, 1).
c) (1, –4).
d) (–1, –4).
Atualizada 18/05/2006
a)
b)
c)
d)
e)
1
-1
2
1/2
2/3
18. (EXPCEX) Um curral retangular será
construído aproveitando-se um muro préexistente no terreno, por medida de economia.
Para cercar os outros três lados, serão
utilizados 600 metros de tela de arame. Para
que a área do curral seja a maior possível, a
razão entre as suas menor e maior
dimensões será:
a) 0,25
b) 0,50
c) 0,75
d) 1,00
e) 1,25
19.(UFF-RJ) Um fazendeiro pretende destinar
um terreno retangular à plantação de mudas.
Para limitar o terreno, deverá estender 1000 m
de tela ao longo de três de seus lados — o
quarto lado coincidirá com um muro reto.
Nestas condições calcule, em metros
quadrados, a maior área possível de ser
limitada.
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20.(UFF-RJ) A parábola abaixo representa o
lucro mensal L (em reais) obtido em função
do número de peças vendidas de um certo
produto.
Matemática
semi-perímetro, em metros, deverá ser igual
a
L (reais)
800
.
100
.
300
-1000 .
Xx (n- de peças)
.
Determine:
a) o número de peças que torna o lucro nulo;
b) o(s) valor(es) de x que torna(m) o lucro
negativo;
21.(UFF-RJ) No
triângulo
retângulo
representado abaixo cada um dos catetos
mede 3 cm.
E
C
B
A
xx
D
F
Considere um ponto C da hipotenusa e o
retângulo ABCD, sendo x a medida de AD .
Determine:
A área S do retângulo ABCD em função de x;
22.(UNB-CESPE) Em um terreno, que tem a
forma de um triângulo retângulo com catetos
medindo 30 m e 40 m, deseja-se construir uma
casa retangular de dimensões x e y, como
indicado na figura que segue. Nessas
condições, para que a área ocupada pela
casa seja a maior possível, o valor de seu
20
Atualizada 18/05/2006
a)
b)
c)
d)
e)
30
35
40
45
50
23.(UEL-PR) O retângulo de maior área
inscrito em um triângulo eqüilátero de lado
4 cm, estando a base do retângulo sobre
um lado do triângulo, tem área igual a:
a) 3 cm2
b) 2 3 cm2
c) 2 5 cm2
d) 4 3 cm2
e) 4 5 cm2
24. (FGV-SP) O custo para se produzir x
unidades de um produto é dado por C = 2x2
- 100x + 5000. O valor do custo mínimo é:
a) 3250
b) 3750
c) 4000
d) 4500
e) 4950
GABARITO FUNÇÃO 2º GRAU
01 B
14 D
02 B
15 C
03 A
16 D
04 E
17 A
05 E
18 B
06 A
19 125 000
07 A
20 a) 100 e 500
08 A
b) 0<x<100
ou
09 D
x>500
10 4 e 16
21 A(x) = x –x2
11 220
22 B
12 a) mínimo
23 D
b) 40
24 B
c) 50
13 E
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Matemática
PROBABILIDADE
Casos possíveis
Introdução
É um subconjunto do espaço amostral (A).
A teoria da probabilidade é o ramo da
matemática que cria, desenvolve e em geral
pesquisa modelos que podem ser utilizados
para estudar experimentos aleatórios ou não
determinísticos.
È o conjunto de todos os resultados possíveis
de um experimento.
Um elemento deste conjunto de resultados, é
chamado de ponto amostral.
DEFINIÇÃO
Experimentos determinísticos
Um experimento é determinístico quando
repetido em condições semelhantes conduz a
resultados essencialmente idênticos.
A probabilidade do evento A
é
subconjunto de um espaço amostral S.
s
A
Experimentos aleatórios
Experimentos que repetidos sob as mesmas
condições produzem resultados geralmente
diferentes serão chamados experimentos
aleatórios.
