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PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO
Exame Nacional de 2009 (2.ª Fase)
1.
Em primeiro lugar representaram-se o plano π, pelos seus traços, bem como o ponto P, pelas suas projeções, em função dos dados.
Representaram-se, também, os traços do plano θ (o plano passante), que estão coincidentes com o eixo X. É pedida a reta i, a reta de interseção entre os dois planos (o plano π e o plano θ). Para definir uma reta são necessários dois pontos ou um ponto e uma direção. O ponto M é o
ponto de concorrência dos traços do plano π, pelo que é um ponto do plano π. Por outro lado, o ponto M é um ponto do eixo X, pelo que
pertence ao plano θ (pois pertence a uma reta do plano – o eixo X). Assim, o ponto M já é um ponto que pertence simultaneamente aos dois
planos, pelo que já é um ponto da reta de interseção dos dois planos. Já temos um ponto para definir a reta i – o ponto M. Falta-nos outro
ponto ou uma direção. Recorreu-se a um plano auxiliar – o plano ν, horizontal (de nível). Uma vez que o ponto P é o único ponto conhecido do
plano θ, para além dos que se situam no eixo X, optou-se por conduzir o plano ν pelo ponto P. Em seguida determinaram-se as retas de interseção do plano ν (o plano auxiliar) com os dois planos dados. A reta m é a reta de interseção do plano auxiliar (o plano ν) com o plano π. A reta
m é uma reta horizontal (de nível) do plano π, pelo que é paralela ao traço horizontal do plano (retas horizontais de um plano são paralelas
entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, que é uma reta horizontal do plano com cota nula). O traço frontal da reta m é o ponto de
concorrência dos traços frontais dos dois planos (ponto F). A reta m está definida por um ponto (o seu traço frontal) e por uma direção (a direção das retas horizontais do plano π). A reta n é a reta de interseção do plano auxiliar (o plano ν) com o plano θ. O ponto P pertence simultaneamente ao plano ν (o plano ν passa pelo ponto P) e ao plano θ (o ponto P é o ponto que define o plano θ), pelo que o ponto P é um ponto
que pertence aos dois planos. Dois planos secantes têm, em comum, uma única «família» de retas e a reta de interseção entre os dois planos é
uma reta dessa única «família» de retas que os planos têm em comum. Ora, um plano horizontal (o plano ν) e um plano de rampa (o plano θ é
um plano passante, que é um plano de rampa) são secantes e, por isso, têm, em comum, uma única «família» de retas – a das retas fronto-horizontais. Assim, a reta n (a reta de interseção entre os dois planos) é necessariamente uma reta fronto-horizontal. A reta n está, assim, definida
por um ponto (o ponto P) e uma direção (a direção das retas fronto-horizontais). As retas m e n são concorrentes num ponto – o ponto I.
O ponto I é um ponto que pertence simultaneamente aos três planos, pelo que é um ponto que pertence ao plano π e ao plano θ. Assim, já
temos o ponto que nos faltava para definir a reta i. A reta i (a reta pedida) está definida por dois pontos – o ponto M e o ponto I.
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PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO
2.
Em primeiro lugar representaram-se os
pontos M e N, pelas respetivas projeções, bem como o traço frontal do plano
α, em função dos dados. Pretende-se
determinar a distância entre dois planos
paralelos, pelo que é necessário o recurso ao método geral da distância
entre planos, que se executa em três
etapas (1., 2. e 3.), como em seguida se
especifica. 1. Conduzir uma reta ortogonal aos dois planos. 2. Determinar os
pontos de interseção da reta com os
dois planos. 3. A distância entre os dois
pontos de interseção é a distância entre
os dois planos. Assim, para se concretizar a primeira etapa (conduzir uma reta
ortogonal aos dois planos), é necessário
saber a direção das retas horizontais (de
nível) dos dois planos. De facto, para
uma reta ser ortogonal a um plano, tem
de ser ortogonal a duas retas concorrentes desse plano. Por outro lado, uma
vez que a ortogonalidade entre retas,
em projeções, só é direta se uma das
retas for paralela a um dos planos de
projeção, necessitamos de duas retas
paralelas aos planos de projeção – uma
reta frontal (de frente) e uma reta horizontal (de nível). Já é conhecida a direção das retas frontais (de frente) dos
dois planos, pois é dada a direção do
traço frontal do plano α (que é paralelo
ao traço frontal do plano ). Assim,
optou-se por determinar o traço horizontal do plano . Para tal, conduziu-se uma reta (reta r ) pelos pontos M e N e determinaram-se os seus traços nos planos de projeção – F e H.
