Função
Sejam x e y duas variáveis quaisquer. A variável x pode representar os elementos
de um conjunto A e y os elementos de um conjunto B. Uma função é um tipo
especial de relação em que cada x ∈ A está associado a um único y ∈ B.
Notação f : A −→ B
Escrevemos y = f (x),
onde x é chamada a variável independente e y a variável dependente. O conjunto A da variável x é chamado domínio da função. Se o conjunto B for definido
de tal forma que todos os elementos de B estejam associados aos elementos de A,
então B é chamado imagem da função. De um modo geral, temos que o conjunto
A, chamado domínio da função é o conjunto que contém todos os elementos x
para os quais a função está definida. E dizer que uma função f está definida em
um ponto x ∈ A significa dizer que f assume o valor real f (x) no ponto x. O
conjunto B é o conjunto de valores que a função efetivamente assume.
Podemos representar funções de diferentes maneiras. Para explorarmos os
diferentes tipos, vamos considerar a seguinte situação:
Exemplo
“Suponha que para produzir uma certa mercadoria seja gasto 10 reais por mercadoria produzida mais um valor fixo de 500 reais, que diz respeito à manutenção
da máquina.”
Esta situação claramente pode ser caracterizada por meio de uma função.
Definimos o conjunto A como sendo o conjunto que contém as x mercadorias
produzidas e B o conjunto que contém os custos y associados aos números x de
mercadorias produzidas.
1
Consideremos o seguinte caso particular:
Podemos representar esta relação através da tabela.
no de mercadorias Custo de Produção
0
500
1
510
2
520
3
530
4
540
Tabela 1: Custo de Produção em função do no de mercadorias produzidas
Vamos escrever esta tabela da seguinte maneira:
no de mercadorias Custo de Produção
0
10 × 0 + 500
1
10 × 1 + 500
2
10 × 2 + 500
3
10 × 3 + 500
4
10 × 4 + 500
Tabela 2: Custo de Produção em função do no de mercadorias produzidas
Percebemos com este exemplo que existe uma relação de dependência entre a
variável x e a variável y. E podemos caracterizar esta relação de dependência por
uma lei de associação. No nosso presente exemplo esta lei é simplesmente dada
por:
y = 10 · x + 500
2
. Note que a variável x depende da variável y. Por isso que dizemos que a variável
x é a variável independente e y é a variável dependente.
A partir da tabela fomos capazer de observar uma relação de dependência entre
as variáveis. Por esta razão escrevemos y = f (x), e lê-mos “y é igual a f de x”.
De fato, y é obtido em função de x.
No nosso exemplo temos que y = 10 · x + 500. Então f (x) = 10 · x + 500.
Observamos que uma função também pode ser representada por uma expressão
matemática. Este exemplo que discutimos pertence à classe de funções lineares.
Dizemos que o gráfico de uma função é o conjunto de pontos da forma (x, f (x));
o gráfico da função f (x) = 10 · x + 500 corresponde a uma reta de pontos no
plano. De fato para desenhar a reta basta lembrarmos que dois pontos do gráfico
da função definem uma única reta do plano. Tomemos, por exemplo, os pontos
(0, f (0)) = (0, 500) e (1, f (1)) = (1, 510). Para construirmos o gráfico da função
basta ligarmos os dois pontos por uma reta.
3
Como para a situação do nosso exemplo não existem mercadorias negativas.
Consideramos simplesmente o seguinte gráfico para a função:
Existem muitos modelos que podem ser caracterizados por funções lineares.
De um modo geral temos a seguinte definição:
Definição: Uma função f definida para todo x real pela fórmula da forma
f (x) = mx + b
é chamada uma função linear porque seu gráfico é uma reta. O número b é
chamado o intercepto-y da reta; ele é a coordenada y do ponto (0, b) onde a
reta corta o eixo y. O número m é chamado a inclinação da reta.
