PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE
Departamento de Matemática
MATERIAL DIDÁTICO
ELENICE VAZ
Fevereiro / 2008
2
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE
Departamento de Matemática
MATERIAL DIDÁTICO:
Coletânea de Atividades com Utilização da
Metodologia de Resolução de
Problemas
Elenice Vaz
Material didático elaborado, com orientação da Profª
Ms. Magna Natalia Marin Pires, como um dos
critérios de avaliação do PDE – Programa de
Desenvolvimento Educacional.
Fevereiro/ 2008
3
“Dificilmente vamos nos defrontar com uma situação no dia a dia em que
temos que resolver um problema de teoremas ou funções quadráticas, mas
o que os estudantes podem e deveriam ter, como conseqüência de sua
educação, é a habilidade para raciocinar cuidadosamente e eficientemente
os recursos à sua disposição quando defrontados com problemas em suas
próprias vidas”. (Krulik e Reys, 2005, p. 22)
4
SUMÁRIO
1. Ficha de identificação.................................................................................. 05
2. Introdução ................................................................................................... 06
3. Figuras Sugestivas ..................................................................................... 09
4. Problemas Não-Convencionais.................................................................... 12
5. Problemas com Dados do IBGE .................................................................. 18
6. Atividades com o Jornal ............................................................................... 23
7. Problemas Diversos ..................................................................................... 26
8. Multiplicações ..............................................................................................29
9. Problemas com o sistema monetário ........................................................... 42
10. Problemas da 2ª Olimpíada das Escolas Públicas para o Ensino Médio ...47
11. Área Máxima e Função Quadrática ......................................................... 52
12. Seqüência de Fibonacci............................................................................. 57
5
Secretaria de Estado da Educação – SEED
Superintendência da Educação - SUED
Diretoria de Políticas e Programas Educacionais – DPPE
Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE
1. FICHA DE IDENTIFICAÇÃO DA PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA
PROFESSOR PDE
1. Nome da Professora PDE: Elenice Vaz
2. Disciplina/Área: Matemática
3. IES: UEL – Universidade Estadual de Londrina
4. Orientadora: Magna Natalia Marin Pires
5. Caracterização do objeto de estudo: Estudo da Metodologia de Resolução de
Problemas com destaque na valorização dos erros como caminho para a
aprendizagem de estudantes do Estado do Paraná.
6. Título da Produção Didático-Pedagógica: Coletânea de Atividades com Utilização
da Metodologia de Resolução de Problemas.
7. Justificativa da Produção: Pensando-se na proposta de intervenção, e de acordo
com os estudos feitos no decorrer do 1º e 2º períodos desse programa de ensino,
foram propostas atividades para serem desenvolvidas no decorrer do ano de 2008.
Em todas elas, procurou-se partir sempre da Resolução de Problemas,
considerando que, a mesma permite, a todo instante, que o professor desafie os
estudantes a pensarem matematicamente, resgatando o prazer da descoberta.
8. Objetivo da Produção: O Objetivo da elaboração dessas atividades é fazer com
que os estudantes, por meio da Resolução de Problemas, tomem o gosto pela
Matemática, correlacionando essa disciplina com sua prática de vida. Como são
sugeridas, em diversos momentos, que as tarefas sejam feitas em grupo, procurase com que, dessa forma, os estudantes tenham oportunidades de trocar idéias e
reflexões a cerca dos conteúdos tratados, e possam, em conseqüência, construírem
seus conhecimentos, de forma significativa.
9. Tipo de produção didático-pedagógica: Coletânea de atividades, a serem
desenvolvidas com a utilização da Metodologia de Resolução de Problemas.
10. Público-alvo: Estudantes da 5ª série do Ensino Fundamental e do 1º ano do
Ensino Médio.
Apucarana, fevereiro / 2008.
6
2. INTRODUÇÃO
O presente material é uma coletânea de atividades direcionadas para a 5ª
série do Ensino Fundamental e para o 1º ano do Ensino Médio.
Para a elaboração dessas atividades, procurou-se sempre partir da
Metodologia de Resolução de Problemas, considerando que, a mesma permite, a
todo instante, que o professor desafie os estudantes a pensarem matematicamente,
resgatando o prazer da descoberta.
No decorrer de sua aplicação, pretende-se tratar o erro não como uma
incapacidade do estudante, mas como uma etapa, muitas vezes necessária, dandose mais importância aos procedimentos do que aos resultados. Por meio da
valorização do erro na resolução de problemas, procurar-se-á dar um novo sentido à
Matemática, fazendo com que o estudante sinta que a disciplina é algo inerente à
sua história, que os erros fazem parte do processo, e são, quase sempre, o caminho
para a aprendizagem efetiva.
O Objetivo da elaboração dessas atividades é fazer com que os estudantes,
por meio da Resolução de Problemas, tomem o gosto pela Matemática,
correlacionando essa disciplina com sua prática de vida. São sugeridas, em diversos
momentos, que as tarefas sejam feitas em grupo, procurando com que, dessa forma,
os estudantes tenham oportunidades de trocar idéias e reflexões a cerca dos
conteúdos tratados, e possam, em conseqüência, construírem seus conhecimentos,
de forma significativa.
Em relação à 5ª série do Ensino Fundamental, foram abordados os
seguintes conteúdos:
•
As quatro operações fundamentais: adição, subtração, divisão e
multiplicação.
•
Operações inversas.
•
Cálculo mental.
•
Medidas de tempo e medidas de massa (tonelada e arroba).
•
Sistema de numeração decimal: leitura, escrita, composição e
decomposição de numerais, valor posicional de um algarismo.
•
Possibilidades.
•
Seqüências numéricas.
7
•
Sistema monetário.
•
Frações: representação, leitura e escrita, adição, subtração e frações
equivalentes.
No material direcionado para o 1º ano, foram contemplados os seguintes
conteúdos:
•
Cálculo de perímetro e área.
•
Teorema de Pitágoras, teorema de Tales e fórmula de Herão.
•
Revisão dos conteúdos de Ensino Fundamental (operações com
números racionais, equações do 1º e do 2º graus, sistemas de equações,
proporcionalidade,
operações
com
polinômios,
comprimento
circunferência).
•
Seqüência de Fibonacci, número phi, retângulo áureo.
e
área
da
8
ATIVIDADES PARA A
5ª SÉRIE
DO
ENSINO FUNDAMENTAL
9
3. FIGURAS SUGESTIVAS
3.1 Objetivos
•
Elaborar problemas.
