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PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO
Exame Nacional de 2008 (2.ª Fase)
I.
Em primeiro lugar representaram-se os pontos R, H e B, pelas
suas projeções, em função dos dados. O ponto H, o traço horizontal da reta r, tem cota nula, pelo que a sua projeção frontal
se situa no eixo X. Em seguida desenharam-se as projeções das
duas retas. As projeções da reta r passam pelas projeções
homónimas dos pontos que a definem (R e H). A partir do ângulo que a projeção horizontal da reta s faz com o eixo X, determinou-se o ponto A, do eixo X. Uma vez que a reta s é passante, a
reta é concorrente com o eixo X precisamente no ponto A – a
projeção frontal da reta s passa pela projeção frontal do ponto
A e pela projeção frontal do ponto R. Pretende-se que a reta b
(a reta pedida) seja paralela ao plano α (o plano definido pelas
retas r e s) e paralela também ao β2/4. Para que uma reta seja
paralela a um plano, tem de ser paralela a uma reta desse planos (Critério de paralelismo entre retas e planos). Assim, a reta b
tem de ser paralela a uma reta do plano α para ser paralela ao
plano . Por outro lado, a reta b tem também de ser paralela a
uma reta do β2/4 para que seja paralela ao β2/4. Dessa forma, a
reta b terá de ser paralela a uma reta que pertença simultaneamente ao plano α e ao β2/4 – a reta de interseção entre os dois
planos. Nesse sentido, foi necessário determinar a reta i, a reta
de interseção do plano α com o β2/4. Para definir uma reta são
necessários dois pontos ou um ponto e uma direção. O ponto A
é um ponto do plano α (pois pertence a uma reta do plano – a
reta s) e é, também, um ponto do β2/4, pois tem as suas projeções coincidentes (todos os pontos do eixo X pertencem ao β2/4, pois o eixo X é uma reta do β2/4). O ponto A é, assim, um ponto que pertence
simultaneamente aos dois planos. Já temos um ponto para definir a reta i, falta-nos outro ponto ou uma direção. Determinou-se o ponto I, o traço
da reta r no β2/4. O ponto I pertence ao plano α (pois pertence a uma reta do plano – a reta r) e pertence ao β2/4 (pois tem as suas projeções coincidentes), pelo que o ponto I é um outro ponto que pertence simultaneamente aos dois planos. Já temos o ponto que nos faltava. A reta i (a reta
de interseção do plano α com o β2/4) está definida pelos pontos A e I. Em seguida, desenharam-se as projeções da reta b, passando pelas projeções homónimas do ponto B e paralelas às projeções homónimas da reta i. A reta b é paralela ao plano α, pois é paralela a uma reta do plano
(a reta i ) e é também paralela ao β2/4, pois é paralela a uma reta do plano (a reta i ).
II.
Em primeiro lugar representaram-se o ponto P e a reta d, pelas respetivas projeções, em função dos dados. Em seguida, determinaram-se os traços da reta d nos planos de projeção e desenharam-se
os traços horizontal e frontal do plano θ. O traço horizontal do
plano θ (hθ) passa pelo traço horizontal da reta d e é perpendicular
à projeção horizontal da reta (d1), pois a reta d é uma reta de maior
declive do plano. O traço frontal do plano θ (fθ) passa pelo traço
frontal da reta d e é concorrente com hθ no eixo X. A partir deste
momento, o plano θ está definido pelos seus traços. Para determinar o ângulo entre o plano θ e o Plano Frontal de Projeção, recorreu-se ao método geral do ângulo entre planos. 1. Identificou-se a
aresta do diedro, que é a reta de interseção dos dois planos. A aresta do diedro entre os dois planos é fθ, que é o traço frontal do plano
(é a reta de interseção do plano θ com o Plano Frontal de Projeção).
2. Conduziu-se um plano α, ortogonal à aresta do diedro – um
plano ortogonal a fθ. O plano α é um plano de topo, que se optou
por conduzir pelo ponto P (mas não tinha de passar pelo ponto).