No exemplo, onde f (x) = 10x + 500, temos que a inclinação é m = 10 e o
intercepto-y é b = 500. Note que o intercepto é a coordenada y do ponto (0, 500),
4
onde a reta corta o eixo y. O intercepto-y é obtido simplesmente calculando f (0),
ou seja,
b
b
b
b
=
=
=
=
f (0)
10 · 0 + 500
0 + 500
500;
Note que realmente, quando não produzimos nenhuma mercadoria, ou seja,
quando x = 0, ainda temos um custo de 500 reais, que é essencialmente o custo
de manutenção da máquina.
f (0) = 500;
A inclinação m = 10 representa simplesmente o custo por unidade de mercadoria
produzida, que possui a unidade reais por mercadoria, ou seja,
m = 10
reais
;
mercadoria
Álgebra de funções
Muitas funções que encontraremos no desenvolvimento do curso podem ser vistas
como uma combinação de outras funções.
Exemplo
Suponha que L(x) seja o lucro que uma certa companhia obtém com a venda
de x unidades de algum produto. R(x) é o faturamento recebido pela venda de x
unidades, e C(x) é o custo de produção de x unidades, então
L(x) = R(x) − C(x)
lucro = faturamento − custo
Quando escrevemos a função lucro desta maneira, podemos predizer o comportamento do Lucro L(x) a partir das propriedades das funções Faturamento R(x)
e Custo C(x). Note que L(x) é obtido a partir da subtração das funções R(x) e
C(x). E como subtraímos funções ? Vamos aprender esta operação por meio de
um exemplo.
Suponha que um fabricante de brinquedos tem um custo fixo de 3.000 reais(
como, por exemplo, aluguel, seguro e empréstimo) o qual tem que ser pago, independente da quantidade de brinquedos produzidos. Somando ao custo fixo,
5
existem custos variáveis de 2 reais por brinquedo. Em regime de produção de x
brinquedos, o custo é dado por:
C(x) = 3.000 + 2 · x;
Suponha que os brinquedos sejam vendidos por 10 reais a unidade. Quando x
brinquedos são vendidos, o faturamento (quantidade de dinheiro recebida) R(x) é
de 10 · x dólares. Qual é o lucro (ou perda) L(x) gerado pelos x brinquedos?
L(x) = R(x) − C(x);
Para calcular R(x) − C(x) basta subtrair os termos correspondentes, ou seja,
L(x) =
=
=
=
=
R(x) − C(x)
(10 · x) − (3.000 + 2 · x)
10x − 3.000 − 2x
10x − 2x − 3.000
8x − 3.000
Perguntas
(a) Se o faturamento da produção e venda de alguns brinquedos é 7.000 reais,
qual é o lucro correspondente?
(b) Encontre o número de assinantes para o qual o faturamento é igual ao custo.
Aprendemos neste exemplo como subtrair duas funções. Similarmente podemos somar funções simplesmente somando os termos correspondentes.
6
Exemplo
Seja f (x) = 3x + 4 e g(x) = 2x − 6.
f (x) + g(x) =
=
=
=
(3x + 4) + (2x − 6)
3x + 4 + 2x − 6
3x + 2x + 4 − 6
5x − 2
Obviamente que podemos calcular quocientes e multiplicações de funções.
Veremos isto um pouco mais adiante pois o quociente de funções definirá de
maneira muito natural o que chamamos de função racional.
Função Quadrática
Suponha que C(x) é o custo total que uma companhia incorre na produção de
x unidades de um certo produto. A função C é chamada uma função custo.
Podemos representar uma função custo por uma expressão do tipo:
C(x) = ax2 + bx + c
(1)
onde c representa os custos gerais indiretos (aluguel, aquecimento, manutenção),
e os outros termos representam o custo das matérias primas, mão-de-obra e assim por diante. O custo das matérias-primas pode ser proporcional a x, mas o
custo da mão-de-obra poderia depender parcialmente de potências mais altas de
x, simplesmente devido aos custos de horas extras e ineficiências envolvidas em
operações de larga escala. Uma função dada pela forma da Equação 1 é chamada
função quadrática.
Exercício
Uma companhia de televisão a cabo estima que com x milhares de assinaturas, o
faturamento e o custo mensais (em milhares de dólares) são
R(x) = 32x − 0.21x2
C(x) = 195 + 12x
Encontre o número de assinantes para o qual o faturamento é igual ao custo,
ou seja, o ponto de lucro é zero.
