UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO
GRANDE DO SUL – UNIJUÍ
EDUARDO PADOIN
MODELAGEM MATEMÁTICA DA DINÂMICA DA NÃO
LINEARIDADE DE FOLGA EM UMA JUNTA ROTATIVA DE UM
ROBÔ SCARA COM TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
Ijuí, RS – BRASIL.
2011
EDUARDO PADOIN
MODELAGEM MATEMÁTICA DA DINÂMICA DA NÃO LINEARIDADE DE
FOLGA EM UMA JUNTA ROTATIVA DE UM ROBÔ SCARA COM
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
Dissertação apresentada ao programa de pósgraduação
em
modelagem
matemática
da
universidade regional do noroeste do estado do
rio grande do sul (UNIJUÍ), como requisito
parcial para obtenção do título de mestre em
modelagem matemática.
ORIENTADOR: DOUTOR ANTONIO CARLOS VALDIERO
Ijuí, RS - BRASIL
2011
UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO
ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MODELAGEM MATEMÁTICA
MODELAGEM MATEMÁTICA DA DINÂMICA DA NÃO LINEARIDADE DE
FOLGA EM UMA JUNTA ROTATIVA DE UM ROBÔ SCARA COM
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
Elaborada por
EDUARDO PADOIN
Como requisito para obtenção do grau de Mestre em Modelagem Matemática
Comissão Examinadora
Prof. Dr. Antonio Carlos Valdiero – DETEC/UNIJUÍ (Orientador)
Prof. Dr. Wang Chong – UNIPAMPA
Prof. Dr. Paulo Sausen – DETEC/UNIJUÍ
Ijuí, RS, 28 de Março de 2011.
AGRADECIMENTOS
A Deus.
A minha família, em especial meus pais, Aido e Ivone Padoin, minha irmã Daniela e minha
namorada pelo incentivo e apoio.
Ao meu orientador Prof. Dr. Antonio Carlos Valdiero, pelos conhecimentos transmitidos com
paciência e amizade ao longo de todo o período de desenvolvimento desse trabalho
Aos professores e bolsistas do Campus Panambi em especial ao Prof. Dr. Luiz Antonio Rasia,
pelo auxílio e apoio nas tarefas e estudos.
Aos meus colegas do curso de Modelagem Matemática, em especial ao colega Odair Menuzzi
pela amizade e parceira nos estudos.
Ao casal Zaida e Artur pelo convívio, amizade e hospitalidade.
A CAPES pelo apoio financeiro
A todos que de alguma forma contribuíram para a realização deste trabalho.
“Uma pessoa inteligente resolve um problema,
um sábio o previne”
Albert Einstein
SUMÁRIO
LISTA DE FIGURAS ............................................................................................................ 8
LISTA DE TABELAS ......................................................................................................... 12
SIMBOLOGIA .................................................................................................................... 13
RESUMO ............................................................................................................................ 16
ABSTRACT ........................................................................................................................ 17
1. Introdução ........................................................................................................................ 18
1.1 Generalidades................................................................................................................. 18
1.2 Descrição do robô e seus principais componentes ........................................................... 19
1.3 Transmissões mecânicas de manipuladores robóticos ..................................................... 21
1.4 Descrição da não linearidade de folga............................................................................. 24
1.5 Objetivos e Metas........................................................................................................... 25
1.6 Metodologia ................................................................................................................... 26
1.7 Organização do Trabalho ............................................................................................... 26
2. Modelagem matemática ................................................................................................... 28
2.1 Introdução ...................................................................................................................... 28
2.2 Revisão bibliográfica sobre a não linearidade de folga .................................................... 29
2.3 Modelagem matemática do eixo motor e movido............................................................ 31
2.4 Modelo da não linearidade de folga ................................................................................ 33
2.5 Modelo dinâmico de um junta robótica acionada por trens de engrenagens. .................... 35
2.6 Discussões ..................................................................................................................... 36
3. Metodologia para identificação experimental dos parâmetros de uma junta rotativa
acionada por transmissão de engrenagens ............................................................................. 38
3.1. Introdução ..................................................................................................................... 38
3.2 Descrição do sistema de aquisição de dados ................................................................... 39
3.3 Descrição da bancada experimental para testes da não linearidade de folga .................... 41
3.4 Metodologia de identificação experimental dos parâmetros da não linearidade de folga.. 45
3.5 Exemplo de aplicação na junta rotativa do protótipo de um robô SCARA....................... 50
3.6 Discussões ..................................................................................................................... 53
4. Resultados em malha aberta ............................................................................................. 54
4.1 Introdução ...................................................................................................................... 54
4.2 Simulação computacional com dados da bibliografia ...................................................... 55
4.3 Simulação computacional com dados da bancada experimental ...................................... 58
4.3.1 Entrada na forma de dente de serra. ............................................................................. 58
4.3.2 Entrada senoidal. ......................................................................................................... 60
4.3.3 Entrada polinomial ...................................................................................................... 62
4.4 Teste experimental na bancada ....................................................................................... 64
4.5 Validação do modelo ...................................................................................................... 69
4.6 Discussão ....................................................................................................................... 71
5. Resultados em malha fechada ........................................................................................... 73
5.1 Introdução ...................................................................................................................... 73
5.2 Descrição dos controles clássicos (P,PD,PI,PID) ............................................................ 74
5.3 Estratégias de controle.................................................................................................... 75
5.4 Descrição e simulação da inversa do modelo da não linearidade de folga ....................... 78
5.5 Simulação computacional ............................................................................................... 82
5.6 Discussões ..................................................................................................................... 89
6. Conclusões ....................................................................................................................... 90
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................. 92
LISTA DE FIGURAS
Figura 1- Principais componentes de um manipulador robótico industrial do tipo SCARA ... 19
Figura 2 - Tipos de estruturas de robôs industriais: a) robô articulado, b) robô SCARA, c)
robô cartesiano. Fonte: Adaptado de Paatz (2008). ............................................................... 20
Figura 3 - Partes de uma engrenagem. .................................................................................. 22
Figura 4 - Vários tipos de engrenagnes: a) Dentes Retos, b) Dentes internos, c) engrenagens
cônicas, d) cremalheira e roda dentada, e) Engrenagem com dentes Helicoidais. Fonte:
Valdiero (1998). ................................................................................................................... 23
Figura 5 - Esquema representativo da não linearidade de folga. ............................................ 24
Figura 6 - Esquema gráfico da modelagem matemática da dinâmica de uma junta do robô
SCARA com transmissão por trem de engrenagens .............................................................. 28
Figura 7 - a) Sistema esquemático do acionamento de uma junta rotativa com transmissão por
engrenagens, b) DCL (diagrama de corpo livre) eixo motor, c) DCL (diagrama de corpo livre)
eixo movido. ........................................................................................................................ 31
Figura 8 - Representação gráfica da não linearidade de folga e dos parâmetros do modelo
utilizado ............................................................................................................................... 35
Figura 9 - Esquema do modelo da junta robótica. ................................................................. 36
Figura 10 - Sistema de aquisição dos dados composto pelo microcomputador (1), placa
dSPACE (2) e o painel conector instalados em uma estante de instrumentação (3). .............. 40
Figura 11 - Tela da interface gráfica do software ControlDesk utilizado para aquisição de
dados da placa dSPACE ....................................................................................................... 41
Figura 12 - Projeto da maquete eletrônica da bancada de testes. ........................................... 42
Figura 13 - Bancada Experimental para testes da não linearidade de folga em trem de
engrenagens. ........................................................................................................................ 42
Figura 14 - Encoder incremental modelo da série 75 do fabricante Hohner........................... 44
Figura 15 - Fluxograma das etapas da metodologia desenvolvida ......................................... 45
Figura 16 - Diagrama de blocos elaborado no SIMULINK/MatLab utilizado para leitura do
sinal da dSPACE, (a) leitura da entrada (via encoder), (b) leitura da saída (via encoder) ...... 46
Figura 17 - Gráfico dos sinais de entrada e saída capturados na bancada experimental durante
um ciclo do movimento de inversão ..................................................................................... 47
Figura 18 - Gráficos comparativos das saídas com folga e sem folga (caso ideal) no trem de
engrenagens testado: (a) entrada versus saídas e (b) saídas versus tempo. ............................. 48
Figura 19 - Região ampliada da figura 18 (a) mostrando graficamente os parâmetros da não
linearidade de folga .............................................................................................................. 49
Figura 20 - Diagrama de blocos utilizado na simulação computacional do modelo matemático
da não linearidade da folga ................................................................................................... 49
Figura 21 - Mecanismo Projetado do robô SCARA .............................................................. 51
Figura 22 - Foto da junta 2 do robô SCARA e desenho em destaque da transmissão por trem
de engrenagens utilizada nesta junta do robô. ....................................................................... 52
Figura 23 - Protótipo do manipulador SCARA construído no Laboratório de Robótica da
UNIJUÍ Campus Panambi .................................................................................................... 52
Figura 24 - Diagrama de blocos representativo do modelo da não linearidade de folga. ........ 55
Figura 25 - Resultado de simulação do comportamento da não linearidade de folga com a
representação dos sinais de entrada e saída para condição inicial
........................ 56
Figura 26 - Resultado de simulação do comportamento da não linearidade de folga com a
representação dos sinais de entrada e saída ........................................................................... 57
Figura 27 - Resultado de simulação do comportamento da não linearidade de folga com a
representação dos sinais de entrada versus o sinal de saída ................................................... 58
Figura 28 - Resultado de simulação do comportamento da não linearidade de folga com a
representação dos sinais de entrada (dente de serra) e saída para condição inicial
59
Figura 29 - Resultado de simulação do comportamento da não linearidade de folga com a
representação dos sinais de entrada (dente de serra) versus o sinal de saída para condição
inicial
................................................................................................................ 60
Figura 30 - Resultado de simulação do comportamento da não linearidade de folga com a
representação dos sinais de entrada (senoidal) e saída para condição inicial
..... 61
Figura 31 - Resultado de simulação do comportamento da não linearidade de folga com a
representação dos sinais de entrada (senoidal) versus o sinal de saída para condição inicial
.......................................................................................................................... 61
Figura 32 - Resultado de simulação do comportamento da não linearidade de folga com a
representação dos sinais de entrada (polinomial) e saída....................................................... 63
Figura 33 - Resultado do experimento partindo com trem de engrenagens acoplado com a
condição inicial de contato entre as engrenagens. ................................................................. 64
Figura 34 - Comparativo com e sem folga, partindo da condição inicial de folga nula. ......... 65
Figura 35 - Resultado do experimento partindo com trem de engrenagens desacoplado,
posição inicial da folga de 4.5º ou 0.0785 rad. ...................................................................... 66
Figura 36 - Comparativo com e sem folga, partindo de uma posição inicial de folga do trem
de engrenagens de 4.5º ou 0.0785 rad ................................................................................... 67
Figura 37 - Resultado do experimento partindo com trem de engrenagens desacoplado,
partindo de uma folga total de 9º ou 0.157 rad. ..................................................................... 68
Figura 38 - Comparativo com e sem folga, partindo de uma folga total de folga de 9º ou 0.157
rad ....................................................................................................................................... 69
Figura 39 - Fluxograma no processo de validação experimental do modelo .......................... 70
Figura 40 - Validação do modelo matemático da não linearidade de folga ............................ 71
Figura 41 - Esquema da estratégia 1 de controle com compensação de folga e controle no eixo
motor ................................................................................................................................... 76
Figura 42 - Esquema da estratégia 2 de controle no eixo movido .......................................... 77
Figura 43 - Estratégia 3 de controle com inversa da folga, eixo motor e movido ................... 78
Figura 44 - Esquema de representação da inversa da não linearidade da folga ...................... 79
Figura 45 - Diagrama de blocos da inversa da folga ............................................................. 79
Figura 46 - Resultado da Simulação computacional do comportamento da inversa da folga
para entrada em dente de serra ............................................................................................. 80
Figura 47 - Resultado da Simulação computacional do comportamento da inversa da folga
com a representação dos sinais de entrada (dente de serra) versus o sinal de saída ................ 81
Figura 48 - Diagrama de blocos utilizado na simulação computacional da compensação da
folga por meio da sua inversa. .............................................................................................. 81
Figura 49 - Resultado da Simulação computacional do comportamento da não linearidade de
folga com a compensação da sua inversa .............................................................................. 82
Figura 50 - Resultados da simulação computacional em malha fechada para a trajetória
senoidal................................................................................................................................ 83
Figura 51 - Região ampliada da figura 50 mostrando um comparativo entre as estratégias de
controle ................................................................................................................................ 83
Figura 52 - Gráfico comparativo dos erros obtidos da simulação computacional em malha
fechada para. ........................................................................................................................ 84
Figura 53 - Gráfico comparativo do sinal de controle obtidos da simulação computacional em
malha fechada. ..................................................................................................................... 85
Figura 54 - Resultados da simulação computacional em malha fechada para a trajetória
polinomial. ........................................................................................................................... 86
Figura 55 - Gráfico de erros para simulação computacional da trajetória polinomial ............ 87
Figura 56 - Resultados do sinal de controle para trajetória polinomial .................................. 88
Figura 57 - Resultados do sinal de controle para estratégia 2 ................................................ 88
LISTA DE TABELAS
Tabela 1. Especificações do sistema de aquisição de dados. ................................................. 40
Tabela 2. Principais componentes da bancada experimental ................................................. 43
Tabela 3. Parâmetros do modelo do sistema com folga. ........................................................ 50
SIMBOLOGIA
Alfabeto Latino
Coeficiente do polinômio de 7ª ordem da trajetória desejada
polinomial
Coeficiente do polinômio de 7ª ordem da trajetória desejada
polinomial
Coeficiente do polinômio de 7ª ordem da trajetória desejada
polinomial
Coeficiente do polinômio de 7ª ordem da trajetória desejada
polinomial
Coeficiente do polinômio de 7ª ordem da trajetória desejada
polinomial
Coeficiente do polinômio de 7ª ordem da trajetória desejada
polinomial
Coeficiente do polinômio de 7ª ordem da trajetória desejada
polinomial
Coeficiente do polinômio de 7ª ordem da trajetória desejada
polinomial
Intervalo de folga a esquerda
Fricção viscosa do motor
Intervalo de folga a direita
Fricção viscosa eixo movido
Distância percorrida sobre a trajetória polinomial
Deslocamento angular percorrido pela entrada
Relação de transmissão
[N.m.s]
[rad]
[N.m.s]
[rad]
14
Momento de inércia eixo movido
[kg.m2]
Momento de inércia do motor
[kg.m2]
Kp1
Ganho proporcional eixo movido
Kpt
Ganho proporcional eixo motor
Relação de Transmissão
Posição inicial da saída
Raio da engrenagem movida
Raio da engrenagem motora
Tempo
[s]
Somatório dos Torques
Perturbação do torque de carga
[N.m]
Torque da engrenagem motora
[N.m]
Torque da engrenagem movida
[N.m]
Torque do Motor
[N.m]
Tempo de deslocamento da trajetória polinomial
Eixos das projeções da intersecção esquerda
Eixos das projeções da intersecção direita
Alfabeto Grego
Saída velocidade angular
Entrada velocidade angular
15
Saída aceleração angular
Entrada aceleração angular
Saída posição angular
[rad]
Trajetória de saída desejada
Função polinômio de 7ª ordem
Entrada posição angular
Trajetória de entrada desejada
[rad]
RESUMO
Apresenta-se a modelagem matemática e a simulação computacional da não
linearidade de folga (backlash) presente em transmissões mecânicas do tipo trem de
engrenagens, comuns no acionamento das juntas rotativas de manipuladores robóticos do tipo
SCARA (Selective Compliance Assembly Robot Arm - braço robótico para montagem com
complacência seletiva). Esses robôs são utilizados em tarefas repetitivas e insalubres da
indústria, nas mais diferentes aplicações em setores tais como a indústria de transformação e a
de equipamentos eletro-eletrônicos, entre outras. Essas tarefas industriais realizadas requerem
precisão e repetitividade nos movimentos desejados. Entretanto, há vários fatores que
dificultam a obtenção de boa precisão, a folga nos trens de engrenagens é uma delas.