•
Resolver as quatro operações fundamentais.
•
Desenvolver a confiança nos estudantes.
3. 2 Conteúdos abordados
As
quatro
operações
fundamentais:
adição,
subtração,
divisão
e
multiplicação.
3. 3 Metodologia
Resolução de Problemas.
3.4 Materiais
Figuras que sugerem situações de consumo, e, em conseqüência, cálculos
matemáticos.
3.5 Desenvolvimento da Aula
Propor aos alunos que inventem um problema a partir da observação da
figura a seguir:
Observe a figura e formule um problema. Seja criativo (a):
Foto: http://www.k2fitness.com.br/instalacoes/images/lanchonete.jpg
10
3. 5. 1 Procedimentos no decorrer da aula
É importante que cada aluno tenha a liberdade para criar seus problemas,
não havendo necessidade de direcionar a atividade para uma das operações
específicas.
A seguir, algumas sugestões de atividades que podem ser feitas a partir dos
problemas formulados pelos alunos:
•
sortear alguns dos problemas e propor para a classe resolvê-los;
•
trocar os problemas entre os alunos para que um resolva o do outro;
•
montar uma coletânea com todos os problemas dos alunos e propor
sua resolução;
•
escolher um problema que esteja incompleto ou mal formulado, para
trabalhar com o texto, reelaborando em conjunto com toda a classe, tomando
cuidado para não constranger o autor;
É interessante que cada problema, ao ser disponibilizado para os demais
estudantes, contenha o nome do autor.
3. 5. 2 Demais atividades sugeridas
1. Elabore problemas a partir dos cálculos dados:
a) R$ 23,50 + R$ 18,40
b) 2 x R$ 0,80 + 4 x R$ 0,50
2. Observe a figura abaixo e formule um problema relacionado com ela:
Foto: arquivo da autora.
11
3. 6 Considerações sobre a atividade
Segundo PARANÁ (1998),
essa tarefa de formular problemas permite ao aluno perceber o que é importante na
elaboração e resolução de uma dada situação; que relação há entre os dados
apresentados, a pergunta a ser respondida e a resposta; como articular o texto, os
dados e a operação a ser usada, etc. Mais que isso, ao formular problemas, os
alunos sentem que possuem controle sobre o fazer matemático, que podem
participar desse fazer e desenvolvem interesse e confiança frente a situaçõesproblema.
Além dessas contribuições, a experiência com esse tipo de atividade tem me
mostrado que os estudantes se sentem muito valorizados quando utilizo o termo
“autor”;
eles
se
sentem
importantes
e
capazes
de
também
produzir
matematicamente, verificam que a Matemática não é apenas algo pronto
disponibilizado exclusivamente em livros didáticos, ao contrário, ela faz parte do
nosso cotidiano.
3. 7 Avaliação
A avaliação pode ser feita no decorrer da aula, verificando não apenas a
resolução dos algoritmos, mas também a habilidade de redigir problemas e
interpretá-los.
Não se espera que os alunos elaborem problemas muito complexos, mas,
na medida em que eles se defrontarem com esse tipo de atividade em diversos
momentos, com certeza a capacidade e a criatividade serão acentuadas, e, em
conseqüência, os problemas serão mais bem elaborados.
3. 8 Referências Bibliográficas
PARANÁ. Secretaria de Estado de Educação. Superintendência de Educação.
Ensinar e Aprender: Impulso Inicial – Projeto de Correção de Fluxo. Curitiba:
SEED/DEPG, 1998.
12
4. PROBLEMAS NÃO-CONVENCIONAIS
4.1 Objetivo
Despertar o interesse dos estudantes por meio de problemas que fogem dos
padrões tradicionais, estimulando o gosto pela Matemática.
4.2 Conteúdos abordados
Cálculo mental, medidas de tempo, operações inversas.
4.3 Metodologia
Resolução de Problemas.
4.4 Materiais
Problemas propostos, os quais serão entregues 3 para cada grupo.
4.5 Problemas
Os alunos ficarão em grupos de 4 ou 5 e serão propostos os seguintes
problemas:
Grupo 1
1. Isabela e Mariana têm, juntas, 15 filmes. Quantos filmes têm cada uma?
2. Andando por uma estrada, um estudante contou, à sua direita, 30 árvores. Na
volta pela mesma estrada, contou à sua esquerda também 30 árvores. Quantas
árvores o estudante viu na estrada?
3. O menino está olhando os patos nadando no lago. Um deles nada na frente de
dois outros, um nada entre dois e um nada atrás de dois. Quantos eram os patos?
Grupo 2
1. Sabemos o preço de um objeto e a quantia que levamos para comprar. Como
acharemos o número de objetos que podemos comprar?
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2. Você pilota um avião. Ele passa sobre sete montanhas e sobre sete lagos, se
escondendo atrás das nuvens às 3 horas da tarde. Qual a idade do piloto?
3. Se 10 raposas comem 10 galinhas em 10 minutos, duas raposas comem 2
galinhas em quantos minutos?
Grupo 3
1. Quantos quilogramas de carne come, por semana, uma onça que pesa 100
quilos?
2. Uma lesma está no fundo de um poço de 6m de altura. Ela sobe 2m por dia, pára
um pouquinho, e cai 1 metro. Quantos dias ela levará para chegar ao topo do poço?
3. O número de ovos numa cesta duplica de minuto em minuto. Em 1 hora ela está
cheia. Quando estará pela metade?
Grupo 4
1. Que dados necessito para saber se tive lucro ao vender uma bicicleta?
2. Um trem leva 80 minutos para ir de uma cidade a outra, mas para voltar leva 1
hora e 20 minutos. Por quê?
3. Um senhor de 80 kg e suas duas filhas com 40 kg cada uma precisam atravessar
uma ilha com um barco. Só que há um problema, o barco só suporta 80 kg. Como
farão para atravessar?
Grupo 5
1. Um menino subiu na cama e ficou da altura de seu pai. Qual a diferença entra a
altura do pai e a do menino?
2. São sete irmãs, cada uma delas tem um irmão. Quantos filhos são ao todo?
3. Se um tijolo pesa 1 kg e meio tijolo, quanto pesa um tijolo inteiro?
14
Grupo 6
1. Um pedaço de madeira foi cortado em três partes; uma das partes medindo 80cm
de comprimento e as outras duas têm o mesmo comprimento. Qual é a medida de
cada parte?