Pelo ponto F conduziu-se o traço frontal do plano (fβ), paralelo ao traço frontal do plano . Em seguida, atendendo a que os traços de um plano
são concorrentes num ponto do eixo X, determinou-se o traço horizontal do plano – h é concorrente com f no eixo X e passa pelo traço horizontal da reta r (ponto H). Uma vez que, a partir deste procedimento, já é conhecida a direção das retas horizontais (de nível) dos dois planos, é
possível passar à execução das três etapas acima enunciadas, para determinar a distância entre os dois planos. 1. Conduziu-se uma reta p, ortogonal aos dois planos. Por uma questão de economia de traçados, optou-se por conduzir a reta p por um dos pontos conhecidos do plano – o
ponto M. As projeções da reta p são ortogonais aos traços homónimos do plano (note que não foi necessário determinar o traço horizontal do
plano α (hα), que seria paralelo ao traço horizontal do plano (h). A primeira etapa está cumprida. 2. Determinaram-se os pontos de interseção da
reta p com os dois planos. Uma vez que a reta p passa pelo ponto M, que é um ponto do plano , o ponto M é, já, o ponto de interseção da reta p
com o plano (pertence simultaneamente à reta e ao plano). Para determinar o ponto de interseção da reta p com o plano α, e uma vez que nem
a reta nem o plano são projetantes, há que recorrer ao método geral da interseção entre retas e planos, que também se executa em três etapas
(I., II. e III.). I. Conduz-se, pela reta, um plano que a contenha. Conduziu-se, pela reta p, um plano θ, de topo (projetante frontal). II. Determina-se a
reta de interseção do plano auxiliar (plano θ) com o plano dado (plano α). Aqui há um problema, gerado pela dimensão do desenho. De facto,
pelas dimensões dos dados, a determinação da reta de interseção entre os dois planos pode ser direta, mas aumentará a área gráfica do desenho, o que é uma possibilidade, mas optou-se por outra situação. Atendendo a que as retas de interseção de um dado plano com outros dois planos paralelos entre si são, necessariamente, duas retas paralelas, optou-se por determinar a reta de interseção do plano auxiliar (o plano θ) com o
plano , que é paralelo ao plano α. A reta i é a reta de interseção do plano θ com o plano e a sua determinação processou-se a partir de dois
dos seus pontos – o seu traço frontal (ponto F’), que é o ponto de concorrência dos traços frontais dos dois planos (plano θ e plano β), e o ponto
M (que é um ponto que pertence aos dois planos). De facto, o ponto M pertence ao plano (pois pertence a uma reta do plano – a reta r) e pertence ao plano θ (pois tem a sua projeção frontal sobre o traço frontal do plano θ, que é um plano projetante frontal). Assim, a reta i está definida
por dois pontos – o ponto F’ e o ponto M. Em seguida determinou-se a reta i’, a reta de interseção entre o plano θ (o plano auxiliar) e o plano α.
A reta i’ está definida por um ponto (o ponto F’’, que é o seu traço frontal) e por uma direção (é paralela à reta i ). Note que o ponto F’’ (o traço frontal da reta i’ ) é o ponto de concorrência dos traços frontais dos dois planos (fθ e fα). III. Por fim, determinou-se o ponto de interseção da reta i’
com a reta p – o ponto I. O ponto I é o ponto de interseção da reta p com o plano α. Então está finalmente concretizada a segunda etapa do
método geral da distância entre dois planos – a determinação dos pontos de interseção da reta p com os dois planos (ponto M e ponto I). 3. A distância entre os dois pontos é a distância entre os dois planos. O segmento [MI] é, assim, um segmento representativo da distância entre os dois
planos, tendo-se assinalado as suas projeções com a intensidade adequada. No entanto, o segmento não é paralelo a nenhum dos planos de projeção, pelo que não se projeta em verdadeira grandeza em nenhuma das suas projeções (ambas as projeções apresentam deformação). Nesse
sentido, para determinar o pedido (a verdadeira grandeza da distância entre os dois planos) é necessário recorrer a um processo geométrico auxiliar – optou-se pelo rebatimento do plano θ (o plano auxiliar, que contém o segmento) para o Plano Horizontal de Projeção. Identificou-se a charneira do rebatimento, que é o traço horizontal do plano (hθ), e efetuou-se o rebatimento, obtendo Mr e Ir. A verdadeira grandeza da distância
entre os dois planos é o comprimento do segmento de reta [MrIr].
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PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO
3.