Normalmente, o conceito de folga está associado a este tipo de transmissão mecânica e aos
acoplamentos mecânicos similares. Este fenômeno de folga vem dificultando o desempenho
de sistemas de controle há vários anos, uma vez que folgas causam efeitos indesejáveis sobre
a dinâmica de realimentação e sobre o desempenho do sistema de controle. A junta robótica
modelada é composta por uma transmissão mecânica por trem de engrenagens de dentes retos,
que resulta em um modelo dinâmico de 4° ordem com a inclusão da não linearidade de folga.
O modelo é validado experimentalmente em uma bancada de testes e os resultados ilustram as
características da não linearidade. Além disso, foi desenvolvida uma metodologia de
identificação experimental dos parâmetros da folga. Por fim, são propostas algumas
estratégias de controle para compensação da não linearidade de folga aliadas ao controle
clássico proporcional. Resultados de simulação computacional são apresentados para o
controle proporcional com e sem a compensação da folga, evidenciando a eficiência da
compensação.
ABSTRACT
This work presents the mathematical modeling and the computer simulation of the
backlash nonlinearity present in power transmission by gears, common in driven the prismatic
and rotary joint of robotic manipulator SCARA (Selective Compliance Assembly Robot Arm).
This robot is used in tasks repeatability and unhealthy the industry, in many different
applications in sectors such as manufacturing industry and consumer electronics, among
others. These industrial tasks performed require accuracy and repeatability in the desired
motion. However, there are several factors that make it difficult to obtain good precision with
repetitions, the backlash in gear trains is one. Typically, the concept of backlash is associated
with gear trains and similar mechanical couplings. This phenomenon has difficult the
performance of control systems for many years, since backlash cause undesirable effects on
the system dynamics and on the feedback performance of the control system. The joint robotic
modeled is composed by train of gears with straight teeth, that result in a dynamic model of 4°
order, with the inclusion of the backlash nonlinearity. The model is experimentally validated
in a tests bench and the results illustrate the model characteristics, and also is developed an
experimental methodology for identification the backlash parameters. Finally, are propose
some control strategies to compensate of the backlash nonlinearity with the classical
proportional control. Results of computer simulations are presented to the proportional control
with and without the backlash compensation. The simulation results show efficiency of the
proportional control using the backlash compensation.
1. INTRODUÇÃO
1.1 Generalidades
Esta dissertação trata da modelagem matemática e a simulação computacional da não
linearidade de folga (backlash) presente em transmissões mecânicas do tipo trem de
engrenagens, comuns no acionamento das juntas rotativas e prismáticas de manipuladores
robóticos, como por exemplo, do robô tipo SCARA (Selective Compliance Assembly Robot
Arm - braço robótico para montagem com complacência seletiva).
Com o crescimento do consumo mundial, a ampliação da produção se fez necessária.
Com o intuito de buscar uma solução para suprir essa necessidade, indústrias dos mais
diferentes setores tais como transformação, de equipamentos eletro-eletrônicos, entre outras,
montaram linhas de produção utilizando robôs no lugar da mão de obra humana para muitas
tarefas repetitivas e insalubres nas mais diferentes aplicações nos setores industriais citados.
Essas tarefas industriais realizadas requerem precisão e repetitividade nos movimentos
desejados. Entretanto, há vários fatores que dificultam a obtenção de boas precisões com
repetições, a folga nos trens de engrenagens é uma delas. Normalmente, o conceito de folga
está associado com os trens de engrenagem e acoplamentos mecânicos similares. Este
fenômeno vem dificultando o desempenho de sistemas de controle há vários anos, uma vez
que folgas causam efeitos indesejáveis sobre a dinâmica de realimentação e sobre o
desempenho do sistema de controle.
O manipulador robótico do tipo SCARA, foco desse estudo, é dotado de uma base fixa
seguida de duas juntas rotativas, uma prismática e, em alguns modelos, uma junta rotativa de
orientação. Os robôs SCARA são adaptados para aproximação vertical, o que os torna ágeis
na movimentação de objetos e, por terem boa velocidade e precisão, são largamente utilizados
em montagens precisas que envolvem grande número de itens, como circuitos eletrônicos.
Nesse tipo de robô há duas formas de acionamento das juntas rotativas, uma é o
acionamento direto (direct-drive), onde o motor é montado diretamente no eixo da junta e que
de acordo com Turner (2001) não é o ideal para motores elétricos, pois a ausência de uma
relação de redução do movimento leva à necessidade de motores elétricos especiais com
menor rotação e maior torque, além de sujeitá-lo aos efeitos dinâmicos do acoplamento. A
outra forma de acionamento, que é a mais tradicional e simples, é a utilização de transmissões
por engrenagens entre os motores e as juntas, as quais possuem como vantagens a menor
carga no motor, maiores rotações no motor e a facilidade de seu posicionamento no braço do
19
robô. A desvantagem deste tipo de acionamento é a presença de atrito e a folga nas
transmissões por engrenagem que é apresentado em Padoin et al. (2010), além do aumento do
ruído quando a engrenagem for do tipo dentes retos.
O propósito deste trabalho é apresentar uma proposta computacional de modelagem e
simulação de folga (backslash) em transmissões mecânicas do tipo trem de engrenagem para
futura aplicação no controle de robôs industriais de custo mais baixo.
1.2 Descrição do robô e seus principais componentes
Um manipulador robótico industrial pode ser divido em três partes distintas:
mecanismo, acionamento e sistema de controle. Para o bom funcionamento de um robô essas
três partes devem estar bem projetadas e trabalhando em harmonia durante os movimentos
desejados nas tarefas de trabalho de um manipulador. Na figura 1 estão identificadas as partes
em um manipulador robótico.
Figura 1- Principais componentes de um manipulador robótico industrial do tipo
SCARA.
O mecanismo constitui a estrutura cinemática do manipulador. Sua principal função é
realizar os movimentos necessários para a execução da tarefa programada. Deve ter a rigidez
20
adequada ao sistema, bem como prover suporte satisfatório para possibilitar o correto
acoplamento dos acionamentos e sensores, visando contribuir para a precisão do manipulador.
Os manipuladores robóticos podem apresentar diferentes anatomias em relação à
cadeia cinemática, conforme descrito por Paatz (2008) e mostrado na Figura 2. Em ambas as
estruturas de manipuladores robóticos, têm-se algumas juntas rotativas que precisam ser
acionadas por motores.
b)
a)
c)
Figura 2 - Tipos de estruturas de robôs industriais: a) robô articulado, b) robô SCARA, c)
robô cartesiano. Fonte: Adaptado de Paatz (2008).
21
Através da disposição dos elos e juntas que formam o mecanismo, é possível
determinar o tipo de manipulador robótico (antropomórfico, SCARA, Gantry, etc.) tal como
descrito por Schmitt (2009). No caso específico dos manipuladores tipo SCARA, o
mecanismo básico compreende duas juntas rotativas e uma prismática, podendo ainda conter
mais uma junta rotativa para fins de orientação do efetuador final.
Já o acionamento é responsável pela aplicação das forças ou torques necessários para a
movimentação adequada do mecanismo, ou seja, consiste na integração dos sistemas de:
unidades de potência, atuadores, transmissões de potência, juntamente com os demais fios,
tubos e outros componentes pertinentes ao sistema (SCHMITT, 2009).
O acionamento pode ser elétrico, hidráulico ou pneumático, podem incluir o sistema
de transmissão, o qual tem por objetivo transmitir potência da fonte até a carga, através de
componentes como acoplamentos, redutores ou amplificadores.
Para que o manipulador robótico desenvolva seu trabalho com precisão e
repetitividade é necessário que, além de adequados mecanismo e acionamento, possua um
sistema de controle eficiente. O sistema de controle de manipuladores robóticos é formado
basicamente por hardware, software, sensores e elementos de comando. Os sensores são
responsáveis em fornecer sinais dos valores reais dos estados do sistema para o algoritmo de
controle. Com esses sinais, o controlador pode comparar a resposta do sistema com a
trajetória desejada, numa estratégia em malha fechada, e assim calcular os sinais de controle
do acionamento. A partir da adequada modelagem matemática do sistema e de suas não
linearidades, é possível programar o sistema de controle com algoritmos de compensação de
tais não linearidades. Esta dissertação se preocupa com a modelagem e a compensação da não
linearidade de folga.
1.3 Transmissões mecânicas de manipuladores robóticos
Atualmente há duas formas de acionamento das juntas de robôs industriais. Uma é o
acionamento direto (direct-drive), onde o motor é montado diretamente no eixo da junta e que
de acordo com Turner et al. (2001) não é o ideal para motores elétricos, pois a ausência de
uma relação de redução do movimento leva à necessidade de motores elétricos especiais com
menor rotação e maior torque, além de sujeitá-lo aos efeitos dinâmicos do acoplamento. A
outra forma de acionamento, que é a mais tradicional e simples, é a utilização de transmissões
por engrenagens entre os motores e as juntas, as quais possuem como vantagens a menor
carga no motor, maiores rotações no motor e a facilidade de seu posicionamento deste no
22
braço do robô. A desvantagem deste tipo de acionamento é a presença de atrito e a folga nas
transmissões de engrenagem.
Ao projetar e construir um robô industrial, vários componentes podem ser utilizados
nas transmissões mecânicas. O objetivo de uma transmissão é levar a potência mecânica da
fonte de potência até a carga. Ao optar por um tipo de transmissão mecânica, deve-se levar
em conta a potência transmitida, os tipos de movimentos realizados e o posicionamento da
fonte de potência em relação á junta rotativa ou prismática em questão. Além, é claro, de
fatores como a rigidez do material, a eficiência e a relação custo por benefício.
De acordo com Ross et al. (2006), na seleção ótima de uma transmissão por
engrenagens para aplicações em mecatrônica, a escolha do tipo depende de muitos fatores,
onde os mais importantes são velocidade de entrada, folga, eficiência e custo. Em geral a
transmissão de custo menor tem a maior folga, então ou se aumenta o custo ou se compensa a
não linearidade de folga com esquema de controle. O importante é se chegar a uma solução de
compromisso (trade-off), equilibrando os custos de fabricação e os custos de implementação
de controle com a compensação das não linearidades.
As engrenagens são os componentes de transmissão mais utilizados. Engrenagens são
rodas com dentes padronizados que servem para transmitir movimento e força entre dois
eixos. Muitas vezes as engrenagens são usadas para variar o número de rotações e o sentido
da rotação de um eixo para o outro, e suas partes podem ser vista na Figura 3.
Figura 3 - Partes de uma engrenagem.
Ao se optar por esse tipo de transmissão mecânica é necessário estabelecer a razão de
transmissão, qual o tipo de engrenagem a ser utilizado, o suporte dos eixos das engrenagens,
23
além da lubrificação e do controle da distância dos centros das engrenagens. Dentre os tipos
de engrenagens utilizadas está á engrenagem com dentes retos que é o tipo mais comum de
engrenagem e o de mais baixo custo, sendo utilizadas para a transmissão de rotação entre
eixos paralelos ou para deslocamento linear de uma cremalheira. É mais empregada em
movimentos de baixa rotação do que em altas rotações devido ao ruído que poduz. Já as
engrenagens que possuem dentes helicoidais são paralelas entre si, mas oblíquos em relação
ao eixo, devido a isso trabalham mais suavemente que as com dentes retos, produzindo assim
menos ruído.
Em manipuladores robóticos freqüentemente é necessário um trem de engrenagens que
possua grandes reduções. As engrenagens em forma de tronco de cone, recebem o nome de
cônicas. Podem ser compostas de dentes retos ou helicoidais, o ângulo de interseção entre
duas engrenagens geralmente é de 90°, podendo ser maior ou menor. A engrenagem cônica é
usada para mudar a rotação e a direção da força, em baixas velocidades. Já a do tipo
cremalheira é uma barra provida de dentes e destinada a engrenar uma roda dentada, podendo
assim tranformar movimento de rotação em movimento retilíneo e vice-versa. A engrenagem
harmônica é caracterizada pela alta relação de transmissão e eixos paralelos em série, sendo
por estas razões muito compacta. Outro tipo de engrenagem que permite alta redução de
velocidade é a engrenagem planetária. Na figura 4 pode verificar a ilustração de alguns tipos
de engrenagens. Este trabalho trata do estudo da não linearidade de folga num par de
engrenagens cilíndricas de dentes retos, tal como na figura 4 (a).
Figura 4 - Vários tipos de engrenagnes: a) Dentes Retos, b) Dentes internos, c) engrenagens
cônicas, d) cremalheira e roda dentada, e) Engrenagem com dentes Helicoidais. Fonte:
Valdiero (1998).
24
1.4 Descrição da não linearidade de folga
Em manipuladores robóticos não linearidades como a zona morta, folga e histereses
são consideradas comuns e típicas, pois elas estão onipresentes em componentes de sistemas
mecânicos, hidráulicos entre outros. Dentre essas, a não linearidade de folga, objeto desse
estudo, tem o seu conceito normalmente associado com os trens de engrenagem e
acoplamentos mecânicos, onde sua característica principal é o atraso entre a ação de potência
promovida na engrenagem motora e o receber dessa ação na engrenagem movida.
Esse atraso ou folga é um fenômeno que vem dificultando o desempenho de sistemas
de controle. Essa dificuldade se dá devido ao fato de que as tarefas realizadas por
manipuladores robóticos nas mais diferentes tarefas da indústria requerem precisão e
repetitividade nos movimentos desejados. Entretanto, a folga dificulta a obtenção de boas
precisões com repetições. Essa situação causa efeitos indesejáveis sobre a dinâmica de
realimentação e sobre o desempenho do sistema de controle.
Para melhor entendimento da não linearidade de folga será apresentada uma descrição
passo a passo de seu comportamento a partir da figura 5.
Figura 5 - Esquema representativo da não linearidade de folga.