Por exemplo:
01. Um dado de seis faces, numeradas de 1
até 6, ao ser lançado ao ar, é certo que cairá,
mas não é certo que, digamos apareça voltada
para cima à face que está registrada com o
número 3. Em n lançamentos, o número de
sucessos s (apareça a face 3), após feita uma
observação empírica, a freqüência relativa
f=s/n, tende a estabilizar-se quando n tende a
um limite.
um
n(A)
P(A) =
n(S)
n(A)=nº de elementos de
A
n(S)=nº de elementos de
S
DECORRÊNCIA DA DEFINIÇÃO
I)
II)
III)
IV)
0 ≤ P(A) ≤ 1
P(A) + P(A) = 1
P(φ) = 0
P(S) = 1
φ= conj. vazio
UNIÃO DE EVENTOS
Espaço amostral (S).
A
É o conjunto de todos os elementos possíveis
do experimento.
Nesta etapa, podemos descrever os elementos
e/ou calcular o número de elementos.
I)
Evento (A)
É um subconjunto do espaço amostral.
B
A∩B
II)
Se A∩B≠0
P(A∪B) = P(A) + P(B) P(A∩B)
Se A∩B = 0
P(A∪B) = P(A) + P(B)
Eventos elementares
Denominamos de eventos elementares,
quaisquer elementos do espaço amostral,
igualmente prováveis.
Casos favoráveis
É o conjunto do espaço amostral (S).
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PROBABILIDADE CONDICIONADA
S
B
A
A probabilidade de ocorrer o evento A,
sabendo que já ocorreu o evento B, é
chamada de probabilidade de A condicionada
a B.
P(A/B) =
P(A ∩ B)
P(B)
INTERSECÇÃO DE EVENTOS
I)
Se A∩B = 0
P(A∩B) = P(A) . P(B)
Matemática
Use D = conjunto de elementos das peças
defeituosas, e n(D) o número de elementos
deste conjunto.
Use ~D = conjunto dos elementos das peças
não defeituosas, e n(~D) o número de
elementos deste conjunto. Neste caso, é o
conjunto dos casos favoráveis.
II) n(S) = 360 , n(D) = 40 e
n(~D) = 320
III) Para calcular a probabilidade de, retirada
uma peça que seja não defeituosa, proceda
assim:
P(~ D) =
n(~ D)
n(S)
=
320
360
........simplifique,
dividindo
numerador e denominador por 40
P(~ D) =
n(~ D) 320 ÷ 40 8
=
=
n(S)
360 ÷ 40 9
LEI BINOMIAL DE PROBABILIDADE
Resposta: 8/9
Repetindo n vezes uma experiência em que
um evento A tem probabilidade de ocorrer
igual a p, a probabilidade de ocorrer apenas k
vezes o evento A, é:
02. Carlos sabe que Ana e Beatriz estão
viajando pela Europa. Com as informações
que dispõe, ele estima corretamente que a
probabilidade de Ana estar hoje em Paris é
3/7, que a probabilidade de Beatriz estar hoje
em Paris é 2/7, e que a probabilidade de
ambas, Ana e Beatriz, estarem hoje em Paris é
1/7. Carlos, então, recebe um telefonema de
Ana informando que ela está hoje em Paris.
Com a informação recebida pelo telefonema
de Ana, Carlos agora estima corretamente
que a probabilidade de Beatriz também
estar hoje em Paris é igual a
a) 1/7.
b) 1/3.
c) 2/3.
d) 5/7.
e) 4/7.
C n, k . pk . (1-p)n-k
EXERCÍCOS RESOLVIDOS
01. Analisando um lote de 360 peças para
computador, o departamento de controle de
qualidade de uma fábrica constatou que 40
peças estavam com defeito. Retirando-se
uma das 360 peças, ao acaso, a
probabilidade de esta peça NÃO ser
defeituosa é:
a) 1/9
b) 2/9
c) 5/9
d) 7/9
e) 8/9
Resolução
Resolução
I) Use S = conjunto dos elementos do espaço
amostral, casos possíveis, e n(s) o número de
elementos deste conjunto.