2. Quanta terra tem um buraco de 1 metro de profundidade por 2 metros de largura e
1
metro de comprimento?
2
3. Uma garrafa e uma rolha custam R$11,00 quando vendidas juntas. Se vendidas
separadamente, a garrafa custa R$10,00 a mais do que a rolha. Quanto custa a
rolha?
Grupo 7
1. Sabendo-se o ano atual e a idade de uma pessoa, como devemos proceder para
saber seu ano de nascimento?
2. Se juntarmos as alturas de José e Luís acharemos a altura de Carlos. Qual dos
três é mais alto?
3. Uma casa de quatro cantos, cada canto tem um gato, cada gato vê três gatos.
Quantos gatos têm na casa?
Grupo 8
1. Há certo número de passageiros para serem transportados. Querendo calcular o
número de viagens que deverão ser feitas, que precisamos saber?
2. Em dezembro, um bancário recebe o dobro de seu ordenado mensal. Que fazer
para saber quanto recebe por mês?
3. Existem quatro pessoas para receber quatro maçãs que estão numa cesta.
Reparta as maçãs de forma que cada pessoa receba uma fruta inteira e ainda fique
uma na cesta!
15
4. 6 Procedimentos
Deverá ser disponibilizado algum tempo para que os integrantes do grupo
possam pensar sobre as situações propostas.
Em seguida, cada grupo vai compartilhar com o restante da turma os seus
problemas e ficará responsável, de na aula seguinte ou na próxima semana,
apresentar para os demais as soluções; e, como estas, não necessariamente,
estarão corretas, todos terão a tarefa de pensar sobre as situações propostas pelos
colegas.
No decorrer da apresentação das respostas para o grupo, é necessário que
os alunos tenham a liberdade para se expressar e oportunidades de errar sem ser
ridicularizados por seus erros.
Quando as questões colocadas estiverem com respostas erradas, o
professor deve fazer questionamentos com o grupo e com a turma toda, por meio
dos quais os levarão a pensar sobre as situações e propor a solução correta.
É importante que os alunos apresentem não apenas a respostas, mas, os
caminhos que os levaram àquela solução. Nesse momento convém o professor
aproveitar para mostrar que um problema pode ser resolvido de diversas maneiras,
valorizando sempre as idéias apresentadas.
4. 7 Considerações sobre a atividade
No modelo tradicional de aulas, os alunos cultivam a opinião fixa de que
problemas matemáticos somente são resolvidos com a aplicação e memorização de
regras e técnicas de cálculo. Em muitas situações, os alunos sequer lêem o
problema, apenas procuram fazer cálculos envolvendo os números que aparecem.
Como para pensar matematicamente é necessário muito mais do que isso, é
preciso, de acordo com Paraná (1998), cultivar nos estudantes a aptidão para
resolver problemas de qualquer natureza, por meio da compreensão da situação, da
análise e seleção dos dados, da formulação de estratégias de maneira organizada e
da validação dos resultados. Portanto, os problemas não convencionais são ótimas
oportunidades para desenvolver essas habilidades.
Os problemas conhecidos como “pegadinhas” ou desafios matemáticos,
estimulam o gosto pela Matemática, são estímulos para resolução de futuros
16
problemas mais articulados e de maior dificuldade. O fato interessante é que envolve
os demais familiares dos estudantes, pois freqüentemente, os mesmos, por acharem
interessantes, compartilham com outras pessoas.
4. 8 Sugestão de outros problemas
1. Um macaco caiu no fundo de um poço com 30 metros de profundidade. Todos os
dias ele sobe 3 metros e escorrega 2. Neste ritmo quando atingirá a beirada do
buraco?
2. Qual a operação que pode substituir uma adição cujas parcelas são iguais?
3. Numa árvore pousam pássaros. Se poupassem dois pássaros em cada galho,
ficará um galho sem pássaro. Se pousar um pássaro em cada galho, ficará um
pássaro sem galho. Calcule o número de pássaros.
4. Um pastor diz para o outro: “Dê um de seus carneiros que ficamos com igual
número de carneiros”. O outro responde: “Nada disso, dê-me um de seus que ficarei
com o dobro dos seus”. Quantos carneiros tem cada um?
5. Um alfaiate tem 1 peça de tecido com 20 metros de comprimento. Cada dia ele
tira um pedaço de dois metros. Se o primeiro corte foi feito no dia 11 de abril, em
que dia ele fará o último corte?
6. Num jarro estão 7 amebas, elas se multiplicam tão rapidamente que dobram o seu
volume a cada minuto. Se para encher o jarro, elas levam 40 minutos, quanto tempo
levará para encher metade do jarro?
7. Se três gatos comem três ratos em três minutos, cem gatos comem cem ratos em
quantos minutos?
8. Se 2 velas queimam em duas horas, quanto tempo levará para queimar 8 velas?
4. 9 Avaliação
A avaliação pode ser feita a todo instante, verificando se os alunos estão
interpretando e analisando os problemas com mais cuidado e se os mesmos estão
17
superando comportamentos como considerar que os problemas são sempre
numéricos, sempre têm solução e que todos os dados estão disponíveis.
4. 10 Referências Bibliográficas
PARANÁ. Secretaria de Estado de Educação. Superintendência de Educação.
Ensinar e Aprender: Impulso Inicial – Projeto de Correção de Fluxo. Curitiba:
SEED/DEPG, 1998.
18
5. PROBLEMAS COM DADOS DO IBGE
5.1 Objetivos
•
Solucionar problemas envolvendo adição e subtração.
•
Compreender os diferentes valores posicionais que um algarismo pode
•
Fazer a leitura e escrita de números.
ocupar.
5.2 Conteúdos abordados
Valor posicional de um algarismo, adição e subtração, leitura e escrita de
números.
5.3 Metodologia
Resolução de problemas.
5.4 Materiais
Recortes de jornais.
5.5 Desenvolvimento da Aula
Observe a notícia publicada no Jornal Tribuna do Norte, do dia 06 de
outubro de 2007:
POPULAÇÕES DE APUCARANA E ARAPONGAS
AUMENTAM
O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE)
divulgou ontem os números definitivos do censo 2007.