Considere a figura 5 (b), onde um Perfil L está engrenado em um Perfil U com um
espaço de folga constante
. O deslocamento angular da engrenagem motora mostrado
figura 5 (a), também representada pelo Perfil L na figura 5 (b), é dado pela entrada
eo
deslocamento angular da engrenagem movida mostrado na figura 5 (a), também representada
pelo de Perfil U na figura 5 (b), é dado pela saída
.
25
Com base nisso, na figura 5 considera-se
movimento para a direita. Quando
atingir
e
, em seguida,
teremos
inicia um
, o contato então é
estabelecido. Durante o período de contato a saída e a entrada formam uma curva de
característica crescente através da relação de transmissão. Se em algum momento algum
ponto da entrada
parar e iniciar um movimento no sentido contrário, ou seja, para a
esquerda invertendo a trajetória, a saída
permanecerá imóvel e guardando sua posição até
que a entrada entre em contato com a extremidade oposta. A curva do movimento durante
esse período é representado por uma transição de segmento horizontal para a esquerda. Como
visto na figura 5 pode-se perceber que a duração desse segmento é
, uma vez que
<
0. Como descrito anteriormente o fim desse segmento é o contato com o lado esquerdo do
Perfil U.
Após,
inicia o movimento para a esquerda juntamente com a entrada
, formando
assim uma curva de característica decrescente. Certamente se a entrada parar e começar
novamente um movimento para a direita o processo todo irá se repetir, sempre observando os
novos contatos com os lados de Perfil U e as inversões dos movimentos.
1.5 Objetivos e Metas
Esta dissertação tem como objetivo geral desenvolver a modelagem matemática da
característica não linear de folga nas transmissões mecânicas do acionamento de um robô
SCARA.
Busca-se implementar um modelo que descreva a dinâmica de uma junta rotativa
acionada por um trem de engrenagem, juntando as equações da dinâmica com as equações
que descrevem o comportamento da folga. Para validação do modelo, comparam-se os dados
obtidos da simulação computacional com os dados obtidos de uma bancada experimental. A
partir de uma metodologia proposta, pretende-se identificar experimentalmente os parâmetros
do modelo da não linearidade de folga.
Por ultimo, pretende-se compensar os efeitos danosos causados pela folga com a
elaboração de uma estratégia de compensação da não linearidade de folga embutida no
controle clássico proporcional em malha fechada.
26
1.6 Metodologia
Para realizar o desenvolvimento da pesquisa, efetuou-se uma ampla revisão
bibliográfica, visualizando as diferentes abordagens, modelos matemáticos e leis de controle
propostas por diversos autores sobre o tema. Em seguida foi estudado o funcionamento de
juntas rotativas e transmissões mecânicas no acionamento destas.
Na formulação do modelo matemático da junta robótica foi utilizada a lei de Newton
do equilibro dinâmico em cada eixo (movido e motor) e na do modelo da não linearidade de
folga nas transmissões mecânicas do tipo trens de engrenagens baseou-se em Tao e Kokotovic
(1996).
A simulação computacional do modelo obtido e a análise do comportamento foram
realizadas por solução numérica, utilizando o programa computacional Simulink/MATLAB.
Posteriormente para a validação experimental do modelo formulado e simulado, desenvolveuse uma bancada com um motor corrente contínua e um par de engrenagens cilíndricas de
dentes retos, utilizando a placa dSPACE para aquisição de dados. Após a validação
experimental, aplicou-se um modelo para fins de controle em um sistema de transmissões
mecânicas de um robô do tipo SCARA industrial, baseando-se no controle proporcional com
e sem a compensação da folga.
Toda a estrutura física e apoio intelectual para o desenvolvimento dessa dissertação
deu-se com recursos da infra-estrutura disponível na UNIJUÍ no Campus Panambi e do
quadro docente da mesma.
1.7 Organização do Trabalho
O trabalho está dividido em seis capítulos, onde no capitulo 1 são abordados assuntos
que introduzem a idéia do trabalho, mostrando a estrutura de um manipulador robótico, a
descrição da não linearidade da folga e as transmissões mecânicas em manipuladores
robóticos, assim como a metodologia e organização do trabalho. No capitulo 2 é apresentada a
modelagem matemática do problema, com o modelo de folga e a modelagem matemática da
dinâmica da junta, que inclui o eixo motor e o movido. Já no capitulo 3 é desenvolvida a
metodologia para identificação experimental dos parâmetros da não linearidade de folga. O
comportamento do sistema em malha aberta, assim como testes experimentais e validação
experimental do modelo são demonstrados no capitulo 4. No capitulo 5, resultados de
simulação computacional do sistema em malha fechada são apresentados, demonstrado as
27
estratégias de controle proporcional com e sem a compensação da folga. Por fim, a conclusão
é apresentada no capitulo 6.
2. MODELAGEM MATEMÁTICA
2.1 Introdução
Neste capitulo é descrita a modelagem matemática de uma junta rotativa de um
manipulador robótico com acionamento e transmissão mecânica por um trem de engrenagens
com a presença da não linearidade de folga. Para a não linearidade de folga (backlash), foco
dessa dissertação, baseou-se no modelo de folga proposto por Tao e Kokotovic (1996).
A modelagem matemática tem sua definição em um processo de investigação de um
fenômeno que pode ser real, físico, natural, social ou cultural, que com a ajuda de hipóteses e
aproximações simplificadas, extraem-se suas características, representando-as através de
equações matemáticas. Pode-se assim efetuar a previsão das tendências do comportamento do
sistema real modelado.
A modelagem de um sistema mecânico tem como embasamento o uso de leis físicas
que descrevem a dinâmica do mesmo. Na composição da dinâmica estudada, faz-se uso das
leis de equilibro dinâmico (segunda lei de Newton) nos modelos dos eixos motor e movido do
trem de engrenagens e no acoplamento das dinâmicas usa-se o modelo de folga proposto. Na
figura 6 pode-se verificar numa representação gráfica o acoplamento dos diferentes modelos
utilizados na modelagem dinâmica de uma junta rotativa do robô SCARA.
Modelagem da não
linearidade de folga
Modelagem Eixo Motor
Modelagem Eixo Movido
Figura 6 - Esquema gráfico da modelagem matemática da dinâmica de uma junta do robô
SCARA com transmissão por trem de engrenagens
Para a construção das equações que regem a dinâmica de uma junta rotativa com
transmissão por trem de engrenagens, adotam-se as seguintes hipóteses simplificadoras:
29
- A folga (backlash) é resultado de imperfeições na fabricação e montagem da
transmissão, e também do desgaste durante uso;
- Atrito considerado é viscoso (amortecimento do sistema) e ocorrem em cada eixo;
- Não serão consideradas as características de atrito dinâmico;
- Inicialmente a folga (backlash) será considerada constante, não variando com a
posição angular do eixo da junta;
- Os elementos da transmissão (os eixos motor e movido e as engrenagens) são corpos
rígidos, desprezando-se a elasticidade torcional da junta;
Na seção 2.2 desse capítulo é mostrada uma revisão bibliográfica sobre o objeto de
estudo, já na seção 2.3 será demonstrada a modelagem matemática dos eixos motor e movido.
O modelo da não linearidade de folga será foco da seção 2.4. Na seção 2.5 o modelo dinâmico
proposto para a junta robótica acionada por trens de engrenagens será evidenciado, por fim,
em 2.6 é feita uma discussão sobre a formulação da modelagem matemática realizada no
capítulo.
2.2 Revisão bibliográfica sobre a não linearidade de folga
Para aproximação do que está sendo feito em termos de pesquisa sobre o objeto de
estudo dessa dissertação, foi efetuada uma revisão bibliográfica onde é possível verificar os
modelos matemáticos que são utilizados para descrever a não linearidade de folga, bem como
estratégias para compensação e controle.
É importante salientar que durante a revisão bibliográfica pode-se observar que o
objetivo da maioria das pesquisas passa por estratégias de compensação dos efeitos danosos
da não linearidade de folga. Em cima disso vários tipos de teorias de controles são
exemplificados, porém poucas com resultados experimentais comprovando e validando a
estratégia demonstrada, o grande montante é validado em cima de resultados teóricos e
computacionais. Objetivando complementar as pesquisas, o enfoque dessa dissertação é o
estudo experimental do caso, validando o modelo proposto na teoria de forma experimental
com estudo de caso em manipuladores robóticos e juntas rotativas.
Sendo assim, serão evidenciados a seguir os trabalhos expoentes que tratam do
assunto: Valdiero (2005) aponta a importância do estudo das não linearidades dos sistemas
mecânicos, os quais causam limitações no desempenho do controle preciso, destacando-se a
zona morta, o atrito, histerese e a folga (backlash). Dentro deste contexto, vários trabalhos
(Nordin e Gutman, 2002; Dong e Tan, 2009; Vorös, 2009; Hägglund, 2007) têm tratado da
30
modelagem, identificação e compensação da não linearidade de folga. Nordin e Gutman
(2002) comentam que a folga é uma das mais importantes não linearidades que limitam o
desempenho do controle de posição e velocidade em aplicações industriais e de robótica. A
revisão bibliográfica realizada por estes autores indica ainda que existe muita pesquisa a ser
feita para síntese e análise da compensação de folga no controle de sistemas mecânicos.
Vörös (2009) apresenta uma nova forma analítica de descrição do modelo matemático
da não linearidade de folga que utiliza funções de chaveamento e mostra resultados de
simulação computacional da identificação dos parâmetros.
Hägglund (2007) descreve um novo método para detecção e estimativa da não
linearidade de folga em válvulas de controle que sofreram desgaste. Ele utiliza como modelo
a função descritiva da folga e comenta que a facilidade de compensação desta não linearidade
depende de sua inversa.
Selmic e Lewis (2001) apresentam um esquema de compensação para folgas com
inversão da dinâmica utilizando a técnica do backstepping com redes neurais. Um modelo
geral da folga é usado e permite assimetria.
Cazarez-Castro et al. (2009) apresenta uma combinação de lógica fuzzy e algoritmos
genéticos na busca de resolver o problema de regulação da saída de servomecanismos com
não linearidade de folga. Os dados para simulação foram obtidos a partir de uma bancada
experimental de teste que envolve um motor DC ligado a uma carga mecânica por meio de
uma transmissão por trem de engrenagens com folga.
Giri et al. (2008) apresenta proposições para a identificação de sistemas lineares com a
presença da não linearidade de folga a partir da parametrização apropriada do sistema, a
estimativa dos parâmetros pela técnica dos mínimos quadrados e a especificação de padrões
de sinais de entrada.
Shahnazi et al. (2009) propõe um controlador adaptativo combinado com lógica fuzzy
para melhorar a robustez do controle feedback de sistemas com a presença de não linearidades
tais como sistemas mecânicos com folga no acionamento.
Da mesma forma que Morales-Velazquez et al. (2009) propõe melhorias do controle
de máquinas, ferramenta com controle numérico computadorizado (CNC) utilizando
plataformas de baixo custo e a identificação dos parâmetros do modelo do servo sistema.
31
2.3 Modelagem matemática do eixo motor e movido
Para melhor compreensão da modelagem matemática da dinâmica de um trem de
engrenagens sem a presença da não linearidade da folga, pode ser visto na figura 7 um
desenho esquemático do acionamento de uma junta rotativa, por engrenagens e o conjunto de
forças agentes no sistema no DCL (diagrama de corpo livre). O sistema adotado é composto
por um motor elétrico de corrente contínua que movimenta a engrenagem motora, esta por sua
vez movimenta a engrenagem do tipo movida. Os deslocamentos angulares dos eixos motor e
movido são medidos por sensores de deslocamento angular do tipo encoder incremental.
a)
+
-
-
+
-
b)
-
-
-
c)
Figura 7 - a) Sistema esquemático do acionamento de uma junta rotativa com transmissão por
engrenagens, b) DCL (diagrama de corpo livre) eixo motor, c) DCL (diagrama de corpo livre)
eixo movido.
A formulação do modelo é obtida por equilíbrio dinâmico através do método de
Newton-Euler, onde cada eixo (motor e movido) é analisado separadamente, resultando assim
em duas equações diferenciais ordinárias de segunda ordem equação (3) e (6).
32
Aplicando-se a lei do equilíbrio dinâmico no eixo motor da Figura 7 (a) (Segmento (I))
e (b), na forma da equação (1).
(1)
Em seguida é explicito as forças agentes no segmento (I) da relação da equação (1) na
equação (2) e (3). Sendo assim, a dinâmica do segmento (I) do sistema é gerida pela equação
(4).
(2)
(3)
(4)
onde
[kg.m2] é o momento de inércia do conjunto motor e eixo motor,
coeficiente de atrito viscoso equivalente às perdas por atrito no eixo motor,
torque aplicado pelo motor,
engrenagem motora, e
[N.m.s] é o
[N.m] é o
é o torque da carga resultante da força de reação na
é o ângulo de entrada correspondente ao deslocamento angular do
eixo motor.
Já a parte no eixo movido, representada pelo segmento (II) da figura 7 (a) e (c), aplicase de forma análoga a lei do equilíbrio dinâmico dada pela equação (5).
(5)
Sendo as forças agentes na equação (6). Nesse sentido, o segmento (II) do sistema é
descrito pela dinâmica da equação (8)
(6)
(7)
(8)
onde
[kg.m2] é o momento de inércia equivalente ao eixo movido da junta mais o momento
de inércia do elo ligado a esta junta,
[N.m.s] é o coeficiente de atrito viscoso equivalente
33
às perdas por atrito no eixo e elo movidos,
[N.m] é o torque de carga da junta rotativa,
[N.m] é o torque aplicado na engrenagem movida resultante da força de ação da
engrenagem motora sobre a movida e
ângulo de saída correspondente ao deslocamento
angular da junta rotativa.
Se não houvesse a imperfeição de folga no sistema dinâmico, a relação entre o
deslocamento angular do eixo da junta,
, e o do motor,
relação entre o torque da engrenagem movida
, seria dada pela equação (9) e a
e o torque da engrenagem motora
poderia ser escrita como na equação (10):
(9)
(10)
onde
é dado pela relação de transmissão entre os eixos,
, sendo,
e
os
tamanhos dos raios da engrenagem motora e da engrenagem movida respectivamente. Com
isso, pode-se chegar a uma única equação de segunda ordem que rege a dinâmica do sistema
por completo, substituindo equação (8) em (4) através da relação estabelecida na equação (9)
e equação (10). Originando a equação (11).
(11)
Com isso, assume-se que não há presença da não linearidade de folga na dinâmica e os
eixos estão acoplados. A equação (11) baseasse somente no movimento angular do eixo
motor, onde a relação de transmissão para com o eixo movido é dada por
. Como visto, com
as equações (4) e (8) é possível descrever o movimento de uma junta rotativa com
acionamento através de trem de engrenagens com essas características.