Em primeiro lugar representou-se o plano δ, pelos seus traços, em função dos dados. Em seguida determinaram-se as projeções do ponto A, pertencente ao plano. Para que o ponto A pertença ao plano δ, é necessário que pertença a uma reta do plano. Nesse sentido desenharam-se as projeções de uma reta h, horizontal (de nível), pertencente ao plano e com 8 cm de cota. A reta h está definida por um ponto (o seu traço frontal, que
está sobre o traço frontal do plano) e por uma direção (é paralela ao traço horizontal do plano). A reta h é o lugar geométrico dos pontos do plano
que têm 8 cm de cota. O ponto A é o ponto da reta h que tem 1 cm de afastamento. O quadrado está contido num plano (o plano ) que não é
paralelo a nenhum dos planos de projeção, pelo que o quadrado [ABCD] não se projeta em verdadeira grandeza em nenhuma das suas projeções.
Nesse sentido, é necessário recorrer a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano δ para o Plano Horizontal de Projeção. A charneira do rebatimento foi o traço horizontal do plano, que se identificou como tal (reta e). Para rebater o traço frontal do plano recorreu-se ao rebatimento de um ponto de fδ – o ponto F (o traço frontal da reta h). Por F1 conduziu-se uma perpendicular à charneira, que corresponde ao
traço horizontal do plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento do ponto F. Em seguida, com o compasso, fazendo centro no
ponto de concorrência dos traços do planos e raio até F2, desenhou-se um arco de transporte até à perpendicular à charneira, obtendo Fr (o ponto
F rebatido). O traço frontal do plano, em rebatimento, passa por Fr e pelo ponto de concorrência dos traços do plano (que é um ponto fixo, pois
situa-se na charneira). Por Fr conduziu-se uma paralela à charneira, que é a reta h rebatida (retas horizontais de um plano são paralelas entre si e
paralelas ao traço horizontal do plano, no espaço, em projeções e em rebatimento). Pela projeção horizontal do ponto A (A1) conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento do ponto A) e determinou-se Ar sobre
hr. Está expresso, no enunciado, que as diagonais medem 10 cm, sendo que C, o vértice oposto a A, pertence ao traço horizontal do plano. Assim,
com o compasso, fazendo centro em Ar e com 10 cm de raio (a medida das diagonais), determinou-se Cr sobre hδr . Note que há dois pontos do
traço horizontal que distam 10 cm do ponto Ar, mas só um deles (o da situação apresentada na solução) garante que, após a construção, o quadrado se situe, na totalidade, no espaço do 1.º Diedro. A partir de A r e Cr (extremos de uma diagonal do quadrado em rebatimento), efetuou-se a
construção do quadrado, em verdadeira grandeza, obtendo os restantes vértices em rebatimento (Br e Dr), bem como o centro do quadrado (Or).
Para inverter o rebatimento recorreu-se a retas do plano que contenham os pontos a contra-rebater. Existem diversas hipóteses, nomeadamente
passar, por cada ponto, uma reta frontal (de frente) ou horizontal (de nível), mas optou-se por uma situação bastante mais simples, em termos de
traçado. A reta r é a reta suporte do lado [CD] do quadrado. Nesse sentido, rr passa por Cr e por Dr. O ponto C é, imediatamente, o traço horizontal
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da reta r. Determinou-se, em rebatimento, o traço frontal da reta – F’r. F’r é o ponto de concorrência de rr com hδr . Para inverter o rebatimento da
reta r é necessário inverter o rebatimento dos seus traços (F’ e C). As projeções do ponto C determinaram-se imediatamente, pois o ponto C é um
ponto da charneira (é fixo). Nesse sentido tem-se imediatamente C1 Cr e C2 situa-se no eixo X. Por F’r conduziu-se uma perpendicular à charneira
(que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) e determinou-se F’1 no eixo X – F’2 situa-se sobre fδ.
A partir das projeções de F’ e C desenharam-se as projeções da reta r (a reta r está definida por dois pontos). O ponto D é um ponto da reta r. Por Dr
conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento do ponto D) e
determinou-se D1 sobre r1 – D2 situa-se sobre r2. Para inverter o rebatimento do ponto B, recorreu-se a à reta s – a reta s é a reta suporte do lado
[AB] do quadrado e, assim, é paralela à reta r. Como as projeções do ponto A já são conhecidas, foi possível desenhar, imediatamente, as projeções
da reta s – a reta s (em projeções) está definida por um ponto (o ponto A) e uma direção (é paralela à reta r). O ponto B é um ponto da reta s. Por Br
conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento do ponto B) e
determinou-se B1 sobre s1 – B2 situa-se sobre s2. Em seguida, desenharam-se as projeções das duas diagonais do quadrado, o que nos permitiu
determinar as duas projeções do ponto O (o centro do quadrado). Conduzindo, por Or, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano
ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento do ponto O), verificou-se a exatidão do processo, pois essa perpendicular passa por O1.