7
Esta última pergunta nos permite introduzir a seguinte definição:
Definição: Seja uma função real f : A −→ B. Um número x é chamado raíz,
ou zero, da função f se x satisfaz a equação:
f (x) = 0;
Exemplo
Vamos considerar a seguinte situação de mercado. Seja p(x) o preço por unidade
que uma companhia pode cobrar se ela vende x unidades. Dizemos que p é a
função demanda (ou função preço), e esperamos que ela seja uma função decrescente de x. Se x unidades forem vendidas e o preço por unidade for p(x),
então o faturamento total será
R(x) = xp(x),
Uma loja vem vendendo 200 aparelhos de CD por semana, a 350 reais cada.
Uma pesquisa de mercado indica que, para cada abatimento de 10 reais oferecidos
aos compradores, o número de aparelhos vendidos aumenta em 20 por semana.
Encontre as funções de demanda e de rendimento. Qual deve ser o número de
aparelhos vendidos pela loja para que se obtenha um faturamento de 101050 reais?
Seja x o número de aparelhos de CD vendidos por semana. Então o crescimento semanal em vendas é x−200. Para cada aumento de 20 aparelhos vendidos,
o preço decresce em 10 reais. A seguinte regra de três dá conta de determinarmos
o decréscimo no preço:
y=
10
(x − 200)
20
8
De modo que a função demanda é dada simplesmente por:
p(x) = 350 −
1
10
(x − 200) = 450 − x
20
2
A função faturamento R(x) é dada por:
1
R(x) = x · p(x) = 450x − x2
2
Para se obter um faturamento de 101050 reais, devemos ter que
1
R(x) = 101050 ⇒ 450x − x2 = 101050
2
Então para se determinar o número de aparelhos vendidos, basta resolver a equação
1
− x2 + 450x − 101050 = 0
2
(2)
Esta equação é uma equação de segundo grau. De um modo geral, uma
equação do segundo grau tem a seguinte forma:
ax2 + bx + c = 0
Para resolver esta equação, inicialmente determinamos o delta (∆), que é dado
por:
∆ = b2 − 4 · a · c;
A partir do cálculo do ∆ podemos obter três casos para a nossa equação do segundo grau:
1. Se ∆ < 0, então a equação não admite raízes reais.
2. Se ∆ > 0, então a equação admite duas raízes reais e distintas dadas por:
√
−b + ∆
x1 =
2a√
−b − ∆
x2 =
2a
3. Se ∆ = 0 temos duas raízes reais e iguais:
x1 =
−b
2a
9
e x2 =
−b
2a
Voltemos à Equação 2 do nosso exercício:
1
− x2 + 450x − 101050 = 0
2
Temos que a = − 12 , b = 450 e c = 101050. Cálculo do ∆:
∆ = b2 − 4ac
1
= 4502 − 4 · (− ) · (−101050)
2
= 202500 − 202100
= 400
Então como ∆ > 0 estamos no caso em que a nossa equação admite duas
raízes reais distintas:
x1
x2
√
√
−b + ∆
−450 + 400
=
= 430
=
2a
2 · (− 12 )
√
√
−b − ∆
−450 − 400
=
=
= 470
2a
2 · (− 12 )
Então para se obter um faturamento de 101050 reais, pode-se vender 430 ou 470
brinquedos.
Um ponto importante para ressaltarmos é que o gráfico de uma função quadrática
pode ter uma concavidade para baixo ou uma concavidade para cima. E o que
determina a concavidade é essencialmente o sinal do coeficiente a da função
f (x) = ax + bx + c. Ou seja,
Se
Se
a>0⇒
a<0⇒
a concavidade da parábola é para cima.
a concavidade da parábola é para baixo.
Em algumas situações que encontraremos no curso será importante escrever
uma função quadrática f (x) = ax2 + bx + c como um produto de fatores lineares
da forma:
f (x) = a(x − r1 )(x − r2 ),
onde r1 e r2 são as raízes da função quadrática.
10