2.4 Modelo da não linearidade de folga
Através da revisão bibliográfica da seção 2.2 foi possível verificar os modelos que são
utilizados para descrever a não linearidade da folga. Como já evidenciado, em Vörös (2009) é
apresentada uma nova forma analítica de descrição do modelo matemático da não linearidade
de folga que utiliza funções de chaveamento e mostra resultados de simulação computacional
da identificação dos parâmetros. Já Hägglund (2007) descreve um novo método para detecção
34
e estimativa da não linearidade de folga em válvulas de controle que sofreram desgaste. Ele
utiliza como modelo a função descritiva da folga e comenta que a facilidade de compensação
desta não linearidade depende de sua inversa. Selmic e Lewis (2001) apresentam um esquema
de compensação para folgas com inversão da dinâmica utilizando a técnica do backstepping
com redes neurais. Um modelo geral da folga é usado e permite assimetria. Cazarez-Castro et
al. (2009) apresenta uma combinação de lógica fuzzy e algoritmos genéticos na busca de
resolver o problema de regulação da saída de servomecanismos com não linearidade de folga.
Dentre os casos estudados o modelo que será utilizado para descrever o fenômeno, é o
modelo proposto por Tao e Kokotovic (1996), com entrada
e
sendo a saída, estes
com deslocamento angular e tendo suas medidas em radianos. O modelo matemático é dado
pelas equações (12), (13) e (14).
(12)
Sendo:
(13)
(14)
onde
são parâmetros constantes,
contato dos dentes da engrenagem (
são medidas do posicionamento do vão de
= lado esquerdo,
= lado direito). Os valores de
são valores dos eixos das projeções das intersecções de duas paralelas linhas da
inclinação
com o segmento horizontal contendo
este que evidencia o momento
em que a efeito danoso da folga (perda de contato) age sobre o sistema. Já a inclinação
é
dada pela razão de transmissão das engrenagens motora e movida,
o
, sendo,
e
tamanho do raio do trem de engrenagem, nesse caso engrenagem motora e engrenagem
motiva respectivamente
A não linearidade de folga e os parâmetros do modelo de (12), (13) e (14) podem ser
visualizados graficamente na figura 8 que é caracterizado por duas linhas diretamente
paralelas para cima à direita e para baixo a esquerda.
35
Figura 8 - Representação gráfica da não linearidade de folga e dos parâmetros do modelo
utilizado
Na figura 8 é expressa a relação da variação do deslocamento angular da entrada
da saída
e
da folga durante todo o período do acionamento da dinâmica. Nota-se que os
segmentos horizontais paralelos ao eixo da entrada do sistema apresentam o efeito da folga no
sistema, ocasionando estagnação do movimento durante estes trechos.
2.5 Modelo dinâmico de um junta robótica acionada por trens de engrenagens.
Nas seções anteriores (2.3) e (2.4), foi apresentado o modelo matemático do eixo
motor e movido e o modelo da não linearidade de folga, respectivamente, de forma separada.
Já para o estudo completo da dinâmica de uma junta rotativa com a não linearidade de folga é
necessário a junção dos dois modelos, tornando assim um único modelo que represente a
dinâmica da junta robótica. Isso é necessário devido ao não acoplamento das dinâmicas (eixo
motor e eixo movido), uma vez que no meio das duas dinâmicas existe a presença da não
linearidade de folga no trem de engrenagem, configurando assim o não acoplamento. Na
figura 9 é mostrado o procedimento de junção dos modelos em um único.
36
Modelo
Eixo
Motor
Modelo da
não
linearidade
de folga
Modelo
do Eixo
Movido
Modelo
Dinâmico
da junta
rotativa
Figura 9 - Esquema do modelo da junta robótica.
Portanto, o modelo dinâmico da junta rotativa com a presença da não linearidade de
folga entre os eixos motor e movido é descrito pelas equações (15), (16) e (17):
(15)
(16)
(17)
onde:
(18)
(19)
Assim, tem-se um conjunto de equações matemáticas que permitem a representação do
comportamento do acionamento de forma completa. Esse é o modelo dinâmico utilizado em
toda a dissertação, nas simulações computacionais, experimentos de validação do modelo e na
definição das estratégias de controle para compensação.
2.6 Discussões
Neste capítulo foi tratado da modelagem matemática de uma junta rotativa acionada
por meio de uma transmissão por par de engrenagens, típica de um robô SCARA. Fez-se uma
breve descrição da revisão bibliográfica relacionada a não linearidade de folga na seção 2.2,
onde foram evidenciadas as pesquisas disponíveis na literatura científica e é possível constatar
37
que diferentemente da maioria dos trabalhos que apresentam validação em cima de resultados
teóricos e computacionais, essa dissertação tem como enfoque o estudo experimental do caso,
validando o modelo proposto na teoria de forma experimental.
O modelo adotado para a não linearidade de folga foi apresentado na seção 2.3, na
forma de equações matemáticas e da representação gráfica de seu comportamento.
Na seção 2.4, formulou-se o modelo dinâmico da junta robótica, que descreve os
movimentos dos eixos motor e movido. Finalizando a seção com o acoplamento das
dinâmicas em uma única equação para o caso de não haver a não linearidade de folga no trem
de engrenagens entre os eixos.
Na seção 2.5 apresenta-se a modelagem matemática da dinâmica completa de uma
junta robótica rotativa com a presença da não linearidade de folga entre os eixos.
Os resultados desse capítulo foram publicados em Padoin et al (2010b), sendo de
fundamental importância no estudo e na aprendizagem da modelagem matemática da
dinâmica da junta robótica rotativa.
3. METODOLOGIA PARA IDENTIFICAÇÃO EXPERIMENTAL DOS
PARÂMETROS DE UMA JUNTA ROTATIVA ACIONADA POR TRANSMISSÃO
DE ENGRENAGENS
3.1. Introdução
Nesse capitulo é apresentada uma metodologia para identificação experimental dos
parâmetros de uma junta rotativa acionada por um trem de engrenagens, bem como a
descrição das bancadas experimentais e do sistema de aquisição dos dados utilizados na
validação do modelo. Na seção 3.2 é feita a descrição do sistema de aquisição de dados,
composto pela associação de softwares (SIMULINK/MatLab e ControlDesk/dSPACE) e
hardware (placa eletrônica dSPACE, painel conector dSPACE e microcomputador). A placa
dSPACE tem importante utilidade devido à facilidade na captura dos dados da bancada
experimental, através de suas portas de leitura de sinais digitais e analógicos é possível
capturar o sinal lido pelos sensores de posição (encoders incrementais). Com este conjunto
tem-se toda a infraestrutura para a aquisição e processamento dos dados resultantes das
aquisições experimentais.
Com a preocupação de fazer aplicação e validação experimental do modelo, construiuse uma bancada experimental para junto com o sistema de aquisição proporcionar a validação
do modelo de folga e a identificação experimental dos parâmetros do modelo. Na seção 3.3 é
demonstrada a descrição da bancada experimental para testes da não linearidade de folga, nela
foi montado um protótipo de um trem de engrenagens, reproduzindo o mesmo mecanismo
utilizado em juntas rotativas de um manipulador robótico do tipo SCARA. O tipo de
engrenagem utilizada é a cilíndrica de dente reto, a trajetória de entrada é estimulada por um
motor corrente contínua com programação do sinal de entrada.
Em seqüência, na seção 3.4 é apresentado o desenvolvimento da metodologia
desenvolvida e utilizada para a identificação experimental dos parâmetros da folga. Com a
metodologia é possível através de análise dos sinais capturados, via auxílio do software e
hardware, identificar facilmente os parâmetros da folga e aplicar no modelo de folga em
estratégias de compensação da folga via controle.
Na continuação da seção é mostrado um protótipo do manipulador robótico do tipo
SCARA objetivando aplicar a metodologia desenvolvida na identificação experimental dos
parâmetros em um protótipo, esse manipulador foi constituído em um trabalho de conclusão
de curso de engenharia mecânica pelo aluno Leandro Márcio Jungbeck (JUNGBECK, 2011),
39
o robô possui duas juntas rotativas com acionamento através de motores elétricos de corrente
continua acoplados em eixo ligados a trens de engrenagens, com isso será possível utilizar,
compreender e validar a não linearidade em plena dinâmica de trabalho via o protótipo. Por
fim, na seção 3.5 para fechamento do capitulo é feita uma discussão do mesmo.
3.2 Descrição do sistema de aquisição de dados
Nos procedimentos experimentais desse trabalho, foi efetuada a leitura das posições de
entrada e saída do sistema,
e
, respectivamente, com o auxílio de um sistema de
aquisição de dados. Esses sinais são capturados por meio de dois encoders incrementais, esses
sensores são capazes de fazer a leitura de descolamento angular da posição com boa precisão.
O resultado dessas leituras serve de apoio para análises de suas variações e comportamentos.
Sendo assim, para capturar as informações da bancada de testes foi montado um
sistema de aquisição de dados apresentado na figura 10, cuja composição pode ser dividida
em três partes. O primeiro componente é um micro computador (1) responsável pela
visualização dos dados e interface com o usuário, o segundo componente é a placa dSPACE
(2) responsável pela captura e armazenagem dos dados capturados da bancada de testes, que
será apresentada na próxima seção. O terceiro componente é o conector de sinais da placa
dSPACE (3) onde por meio de um painel com leds tem-se a conexão dos cabos de
comunicação dos sensores que transmitem o sinal até a placa dSPACE, esta instalada no
micro computador. Na placa encontrada toda a inteligência do sincronismo das informações
do conector com os algoritmos do MATLAB, com isso o fluxo da informação é consolidado.
Todo esse conjunto que é utilizado para captura dos sinais está instalado em uma estante de
instrumentação.
40
Figura 10 - Sistema de aquisição dos dados composto pelo microcomputador (1), placa
dSPACE (2) e o painel conector instalados em uma estante de instrumentação (3).
A tabela 1 trás as características dos equipamentos do sistema de aquisição de dados
utilizado.
Tabela 1. Especificações do sistema de aquisição de dados.
Componente
Modelo
Especificações
Encoder incremental
7510-0622-1000
1000 pulsos por rotação
Conector de sinais
CLP1104
2 entradas digitais para
encoder incremental
Micro computador
PC Genérico
Slot PCI
Conforme descrito em dSPACE (2009), a placa dSPACE foi especialmente projetada
para facilitar o desenvolvimento e a implementação de controladores. Ela possui oito
conversores analógico-digitais (entradas ADC) e oito conversores digital-analógico (saídas
DAC). Mas, nos procedimentos experimentais apenas as duas interfaces digitais para encorder
incremental são utilizadas. Nas conversões ADC e DAC e interfaces digital para enconder
41
incremental, a placa utilizada contém um software de gerenciamento e aquisição de dados e
também, módulos de acoplamento para o MatLab/Simulink. Esse acoplamento permite a
captura dos dados das medições em tempo real como banco de dados do MatLab. Esses
bancos de dados ao serem manipulados no MatLab, permitem a análise detalhada dos
resultados obtidos.
O software de gerenciamento dos dados (ControlDesk) tem uma interface muito versátil
para a as diferentes formas de análise do problema simulado, além disso, com a
compatibilidade do software com o aplicativo MatLab/Simulink, pode-se na mesma captura
de informação, utilizar vários algoritmos de análise de sinais simultaneamente, com isso os
ensaios ganham em agilidade e qualidade. Na figura 11 tem-se um demonstrativo da tela do
software.
Figura 11 - Tela da interface gráfica do software ControlDesk utilizado para aquisição de
dados da placa dSPACE
3.3 Descrição da bancada experimental para testes da não linearidade de folga
Dando continuidade a parte experimental que servirá como instrumento para o
desenvolvimento de uma metodologia de identificação experimental dos parâmetros de folga
42
e posterior validação experimental do modelo matemático da não linearidade de folga no
acionamento de um manipulador robótico por trem de engrenagem, foi desenvolvido o projeto
e a construção de uma bancada de testes, todo desenvolvimento foi feito pelos bolsistas de
iniciação científica do curso de Engenharia Mecânica na UNIJUÍ com a supervisão do Prof.
Antonio Carlos Valdiero, no laboratório de robótica Campus Panambi. Na figura 12 pode ser
vista a maquete eletrônica da bancada, já o protótipo final na figura 13, onde foi acrescentado
um redutor de velocidades entre o motor e a transmissão por correias.
Figura 12 - Projeto da maquete eletrônica da bancada de testes.
Figura 13 - Bancada Experimental para testes da não linearidade de folga em trem de
engrenagens.
43
Pode-se notar que houve uma diferença entre o projeto e bancada final no que diz
respeito ao posicionamento do motor elétrico, essa diferença é em decorrência ao tipo de
motor utilizado para o acionamento, está estrutura é adaptável as diversas possibilidades de
motores elétricos usados para acionamento do sistema.
Na tabela 1, estão descrito os principais componentes utilizados na bancada
experimental da figura 13.
Tabela 2. Principais componentes da bancada experimental
Componente
Fabricante
Código
Encoder
incremental
Hohner
7510-0622-1000
Trem de
Engrenagem
Dentes reto
Ferro
Motor
Fonte
Placa Eletrônica
Elétrico
Elétrica
Principais
Especificações
1000 pulsos por rotação
Engrenagem motora 13
dentes, engrenagem
movida 24 dentes
corrente contínua
Controle da corrente
elétrica do motor
Como mencionado, a figura 13 mostra a bancada de testes da não linearidade de folga
numa transmissão por trem de engrenagens do tipo dente reto, a qual pode ser utilizada no
acionamento de uma junta rotativa do manipulador robótico do tipo SCARA. O mecanismo é
composto por uma transmissão por engrenagens, todos elementos são suportados por uma
estrutura fixa (6). O motor elétrico de corrente contínua (1) é montado em uma das
extremidades e aplica um torque
no eixo motor onde é fixada a engrenagem motora (3)
resultando num deslocamento angular
, medido por um encoder incremental (5), mostrado
na figura 14, e provocando um deslocamento angular
no eixo movido, onde está fixada a
engrenagem movida (2), que é medido por outro encoder incremental (4). A fonte e uma placa
eletrônica (7) alimenta e controla a corrente elétrica no motor. É importante salientar que a
fonte de energia é acoplada a uma placa de controle programada para enviar a tensão
necessária ao motor com o intuito de reproduzir um sinal de entrada sob a trajetória de um
dente de serra. Com isso é possível induzir a junta robótica a inversões de movimento no
sentido horário para anti-horário e vice e versa ao longo do tempo de experimento,
promovendo os efeitos característicos da presença da não linearidade de folga nessas
inversões.
44
Figura 14 - Encoder incremental modelo da série 75 do fabricante Hohner
O Encoder é um tipo de sensor de posição angular, tem como propriedade informar a
posição por meio de contagem de pulsos. Neste caso, tem-se uma fonte de luz, um receptor e
um disco perfurado, que irá modular a recepção da luz ao girar. Este disco está preso a uma
junta no caso especificado nas extremidades do eixo motor e eixo movido, de forma a criar
um movimento rotacional, enquanto que a fonte de luz e o receptor estão fixos. A rotação do
disco cria uma série de pulsos pela interrupção ou não da luz recebida pelo detector. Estes
pulsos de luz são transformados pelo detector em uma serie de pulsos elétricos, conforme
descrito por Carrara (2007).