22
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PROBABILIDADE CONDICIONAL
A probabilidade de Beatriz (B) estar em Paris,
uma vez que Ana (A) está em Paris, a
condicional é representado por P(B/A).
P(B/A)=a probabilidade de B condicionado a A
que está satisfeito(está em Paris).
Dados:
P(Beatriz)=P(B)=2/7
P(Ana)=P(A)=3/7
P(A ∩ B) =1/7
a probabilidade de Ana e
Beatriz estarem em Paris.
Fórmula e cálculo:
1
P( A ∩ B) 7 1 7 1
P (B / A ) =
= =
=
3 73 3
P ( A)
7
RESPOSTA 1/3 LETRA B
PRATICANDO
01.(UF-PR) Suponha que a chance de um filho
nascer do sexo masculino ou do sexo feminino
seja exatamente igual. Qual é a probabilidade
de que todos os filhos nasçam do mesmo
sexo no caso de um casal que esteja
planejando ter quatro filhos?
a) 20%
b) 14,3%
c) 17,5%
d) 16,7%
e) 12,5%
02. Um cartão é retirado aleatoriamente de
um conjunto de 50 cartões numerados de 1
a 50. Determine a probabilidade do cartão
retirado ser de um número primo.
03. Das 10 alunas de uma classe, 3 tem
olhos azuis. Se duas delas são escolhidas
ao acaso, qual é a probabilidade de ambas
terem os olhos azuis?
04. Em uma certa comunidade existem dois
jornais J e P. Sabe-se que 5000 pessoas são
assinantes do jornal J, 4000 são assinantes de
P, 1200 são assinantes de ambos e 800 não
lêem jornal. Qual a probabilidade de que
uma pessoa escolhida ao acaso seja
assinante de ambos os jornais?
Atualizada 18/05/2006
Matemática
05. Uma urna possui cinco bolas vermelhas
e duas bolas brancas.
Calcule as
probabilidades de:
a) em duas retiradas, sem reposição da
primeira bola retirada, sair uma bola
vermelha (V) e depois uma bola branca (B).
b) em duas retiradas, com reposição da
primeira bola retirada, sair uma bola
vermelha e depois uma bola branca.
06. Ao sortear ao acaso um dos números
naturais menores que 100, qual a
probabilidade do número sorteado ser
menor do que 30?
07. (USP) Uma carta é retirada de um baralho
comum, de 52 cartas, e, sem saber qual é a
carta, é misturada com as cartas de um outro
baralho idêntico ao primeiro. Retirando, em
seguida, uma carta do segundo baralho, a
probabilidade de se obter uma dama é:
a) 3/51
b) 5/53 5
c) 5/676
d) 1/13
e) 5/689
08.(CESGRANRIO) Analisando um lote de 360
peças para computador, o departamento de
controle de qualidade de uma fábrica
constatou que 40 peças estavam com defeito.
Retirando-se uma das 360 peças, ao acaso,
a probabilidade de esta peça NÃO ser
defeituosa é:
a) 1/9
b) 2/9
c) 5/9
d) 7/9
e) 8/9
09. Três estudantes A, B e C estão em uma
competição de natação. A e B têm as mesmas
“chances” de vencer e, cada um, tem duas
vezes mais “chances” de vencer do que C.
Pede-se calcular a probabilidades de A ou
C vencer.
10. Suponha que no lançamento de um
dado, deseja-se saber qual a probabilidade
de se obter um número par ou um número
menor do que 2.
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11. Uma caixa contém três bolas vermelhas e
cinco bolas brancas e outra possui duas bolas
vermelhas
e
três
bolas
brancas.
Considerando-se
que
uma
bola
é
transferida da primeira caixa para a
segunda, e que uma bola é retirada da
segunda caixa, podemos afirmar que a
probabilidade de que a bola retirada seja da
cor vermelha é:
a) 18/75
b) 19/45
c) 19/48
d) 18/45
e) 19/75
12. Uma moeda é viciada, de maneira que
as CARAS são três vezes mais prováveis de
aparecer do que as COROAS. Calcule as
probabilidades de num lançamento sair
COROA.