3. Determinaram-se as retas de interseção do plano α com os dois
planos – o Plano Frontal de Projeção e o plano θ. A reta de interseção
do plano α com o Plano Frontal de Projeção é o próprio traço frontal do plano – fα. A reta de interseção do plano α com o plano θ é a
reta i, que está definida pelos seus traços (F’ e H’), pois trata-se do
caso geral da interseção entre planos. O ângulo entre o plano θ e o
Plano Frontal de Projeção é igual (tem a mesma amplitude) do
ângulo entre as duas retas – fα e i. O ângulo entre as duas retas está
contido no plano definido pelas duas retas – o plano α. Como o
plano α não é paralelo a nenhum dos planos de projeção, o ângulo
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entre as duas retas não se projeta em verdadeira grandeza, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se por
rebater o plano α para o Plano Horizontal de Projeção. A charneira do rebatimento foi o traço horizontal do plano. O traço frontal do plano α, em
rebatimento (fαr ) está coincidente com o eixo X. O traço horizontal da reta i é um ponto da charneira, pelo que é um ponto fixo – H’r H’1. Rebateu-se o traço frontal da reta – F’. A reta i rebatida fica definida pelos seus traços rebatidos – H’r e F’r. O ângulo entre as duas retas é qualquer dos
dois menores ângulos entre fαr e ir. Assinalou-se um desses ângulos com a letra º. O ângulo assinalado é a verdadeira grandeza do ângulo que o
plano θ faz com o Plano Frontal de Projeção.
III.
Em primeiro lugar representou-se o ponto O, pelas suas projeções, bem como o plano (o plano secante), pelos seus traços, em função dos
dados. Em seguida, com o compasso, fazendo centro em O1, desenhou-se a circunferência circunscrita ao pentágono e construiu-se o polígono,
inscrito na circunferência e garantindo que está na posição pretendida. Tendo em conta que a face lateral [ABV] é frontal (de frente), os vértices A
e B do pentágono têm de ter o mesmo afastamento. Por outro lado, tendo em conta que A e B são os vértices de menor afastamento do polígono, o vértice oposto ao lado [AB] é o vértice D e é o vértice de maior afastamento da figura. Não está expressa, no enunciado, qualquer indicação
sobre a ordem dos vértices, por isso esta é indistinta – optou-se por se situar A à esquerda de B, mas poderia ser ao contrário. A partir daí nomearam-se os vértices do pentágono em sequência e desenharam-se as projeções da figura. Em seguida determinaram-se as projeções do vértice V,
da pirâmide. Uma vez que a face lateral [ABV] está contida num plano frontal (de frente), V tem o mesmo afastamento de A e B. Por outro lado,
uma vez que a face lateral [ABV] é um triângulo isósceles, a projeção horizontal de V (V1) situa-se no ponto médio do segmento [A1B1]. A partir da
projeção horizontal do vértice V, e sendo dada a sua cota (9 cm), determinou-se a projeção frontal do vértice (V2 ) e desenharam-se as projeções
da pirâmide. O contorno aparente frontal do sólido é [V2C2D2E2]. Os vértices A e B não integram o contorno aparente frontal e são os vértices de
menor afastamento do sólido, pelo que são invisíveis, bem como todas as arestas que neles convergem. As arestas [AE] e [AB], da base, bem
como a aresta lateral [AV] são invisíveis. As arestas [AE] e [AB], da base, estão ocultas por arestas visíveis em projeção frontal, pelo que não há
qualquer invisibilidade a assinalar nestas arestas, o mesmo não acontecendo com a aresta [AV], que é invisível em projeção frontal. As arestas [BC]
e [BA], da base, bem como a aresta lateral [BV] são invisíveis. As arestas [BC] e [BA], da base, estão ocultas por arestas visíveis, pelo que não há
qualquer invisibilidade a assinalar nestas arestas em projeção frontal, o mesmo não acontecendo com a aresta [BV], que é invisível em projeção
frontal. Por fim, a aresta lateral [DV] é visível em projeção frontal, pois D é o vértice de maior afastamento do sólido. O contorno aparente horizontal do sólido é [A1V1B1C1D1E1]. Todos os vértices integram o contorno aparente horizontal. Tendo em conta que a base é invisível, todas as arestas
laterais são visíveis, em projeção horizontal. Após a determinação das projeções da pirâmide há, agora, que determinar a figura da secção que o
plano secante produz na pirâmide. O plano é um plano de rampa, que é um plano não projetante, o que significa que as interseções entre o
plano secante e as arestas do sólido ou as suas faces laterais não são diretas. Poder-se-ia ter resolvido o exercício determinando sucessivamente
as interseções entre as arestas laterais do sólido (contidas em retas não projetantes) com o plano secante (um plano não projetante), recorrendo
sucessivamente ao método geral da interseção entre retas e planos, mas optou-se por um processo mais simples. De facto, optou-se por recorrer
a uma mudança do diedro de projeção, transformando o plano num plano projetante. Dessa forma, no novo diedro de projeção, as interseções