A finalização dos dados mostra que os dois maiores
Municípios da região, Apucarana e Arapongas, registraram
crescimento maior do que o divulgado em agosto.
Em Apucarana, dados preliminares apontavam
população de 113.507. Número final é de 115.323
habitantes.
Em Arapongas, os primeiros dados eram de uma
população de 95.859. Consolidação resultou em população
de 96.669 habitantes.
19
5. 5.1 Questões propostas:
1. De quanto foi o aumento da população apucaranense em relação aos dados
apresentados em agosto de 2007?
2. E em Arapongas, de quanto foi esse aumento?
3. Quantos habitantes, Apucarana tem a mais do que Arapongas?
4. Coloque, em ordem crescente, os números que aparecem no texto:
5. Quantas pessoas faltam para Arapongas ter uma centena de milhar de
habitantes?
6. Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, podemos escrever qualquer
número. Por exemplo, utilizando apenas os algarismos 6 e 9, podemos escrever 69,
96, 669, 996, 696, 969, 6996, 9669, etc.
a) Escreva um outro número utilizando apenas os algarismos 6 e 9:
b) Observe o número escrito por um dos seus colegas. Vocês escreveram números
iguais?
c) No número 96.669, os números 9 e 6 ocupam diferentes valores de acordo com a
posição que eles ocupam. Quais são esses valores? Complete:
96669
= _______
= _______
= _______
= _______
= _______
d) Faça o mesmo com o número 66.996:
7. Escreva como se lê os números 96.669 e 66.996:
8. (POSITIVO, 2006) Dependendo da posição que o algarismo ocupa em um
número, o valor que ele assume é diferente. Essa posição é chamada de ordem e
20
cada ordem recebe um nome. Observe, nessa tabela, o nome de cada uma das
ordens que compõem o número 115.323 e algumas maneiras de decompô-lo:
1
1
5
3
2
3
centenas
dezenas
unidades
centenas
dezenas
unidades
de milhar
de milhar
de milhar
1x100000 + 1x10000 + 5x 1000
+ 3x 100
+
2 x 10
100.000
+
+
20
+
10.000
+
5000
300
+ 3x1
+
3
a) Quais os diferentes valores que assumem nesse número os algarismos:
1? ____________________________
3? ____________________________
b) Escreva como se lê o número 115.323:
5. 5. 2 Considerações sobre a Atividade
Espera-se que a partir de uma situação de interesse dos alunos (o número
de população de seu município), ocorra a reflexão sobre a ordem e o valor
posicional dos algarismos. As demais questões surgem, de forma natural, sendo que
essas podem ser propostas tanto pelo professor como pelos alunos, de acordo com
a notícia do jornal.
As pesquisas feitas pelo IBGE apresentam outros dados que podem ser
utilizados, como: o número de homens e mulheres, os moradores da zona rural e
urbano, o índice de escolaridade, entre outros, e, a partir daí inúmeros problemas
podem ser formulados, assim como a exploração dos números relacionados com as
situações. Na internet, é possível acessar o site, clicando sobre o
link:
http://www.ibge.gov.br/home/.
Se os estudantes apresentarem dificuldades, é possível fazer um trabalho
com o Material Dourado, por meio do qual ele poderá ter uma melhor compreensão
de conceitos como unidades, dezenas, centenas, unidades de milhar, etc.
5. 5. 3 Sugestão de outras questões
1. Para chegar a 100.000, quanto você deverá adicionar a:
a) 90.000? __________
b) 90.009? __________
21
c) 99.000? __________
d) 99.990? __________
e) 99.999? __________
2. (POSITIVO, 2006) Continue multiplicando com 1, 10, 100 ou 1000 até encontrar o
número cem mil:
a) 10 x 10 x ____________________________________ = 100.000
b) 100 x 10 x ___________________________________ = 100.000
c) 1000 x ______________________________________ = 100.000
d) 10.000 x ____________________________________ = 100.000
e) 100.000 x ___________________________________ = 100.000
3. Qual dos números abaixo tem o algarismo cinco na dezena?
a) 151
b) 5700
c) 305
d) 7045
4. Desafio!!!! (VASCONCELOS, 2002)
Leia as dicas e adivinhe o número:
Sou maior de 800 e menor do que
900.
Sou um número natural e um dos
meus algarismos é 4.
Sou um número ímpar e a soma dos
meus algarismos é 15.
5. 6 Avaliação
A avaliação pode ser feita por meio da observação dos estudantes, tanto nas
atividades feitas nos cadernos, como no decorrer da resolução no quadro.
22
É possível haver uma troca de cadernos em que cada estudante fica
responsabilizado pela correção da atividade do colega. Dessa forma, os estudantes
se acostumam a prestar mais atenção na hora das conclusões e generalizações
apresentadas pela turma.
5. 7 Referências Bibliográficas
POSITIVO, Apostila da 3ª série. Ordens e Valor Posicional, 2006.
SAVICKI, Adriana. Populações de Apucarana e Arapongas aumentaram. Jornal
Tribuna do Norte. Em 6 de outubro de 2007, ano XVI, n° 5003, p. A5.
VASCONCELOS, Maria José; ANDRINI, Álvaro. Praticando Matemática. São
Paulo, Editora do Brasil, 2002.
23
6. ATIVIDADES COM O JORNAL
6. 1 Objetivos
•
Elaborar problemas.
•
Resolver as quatro operações fundamentais.
•
Desenvolver o hábito da leitura e da pesquisa.
6.2 Conteúdos abordados
As
quatro
operações
fundamentais
(adição,
subtração,
divisão
e
multiplicação), medidas de tempo e medidas de massa (tonelada e arroba).
6.3 Metodologia
Atividade de Investigação e Resolução de Problemas.
6.4 Materiais
Reportagens de jornal.
6. 5 Desenvolvimento da Aula
A Matemática está presente em tudo em nossa vida, devendo ser vivenciada
num ambiente desafiador, despertando sempre a curiosidade dos estudantes,
estimulando sua participação, valorizando seus conhecimentos já trazidos e
ampliando-os.
Os jornais trazem constantemente notícias que envolvem números, quantias
e percentuais que podem ser utilizados no decorrer do processo de ensino e
aprendizagem. Inúmeros problemas podem ser criados a partir de reportagens,
indicativos econômicos, previsões do tempo, classificados, entre outros.