Na seqüência, os sinais capturados pelo encoder incremental (deslocamento angular
e
) são lidos por uma placa de aquisição de sinal analógico e transformadas para sinais
digitais via placa (dSPACE, modelo DS1104, esta já descrita na seção anterior). A partir dessa
etapa, toda a inteligência para análise e manuseio dessas informações se dará nos algoritmos
desenvolvidos no Matlab/Simulink e a sua integração com o software de gerenciamento da
placa, os quais se alimentam desses sinais.
O trem de engrenagens é composto por engrenagem de dentes retos. A engrenagem
motora usada possui 13 dentes, já a engrenagem movida possui 24 dentes o que resulta em
uma relação de transmissão de aproximadamente 0.5417. A escolha da montagem nessa
ordem serviu para proporcionar uma melhor relação entre a velocidade e a redução de
movimentos no acoplamento do motor.
A vantagem de utilizar-se uma bancada experimental na identificação de parâmetros
de uma situação real, além de poder simular a dinâmica e todos os seus componentes com
veracidade em seu acionamento, proporciona possibilidades de ajustar e manipular situações
que uma transmissão por engrenagens possa sofrer em seu funcionamento real.
45
Uma dessas possibilidades encontra-se em capturar sinais oriundos de diferentes
posições iniciais dos dentes das engrenagens como demonstrado anteriormente. Essas
distintas posições iniciais auxiliam no entendimento da dinâmica e podem ser ajustadas e
consideradas no modelo matemático e em uma posterior compensação via controle. Além
disso, pode-se testar a influência da dinâmica no comportamento da folga através de
diferentes cargas no eixo movido, modificações na montagem no mecanismo e utilização de
mecanismos com falhas ou de baixa qualidade. Todas essas variações são encontradas em
situações reais, e podem ser evidenciadas e avaliadas com a aplicação na bancada de testes.
3.4 Metodologia de identificação experimental dos parâmetros da não linearidade de
folga
Para estimar os parâmetros a serem utilizados no modelo de folga proposto nessa
dissertação, foi desenvolvida uma metodologia que consiste da utilização dos resultados
experimentais obtidos na bancada de teste descrito na seção anterior (3.3) e de procedimentos
para ajustar os parâmetros da não linearidade de folga, onde o modelo foi apresentado no
capitulo 2. Na figura 15 é apresentado o fluxograma das etapas da metodologia de
identificação experimental.
Sinal de entrada (via motor)
Captura dos sinais de entrada e
saída (via encoder e placa
dSPACE)
Apuração e Estimação dos
parâmetros (via algoritmos)
Ajuste de parâmetros
(via simulação)
Figura 15 - Fluxograma das etapas da metodologia desenvolvida
46
Com base no fluxograma figura 15, o primeiro passo é realizar o deslocamento angular
do eixo motor (entrada da não linearidade,
) via sinal de controle no motor, de tal forma a
se ter uma inversão de movimento e produzir os efeitos característicos de folga no
posicionamento da junta do robô (saída da não linearidade,
). Essa inversão no movimento
foi feita através da programação efetuada na placa de controle da corrente no motor já descrita
na seção anterior.
Em conjunto com esse movimento, ocorre à medição via encoder incremental dos
sinais de entrada na extremidade do eixo motor, e de saída na extremidade do eixo movido.
Estes sinais são capturados na placa dSPACE, convertidos e processados conforme a lógica
do diagrama de blocos apresentado na figura 16, onde neste ocorre o tratamento e apuração
das informações. Como pode ser visto neste diagrama de blocos, foi transformada a entrada
em radianos e graus, além da utilização da relação de transmissão para calcular a saída sem
folga. Já no sinal de saída, este apenas foi transformado para radianos e graus.
RTI Data
-2*pi /1000
Bad Link
DS1104 ENC_SETUP
tetarad
Tetam em radianos
radianos
m
Teta 1ideal
-0.36
Bad Link
DS1104 ENC_POS _C1
tetagraus
graus
1
Add
(a)
posição sem folga (m)
Tetam em graus
Teta 1i
simout
delta
relação de transmissão
Teta 1i
To Workspace1
2*pi /1000
tetarad 1
Teta 1 em radianos
radianos 1
(b)
0.36
Bad Link
DS 1104 ENC_POS _C2
tetagraus 1
graus 1
1
delta 1
Teta 1 em graus
simout 1
To Workspace2
Figura 16 - Diagrama de blocos elaborado no SIMULINK/MatLab utilizado para leitura do
sinal da dSPACE, (a) leitura da entrada (via encoder), (b) leitura da saída (via encoder)
Em seguida na figura 17, é possível verificar os sinais de entrada e saída durante o
tempo de aquisição dos dados e observar na ampliação a perda de movimento (segmento
horizontal) característica da não linearidade da folga (backlash) na inversão do movimento da
entrada.
47
Figura 17 - Gráfico dos sinais de entrada e saída capturados na bancada experimental durante
um ciclo do movimento de inversão
Depois de efetuada a aquisição dos dados nesse período de tempo, é realizado o
segundo passo do fluxograma (figura 16) que consiste em realizar o cálculo da saída do
sistema
para o caso ideal, onde a dinâmica do sistema não possui a folga utilizando para
isso a equação (9) de relação de transmissão. Na figura 18 são mostrados os gráficos
comparativos entre a entrada e a saída do sistema com e sem folga em (a), e o comportamento
do sistema com e sem folga em (b). Nesta figura pode-se observar o atraso (delay) de
movimento entre a saída ideal (sem folga) e a saída na presença da não linearidade de folga.
48
1.6
1.6
com folga
sem folga
1.2
1.2
1
1
0.8
0.6
0.8
0.6
0.4
0.4
Região Ampliada
Fig. 19
0.2
0
-0.2
-0.5
com folga
sem folga
1.4
Saida (rad)
Saida (rad)
1.4
0.2
0
-0.2
0
0.5
1
1.5
Entrada (rad)
2
2.5
3
0
a)
5
10
15
Tempo (s)
b)
Figura 18 - Gráficos comparativos das saídas com folga e sem folga (caso ideal) no trem de
engrenagens testado: (a) entrada versus saídas e (b) saídas versus tempo.
Sendo assim, após a análise dos sinais de leitura, têm-se o terceiro passo que é estimar
os parâmetros da não linearidade de folga no trem de engrenagens, esses parâmetros estão
descritos no modelo da equação (12). A partir dos resultados experimentais figura 18 (a)
(região ampliada na figura 19), pode-se notar que a relação de transmissão
é facilmente
estimada obtendo-se a inclinação da reta entre as saídas e a entrada. A mesma analogia pode
ser feita para estimar facilmente a medida do vão de contato (
forma ampliada da figura 19.
que é representado na
49
0.16
0.14
0.12
0.1
Teta1 (s)
(
0.08
0.06
0.04
0.02
0
-0.02
-0.05
0
0.05
0.1
Tetam (Rad)
0.15
0.2
Figura 19 - Região ampliada da figura 18 (a) mostrando graficamente os parâmetros da não
linearidade de folga
Por fim, no quarto passo, os intervalos de folga à direita
e à esquerda
são
ajustados para aplicados no modelo matemático dado pelas equações (4), (8) e (12) e
implementado por meio do diagrama de blocos mostrado na figura 20.
Vl (u)
Tetam
u(1)/m+cl
Entrada (Tetam )
Add 2
Tetam
m
From
Workspace
Teta 1
Caso 1
Parâmetro m
Condição Tetam
cl
Folga Inicial
Esquerda Cl
<= Vl
Memória
m
Caso 2
Saida (Teta 1)
Parâmetro m
cr
Folga Inicial
Direita Cr
Condição Teta 1 >= Vr
Caso 3
Vr(u)
u(1)/m+cr
Figura 20 - Diagrama de blocos utilizado na simulação computacional do modelo matemático
no switch , se a entrada 1 for verdadeira , irá passar o valor da entrada
caso não seja verdadeira , irá passar o valor da entrada 3
2,
m=1;
>> cl=-1;
>> cr=2;
>> Teta 1i=-2;
>> plot (tout ,Tetam ,tout ,Teta 1)
da não linearidade da folga
50
A simulação foi feita com o auxilio da ferramenta Matlab/Simulink, utilizando a
solução numérica de integração ODE4 (Runge Kutta). Os parâmetros do sistema ajustados nas
simulações computacionais estão apresentados na Tabela 3. A partir das características
mecânicas do acionamento da junta robótica e dos resultados experimentais.
Tabela 3. Parâmetros do modelo do sistema com folga.
Parâmetro
Valor
Relação de Transmissão (
0.5417
)
Adimensional
Vão de Contato Constante (
)
Intervalo de folga a direita
Intervalo de folga a esquerda
0.157 [rad]
0.157 [rad]
0 [rad]
Entrada posição angular
Variando
Posição inicial da saída
0 [rad]
A metodologia descrita nesta seção pode ser aplicada para identificação experimental
dos parâmetros em qualquer tipo de junta rotativa acionada por trens de engrenagens de um
manipulador robótico, desde que seja possível medir os deslocamentos angulares dos eixos
motor e movido em testes de inversão dos movimentos.
3.5 Exemplo de aplicação na junta rotativa do protótipo de um robô SCARA
Como exemplo de estudo de caso, a metodologia de identificação da não linearidade
de folga descrita na seção anterior foi aplicada na junta de um robô SCARA. O protótipo de
um manipulador do tipo SCARA, desenvolvido no trabalho de conclusão de curso de
Engenharia Mecânica do aluno Leandro Márcio Jungbeck (JUNGBECK, 2011), orientado
pelo Prof. Dr. Antonio Carlos Valdiero, é descrito a seguir e tem o objetivo de validar a
metodologia de identificação experimental dos parâmetros da folga.
51
Figura 21 - Mecanismo Projetado do robô SCARA
O Projeto estrutural do manipulador utilizado pode ser visto na figura 21. O robô é
constituído de duas juntas rotativas (junta 01 e junta 02) e uma junta prismática do tipo fuso
(junta 03), além disso, possui quatro elos interligados pelas juntas (elo 0, elo 1, elo 2 e elo 3).
Possibilitando assim três graus de liberdade, podendo ainda conter um terceiro caso se tenha
uma quarta junta rotativa no efetuador final.
Para o estudo teórico e experimental foi escolhida a junta rotativa 02, pois esta possui
uma transmissão por trem de engrenagens (figura 22) acionada por um motor de corrente
contínua de potência de 24W e tensão de 12V, fabricado pela empresa Bosch (modelo CEP 9
390 453 023). Na junta 02, a rotação gerada pelo motor é transmitida ao eixo, que ligado a um
par de engrenagens de dentes retos, movimenta o elo 2.
A engrenagem motora possui 20 dentes. Já a engrenagem movida possui 31 dentes. A
relação de transmissão das engrenagens é
. Para medir os movimentos angulares
dessa junta rotativa são fixados dois encoders incrementais, um na extremidade do eixo
acionado pelo motor e o segundo na extremidade superior do eixo movido. Esse tipo de
configuração possibilita verificar os efeitos devido a presença da folga entre as engrenagens e
informar ao sistema de controle a posição da entrada (engrenagem motora) e da saída
(engrenagem movida) do sistema de transmissão dessa junta. O sistema descrito pode ser
visto na figura 22.
52
Figura 22 - Foto da junta 2 do robô SCARA e desenho em destaque da transmissão por trem
de engrenagens utilizada nesta junta do robô.
Após a fase do projeto do manipulador robótico, onde foi estudado o sistema
mecânico, de acionamento e de controle, chegou-se a construção física do robô SCARA que é
visualizado na figura 23, com destaque para junta 2, foco deste trabalho.
Figura 23 - Protótipo do manipulador SCARA construído no Laboratório de Robótica da
UNIJUÍ Campus Panambi
53
Com a constituição física do robô é possível determinar os parâmetros da folga além
da possível verificação do comportamento da não linearidade de folga na junta rotativa 02 do
manipulador robótico juntamente com o funcionamento dinâmico da mesma. Podendo ainda,
efetuar possíveis compensações dos efeitos danosos, possibilitando um controle para as
trajetórias desejadas.
3.6 Discussões
No levantamento bibliográfico pode-se verificar que a maioria dos trabalhos
disponíveis na literatura científica carece de validações e testes experimentais, na maioria são
feitos estudos teóricos e análise computacional via simulações. Como já descrito
anteriormente o objetivo desse trabalho é contribuir com estudos teóricos e experimentais,
baseado nisso o capitulo 3 propõe uma metodologia para identificação experimental dos
parâmetros da não linearidade de folga do modelo teórico proposto.
Foi demonstrado o desenvolvimento de uma metodologia para identificação
experimental dos parâmetros do modelo de folga, além da descrição da instrumentalização e
da bancada de testes utilizada, bem como a demonstração de sua aplicação em manipuladores
robóticos. Esta metodologia é uma inovação que vem a colaborar com o estudo teórico do
problema da não linearidade de folga. No próximo capítulo, tal metodologia e estrutura
serviram para validação do modelo teórico da dinâmica da junta em malha aberta.
É válido salientar que a bancada de testes foi constituída exclusivamente para o estudo
da não linearidade. O resultado desse capítulo foi encaminhado para publicação em Padoin et
al. (2011).
4. RESULTADOS EM MALHA ABERTA
4.1 Introdução
Conforme já mencionado, um dos objetivos principais desse trabalho é validar o
modelo proposto via simulação e dados experimentais. Buscando contemplar este aspecto, o
capitulo 4 tem seu foco nos resultados em malha aberta, desde a parte de simulações e
experimentos até a comparação de ambos na validação do modelo matemático da não
linearidade de folga.
A seção 4.2 mostra a parte de simulação computacional do modelo da folga em malha
aberta. A primeira simulação contou com os dados dos parâmetros utilizados na bibliografia,
comparando as diferentes possibilidades de posição inicial do movimento, além disso, são
utilizados como sinal de entrada para a não linearidade três diferentes trajetórias: dente de
serra, senoidal e polinomial. Depois os dados da simulação utilizam os parâmetros oriundos
do resultado da metodologia de identificação de parâmetros do capitulo anterior. Com isso,
pode-se observar como é o comportamento da dinâmica da junta robótica a partir de cada
sinal de entrada, verificando em cada um deles os efeitos característicos da não linearidade de
folga.
Na seção 4.3 é utilizada a bancada de testes experimentais para verificar o
comportamento do sistema experimentalmente para um tipo de sinal de entrada. São
mostrados três tipos de condições iniciais, a primeira com as engrenagens totalmente
acopladas, a segunda com os dentes das engrenagens estando exatamente no meio do vão de
folga e por ultimo partindo com o vão de folga máximo entre as engrenagens. O tipo de sinal
de entrada utilizado é de dente de serra, sinal esse já demonstrado e especificado em capítulos
anteriores.