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entre o plano secante (transformado num plano projetante) e as arestas laterais do sólido passarão a ser diretas. Nesse sentido, optou-se por
manter o Plano Horizontal de Projeção e substituir o Plano Frontal de Projeção (plano 2) por um novo plano de projeção (plano 4), ortogonal ao
plano . Nesse sentido, o novo eixo X (o eixo X’) é perpendicular ao traço horizontal do plano (h). Note que se assinalou devidamente que o
eixo X é a reta de interseção do plano 1 (o Plano Horizontal de Projeção) com o plano 2 (o Plano Frontal de Projeção) e que o eixo X’ é a reta de
interseção do plano 1 (o Plano Horizontal de Projeção) com o plano 4 (o novo plano de projeção). Tendo em conta que se manteve o Plano Horizontal de Projeção, mantiveram-se também as projeções horizontais e as cotas (que são referenciadas ao Plano Horizontal de Projeção) e alteraram-se os afastamentos (que eram referenciados ao Plano Frontal de Projeção) e vai haver novas projeções frontais (as projeções no novo plano
de projeção – o plano 4). O ponto P é um ponto qualquer do plano – é um ponto do traço frontal do plano. Tendo em conta que se mantiveram
as projeções horizontais e as cotas, a projeção horizontal do ponto P manteve-se e a nova projeção frontal (a sua projeção no plano 4) foi determinada em função da sua cota, que se manteve. Note que, no novo diedro de projeção, a linha de chamada do ponto P é perpendicular ao novo
eixo X (o eixo X’) e, neste caso, fica coincidente com o eixo X inicial, pois P tem afastamento nulo. O traço do plano no plano 4 (f4) passa por P4
e é concorrente com h no eixo X’. No novo diedro de projeção (o diedro de projeção formado pelo plano 1 e pelo plano 4), o plano é um plano
de topo (um plano projetante frontal). Em seguida determinaram-se as projeções de todos os vértices da pirâmide no plano 4. Pelas projeções
horizontais de todos os pontos (que se mantiveram) conduziram-se linhas de chamada perpendicular ao novo eixo X (o eixo X’). Depois, tendo em
conta que se mantiveram as respetivas cotas, determinaram-se as projeções dos pontos no plano 4, em função das suas cotas. Em seguida desenhou-se a projeção da pirâmide no plano 4. A figura da secção determinou-se no novo diedro de projeção. Primeiro há que ter em conta que o
plano não corta a base e corta as cinco arestas laterais do sólido, o que se pode comprovar diretamente pois, no novo diedro de projeção, o
plano é projetante frontal. C’, D’ e E’ são os pontos em que o plano corta as arestas laterais [CV], [DV] e [EV], respetivamente – aqueles pontos
foram determinados em projeção frontal (no plano 4), uma vez que o plano , no novo diedro de projeção, é projetante frontal. As projeções horizontais daqueles pontos situam-se sobre as projeções horizontais das arestas laterais que os contêm, nas linhas de chamada que por eles passam.
A partir das projeções horizontais de C’, D’ e E’, determinaram-se as suas projeções frontais, no diedro de projeção inicial, sobre as projeções frontais
das arestas laterais em que aqueles pontos se situam. Estes procedimentos permitiram-nos determinar as projeções de C’, D’ e E’ no diedro de projeção inicial. Já o mesmo não se pode utilizar na determinação dos pontos A’ e B’ (os pontos em que o plano corta as arestas laterais [AV] e [BV]).
De facto, há que ter em conta que, no novo diedro de projeção, as arestas laterais [AV] e [BV] são de perfil, ou seja, as suas projeções não verificam
o Critério de Reversibilidade. Assim, ao contrário dos outros três pontos, os pontos A’ e B’ não têm determinação direta. No entanto, isso não constituiu qualquer problema. A’4 e B’4 foram determinados diretamente, no novo diedro de projeção, tendo em conta que, no novo diedro de projeção, o plano é projetante frontal. No entanto, tendo em conta que, na mudança do diedro de projeção efetuada, se mantiveram as cotas,
transportaram-se, para o diedro de projeção inicial, as cotas daqueles pontos, o que nos permitiu determinar as suas projeções frontais (A’2 e B’2)
sobre as projeções forntais das arestas laterais a que pertencem. A partir das projeções frontais dos dois pontos, determinaram-se as suas projeções
horizontais, sobre as projeções horizontais das arestas laterais que os contêm. A partir das duas projeções dos cinco pontos, desenharam-se as projeções da figura da secção – o pentágono irregular [A’B’C’D’E’]. Em projeção horizontal, todos os lados da figura da secção são visíveis, pois todas
as faces laterais da pirâmide são visíveis (à exceção da face lateral [ABV], que é projetante horizontal e, por isso, também não tem invisibilidades a
registar). Já em projeção frontal, o mesmo não acontece. De facto, os lados [A’B’], [B’C’] e [A’E’] são invisíveis, em projeção frontal, por se situarem
em faces laterais invisíveis em projeção frontal – as faces laterais [ABV], [BCV] e [AEV], respetivamente. Já os lados [C’D’] e [D’E’] são visíveis, em
projeção frontal, por se situarem em faces laterais visíveis em projeção frontal – as faces laterais [CDV] e [DEV], respetivamente.