6.5. 1 Procedimentos no decorrer da aula
É possível propor que os estudantes, em grupo, façam pesquisas sobre
determinados assuntos abordados no jornal.
6.5. 2 Formulação de atividades referentes às informações:
24
Ainda divididos em grupos, os estudantes têm a tarefa de formular questões,
e estas, após serem corrigidas, podem ser impressas e solucionadas por todos.
6.6 Considerações sobre a atividade
Vários problemas podem ser construídos a partir do texto pesquisado pelos
estudantes. Para se utilizar a atividade sem o recorte do jornal, podem-se fazer
diversas perguntas sobre esse animal e estimular os estudantes a pesquisar sobre
ele.
6.7 Utilização do jornal:
O jornal é uma fonte inesgotável de problemas, basta verificar a situação, e
a partir dela ou de investigações relacionadas com a reportagem, inúmeras
situações matemáticas podem ser apresentadas.
A seguir, de acordo com Cançado (2002), algumas atividades que podem
ser propostas aos estudantes após a leitura de jornais:
•
cálculo de preços de compras à vista e a prazo, com identificação da
porcentagem de aumento nas compras a prazo;
•
comparação de preços de determinados produtos em vários anúncios;
•
cálculo com medidas de tempo a partir de notícias de esportes;
•
análise de custos com transportes e alimentação para realizar um
trabalho;
•
organização de orçamentos para uma festa, procurando preços em
•
discussões sobre as contribuições oferecidas pela leitura dos
jornais;
classificados, bem com a formulação de diversos problemas relacionados com os
anúncios;
•
leitura e interpretação de gráficos;
•
simulações de vendas de produtos anunciados, calculando descontos e
prestações;
Além dessas atividades, outras podem realizadas, como:
•
cálculo de temperaturas médias;
•
construção de plantas de casas a partir de anúncios dos classificados;
25
•
análise crítica referente às oscilações sofridas pelo dólar;
•
problemas relacionados com os indicativos econômicos;
6.8 Avaliação
A avaliação pode ser feita no decorrer da aula, verificando se estudantes
estão demonstrando interesse nas investigações referentes ao tema, se elaboram
problemas coerentes com o estudo em questão, se interpretam corretamente as
informações para poder solucionar os problemas propostos e finalmente, se estão
utilizando corretamente os algoritmos.
6.9 Referências Bibliográficas
CANÇADO, Dinorá Couto. Oficina Pedagógica do Projeto Cultural: “Vamos Ler
Apucarana”. Jornal Tribuna do Norte, 2002.
26
7. PROBLEMAS DIVERSOS
7.1 Objetivos
•
Resolver as quatro operações fundamentais.
•
Solucionar problemas.
7.2 Conteúdos abordados
Interpretação de problemas, operações fundamentais (adição, subtração,
multiplicação e divisão), seqüências numéricas, raciocínio lógico e sistema
monetário.
7.3 Metodologia
Resolução de Problemas.
7.4 Desenvolvimento da Aula
Formar grupos de dois estudantes, e a cada grupo entregar um dos
problemas a seguir:
1. (OBMEP 2005) A prefeitura de uma certa cidade fez uma
campanha que permite trocar 4 garrafas de um litro vazias por uma
garrafa de 1 litro cheia de leite. Quantos litros de leite pode obter
uma pessoa que possua 43 dessas garrafas vazias fazendo várias
trocas?
2. Um coelho comeu 40 cenouras em um período de 5 dias. Em cada
dia o coelho comeu 2 cenouras a mais que no dia anterior. Quantas
cenouras ele comeu em cada dia?
3. Em julho de 1994, Romário estava com 28 anos, Branco com 30
anos e Márcio Santos com 24 anos. Depois de quantos anos a soma
das três idades será igual a 100 anos?
4. Rita pretende comprar um presente no valor de 60 reais. Decidiu
economizar 1 real na 1ª semana, 2 reais na 2ª semana, 4 reais na 3ª
27
semana e, assim sucessivamente, sempre dobrando o valor
economizado na semana anterior. Após 6 semanas de economia, Rita
poderá comprar o presente e qual quantia ainda lhe sobrará?
Disponibilizar de algum tempo para que ambos os elementos do grupo
possam pensar sobre a situação recebida;
Pedir para que as duplas que possuem o mesmo problema se reúnam e
discutam sobre as dúvidas e/ou possíveis soluções apresentadas pelo problema;
Solicitar para cada grupo que apresente o problema e sua resolução,
podendo-se utilizar de dramatização, desenhos ou a forma como preferirem;
7.5 Considerações sobre a atividade
No decorrer da aula de resolução de problemas, é muito importante que os
estudantes tenham tempo suficiente para poder pensar; o trabalho em grupo é muito
produtivo, considerando que dessa forma, eles têm oportunidade de discutir,
argumentar, expor seus pontos de vista, e, principalmente ouvir.
Diante de uma resposta incorreta, é necessário fazer questionamentos, com
o objetivo que o estudante por si próprio perceba seu erro e faça as correções. É
preciso valorizar as soluções apresentadas e saber se fazer presente, não tirando
dos estudantes a oportunidade de pensar e ao mesmo tempo incentivando-os a
chegar à solução por meio de uma pergunta, uma dica ou mesmo uma restrição.
7.6 Avaliação
A avaliação poderá ser feito no decorrer de toda a aula, no momento das
duplas e dos grupos é possível verificar se eles estão participando da atividade;
também no transcorrer da apresentação, é possível avaliar se os estudantes
argumentam, fazem suposições e defendem suas idéias.
Nesse tipo de atividade não se prioriza apenas a resposta correta, mas o
levantamento de hipóteses, as discussões, as tentativas e a busca pela resolução do
problema.
28
7.7 Referências Bibliográficas
OBMEP 2005. 1ª Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas. Brasília,
2005.
29
8.MULTIPLICAÇÕES
8.1 Objetivos
•
Compreender o processo da construção da tabuada.
•
Solucionar problemas envolvendo a multiplicação.
•
Perceber que a Matemática é uma ciência em construção.
8.2 Conteúdos abordados
Tabuada, algoritmo da multiplicação e propriedades da multiplicação.
8.3 Metodologia
Resolução de problemas.
8. 4 Materiais
Papel quadriculado.