Objetivando comparar os dados oriundos da simulação com os dados obtidos de forma
experimental, a seção 4.4 tem o foco na validação do modelo dinâmico da folga. É utilizado
um procedimento de tratamento do sinal capturado via experimento e este sinal é utilizado no
algoritmo para comparar o comportamento do sinal de saída do sistema do experimento com o
resultado obtido via simulação que utiliza os sinais experimentais de entrada. Com isso é
possível traçar uma correlação e verificar a adequação de ambos os dados, podendo assim
validar o modelo.
Por fim, a seção 4.5 traz discussões sobre o comportamento do sistema em malha
aberta.
55
4.2 Simulação computacional com dados da bibliografia
Durante a revisão bibliográfica foi levantado o modelo da não linearidade de folga
evidenciado no capitulo 2. Para validar o modelo foi desenvolvido um diagrama de blocos no
Matlab/Simulink, o algoritmo proporciona a possibilidade da análise do comportamento da
folga em malha aberta, utilizando para isso os parâmetros da bibliografia. O diagrama pode
ser visto na figura 24.
Vl(u)
Tetam
u(1)/m+cl
Entrada (Tetam )
Add 2
m
Teta 1
Entrada (Tetam )
Caso 1
Parâmetro m
Condição Tetam
cl
Folga Inicial
Esquerda Cl
<= Vl
Memória
m
Caso 2
Saida (Teta 1)
Parâmetro m
cr
Folga Inicial
Direita Cr
Condição Teta 1 >= Vr
Caso 3
Vr(u)
u(1)/m+cr
Figura 24 - Diagrama de blocos representativo do modelo da não linearidade de folga.
no switch , se a entrada 1 for verdadeira , irá passar o valor da entrada
caso não seja verdadeira , irá passar o valor da entrada 3
Para entrada
m=1;
>> cl=-1;
>> cr=2;
>> Teta 1i=-2;
>> plot (tout ,Tetam ,tout ,Teta 1)
2,
do sistema foi utilizada um sinal de dente de serra o qual sofreu
variações entre -4 e 4 radianos durante o tempo de simulação de 16 segundos. Além disso,
foram simuladas três diferentes posições iniciais para o sinal de saída
, estas servem
para demonstrar as diferentes condições iniciais de encaixe dos dentes do trem de
engrenagens dentro do domínio do vão da folga
.
Na primeira simulação na figura 25 foram utilizados os parâmetros
e posição inicial da saída
.
,
,
56
4
Tetam
Teta1
3
Posição (rad)
2
1
0
-1
-2
-3
-4
0
2
4
6
8
Tempo (s)
10
12
14
16
Figura 25 - Resultado de simulação do comportamento da não linearidade de folga com a
representação dos sinais de entrada e saída para condição inicial
Pode-se perceber através dos sinais de entrada e saída da figura 25, que com o
parâmetro
não houve perda de contato no início do movimento, o que
caracteriza que o movimento iniciou com o trem de engrenagem em perfeito contato. Somente
houve perda de movimento quando ocorreu a inversão do sinal de entrada nos instantes t=4 s
e t=12 s.
Na figura 26 foram representados os resultados de novas simulações onde foram
tomadas três condições de posição inicial da engrenagem movida (saída do sistema), estas
condições correspondem o posicionamento dos dentes na engrenagem no momento da partida
do movimento. Independente da condição inicial do movimento, o espaço do vão total da
folga é o mesmo (no presente caso,
= 3 rad). A condição inicial de posicionamento
dos dentes pode ter inúmeros valores dentro deste vão total.
57
4
Tetam
Teta1(0)=1
Teta1(0)=0
Teta1(0)=-0.5
3
Posição (rad)
2
1
0
-1
-2
-3
-4
0
2
4
6
8
Tempo (s)
10
12
14
16
Figura 26 - Resultado de simulação do comportamento da não linearidade de folga com a
representação dos sinais de entrada e saída
Como já descrito, na figura 26 pode-se observar que o sistema partiu sem os dentes
das engrenagens estarem em contato em todos os casos. No caso (a) onde
, o
movimento partiu com o vão total de folga fornecido, nesse momento os dentes das
engrenagens estavam totalmente desacoplados, ou seja, deve percorrer todo o vão até ocorrer
o acoplamento do trem de engrenagem, nessa situação houve a maior perda de movimento
inicial do sistema.
Já no caso (b) onde
, foi fornecida uma posição entre o vão de contato, não
houve contato entre os dentes da engrenagem com nenhuma das extremidades, houve menos
perda de movimento que no caso (a), pois o tempo até o acoplamento foi menor devido ao
menor percurso. No caso (c) onde
, o sistema foi simulado com a posição
inicial estando exatamente no meio do vão da folga, ou seja, os dentes da engrenagem estão
na mesma distância da extremidade do lado esquerdo e direito. Traçando um comparativo, no
caso (c) houve a menor perda de movimento inicial, devido ao posicionamento ser mais
próximo da posição de acoplamento do trem de engrenagens do que nos casos (a) e (b).
Evidenciando assim que é de fundamental importância levar em conta no modelo a
diversidade de possibilidades de posição inicial de cada movimento no manipulador robótico,
pois em cada situação haverá perdas de movimento inicial diferentes.
Na figura 27 é demonstrada a forma característica da folga, utilizando um comparativo
entre a entrada do sistema e a saída dos casos (a), (b) e (c), todos já mostrados e discutidos
anteriormente. Nessa forma característica, ficam comprovadas as duas linhas paralelas da não
58
linearidade, sendo positivas e negativas dependendo do sentido e da inversão no sinal de
entrada do sistema, além do segmento horizontal representando o vão de folga nas inversões
do movimento e também como identificados na legenda, os segmentos horizontais a partir das
diferentes casos de posição inicial simulados.
2
Teta1(0)=1
Teta1(0)=0
Teta1(0)=-0.5
1.5
1
Teta1 (rad)
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
-4
-3
-2
-1
0
Tetam (rad)
1
2
3
4
Figura 27 - Resultado de simulação do comportamento da não linearidade de folga com a
representação dos sinais de entrada versus o sinal de saída
4.3 Simulação computacional com dados da bancada experimental
Após serem utilizados os dados do modelo para a simulação em malha aberta, são
apresentados os resultados das simulações computacionais em malha aberta do modelo da não
linearidade de folga utilizando com parâmetros os dados obtidos na metodologia de
identificação dos parâmetros demonstrada no capitulo anterior. Para validação computacional
do modelo e comparativo das diferentes situações que podem sem encontradas na prática,
foram simuladas diferentes entradas de posição angular
, tendo como sinal de entrada dente
de serra, senoidal e polinomial. Os resultados serão mostrados nas subseções seguintes.
Para simulação do modelo foi utilizado o algoritmo de diagrama de blocos da figura
24, onde somente foi mudada a entrada do sistema de acordo com o tipo de simulação.
4.3.1 Entrada na forma de dente de serra.
Na simulação com entrada de dente de serra, buscou-se analisar os o comportamento
do sistema de folga quando são aplicadas inversões nos movimentos de forma simétrica.
59
Essas inversões são normais quando no funcionamento real de um manipulador robótico tipo
SCARA, uma vez que suas tarefas dentro do espaço de trabalho proporciona situações como
estas. As simulações são efetuadas com entradas que variam de -4 rad até +4 rad em torno da
partida, a partida da simulação é calibrada na posição 0 rad.
Nesse caso pode-se observar que a saída do sistema está adequada a relação de
transmissão já descrita no capitulo 2. O tempo de simulação foi fixado em 24 segundos.
4
Tetam
Teta1
3
Posição (rad)
2
1
0
-1
-2
-3
-4
0
5
10
15
20
25
Tempo (s)
Figura 28 - Resultado de simulação do comportamento da não linearidade de folga com a
representação dos sinais de entrada (dente de serra) e saída para condição inicial
Nessa simulação é possível ver que a presença da folga nas inversões do movimento
como está explicito na figura 28. Essa inversão do movimento causa os efeitos indesejáveis
como perda de movimento e atraso de tempo entre os sinais de entrada e saída.
60
2.5
2
1.5
Teta1 (rad)
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-4
-3
-2
-1
.
0
Tetam (rad)
1
2
3
4
Figura 29 - Resultado de simulação do comportamento da não linearidade de folga com a
representação dos sinais de entrada (dente de serra) versus o sinal de saída para condição
inicial
Na figura 29, é mostrado o resultado da simulação computacional para o
comportamento da variável
em relação à
. Neste gráfico pode ser vista a característica
típica da folga nos segmentos de linhas horizontais.
4.3.2 Entrada senoidal.
O sinal de entrada senoidal tem como característica na sua trajetória, inversão de
movimentos de forma mais suavizada que a entrada com dente de serra, essa suavização pode
ser modificada através da variação dos parâmetros de amplitude e período do sinal. Na
simulação adotada, buscou-se utilizar como freqüência de 0.5 rad/seg, uma amplitude de 6
(rad) e tempo de simulação de 24 segundos.
61
6
Tetam
Teta1
4
Posição (rad)
2
0
-2
-4
-6
0
5
10
15
20
25
Tempo (s)
Figura 30 - Resultado de simulação do comportamento da não linearidade de folga com a
representação dos sinais de entrada (senoidal) e saída para condição inicial
Na figura 30, nota-se que o sistema com entrada senoidal possui suavização em sua
trajetória e nas inversões do sinal, devido a essa característica esse tipo de trajetória não
sobrecarrega em excesso o motor na hora de gerar o movimento, diferentemente da trajetória
dente de serra onde a inversão é instantânea.
4
3
2
Teta1 (rad)
1
0
-1
-2
-3
-4
-6
-4
-2
0
Tetam (rad)
2
4
6
Figura 31 - Resultado de simulação do comportamento da não linearidade de folga com a
representação dos sinais de entrada (senoidal) versus o sinal de saída para condição inicial
A figura 31 mostra o mesmo segmento horizontal de folga da simulação dente de
serra, onde está sendo mostrado o comportamento da variável
em relação à
.
62
4.3.3 Entrada polinomial
Na segunda trajetória desejada foi utilizada uma curva com polinômios de sétima
ordem com trechos de parada próximos às extremidades. Esta trajetória apresenta uma
característica fundamental que é a existência da primeira, segunda e terceira derivadas,
correspondentes à velocidade, aceleração e derivada da aceleração utilizadas na lei de
controle. Para que a trajetória escolhida apresente suavidade é necessário a compatibilização
de condições iniciais e finais para a trajetória e suas três derivadas. Estas condições iniciais e
finais da função polinomial são determinadas a partir das posições de parada da trajetória, ou
seja, para a equação polinomial de sétima ordem que é apresentada na equação (20),
(20)
E tem as condições iniciais dadas por (21):
(21)
e
onde,
é a posição inicial da entrada
polinomial e
,
é o tempo de deslocamento da trajetória
é o deslocamento angular percorrido pela entrada
seguindo a trajetória
polinomial.
A programação adequada da trajetória polinomial deve permitir o ajuste da posição
inicial e final da trajetória polinomial, bem como o tempo de deslocamento através desta
equação e o tempo de espera nos testes de parada.
A trajetória polinomial de entrada
para em
(equação (22)) considera inicialmente uma
= -0.157 rad, seguido de um trecho de deslocamento em função de
posição 0 rad onde é feita uma nova parada respeitando o tempo de parada de
até a
, e
posteriormente um novo deslocamento até a posição 0.157 rad, fazendo ali uma outra parada e
retornando através da função -
(t) . Os trechos de parada e deslocamento têm duração de
segundos, sendo utilizado o valor de
= 5 segundos. Os trechos de subida ou descida são
63
caracterizados pelo polinômio de 7ª ordem,
para os respectivos valores de
representado pela equação (22) e (23),
.
(22)
(23)
Na figura 32 pode-se observar a trajetória do sinal de entrada resultante do polinômio
de 7ª ordem com tempo de parada e deslocamento de 5 segundos, e também os resultados da
simulação em malha aberta para a saída teta1.
0.2
Tetam
Teta1
0.15
Posição (rad)
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
0
5
10
15
20
25
Tempo (s)
30
35
40
45
Figura 32 - Resultado de simulação do comportamento da não linearidade de folga com a
representação dos sinais de entrada (polinomial) e saída
64
4.4 Teste experimental na bancada
Utilizando a bancada de testes e o sistema de aquisição descritos no capítulo 3, foram
realizados testes experimentais em três diferentes posições de acoplamento do trem de
engrenagens. O objetivo desse tipo de experimento é identificar o comportamento da
dinâmica da junta robótica em funcionamento na bancada. Para isso foram instalados dois
encoders nas extremidades do eixo motor e do movido, para fazer a leitura do sinal de entrada
e saída respectivamente. Os sinais foram capturados pelo conector de sinais da placa dSPACE
e posteriormente analisados e processados pelo sistema de gerenciamento e algoritmo de
análise dos dados.
Resultado Experimental
3.5
Teta 1 Ideal
Tetam
Teta1
3
Posição (Rad)
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
0
10
20
30
Tempo (s)
40
50
60
Figura 33 - Resultado do experimento partindo com trem de engrenagens acoplado com a
condição inicial de contato entre as engrenagens.
Na figura 33 é mostrado o comportamento do experimento da junta rotativa levando
em conta uma partida do movimento com os dentes engrenados, ou seja, a distância entre os
dentes das engrenagens no início do movimento é nula, com isso é observável que no início
da trajetória o sistema praticamente não apresentou perda de movimento até a primeira
65
inversão do movimento comparado com a trajetória ideal (sem folga), nessa inversão ocorreu
o segmento horizontal característico da folga que repetiu-se durante o tempo restante.
Traçando um comparativo entre o sinal de saída sem folga e com folga, é possível
observar a diferença de posicionamento de ambos devido a não linearidade, a figura 34
demonstra isso. Enquanto a trajetória sem folga (caso ideal) faz a trajetória em cima da
mesma linha, a trajetória com folga efetua a trajetória paralelamente a trajetória ideal,
evidenciando a perda de contato no caso.
Resultado Experimental
1.6
Sem Folga
Com Folga
1.4
1.2
Teta1 (s)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.5
0
0.5
1
1.5
Tetam (Rad)
2
2.5
3
Figura 34 - Comparativo com e sem folga, partindo da condição inicial de folga nula.
No segundo experimento partiu-se com os dentes da engrenagem movida
aproximadamente no meio da posição inicial da engrenagem motora, ou seja,
aproximadamente 4.5º ou 0.0785 rad. Neste é observável que no início do movimento houve
perda de movimento uma vez que até ocorrer o acoplamento completo do trem de
engrenagens houve movimento sem carga por parte de engrenagem motora. A figura 35
demonstra isso.
66
Resultado Experimental
4
Teta 1 Ideal
Tetam
Teta1
3.5
3
Posição (Rad)
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
0
10
20
30
Tempo (s)
40
50
60
Figura 35 - Resultado do experimento partindo com trem de engrenagens desacoplado,
posição inicial da folga de 4.5º ou 0.0785 rad.