IV. (Resolução)
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IV. (Relatório)
Em primeiro lugar representaram-se as perspetivas dos três eixos, de acordo com os ângulos dados. Em função dos dados, depreende-se que o
plano axonométrico é o plano XZ, pelo que estes dois eixos são perpendiculares entre si. A perspetiva do eixo Y faz, com estes dois eixos, os
ângulos dados. Em seguida, com vista à construção da perspetiva do objeto, procedeu-se à representação prévia dos pontos dados, em Dupla
Projeção Ortogonal, considerando o plano XY rebatido sobre o plano axonométrico (o plano XZ) – a charneira deste rebatimento é o próprio
eixo X e o eixo Yr fica coincidente com o eixo Z. No plano XZ (que é o próprio plano axonométrico e que corresponde ao Plano Frontal de Projeção) representaram-se as projeções frontais dos pontos O e O’, dados, em função da cota dada. Note que, uma vez que o ponto O tem afastamento nulo e como o plano axonométrico é o próprio plano XZ (que corresponde ao Plano Frontal de Projeção), a perspetiva do ponto O está
coincidente com a projeção frontal do ponto, pelo que se tem imediatamente O O2. Por outro lado, uma vez que os pontos O e O’ se situam
na mesma reta projetante frontal, tem-se imediatamente O’2 O O2. Por fim, optou-se por atribuir a letra Q ao ponto que será o centro das
duas circunferências no plano intermédio – o plano que contém a base de maior afastamento do cilindro maior e a base de menor afastamento
do cilindro menor. Esse plano tem 7 cm de afastamento e o ponto Q será, assim, um ponto com 7 cm de afastamento e que se situa na mesma
reta projetante frontal dos pontos O e O’. Nesse sentido, tem-se imediatamente Q2 O’2 O O2. No plano XY rebatido (que corresponde
ao Plano Horizontal de Projeção), representaram-se as projeções horizontais dos pontos O, Q e O’ (em rebatimento), em função dos respetivos
afastamentos – O1, Q1r e O’1r . Note que a projeção horizontal do ponto O se situa no eixo X, pois O tem afastamento nulo, pelo que não foi
necessário indicar que se trata de um rebatimento – O1 e O1r estão coincidentes, mas o excesso de notações pode ser prejudicial à leitura do
exercício e, por isso, omitiu-se a representação de O1r. Uma vez que as bases do sólido são paralelas ao plano axonométrico (o plano XZ), foi
possível desenhar, de forma imediata, a projeção frontal do sólido – as duas circunferências não sofrem qualquer deformação, pelo que, com o
compasso, fazendo centro em O2 e com 4 cm de raio, desenhou-se a circunferência que delimita a projeção frontal do primeiro cilindro. Depois,
também com o compasso, fazendo centro em O’2 e com 2 cm de raio, desenhou-se a circunferência que delimita a projeção frontal do segundo
cilindro. Em seguida, determinou-se a direção de afinidade d, que nos permite inverter o rebatimento do plano XY. Para tal rebateu-se o plano
projetante do eixo Y para o plano axonométrico (o plano XZ) – o eixo Yr’ é o eixo Y rebatido pelo rebatimento do seu plano projetante e é perpendicular à perspetiva do eixo Y. Com o compasso, fazendo centro no ponto O (a origem do referencial) e com um raio qualquer (optou-se por
fazer o raio igual ao afastamento do ponto O’) desenhou-se um arco de circunferência, que relaciona o eixo Y rebatido pelo rebatimento do
plano XY (o eixo Yr) e o eixo Y rebatido pelo rebatimento do seu plano projetante (o eixo Yr’). O ponto R é um ponto do eixo Y cujo afastamento
é igual ao afastamento da base de maior afastamento do objeto (o afastamento do ponto R é igual ao raio do arco desenhado). O ponto Rr do
eixo Yr é o ponto R rebatido pelo rebatimento do plano XY. O ponto Rr’ do eixo Yr’ é o ponto R rebatido pelo rebatimento do plano projetante