8. 5 Desenvolvimento da Aula
Trabalhando com matérias manipuláveis e explorando jogos e situações
diversas, os estudantes poderão, aos poucos, construir e registrar os fatos
fundamentais que compõem a multiplicação. O ideal seria que o estudante chegasse
na 5ª série compreendendo a tabuada, mas, como para a maior parte, isso não
ocorre, cabe ao professor desta série, propiciar oportunidades, por meio de
atividades diversas, de os estudantes compreenderem e memorizarem a tabuada.
8. 5. 1 Construindo a tabuada
Por meio de desenhos e conjuntos, os estudantes poderão fazer as
seguintes representações:
Tabuada do 2
2x1
♥
2x2
♥♥
♥
♥♥
1+1
2
2+2
4
30
2x3
2x4
M
♥♥♥
♥♥♥
♥♥♥♥
♥♥♥♥
M
M
Tabuada do 3
3x1
♣
♣
3x2
♣♣
♣♣
3x3
♣♣♣
♣♣♣
3 x4
♣♣♣♣ ♣♣♣♣
♣
♣♣
♣♣♣
♣♣♣♣
M
M
M
M
3+3
6
4+4
8
M
M
1+1+1
3
2+2+2
6
3+3+3
9
4+4+4
12
M
M
É importante que o estudante perceba que a multiplicação pode ser
entendida como adição de parcelas iguais e, de acordo com a necessidade, é
possível ir fazendo os conjuntos até que os estudantes compreendam a tabuada.
8.5.2 Sistematizando a tabuada
Após a construção, feita por meio de conjuntos, é possível que os
estudantes construam uma tabuada:
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
1
2
3
4
5
6
7
6
9
10
2
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20
3
3
6
9
12 15 18 21 24 27 30
4
4
8
12 16 20 24 28 32 36 40
31
5
5
10 15 20 25 30 35 40 45 50
6
6
12 18 24 30 36 42 48 54 60
7
7
14 21 28 35 42 49 56 63 70
8
8
16 24 32 40 48 56 64 72 80
9
9
18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Completando a tabela, diversas seqüências e regularidades podem ser
exploradas, e, espera-se que neste momento, os estudantes percebam que, por
exemplo, 5x3 é a mesma coisa que 3x5; portanto, é possível explorar a propriedade
comutativa da multiplicação. Caso os estudantes não percebam, é possível propor a
seguinte pergunta:
Quais os números da linha 2?
Quais os números da coluna 2?
Por que eles são iguais?
Outras questões podem ser propostas, como:
Quantos “doze” aparecem na tabela? Quais são as multiplicações que
resultam em 12?
E quantos “quinze”? Quantos “dezesseis”? – diversos outros números
podem ser perguntados, e, para responder, os estudantes terão que explorar a
tabuada.
8. 5. 3 Curiosidades da tabuada do 9
Após os estudantes compreenderem como são feitas as multiplicações para
a tabuada, que alguns “truques” podem ser usados para adquirir os resultados mais
rapidamente, antes de os mesmos serem memorizados.
Escrevendo os resultados
Ao escrever na 1ª coluna os números de 0 a 10 na ordem crescente e na 2ª
coluna, os mesmos números, mas na ordem decrescente, obtemos os produtos
resultantes da tabuada do 9:
32
1ª coluna
2ª coluna
operação
0
9
9x1
1
8
9x2
2
7
9x3
3
6
9x4
4
5
9x5
5
4
9x6
6
3
9x7
7
2
9x8
8
1
9x9
9
0
9x10
Outra maneira de se obter a tabuada do 9, de maneira bem rápida, sem
haver necessidade de uso de registro é por meio dos dedos das mãos.
Para calcular, 9 x 8, por exemplo, usa-se o seguinte procedimento:
•
Com as duas mãos abertas, esconde-se o oitavo dedo;
•
Os dedos que ficarem à esquerda do dedo escondido são as dezenas,
que no caso, são 7.
•
Os dedos que ficarem à direita do dedo escondido são as unidades,
que no caso, são 2.
•
Portanto, obtém-se, com fácil visualização, 72.
33
Multiplicações por 9:
MUltiplicação
Mãos
Dezenas Unidades Resultado
9x1
0
9
9
9x2
1
8
18
9x3
2
7
27
9x4
3
6
36
9x5
4
5
45
9x6
5
4
54
9x7
6
3
63
9x8
7
2
72
9x9
8
1
81
É importante que, de acordo com Pietro (2006), após compreendidos os
fatos fundamentais, eles sejam, aos poucos, memorizados pelos estudantes. Para
isso é oportuno utilizar jogos variados.
8. 5. 4 JOGO MULTIPLICATIVO (retirado de PARANÁ, 1998)
34
MATERIAL: cartas que podem ser de baralho, enumeradas de 2 a 9.
OBJETIVOS: trabalhar com os alunos a memorização da tabuada, a
capacidade de análise e a tomada de decisões na resolução de problemas.
REGRAS:
•
O jogo pode ser feito em grupo de 2 ou mais pessoas;
•
Uma pessoa do grupo escolhe 4 cartas sem que as demais vejam;
•
A tarefa dos outros jogadores é tentar ser o primeiro a adivinhar as
suas cartas;
•
Na sua vez de jogar, ao jogador só é permitido fazer a pergunta: “Você
tem duas cartas cujo produto é ___ (15, por exemplo)?”;
•
O jogador com as cartas na mão responde apenas sim ou não;
•
Os produtos são registrados para que os jogadores possam analisar as
tentativas bem como as respostas “sim” ou “não”;
•
O vencedor é aquele que conseguir em primeiro lugar quais são todas
as cartas escolhidas;
•
Se a resposta não estiver correta, o jogador perde a vez de jogar;
8. 5. 5 Algoritmo da multiplicação
É necessário mostrar aos estudantes que não existe apenas uma forma de
multiplicar, que a Matemática não é um conjunto de leis únicas que têm que ser
obedecidas. A seguir, alguns modos de multiplicar:
1º Geometricamente, em papel quadriculado:
10
5
10
10
3
3
10
5
35
1 0
5
+
3
1
1 9
0
0
0
5
5
2º Fazendo a decomposição
15 x 13
(10 + 5 ) x ( 10 + 3)
10 + 5
x 10 + 3
30 + 15
100 + 50
130 + 65
195
3º Pelo algoritmo usual
C D U
1
5
1
3
4
5
1
5
0
1
9
5
X
+
8. 5. 6 Outras formas de multiplicar
Além do algoritmo tradicionalmente utilizado, é possível mostrar outras
formas de multiplicar, para que os estudantes percebam que a Matemática não é
uma ciência pronta e acabada, pelo contrário, é algo dinâmico, passível de erros e
correções.
