Matemática
O teorema da função inversa para funções
de várias variáveis reais a valores vetoriais
Viviane Rodrigues Leal
Pesquisadora
Prof. Dr. David Pires Dias
Orientador
Resumo
Este artigo tem como objetivo apresentar o Teorema da Função Inversa e uma de suas demonstrações. Antes,
apresentaremos sua versão mais simples, isto é, o Teorema da função inversa na reta e um exemplo mostrando
que suas hipóteses, são de fato, indispensáveis.
Palavras-chave: Continuidade. Diferenciabilidade. Teorema da Função Inversa.
Abstract
This article has like main aims to present the Inverse Function Theorem and its demonstrations. Before presenting its simplest version, that is, the inverse function Theorem on the line and an example showing that their
assumptions are in fact indispensable.
Key words: Continuity. Differentiation. Inverse Function Theorem
Revista PIBIC, Osasco, v. 5, n. 6, 2011, p. 127-134
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Viviane Rodrigues Leal
Introdução
.
é inversível sobre o
Começaremos por enunciar e provar o Teorema da
função inversa para uma função de variável real em
Logo,
intervalo
.
valores reais.
A função
Teorema 1: Seja
R®R, com I um in-
tervalo aberto. Se
é derivável e
,
é aberta em
todo
, ou seja, para
aberto,
é aberto. De
fato, basta mostrar que se
valo aberto, então
, então
é um intervalo aberto,
é uma bi-
é interé aberto. Temos, para
todo
,
jeção com
em
derivável.
Além
disso,
,
.
de
onde
.
Demonstração: Pelo teorema do valor intermedi-
128
ário,
dado
e
em
aberto de
. Logo
que
forma,
, existe
entre
, tal que
,
é aberto, já que
é es-
e, portanto injetora, pois
é aberto.
Observe que
é derivável em
, pois
a derivada em
Cabe observar que neste caso, em que
existe e é dada por
.
, ao retirarmos a hipótese
, podemos encontrar exemplos em que a
inversa pode não ser derivável em
De fato, tomemos
Assim,
é contínua, pois para todo
não muda de sinal. Vamos assumir que
, para todo
Dessa
.
é bijetora e aberta, logo,
é intervalo e
tritamente crescente em
segue
sejam
Sua
versa, como já sabemos, é dada por
, que é contínua em
.
, mas não é derivável em
em que
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.
in-
O teorema da função inversa para funções
de vários variáveis reais a valores vetoriais
Antes de enunciarmos este teorema para funções
de
e
, tal que a restrição
variáveis reais a valores vetoriais definiremos
é um difeomorfismo.
alguns conceitos que imprescindíveis para seu entenDecorre
dimento.
dessa
definição
que
se
é um difeomorfismo local,
Definição: Dados
e
abertos de
. Dizemos que
omorfismo, se
é um homeé bijeção contínua com inversa
contínua. E se
são diferenciáveis dizemos que
omorfismo, além disso
classe
, é um isomorfismo para todo
e
, a recíproca também é válida, ou seja, se
é um dife-
é um isomorfismo para todo
então
,
Ainda nas condições desta definição, podemos
é difeomor-
mostrar que a aplicação
.
Note que o exemplo acima é um homeomor-
to de
fismo diferenciável, porém não é um difeomorfismo.
Uma função
e
é
de qualquer aber-
é um subconjunto aberto de
. De fato, pois se tomarmos para cada
uma bola aberta
, com
é um difeomorfismo local se
para cada
,
é um difeomorfismo local.
aberta, isto é, a imagem
é de classe
são de classe
e se
fismo de classe
monstrar a seguir, afirma que se
e
é um difeomorfismo de
, se
. O teorema da função inversa, que vamos de-
centro em x, tal que
, com
seja um difeomorfismo de
sobre um aberto,
, existem abertos
, en-
tão
que é aberto por se tratar de uma reunião de abertos.
Teorema 2: Sejam
classe
tal
que
,
de
,
.
um
aberto e
injetora,
Segue
que
é injetora.
. Se
é
te
,
então
exis-
Demonstração: Como
é injetora, en-
e
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tão
, se
mínimo
. Além disso,
que é contínua, tem um
, quando
Se
, que é compacto.
, temos que
. O que neste caso
significa
,
, logo
.
Temos portanto
subtraindo-se as equações acima obtemos
128
Como
é contínua,
de de
ções
(pois
de
tal
classe
),
e
é de classe
, pela continuida-
por se tratar de soma, diferença e produto de fun-
existe
que
Teorema 3: Seja
pela
de-
, um ho-
meomorfismo diferenciável com
sigualdade do valor médio, se
abertos.
Se
e
, então
sendo assim temos
é
inversível,
então
é diferenciável em
que, se
e
.
então
Demonstração: Sejam
portanto,
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de vários variáveis reais a valores vetoriais
e
e levando-se em consideração
e
Então
, pois
Queremos mostrar que
mas, antes, vamos provar que
mitada
numa
vizinhança
. Como
tais
de
.
é injetora, pelo teorema
anterior, existe
,
logo
é li-
que,
e
Como
para
,
, temos
Sendo
e
pela
nuidade de
, existe
é
bijetora,
se
131
então
,
logo:
Devemos mostrar que
conti-
, tal que
Como
se
,
. Então
e
,
quando
,fazendo as substituições na equação
(1) teremos
Assim
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O que nos dá
Lema: Se
é contínua e injetora em
compacto, então a inversa
é contínua.
De fato, basta mostrar que, para todo conjunto fechado
é fechado de
de
. Temos
compacto, pois
é compacto, logo
é fechado.
Teorema 4: [Teorema da Função Inversa] Seja
aberto.
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Suponha
que
de classe
é injetora para todo
, pois
seja inversível. Então existem
abertos
e
tais que
é contínua já que
classe
é de
.
é inversível com inversa diferençável,
. Além disso,
Seja
,
então
é contínua e injetora, e
para cada
pelo Lema anterior,
, isto é,
meomorfismo, uma vez que
é difeomorfismo local.
Demonstração:
Pelo
teorema
acima,
é injetora, existe
que
como
tal
é injetora. Diminuido-se su-
ficientemente
, podemos supor que
:
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é compacto.
Sejam
e
. Vamos mostrar que
é aberto. Tomemos
bitrário com
um aberto
ar. Devemos achar
, tal que
Como
.
(i) Vamos escolher
é ho-
, existe
tal que,
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de vários variáveis reais a valores vetoriais
,
pois
que é compacto.
Assim temos
.
(ii) Vamos verificar que
é aberto:
Seja
e
,
tem-se:
, pois :
.
Logo
é aberto.
Como
é arbitrário, basta mostrar que existe
133
com
.
Seja
compacto,
dada por
assume um mínimo em
. Como
. Como
e,
é
,
, ou seja,
, então o mínimo é atingido em
Assim, para
igual a esse mínimo, temos
Dessa forma, a restrição
para cada
, logo
.
é homeomorfismo diferencial entre abertos, de maneira que
,
Pelo Teorema anterior,
.
é inversível.
é diferenciável e
, para cada
.
Logo para
vale
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Viviane Rodrigues Leal
Referências Bibliográfica
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