13. Uma máquina produziu 50 parafusos
dos quais 5 eram defeituosos. Retirando-se
ao acaso, 3 parafusos dessa amostra,
determine a probabilidade de que os 3
parafusos sejam defeituosos.
14.(FGV-SP) Uma urna contém 11 bolas
numeradas de 1 a 11, todas iguais e
indistinguíveis ao tato. Retirando-se uma delas
ao acaso, observa-se que a mesma traz um
número ímpar. A probabilidade de este
número ser maior ou igual a 5 é
a) 4
b)
c)
d)
11
7
11
1
3
2
3
15. (FEI-SP) – Uma urna contém 10 bolas
pretas e 8 bolas vermelhas. Retiramos 3
bolas
sem
reposição.
Qual
é
a
probabilidade de as duas primeira serem
pretas e a terceira vermelha?
16.(MPU) Carlos sabe que Ana e Beatriz
estão viajando pela Europa. Com as
informações
que
dispõe,
ele
estima
corretamente que a probabilidade de Ana estar
hoje em Paris é 3/7, que a probabilidade de
Beatriz estar hoje em Paris é 2/7, e que a
probabilidade de ambas, Ana e Beatriz,
estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos, então,
recebe um telefonema de Ana
24
Atualizada 18/05/2006
Matemática
informando que ela está hoje em Paris. Com a
informação recebida pelo telefonema de Ana,
Carlos agora estima corretamente que a
probabilidade de Beatriz também estar hoje
em Paris é igual a:
a) 1/7
b) 1/3
c) 2/3
d) 5/7
e) 4/7
17.(FAE-PR) Num teste de seleção com 10
questões do tipo “verdadeiro ou falso”, a
probabilidade de um candidato que
responde a todas as questões ao acaso
acertar exatamente 6 questões é igual a:
1
a)
1024
105
b)
512
1
c)
32
3
d)
16
1
e)
105
18.(NC.UFPR)
Lança-se um dado. Se
ocorrer
um
número
par,
qual
a
probabilidade de que seja primo?
a) 2/3
b) 3/6
c) 3/2
d) 1/3
e) 1/6
19. Uma urna tem 10 bolas idênticas,
numeradas de 1 a 10. Se retirarmos uma
bola da urna, a probabilidade de não obter a
bola número 7 é igual a:
a) 2/9
b) 1/10
c) 1/5
d) 9/10
e) 9/11
20. A probabilidade de se ter duas vezes o
número 5, em duas jogadas de dado, é:
a) 1/48
b) 1/36
c) 1/24
d) 1/12
e) 1/6
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21. Jogando-se uma moeda 3 vezes, a
probabilidade de se obter cara, pelo menos
uma vez é:
a) 1/8
b) 3/8
c) 7/8
d) 5/8
e) 1/3
22. Retirando-se uma carta de um baralho
comum e sabendo-se que saiu uma dama,
qual a probabilidade de que a carta seja de
ouros ?
a) 1/3
b) 1/4
c) 4/13
d) 1/13
e) 1/52
23. Um par de dados honestos é lançado.
Se os dois números que aparecem são
diferentes, a probabilidade de que ocorram,
os números 2 ou 3 é:
a) 1/2
b) 2/3
c) 3/5
d) 5/9
e) 11/18
24. O número da chapa do carro é par. A
probabilidade de o algarismo das unidades
ser zero é:
a) 5
b) 1/2
c) 4/9
d) 5/9
e) 1/5
GABARITO PROBABILIDADE
01 E
13 1/1960
02 3/10
14 D
03 1/15
15 5/34
04 6/43
16 B
05 a) 5/21 b) 17 B
10/49
06 30%
18 D
07 D
19 D
08 E
20 B
09 3/5
21 C
10 2/3
22 B
11 C
23 C
12 1/4
24 E
Atualizada 18/05/2006
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
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