Uma característica nesse tipo de situação quando o movimento parte no meio do vão
de folga é a presença de uma simetria da trajetória com folga em torno da trajetória sem folga
(caso ideal), essa simetria pode ser percebida na figura 36.
67
Resultado Experimental
1.6
Sem Folga
Com Folga
1.4
1.2
Teta1 (s)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0
0.5
1
1.5
Tetam (Rad)
2
2.5
3
Figura 36 - Comparativo com e sem folga, partindo de uma posição inicial de folga do trem
de engrenagens de 4.5º ou 0.0785 rad
No terceiro experimento figura 37 a posição inicial do trem de engrenagens utilizada
foi o vão total da folga, ou seja, os dentes totalmente desacoplados com isso o intervalo de
folga foi de 9º ou 0.157 rad. Nesse caso para que houvesse acionamento da engrenagem
movida à engrenagem motora deveria percorrer todo o intervalo de folga para que o
acoplamento e por conseqüência o movimento ocorresse, sendo assim, essa é a situação em
que a folga causa os efeitos mais indesejáveis sobre o sistema e é a onde ocorre a maior perda
de movimento, precisão e repetitividade.
68
Resultado Experimental
4
Teta 1 Ideal
Tetam
Teta1
3.5
Posição (Rad)
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
10
20
30
Tempo (s)
40
50
60
Figura 37 - Resultado do experimento partindo com trem de engrenagens desacoplado,
partindo de uma folga total de 9º ou 0.157 rad.
Já o comparativo entre o sinal de saída sem folga e com folga, apresenta a trajetória
com folga em comportamento paralelo à trajetória sem folga, dessa vez no lado contrário a o
primeiro experimento, demonstrando o vão total de folga na extremidade da trajetória.
69
Resultado Experimental
1.6
Sem Folga
Com Folga
1.4
1.2
Teta1 (s)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
Tetam (Rad)
2
2.5
3
Figura 38 - Comparativo com e sem folga, partindo de uma folga total de folga de 9º ou 0.157
rad
4.5 Validação do modelo
A validação do modelo da não linearidade de folga equação (12) foi baseada no
comparativo dos sinais de saída experimental e do sinal de saída do modelo simulado
computacionalmente, na figura 39 é apresentado o fluxograma do processo de validação.
70
Captura do sinal de entrada e
saída do experimento
(via encoder)
Tratativa dos sinais
(via algoritmo de conversão)
Utilização do sinal de entrada do
experimento na simulação do
modelo, como trajetória de
entrada (via algoritmo)
Comparativo entre o sinal de
saída experimental e simulado
(Via algoritmo)
Figura 39 - Fluxograma no processo de validação experimental do modelo
O primeiro passo do processo de validação é a captura do sinal da trajetória de entrada
e saída do experimento, como já salientado esses sinais são oriundos da leitura do sensor
encoder fixado na extremidade dos eixos. Após a leitura o segundo passo é fazer a conversão
dos sinais via algoritmo no simulink convertendo o sinal para radianos, agora o sinal de
entrada capturado via experimento é utilizado como trajetória de entrada no algoritmo que
simula o modelo da folga, este já mostrado no capitulo 3. Por fim, com o resultado da
trajetória de saída via simulação e experimento foi traçado um comparativo para validar o
modelo e o simulador utilizado.
Na figura 40 é apresentado o resultado da validação experimental do modelo
matemático, os parâmetros utilizados nas simulações estão detalhados na tabela 3. Nesta
figura está identificada a correlação e adequação dos dados simulados com os dados medidos
experimentalmente, conforme pode ser visto, há pequenas diferenças entre as curvas,
provenientes de problemas na montagem ou desgaste no trem de engrenagem, situações essas
inerentes a manipuladores robóticos de baixo custo.
71
1.6
Experimental
Simulado
Erro
1.4
1.2
Posição (rad)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0
5
10
15
Tempo (s)
20
25
30
Figura 40 - Validação do modelo matemático da não linearidade de folga
Os resultados teóricos e experimentais apresentados nesta seção permitem observar o
comportamento da não linearidade de folga, além de validar a simulação computacional do
modelo uma vez que as curvas entre os dados comparados obtiveram ótima correlação
mostrando praticamente o mesmo comportamento durante o período de simulação, o erro
entre as trajetórias está dentro do aceitável para o modelo trabalhado. Destacam-se ainda os
efeitos de atraso no tempo e perda de movimento nos momentos de inversão do trajetória
provocando os segmentos horizontais observados na Figura 16. Diante disso comprova-se a
utilização do modelo para fins de simulação das situações reais e possível estratégia de
controle.
4.6 Discussão
Neste capítulo foi apresentado o comportamento do sistema em malha aberta. Na
seção 4.2 foram expostas simulações computacionais para diferentes tipos de trajetória de
entrada, essas trajetórias buscam retratar o trabalho realizado por um manipulador robótico
em possíveis atividades industriais.
72
Na seqüência foram desenvolvidos testes experimentais na bancada de testes
juntamente com o sistema de aquisição, esses experimentos serviram para validar o sistema de
aquisição e para verificar o comportamento da dinâmica do sistema durante a execução em
diferentes pontos de início da saída, com a bancada é possível manipular os pontos de
acoplamento do trem de engrenagens e também as cargas dos eixos, esse tipo de estudo deuse na seção 4.3 e foi de grande importância para o entendimento real do funcionamento da
junta e para a visualização das conseqüências da folga.
A seção 4.4 foi a junção das duas seções anteriores, onde foi utilizado dados da
aquisição experimental no algoritmo desenvolvido a partir do modelo dinâmico, com o intuito
de validar o modelo matemático e a simulação, com a validação do modelo foi possível
consolidar o metodologia proposta no capitulo anterior no que tange a identificação
experimental dos parâmetros da folga.
Esse capítulo foi importante para o entendimento do funcionamento da junta robótica
em experimentos que se aproximam no funcionamento real de um manipulador, os resultados
desse trabalho foram apresentados em Padoin et al. (2010c).
5. RESULTADOS EM MALHA FECHADA
5.1 Introdução
Como já comentado durante essa dissertação os manipuladores robóticos necessitam
de movimentos precisos e repetitivos em suas tarefas realizadas nos mais diferentes
segmentos industriais. Dentro da dinâmica das juntas rotativas dos manipuladores há várias
não linearidades que dificultam a obtenção dessa precisão, a folga nos acionamentos por trens
de engrenagens é uma delas. A eliminação ou redução da presença física desta não linearidade
pode acarretar um alto custo de fabricação, além disso, essa folga pode ser decorrente de
problemas de montagem ou do próprio desgaste nas peças pelo uso. A não linearidade de
folga tem presença significativa em manipuladores de baixo custo.
Baseado nesse contexto é que a necessidade de compensação desta não linearidade no
controle se faz presente. Esta compensação via controle é uma alternativa para diminuir a
imprecisão do efetuador final nos movimentos do manipulador, sendo preciso investir em
estratégias de controle. Com esse objetivo é que o presente capítulo apresenta e avalia três
diferentes estratégias de controle em malha fechada com e sem a compensação da não
linearidade de folga.
Na seção 5.2 é demonstrado primeiramente um passo a passo das três estratégias
adotadas, a primeira é focada na combinação da compensação da folga utilizando a sua
inversa e do fechamento da malha antes da dinâmica da não linearidade de folga. Assim podese obter a melhor trajetória de entrada do sistema com a utilização da inversa, além de
controlar a própria entrada via eixo motor. A segunda estratégia é baseada somente no
fechamento da malha após a não linearidade de folga, assim, o controle é baseado somente
nos comparativos da trajetória de saída desejada (Setpoint) e do valor da saída do sistema. Já a
terceira estratégia utiliza-se da mescla das duas estratégias anteriores, onde é feita a
compensação via inversa da folga e o controle fechando a malha antes e depois da não
linearidade de folga. Com isso o sinal de controle fundamenta-se nos erros comparativos do
sinal de entrada e saída. As estratégias de compensação da não linearidade de folga são
combinadas com o controlador clássico proporcional, pela sua simplicidade e facilidade de
ajuste do ganho.
O modelo da inversa da folga é foco na seção 5.3, nesta é demonstrado o modelo bem
como a compensação efetiva da folga utilizando a sua inversa. Evidenciando que o objetivo
74
de seu uso é promover a melhor trajetória de entrada no sistema baseado na trajetória de saída
desejada.
Para apresentar o comparativo entre as estratégias de controle, a seção 5.4 evidencia o
comportamento das respostas de saída submetidas aos tipos de estratégias de controle com o
mesmo ganho proporcional calibrado. Para as trajetórias desejadas são utilizadas uma função
senoidal e polinomial.
Por fim, na seção 5.5 é feita uma discussão demonstrando as características de cada
tipo de estratégia de controle, bem como qual é a melhor solução para o tipo de trajetória
desejada.
5.2 Descrição dos controles clássicos (P,PD,PI,PID)
Esta seção tem por objetivo fazer a descrição dos controladores clássicos. Serão
apresentados o controlador proporcional (P) e suas variações: proporcional-derivativo (PD),
proporcional-integral (PI) e proporcional-integral-derivativo (PID).
Em um controlador proporcional, a relação entre a saída do controlador u(t) e o sinal
de erro de posição e(t), que é a entrada do controlador, é dada por
(24)
onde e(t) = (y – yd), e kp é o ganho proporcional.
No controle proporcional-integral (PI), onde a saída u(t) é a soma de um sinal
diretamente proporcional ao erro de posição com um sinal proporcional à integral do erro
(25)
onde ki é o ganho integral.
O controle proporcional-derivativo (PD) tem caráter antecipativo, soma-se à parcela
proporcional uma parcela derivativa e a saída do controlador é um sinal diretamente
proporcional ao erro de posição somado com uma parcela diretamente proporcional ao erro de
velocidade. Portanto
75
(26)
onde kd é o ganho derivativo.
Somando as parcelas proporcional, integral e derivativa, temos o controle
proporcional-integral-derivativo (PID), utilizado tanto na melhoria em regime transitório
quando em regime permanente de sistemas mecânicos, que é dado por:
(27)
5.3 Estratégias de controle
Já comentado na introdução desse capítulo, a estratégia de controle é de extrema
importância para o desempenho do funcionamento de sistemas dinâmicos que buscam
precisão e repetitividade em suas tarefas. Com a não linearidade de folga não é diferente.
Quando se possui um robô que apresenta folga nas juntas, existe a necessidade de desenvolver
estratégias de controle capazes de minimizar os efeitos danosos que a presença de folga causa
sobre o bom funcionamento do sistema.
Com este objetivo foram desenvolvidas três diferentes estratégia de controle:
- Estratégia 1: compensação com inversa de folga a partir da trajetória desejada e
controle proporcional com realimentação da posição angular no eixo motor,
- Estratégia 2: controle proporcional com a realimentação da posição angular no eixo
movido,
- Estratégia 3: controle com a compensação da inversa de folga a partir da trajetória
desejada e controle proporcional com a realimentação das posições angulares de ambos os
eixos motor e movido.
A seguir apresenta-se cada uma destas estratégias.
A estratégia 1 de controle proposta está graficamente representada na Figura 41. Note
que é utilizada a inversa do modelo da não linearidade da folga para cálculo da posição
desejada do eixo motor a partir da posição desejada no eixo movido. Tal inversa procura
prever o efeito da não linearidade da folga. O controle proporcional associado a esta estratégia
é aplicado utilizando apenas o sinal da posição real do eixo motor.
76
Modelo Dinâmico
Controle Proporcional
Inversa da
folga
Eq. (28)
+
-
Modelo
Dinâmico
do
Eixo Motor
Eq. (4)
Controlador
Proporcional
Modelo
Da não
linearidade
Folga
Eq. (12)
Modelo
Dinâmico
do Eixo
Movido
Eq. (8)
Sensor
(Encoder)
Figura 41 - Esquema da estratégia 1 de controle com compensação de folga e controle no eixo
motor
Conforme o sistema de controle figura 41, o controle é desenvolvido com os seguintes
passos. Primeiro é almejada uma trajetória de saída desejada (
, em um segundo momento
essa trajetória desejada entra no algoritmo da inversa do modelo da folga, a saída desse
algoritmo é a trajetória desejada para o eixo motor (
para a posição do eixo motor (
. Assim compara-se o valor desejado
com o valor real da posição do eixo motor (
do
sistema dinâmico da junta robótica. O valor da posição real é calculada utilizado o sinal do
sensor (encoder incremental) montado na extremidade do eixo motor. Com este comparador
se tem um valor do erro, esse erro é utilizado pelo controlador proporcional responsável pelo
sinal de controle (torque motor) de entrada da planta (modelo da junta robótica com
transmissão por tren de engrenagens).
Na estratégia 2 de controle figura 42, o controle é desenvolvido com a observação do
eixo movido e tem os seguintes passos. O primeiro passo é projetar a trajetória de saída
desejada (
(
, em seguida compara-se o valor desejado para a posição do eixo movido
com o valor real da posição do eixo movido (
do sistema dinâmico da junta robótica.
O valor da posição real é calculada utilizado o sinal do sensor (encoder incremental) montado
na extremidade do eixo movido. Com este comparador se tem um valor do erro, esse erro é
utilizado pelo controlador proporcional responsável pelo sinal de controle (torque motor) de
entrada da planta (modelo da junta robótica com transmissão por tren de engrenagens).
77
Modelo Dinâmico
Controle Proporcional
+
Controlador
Proporcional
-
Modelo
Dinâmico
do
Eixo Motor
Eq. (4)
Modelo
Da não
linearidade
Folga
Eq. (12)
Modelo
Dinâmico
do Eixo
Movido
Eq. (8)
Sensor
(Encoder)
Figura 42 - Esquema da estratégia 2 de controle no eixo movido
Após os dois tipos de controle proposto e apresentados na figura 41 e 42, é
apresentada a estratégia 3 que tem como proposta unir ambas em uma única figura 43. O
primeiro passo é definir uma trajetória desejada (setpoint), em seguida essa trajetória desejada
entra no algoritmo da inversa do modelo da folga, a saída desse algoritmo é a trajetória
desejada para o eixo motor (
motor (
. Assim compara-se o valor desejado para a posição do eixo
com o valor real da posição do eixo motor (
do sistema dinâmico da junta
robótica. O valor da posição real é calculado utilizando o sinal do sensor (encoder
incremental) montado na extremidade do eixo motor. Com este comparador se tem um valor
do erro, esse erro é utilizado pelo controlador proporcional de ganho (Kpm).
Já na segunda etapa dessa estratégia de controle, compara-se o valor desejado para a
posição do eixo movido (
com o valor real da posição do eixo movido (
do sistema
dinâmico da junta robótica. O valor da posição real é calculado utilizando o sinal do sensor
(encoder incremental) montado na extremidade do eixo movido. Com este comparador se tem
um valor do erro, esse erro é utilizado pelo controlador proporcional de ganho (Kp1). Após é
feito a soma dos dois valor do controlador proporcional (Kpm e Kp1), esse resultado é
responsável pelo sinal de controle (torque motor) de entrada da planta (modelo da junta
robótica com transmissão por tren de engrenagens).