36
Esse saber historicamente construído precisa ser trabalhado com os
estudantes para que eles possam valorizar o conhecimento, sentirem-se motivados
para resolverem problemas e fazerem uma reflexão sobre o conhecimento
contemporâneo da Matemática.
Método Egípcio
Há 2000 anos, os egípcios não sabiam a tabuada, mas tinham grande
facilidade com as duplicações.
Ex: 26 x 18
O primeiro passo é construir uma tabela de dobros para 26 (ou o 18):
1 x 26 =
26
2 x 26 =
52
4 x 26 =
104
8 x 26 =
208
16 x 26 = 416
M
M
Decompondo o outro número, o 18, temos 18 = 16 + 2, e, utilizando a tabela
temos: 416 + 52 = 468.
Portanto, 26 x 18 = 468.
Método utilizado na Idade Média
O Método empregado na Europa medieval era semelhante ao método
egípcio, porque também se baseava no sistema de dobros.
Para multiplicar por esse método, coloca-se os dois números lado a lado, e,
em um deles calcula-se a metade e no outro, calcula-se o dobro. Na linha que deu
metade 1, o resultado da operação está na coluna ao lado, a do dobro.
37
Ex: 16 x 14
metade
Dobro
16
14
8
28
4
56
2
112
1
224
Portanto, 16 x 14 = 224.
Porém, números ímpares não têm metade exata, então, é feito da seguinte
forma:
metade
Dobro
26
18
13
36
6
72
3
144
1
288
Como 13 e 3 não têm metades exatas, calcula-se a sua metade,
aproximando-se para menos. O resultado seria 288, mas, nesse caso, a ele se
somam os dois números dos dobros obtidos nas divisões que não têm metade.
Portanto, 26 x 18 = 288 + 144 + 36 = 468.
Método Reticulado
Esse método existe, segundo Toledo (1997), desde, pelo menos, o século
XII e ainda é utilizado em algumas escolas da França. É também conhecido como
gelosia, que em italiano significa grade, pois se assemelha com as grades utilizadas
nas janelas da Itália.
38
Para fazer a multiplicação, basta separar os quadrados e ir fazendo as
multiplicações, semelhante à tabuada anteriormente sistematizada.
Após completar todos os quadrados, calcula-se a soma dos números
colocados em cada diagonal. No caso de a soma ser maior ou igual a 10, o
algarismo das dezenas é levado à diagonal seguinte.
8. 5. 7 Jogo com multiplicação
•
Forme uma dupla com um colega;
•
Cada um usa um lápis de cor diferente;
•
O objetivo é formar quadrados, unindo um ponto a outro (os traços que
unem os pontos não podem passar sobre os números);
•
Faz-se um sorteio para ver quem começa;
•
Na sua vez, o jogador deve unir dois pontos;
•
Quando um jogador traçar o quarto lado do quadrado, o número que
ficou dentro deve ser anotado, para posteriormente ser multiplicado;
•
Quantos acabarem os pontos a serem unidos, é só verificar quantos
quadrados cada um anotou;
•
Cada jogador multiplica todos os números encontrados nos quadrados
que formou;
•
Vence aquele que obtiver o maior número;
•
Os números podem ser adaptados de acordo com o grau de
dificuldades dos alunos;
39
.
.
9
.
.
10
16
.
8
.
.
14
.
.
2
.
8
.
.
18
.
10
.
.
.
Jogador 1: ____________________
Nos dos quadrados: _____________
Multiplicação: __________________
Jogador 2: ____________________
Nos dos quadrados: _____________
Multiplicação: __________________
Vencedor: _____________________
OBSERVAÇÕES:
Com
esse
jogo
podem
ser
trabalhadas
as
propriedades
da
multiplicação, como, por exemplo, o elemento neutro;
Pode-se colocar o zero, para que os estudantes compreendam que a
multiplicação por zero tem sempre como resultado zero;
Nas séries mais adiantadas, é possível trabalhar a multiplicação dos
números inteiros;
8. 5. 8 Outros problemas
1. Uma loja oferece os seguintes carros:
40
E as seguintes cores:
Preto Branco Vermelho Prata
Quantas escolhas possíveis têm um consumidor?
2. (DANTE, 2004) Calcule, do modo que quiser, e responda às questões a seguir:
a) O número de unidades em 16 dúzias:
b) O número de quilogramas em 23 arrobas:
c) O número de dias em 14 anos, incluindo 4 anos bissextos:
3. (Adaptado: IMENES, 1999) Com os dedos sobre o pescoço, a menina está
sentindo as batidas do coração. Se o coração dela dá 68 batidas por minuto,
quantas batidas vai dar em uma hora?
Foto: arquivo da autora
E o seu coração? Quantas batidas dá em uma hora?
4. (LELLIS, 1994) Entrei em um jogo com 243 figurinhas. Na primeira hora do jogo,
dobrei o número inicial e na hora seguinte consegui multiplicar por 5 o que eu já
tinha obtido. Com quantas figurinhas saí do jogo? (Observação: neste problema é
proibido escrever qualquer coisa, exceto a resposta: você deve resolvê-lo
mentalmente.)
5. (VASCONCELOS, 2002) Carla tem 3 pares de tênis e 4 pares de meias. De
quantas maneiras diferentes ela pode calçar seus pés com um par de meias e um
par de tênis?
41
8. 6 Avaliação
A avaliação pode ser feita a todo o momento, observando não só as
atividades realizadas no caderno, mas principalmente os momentos das correções,
que podem ser feitas no quadro.
No decorrer das atividades podem ser dados os últimos problemas,
verificando não só se os estudantes conseguem interpretar e retirar os dados, mas
principalmente se compreenderam a tabuada e o algoritmo da multiplicação.
11. 7 Referências Bibliográficas
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática. São Paulo: Editora Ática, 2004.
IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo. Matemática. São Paulo: Editora Scipione,
1999.
LELLIS, Marcelo; JAKUBOVIC, José. Matemática na Medida Certa. São Paulo:
Editora Scipione, 1994.
PARANÁ. Secretaria de Estado de Educação. Superintendência de Educação.