do eixo Y. Por Rr’ conduziu-se uma reta projetante em rebatimento (a reta rr), com a inclinação dada (a reta rr faz um ângulo de 55º com a perspetiva do eixo Y), obtendo-se a perspetiva do ponto R sobre a perspetiva do eixo Y. A reta que passa por Rr (o ponto R rebatido pelo rebatimento do plano XY) e pela perspetiva do ponto R é a direção de afinidade – a reta d. Note que o ponto R é a perspetiva do ponto do eixo Y que tem
o afastamento do ponto O’. Assim, por O’0 conduziu-se uma paralela à perspetiva do eixo Y (que corresponde à perspetiva da parte da linha de
chamada do ponto O’ que se situa no plano XY) e pela perspetiva do ponto R conduziu-se uma paralela à perspetiva do eixo X. O ponto de
interseção das duas retas é a perspetiva da projeção horizontal do ponto O’ – O’1. Por este ponto conduziu-se uma paralela à perspetiva do eixo
Z (que corresponde à perspetiva da reta projetante horizontal do ponto O’) e por O’2 conduziu-se uma paralela à perspetiva do eixo Y (que corresponde à perspetiva da reta projetante frontal do ponto O’). O ponto de interseção das duas retas é a perspetiva do ponto O’. Com o compasso, fazendo centro na perspetiva do ponto O’ e com 2 cm de raio, desenhou-se a circunferência que delimita a base de maior afastamento
do sólido. Tenha em conta que, como as bases são paralelas ao plano axonométrico, não sofrem qualquer deformação, pelo que as suas perspetivas são, também, circunferências. Em seguida conduziu-se, por Q1r , uma reta paralela à direção de afinidade. O ponto em que esta interseta a
paralela à perspetiva do eixo Y que passa por O’0 é a perspetiva de Q1 (a perspetiva da projeção horizontal do ponto Q). Por este ponto conduziu-se uma paralela à perspetiva do eixo Z (que corresponde à perspetiva da reta projetante horizontal do ponto Q) e determinou-se a perspetiva do ponto Q sobre a perspetiva da reta projetante frontal do ponto O’ (que é a mesma projetante frontal do ponto Q). Com o compasso,
fazendo centro na perspetiva do ponto Q, desenharam-se duas circunferências – uma com 4 cm de raio e outra com 2 cm de raio. A primeira
corresponde à perspetiva da base de maior afastamento do primeiro cilindro e a segunda corresponde à perspetiva da base de menor afastamento do segundo cilindro. Para concluir a representação axonométrica do sólido, há que determinar, rigorosamente, as perspetivas das geratrizes do contorno aparente. As geratrizes dos dois cilindros estão contidas em retas projetantes frontais (trata-se de cilindros de revolução, com
bases frontais), que são paralelas ao eixo Y. Tendo em conta que as perspetivas das bases são circunferências e que as perspetivas das geratrizes
do contorno aparente serão necessariamente paralelas à perspetiva do eixo Y, há que determinar as retas tangentes às circunferências que são
paralelas a uma reta dada. Nesse sentido conduziram-se, pelos centros das circunferências, retas perpendiculares à perspetiva do eixo Y, para
ser possível determinar os pontos de tangência. Os pontos A e B são os pontos em que as geratrizes do contorno aparente do primeiro cilindro
serão tangentes à sua base de menor afastamento. Os pontos A’ e B’ são os pontos em que as geratrizes do contorno aparente do primeiro
cilindro serão tangentes à sua base de maior afastamento. Os segmentos [AA’] e [BB’] são, assim, as perspetivas das geratrizes do contorno aparente do primeiro cilindro. Os pontos M e N são os pontos em que as geratrizes do contorno aparente do segundo cilindro serão tangentes à
sua base de menor afastamento. Os pontos M’ e N’ são os pontos em que as geratrizes do contorno aparente do segundo cilindro serão tangentes à sua base de maior afastamento. Os segmentos [MM’] e [NN’] são, assim, as perspetivas das geratrizes do contorno aparente do segundo cilindro. Após a determinação de todos estes pontos, representou-se o sólido pretendido, resultante da justaposição dos dois cilindros,
ocultando as linhas invisíveis, como pede expressamente o enunciado.
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