Agora há que efetuar os procedimentos necessários à determinação das projeções do vértice da pirâmide, em função da altura do sólido (que é
dada no enunciado). Como se trata de uma pirâmide regular, o eixo da pirâmide está contido numa reta ortogonal ao plano da base. Assim, pelas
projeções do ponto O conduziram-se as projeções homónimas de uma reta p, ortogonal ao plano δ – p2 passa por O2 e é perpendicular a fδ e p1
passa por O1 e é perpendicular a hδ. O vértice da pirâmide é um ponto da reta p que dista 12 cm do ponto O. Como a reta p não é paralela a
nenhum dos planos de projeção, o segmento [OV] não se projeta em verdadeira grandeza em nenhuma das suas projeções, pelo que é necessário
o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento da reta p, rebatendo um plano que a contenha. Nesse sentido, conduziuse, pela reta p, um plano auxiliar – o plano γ (um plano projetante horizontal). Em seguida rebateu-se o plano γ para o Plano Frontal de Projeção.
A charneira do rebatimento foi o traço frontal do plano γ, que se identificou como tal (reta e’ ). O traço horizontal do plano, em rebatimento (hγr ) fica
coincidente com o eixo X. Rebateu-se o ponto O – Or’ é o ponto O no seu segundo rebatimento (rebatido pelo rebatimento do plano γ). Já temos
um ponto para definir a reta p em rebatimento. Falta-nos outro ponto. Determinou-se o traço frontal da reta p – o ponto F’’. O ponto F’’ é um ponto
da charneira, pelo que roda sobre si próprio. Assim sendo tem-se imediatamente F’’r F’’2. A reta p, em rebatimento (pr) fica definida por dois pontos – Or’ e F’’r. Sobre pr, a partir de Or’, mediram-se os 12 cm (a altura da pirâmide) e determinou-se Vr. Inverteu-se o rebatimento e determinaram-se as projeções do ponto V (o vértice da pirâmide) sobre as projeções homónimas da reta p. A partir das projeções de todos os vértices da
pirâmide, desenharam-se as projeções do sólido, começando pelos seus contornos aparentes. O contorno aparente horizontal é [A1B1V1D1]. Todas
as arestas que integram o contorno aparente horizontal são visíveis em projeção horizontal. O vértice C é o único vértice da pirâmide que não integra o contorno aparente horizontal. Tendo em conta que se trata do vértice de menor cota do sólido, é invisível, bem como todas as arestas que
nele convergem. Nesse sentido, as arestas [CV], [CD] e [BC] são invisíveis. Já a aresta lateral [AV] é visível, por se situar na parte visível do sólido
(o vértice A é o vértice de maior cota da pirâmide). O contorno aparente frontal é [A2B2C2D2V2]. Todas as arestas que integram o contorno aparente
frontal são visíveis em projeção frontal. Todos os vértices da pirâmide integram o contorno aparente frontal. No entanto, tendo em conta que os
vértices A e B são os vértices de menor afastamento do sólido, a aresta [AB] da base é invisível, em projeção frontal. Por outro lado, as arestas laterais [BV] e [CV] são visíveis, em projeção frontal.
4.
Em primeiro lugar representaram-se as perspetivas dos três eixos, de acordo com os ângulos dados. O eixo Y é o eixo que sofre uma redução isolada. Em seguida, recorreu-se ao método dos cortes com vista a poder representar em verdadeira grandeza, pelo menos, duas das projeções do
objeto. Rebateu-se o plano XY para o interior da pirâmide axonométrica (em torno da charneira, que é perpendicular à perspetiva do eixo Z), obtendo
a direção do eixo Xr e do eixo Yr (que são perpendiculares entre si no ponto Or). Em seguida efetuou-se a translação do plano XY rebatido, através da perpendicular à charneira que passa pela perspetiva do ponto O, para fora da área da representação – o eixo Xr’ é paralelo ao eixo Xr e o
eixo Yr’ é paralelo ao eixo Yr (o eixo Xr’ e o eixo Yr’ são perpendiculares entre si no ponto Or’). No plano XY, rebatido e transladado, representaram-se as projeções horizontais dos pontos R e S, em rebatimento, em função das suas coordenadas – R1r e S1r . A partir destes dois pontos construiu-se a projeção horizontal do prisma quadrangular regular, tendo em atenção todos os dados – uma vez que os pontos R e S pertencem à face
lateral de maior abcissa do prisma, os pontos T e U (os outros dois vértices do quadrado [RSTU]) têm abcissa inferior a R e S. Em seguida efetuaram-se os procedimentos necessários ao rebatimento do plano XZ. Note que não se poderia ter rebatido o plano YZ, pois é necessário construir
os hexágonos das bases do prisma hexagonal, em verdadeira grandeza, e aquelas projetam-se em verdadeira grandeza apenas no plano XZ.
