Mecânica e Ondas
Prof. David Resendes
Mário Pinheiro
LEAN & MEMec
27/4 a 1/5 de 2015
Ler: Tipler, Capt. 9,10 pgs. 281-344.
Série 9
1*. Uma demonstração de sala de aula consiste em segurar uma bola de beisebol
directamente por cima de uma bola de basquete a cerca de 1 m acima dum piso
duro e largar as duas bolas em simultâneo. As duas bolas colidirão logo após a
bola de basquete repicar no piso; a bola de beisebol será, então lançada até ao
tecto, enquanto a bola de basquete parará bruscamente.
a) Supondo que a colisão da bola de basquet com o chão é elástica, qual a relação
entre as velocidades das bolas mesmo antes de colidirem?
b) Supondo uma colisão elástica entre as duas bolas utilize o resultado de a) e
conservação da quantidade de movimento e energia para mostrar que, se a bola de
basquete é 3 vezes mais pesada do que a de beisebol, a velocidade final da bola
de basquete é zero.
c) Se a norma da velocidade de beisebol é v mesmo antes da colisão, qual é a sua
velocidade logo após a colisão? (T8.105) (R: 2v)
2a. Uma partícula de massa m possui uma velocidade constante segundo uma
recta que dista b da origem de coordenadas (ver Figura 1). Seja dA a área varrida
pelo vector posição da partícula em relação a O durante o intervalo de tempo dt.
Mostre que dA/dt é constante e igual a L/(2m), onde L é o módulo (norma) do
momento angular da partícula em relação à origem. (T10.40)
2b. Suponha uma cápsula espacial rodando a 30 rev/min (Fig. 2). Pretende-se
parar a rotação fazendo uso de dois jactos tangenciais a uma distância R=3 m do
eixo (ver figura 2). Cada jacto pode ejectar 10 g/s de gás com norma de velocidade
de 800m/s. Determine o intervalo de tempo durante o qual os jactos devem
funcionar para parar a rotação. Em vôo, o momento de inércia da cápsula (suposto
constante) em relação ao eixo é de 4000 kgm2. (R: 261.8 s) (T10.46)
3. a) Mostre que o momento de inércia de duas partículas de massas m1 e m2
separadas por uma distância r, em relação a um eixo que passa pelo seu centro de
massa e que é perpendicular ao segmento que as une, é I = µr2 onde µ é a massa
reduzida do sistema. (1/µ=1/m1+1/m2)
b) Mostre que o momento de inércia de uma placa rectangular, homogénea, de
dimensões a × b e massa m, em torno de um eixo perpendicular ao seu plano e
que passa por um dos vértices é I =(m/3)* (a2 + b2).
4.* Uma bola de m=20 kg está presa por um fio de 1,5 m de comprimento e movese no sentido antihorário (se vista de cima) descrevendo uma circumferência no
plano horizontal (pêndulo cónico) com uma velocidade angular constante ω=2π
rad/s à volta do eixo vertical. O fio forma um ângulo de θ=30º com a vertical.
a) Determine o vector momento angular bem como a sua taxa de variação no
tempo em relação ao centro da circumferência (no plano horizontal).
b) Determine o torque sobre m nas circunstâncias da alínea anterior. Verifica-se
a 2ª Lei aplicada ao movimento de rotação?
c) Repita as alíneas a) e b) quando passamos a origem do centro da circumferência
para o ponto de suspensão da massa m. (T10.74)
5. A Fig. 2 mostra uma barra uniforme, de comprimento L e massa M, articulada
na extremidade superior. A barra, que está inicialmente em repouso, é atingida
por uma partícula de massa m no ponto x=0.8 L, abaixo do ponto de apoio.
Suponha que a colisão é perfeitamente inelástica. Qual deverá ser a velocidade
mínima da partícula para que o ângulo máximo entre a barra e a vertical seja de
90º? (T10.63)
Fig. 1
Fig. 2
Fig. 3
Fig. 4
NB: Os problemas com um * fazem parte da avaliação contínua.