Sendo assim, essa estratégia de controle demonstra simultaneamante a comparação da
leitura dos dois pontos principais de controle do sistema, ou seja, os sinais de entrada e saída
do sistema
e
respectivamente com seus valores desejadas (setpoint).
78
Controle Proporcional
Inversa da
folga
Eq. (28)
Modelo Dinâmico
+
+
-
Modelo
Dinâmico
do
Eixo Motor
Eq. (4)
Modelo
Da não
linearidade
Folga
Eq. (12)
Modelo
Dinâmico
do Eixo
Movido
Eq. (8)
+
Sensor
(Encoder)
Sensor
(Encoder)
Figura 43 - Estratégia 3 de controle com inversa da folga, eixo motor e movido
5.4 Descrição e simulação da inversa do modelo da não linearidade de folga
Como já salientado anteriormente um dos efeitos danosos da folga no desempenho dos
sistemas é o atraso correspondente ao tempo para percorrer um segmento. Outro efeito
indesejável é a perda de informação (movimento) que ocorre durante esse atraso. O desafio no
trabalho é propor soluções que compensem esses efeitos prejudiciais ao posicionamento, uma
vez que quando se utiliza manipuladores robóticos na indústria, necessita-se de movimentos
precisos e repetitivos.
Em busca dessa compensação, na seção anterior foram propostas estratégias de
compensação da não linearidade de folga no controle proporcional com o objetivo de
minimizar os danos no desempenho do sistema. Estas estratégias utilizam a inversa o modelo
da folga que será descrita nesta seção.
A inversa do modelo da folga (graficamente um segmento horizontal) é caracterizada
por um salto vertical definido por uma função integral. O efeito do salto deve eliminar o
atraso causado pelo segmento horizontal característico da folga, isso pode ser constatado na
figura 44.
79
Figura 44 - Esquema de representação da inversa da não linearidade da folga
Tem-se a representação do modelo discreto da inversa do modelo da folga
representado pela equação (28):
(28)
A partir do modelo da folga inversa foi desenvolvido um algoritmo para simular o
modelo a partir dos dados experimentais mostrados no capitulo 3. O diagrama de blocos
correspondente à equação (28) pode ser visto da figura 45.
Entrada (Teta 1)
Teta 1
Add 2
1/m
Parâmetro m
Tetam
Entrada (Teta 1)
Caso 1
Condição Tetam
<= Vl
Memória V (t)
1/m
cl
Folga Inicial
Esquerda Cl
Parâmetro m 1
Caso 2
cr
Folga Inicial
Direita Cr
Saida (Tetam )
Condição Teta 1 >= Vr
Caso 3
Memória Ud (t)
Figura 45 - Diagrama de blocos da inversa da folga
no switch , se a entrada 1 for verdadeira , irá passar o valor da entrada
caso não seja verdadeira , irá passar o valor da entrada 3
2,
m=1
>> cl=-1
>> cr=2
>> Teta 1i=2
>> Tetami =0
>> plot (tout ,Tetam ,tout ,Teta 1)
80
Utilizando o diagrama de blocos da inversa do modelo de folga é possível simular o
comportamento da entrada e saída do sistema. Baseado nisso foi utilizada uma trajetória
desejada (
de dente de serra, variando de -4 a 4 rad. Observando esse tipo de trajetória
desejada, o algoritmo da inversa fornece como resposta a trajetória desejada no eixo motor
(
para esse tipo de trajetória desejada no eixo movido (
, fazendo assim uma
compensação dos efeitos da não linearidade de folga, conforme pode ser visto na figura 46.
8
Tetam
Teta1
6
Posição (rad)
4
2
0
-2
-4
-6
-8
0
5
10
15
20
25
Tempo (s)
Figura 46 - Resultado da Simulação computacional do comportamento da inversa da folga
para entrada em dente de serra
Pode ser visto o comparativo entre a saída entrada do bloco da inversa da folga na
figura 47, notando-se nas extremidades o salto vertical promovido pela inversa.
81
8
6
4
Teta1 (rad)
2
0
-2
-4
-6
-8
-4
-3
-2
-1
0
Tetam (rad)
1
2
3
4
Figura 47 - Resultado da Simulação computacional do comportamento da inversa da folga
com a representação dos sinais de entrada (dente de serra) versus o sinal de saída
Conforme citado na revisão bibliográfica, vários autores evidenciam que a
compensação através da inversa de folga é uma das melhores possibilidades de anular os
efeitos da folga. Baseando-se nisso e com a utilização do diagrama de blocos da figura 48, foi
possível realizar a simulação computacional cujos resultados são mostrados na figura 49 e se
evidência a anulação dos efeitos da folga com a compensação da sua inversa.
Entrada (Teta 1)
Teta _inversa
Teta 1
Saida (Teta 1)
Teta _folga
Saida (Teta 1)
Add 2
1/m
Parâmetro m
Entrada Saída
Entrada (Teta 1)
Caso 1
Condição Tetam
<= Vl
Tetam
Saida (Tetam )
Backlash
Memória V (t)
1/m
cl
Folga Inicial
Esquerda Cl
Parâmetro m 1
Caso 2
cr
Folga Inicial
Direita Cr
Caso 3
Condição Teta 1 >= Vr
Memória Ud (t)
Figura 48 - Diagrama de blocos utilizado na simulação computacional
da compensação da
m=1
>> cl=-1
2,
>> cr=2
folga
por meio da sua inversa.
>> Teta 1i=2
no switch , se a entrada 1 for verdadeira , irá passar o valor da entrada
caso não seja verdadeira , irá passar o valor da entrada 3
>> Tetami =0
>> plot (tout ,Tetam ,tout ,Teta 1)
82
4
Tetam
Teta1
Erro
3
Posição (rad)
2
1
0
-1
-2
-3
-4
0
5
10
15
20
25
Tempo (s)
Figura 49 - Resultado da Simulação computacional do comportamento da não linearidade de
folga com a compensação da sua inversa
Nota-se que os efeitos são amenizados na sua totalidade com a inversa do modelo da
folga, uma vez que o comportamento de saída é idêntico a entrada, isso é demonstrado pelo
erro entre as duas ser nulo. Esta simulação teve o objetivo de testar o diagrama de blocos
desenvolvido para a inversa da não linearidade da folga.
5.5 Simulação computacional
Conforme comentado e descrito na seção 5.2, foram propostas três diferentes
estratégias de controle. Baseando-se nisso, a presente seção objetiva comparar via simulações
computacionais as estratégias, observando e comparando o comportamento da dinâmica sob
cada tipo de controle, observando suas características e avaliando qual das estratégias
apresenta melhores resultados dentro do ajuste da trajetória desejada na junta robótica.
Foram utilizados dois tipos de trajetória desejada, a senoidal e a polinomial de sétima
ordem, ambas especificadas no capítulo 4, o ganho proporcional utilizado foi ajustado e
escolhido após várias simulações e comparações de resultados, onde chegou-se no valor
satisfatório de Kp = 20 para todas as simulações, com esse ganho foi possível obter os
menores erros com as menores oscilações do sinal de controle.
Na figura 50 são demonstradas as trajetórias para o sinal de saída senoidal.
83
8
Desejada
Estratégia 1
Estratégia 2
Estratégia 3
Região Ampliada
na figura (51)
6
Posição (rad)
4
2
0
-2
-4
-6
-8
0
5
10
15
20
25
Tempo(s)
Figura 50 - Resultados da simulação computacional em malha fechada para a trajetória
senoidal.
Desejada
Estratégia 1
Estratégia 2
Estratégia 3
6.15
6.1
Posição (rad)
6.05
6
5.95
5.9
5.85
5.8
15.4
15.5
15.6
15.7
15.8
Tempo(s)
15.9
16
16.1
Figura 51 - Região ampliada da figura 50 mostrando um comparativo entre as estratégias de
controle
84
Na figura 50 pode-se observar o comportamento das trajetórias de saída submetidas às
estratégias de controle. É notável que ambas as trajetórias tenham pontos bem próximos da
trajetória desejada, mas na figura 51 apresenta-se um gráfico comparativo dos erros, onde fica
evidente as diferenças entre ambas, e pode-se notar que o melhor ajuste é a trajetória da
estratégia 3, que mescla a compensação via inversa e o controle proporcional fechando a
malha antes e depois da não linearidade.
0.25
Estratégia 1
Estratégia 2
Estratégia 3
0.2
0.15
Erro de Posição (rad)
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
-0.25
0
5
10
15
20
25
Tempo(s)
Figura 52 - Gráfico comparativo dos erros obtidos da simulação computacional em malha
fechada para.
Na figura 52 são expostos os erros das trajetórias oriundas das estratégias de controle
em relação à trajetória desejada. É possível visualizar que a estratégia 3 apresentou o menor
erro. Já na figura 53 é apresentado o torque ou sinal de controle imposto ao sistema via as
estratégias de controle, o sinal de controle das trajetórias 1 e 3 são semelhantes, mas é
importante salientar que o sinal de controle da estratégia 2 possui certa instabilidade próximo
aos momentos de inversão da trajetória. A estratégia 2 é a única em que não há a utilização da
inversa da não linearidade de folga na compensação direta e isto ilustra mais um efeito danoso
da folga nas oscilações do sinal controle em malha fechada, podendo até causar a
instabilidade do sistema.
85
10
Estratégia 1
Estratégia 2
Estratégia 3
8
Sinal de Controle (rad)
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
0
5
10
15
20
25
Tempo(s)
Figura 53 - Gráfico comparativo do sinal de controle obtidos da simulação computacional em
malha fechada.
A segunda trajetória desejada a ser utilizada na simulação foi à trajetória polinomial de
7° ordem. E tem seus trechos evidenciados na figura 54 (curva desejada), juntamente com os
resultados da simulação computacional do controle em malha fechada.
86
0.2
Desejada
Estratégia 1
Estratégia 2
Estratégia 3
0.15
Posição (rad)
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
0
5
10
15
20
25
Tempo(s)
30
35
40
45
Figura 54 - Resultados da simulação computacional em malha fechada para a trajetória
polinomial.
Como pode-se novamente perceber e trajetória da estratégia 3 é a que mais se
aproxima da trajetória desejada devido apresentar o menor erro em relações às demais
estratégias conforme a figura 55.
87
0.02
0
Erro de Posição (rad)
-0.02
-0.04
-0.06
-0.08
-0.1
-0.12
Estratégia 1
Estratégia 2
Estratégia 3
-0.14
-0.16
0
5
10
15
20
25
Tempo(s)
30
35
40
45
Figura 55 - Gráfico de erros para simulação computacional da trajetória polinomial
Já os sinais de controle das estratégias 1 e 3 novamente ficaram próximas para a
trajetória polinomial figura 56, diferente da estratégia 2 que obteve muita oscilação durante a
trajetória do controlador figura 57.
88
4
2
Sinal de Controle (rad)
0
-2
-4
-6
Estratégia 1
Estratégia 3
-8
-10
0
5
10
15
20
25
Tempo(s)
30
35
40
45
Figura 56 - Resultados do sinal de controle para trajetória polinomial
2
1
Sinal de Controle (rad)
0
-1
-2
-3
-4
-5
Estratégia 2
-6
0
5
10
15
20
25
Tempo(s)
30
35
40
Figura 57 - Resultados do sinal de controle para estratégia 2
45
89
5.6 Discussões
O capítulo 5 expôs os resultados da simulação computacional em malha fechada com
controle proporcional na junta com transmissão por engrenagens de um manipulador robótico,
com a presença da não linearidade da folga. Foram propostas três estratégias de controle na
seção 5.2, sendo que uma destas não utiliza a compensação da não linearidade de folga pela
inversa. A seção 5.3 mostrou a compensação da não linearidade de folga através de sua
inversa. Já a seção 5.4 mostrou resultados seguimento de trajetória, erro e sinal de controle via
simulação computacional das estratégias desenvolvidas para amenizar os efeitos danosos da
folga.
Baseando-se nisso, pode-se observar que as estratégias que trouxeram melhores
resultados, devido ao erro menor e melhor sinal de controle, foram as estratégias 1 e 3, as
quais utilizaram a compensação através da utilização da inversa da folga no sistema.
A estratégia 2 obteve problemas de oscilação no sinal de controle e por conseqüência
no torque do motor, além de proporcionar o maior erro entre as curvas de saída. Isto ilustra a
importância da compensação da não linearidade da folga.
Esse capítulo evidencia a importância do sistema de controle prever estratégias para a
compensação da não linearidade da folga, e isto ficou bem evidente quando da utilização do
controle clássico proporcional.
6. CONCLUSÕES
Esta dissertação apresenta a modelagem matemática e a simulação computacional da
não linearidade de folga (backlash) presente em transmissões mecânicas do tipo trem de
engrenagens, comuns no acionamento das juntas rotativas de manipuladores robóticos do tipo
SCARA.
O modelo matemático desenvolvido para a dinâmica da junta robótica é de 4° ordem e
contêm as dinâmicas dos eixos motor e movido, além da adição do modelo da não linearidade
de folga entre estas duas dinâmicas.
Foi desenvolvida uma metodologia para identificação experimental dos parâmetros do
modelo matemático da folga, essa identificação foi feita através de experimentos em uma
bancada de testes que caracteriza um acionamento por trens de engrenagens.
Os resultados em malha aberta mostram a validação do modelo proposto para a junta
robótica. Com o intuito de promover a análise do comportamento do sistema partindo de
diferentes posições iniciais em relação ao acoplamento do trem de engrenagens, foi efetuada
experimentalmente na bancada de testes essa verificação.
Foram propostas três diferentes estratégias de controle proporcional em busca da
precisão dos movimentos desejados, foi levado em conta estratégias com e sem a
compensação da não linearidade de folga, além do fechamento da malha em diferentes pontos
da dinâmica, antes e depois da não linearidade. Com os resultados oriundos da simulação das
estratégias, pode-se observar que as estratégias que contemplam a compensação da não
linearidade somadas do fechamento da malha antes e depois da não linearidade de folga
apresentam os melhores resultados, possuindo menor erro em comparativo com a trajetória
desejada e sinal de controle com pouca oscilação.
Podem-se citar como principais contribuições deste trabalho:
- O desenvolvimento de um modelo matemático que inclui a não linearidade de folga
na dinâmica de uma junta robótica com transmissão por trem de engrenagens.
- Desenvolvimento da uma metodologia de identificação experimental dos parâmetros
do modelo matemático da não linearidade da folga.
- Validação experimental do modelo proposto.
- Proposição de estratégias de controle e a simulação computacional das mesmas.
Para prosseguimento desse trabalho em pesquisas futuras, sugere-se:
- Validação experimental das estratégias de controle.
91
- Modelagem de toda a cinemática do manipulador SCARA com o controle para a não
linearidade de folga.
- Modelagem matemática da não linearidade de folga variável em função da posição
angular.
92
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