Assim, rebateu-se o plano XZ para o interior da pirâmide axonométrica (em torno da charneira, que é perpendicular à perspetiva do eixo Y), obtendo
a direção do eixo Xr e do eixo Zr (que são perpendiculares entre si no ponto Or). Em seguida efetuou-se a translação do plano XZ rebatido, através da perpendicular à charneira que passa pela perspetiva do ponto O, para fora da área da representação – o eixo Xr’ é paralelo ao eixo Xr e o
eixo Zr’ é paralelo ao eixo Zr (o eixo Xr’ e o eixo Zr’ são perpendiculares entre si no ponto Or’). No plano XZ, rebatido e transladado, representaram-se as projeções frontais dos pontos R e S, em rebatimento, em função das suas coordenadas – R2r e S2r . A partir das construções efetuadas
em projeção horizontal (em rebatimento), representaram-se ainda as projeções frontais dos pontos T e U, em rebatimento – T2r e U2r . Uma vez
que a base inferior do prisma quadrangular regular está contida no plano coordenado horizontal (o plano XY), foi possível concluir, de forma imediata, a construção da projeção frontal do prisma, em rebatimento (no plano XZ rebatido e transladado). Sobre o prisma hexagonal regular, infere-se, do enunciado, que os pontos R e U são dois extremos de um lado da sua base de maior afastamento. Assim, efetuaram-se os traçados
necessários à construção da projeção frontal, em rebatimento, do hexágono de que T e U são dois vértices consecutivos. O vértice A é o vértice
de maior abcissa do hexágono e o vértice B o seu vértice de menor abcissa. Para facilitar a compreensão dos procedimentos, identificaram-se,
apenas (em termos de notações), as projeções frontais, em rebatimento, das arestas laterais do prisma hexagonal que passam pelos pontos A e B
– as arestas laterais [AA’] e [BB’]. Em seguida, em função das abcissas desses pontos (determinadas em projeção frontal, em rebatimento), representaram-se as respetivas projeções horizontais, em rebatimento – A1r , A’1r , B1r e B’1r . Note que não foi necessário identificar os vértices da face
lateral de maior cota do prisma hexagonal, por se situarem nas retas projetantes horizontais dos vértices R, S, T e U. A partir dos traçados precedentes e devidamente explicados, está concluída a representação do sólido pretendido, em Dupla Projeção Ortogonal (nos planos XY e XZ, rebatidos e transladados). Há, agora, que determinar as perspetivas de todos os vértices do sólido e, assim, construir a sua perspetiva. Nesse sentido,
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pela projeção horizontal do ponto R, em rebatimento (R1r ), conduziu-se uma perpendicular à charneira do rebatimento do plano XY (paralela à
perspetiva do eixo Z), que corresponde à perspetiva da reta projetante horizontal do ponto R. Pela projeção frontal do ponto R, em rebatimento
(R2r ), em rebatimento, conduziu-se uma perpendicular à charneira do rebatimento do plano XZ (paralela à perspetiva do eixo Y), que corresponde
à perspetiva da reta projetante frontal do ponto R. O ponto de concorrência das duas retas é a perspetiva do ponto R. O processo repetiu-se para
os restantes vértices do sólido, determinando-se, assim, as respetivas perspetivas. A partir das perspetivas de todos os vértices do sólido, desenhou-se a perspetiva do sólido resultante da justaposição dos dois prismas, ocultando as linhas invisíveis, como pede expressamente o enunciado. Sublinha-se que se trata de um único sólido e não de dois sólidos juntos, pelo que as arestas desse sólido (o sólido composto pelos dois
prismas) são linhas que separam fisicamente planos distintos (faces distintas). Assim, o segmento [RU] não é uma aresta do sólido final, pois, nesse
sólido, o segmento não separa duas faces distintas – o segmento [RU] não é uma aresta e não deve ser representado como tal. Na solução apresentada, o segmento [RU] está representado apenas como uma linha auxiliar (uma linha construtiva), necessária à determinação da perspetiva do
sólido final.
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