Ensinar e Aprender: Impulso Inicial – Projeto de Correção de Fluxo. Curitiba:
SEED/DEPG, 1998.
PRIETO, Andréa Cristina Sória Prieto. A tabuada deve ser entendida ou
memorizada?
2006.
Disponível
em
http://www.planetaeducacao.com.br/novo/impressao.asp?artigo=639. Acesso: 01 de
nov. 2007.
TOLEDO, Marília; TOLEDO, Mauro. Didática de Matemática: como dois e dois: a
construção da Matemática. São Paulo: FTD, 1997.
VASCONCELOS, Maria José; ANDRINI, Álvaro. Praticando Matemática. São Paulo:
Editora do Brasil, 2002.
42
9. PROBLEMAS COM O SISTEMA MONETÁRIO
9.1 Objetivos
•
Solucionar problemas relacionados com nosso sistema monetário.
•
Calcular e analisar criticamente compras à vista e a prazo.
•
Utilizar corretamente os algoritmos da adição, subtração, multiplicação
e divisão.
9.2 Conteúdos abordados
Operações fundamentais, possibilidades leitura e escrita de números
naturais.
9.3 Metodologia
Resolução de Problemas.
9.4 Materiais
Panfletos de ofertas e folhas de cheque.
9.5 Desenvolvimento da Aula
Observe os preços e resolva as questões:
À vista
Computador / 1 Mb / MB GA - 945GZM –
S2 / Memoria 512 / DDR2 / 667 / HD 80GB
SATAII / Gabinete / Gravador de DVD /
Monitor 17 ´
R$ 1.300,00
ou a prazo:
25x 79,00
43
9.5. 1 Questões propostas
1. Qual o preço do computador a prazo?
2. O preço a prazo é maior ou menor do que o preço à vista? Quanto?
3. Se o preço à vista pudesse ser dividido em 10 prestações, qual seria o valor
de cada parcela?
4. Negociando com o gerente da loja, o cliente conseguiu comprar pelo preço à
vista, com um cheque de R$460, 00, e o restante em três cheques de valores
iguais para serem pagos daqui a 30, 60 e 90 dias.
a) Preencha o cheque dado como entrada pelo computador:
b) Qual o valor a ser pago em cada prestação? Preencha um cheque com
esse valor:
44
5. Observe o número do cheque referente a uma das prestações:
Nele há quantas:
a) unidades de milhar? __________
b) dezenas de milhar? ___________
c) dezenas? ___________________
d) centenas? __________________
e) unidades? __________________
Caso haja necessidade, utilize a tabela abaixo:
centenas
dezenas
unidades
de milhar
de milhar
de milhar
centenas
dezenas
unidades
6. Caso a entrada fosse paga em dinheiro, como você pagaria essa quantia,
quais notas você usaria?
7. Compare a sua resposta com a de um colega de classe, vocês fizeram
respostas iguais?
8. A que conclusão vocês chegaram?
9.5. 2 Considerações sobre a atividade
No decorrer da aula, de acordo com a turma, é necessário que se
discuta com os estudantes qual o significado dos termos: a prazo, à vista,
entrada, prestações. A partir de perguntas, pode-se discutir o que eles
entendem por esses termos, e caso haja necessidade, intervir com explicações
mais claras ou propor que os mesmos pesquisem sobre o assunto.
A partir de operações, é possível explorar os números relacionados,
trabalhando seu valor posicional, a leitura e escrita e as ordens e classes.
9.5. 3 Sugestão de outras atividades
45
1. (LELLIS, 1994) O caixa de um banco tem em sua gaveta 25 notas de
R$50,00, 40 notas de R$10,00 e 40 notas de R$5,00. Uma pessoa está
apresentando um cheque de R$1485,00 e o caixa irá pagá-la.
a) No mínimo, quantas notas a pessoa receberá?
b) E no máximo?
2. (VASCONCELOS, 2002) Tenho R$10,00 a mais do que você. Se eu lhe der
R$2,00, com quanto ficarei a mais que você?
3. (GRASSESCHI, 1999) Escreve 15 números entre 100 e 3000:
a) Coloque-os em ordem crescente.
b) Escreva o antecessor de cada um dos números.
c) Coloque os antecessores em ordem decrescente.
9.6 Avaliação
Além da observação feita no decorrer da aula, em relação ao
preenchimento dos cheques, aos cálculos e às interpretações dos problemas, é
possível pedir aos estudantes que construam outros problemas a partir de
panfletos de ofertas e que os mesmos ou solucionem esses problemas, ou os
troquem com os colegas no decorrer da resolução.
9.7 Referências Bibliográficas
GRASSESCHI, Maria Cecília Castro; ANDRETTA, Maria Capucho; SILVA,
Aparecida Borges Dos Santos. PROMAT: Projeto Oficina de Matemática. São
Paulo, FTD, 1999.
LELLIS, Marcelo; JAKUBOVIC, José. Matemática na Medida Certa. São
Paulo, Editora Scipione, 1994.
VASCONCELOS, Maria José; ANDRINI, Álvaro. Praticando Matemática. São
Paulo, Editora do Brasil, 2002.
46
ATIVIDADES PARA O
1º ANO
DO
ENSINO MÉDIO
47
10. PROBLEMAS DA 2ª OLIMPÍADA DAS ESCOLAS PÚBLICAS PARA O
ENSINO MÉDIO
10.1 Objetivos
10.1.1. Geral
•
Revisar conteúdos abordados ao longo do Ensino Fundamental.
10.1.2 Específicos:
•
Efetuar operações com os números racionais.
•
Solucionar equações do 1º e do 2º graus.
•
Determinar a razão entre dois números.
•
Reconhecer duas grandezas diretamente proporcionais.
•
Calcular os termos desconhecidos em sucessões de números
diretamente proporcionais.
•
Efetuar operações com polinômios.
•
Compreender e calcular os produtos notáveis.
•
Calcular algebricamente a área de figuras planas.
•
Calcular o comprimento de uma circunferência.
10. 2 Conteúdos abordados
Operações com os números racionais, regra de três, proporcionalidade,
área de figuras planas: quadrado, retângulo e triângulo, medidas de tempo,
produtos notáveis, polinômios, perímetro, teorema de Pitágoras, equações do
1º e do 2º graus, comprimento de uma circunferência.
10. 3 Metodologia
Resolução de Problemas.
10. 4 Materiais
Problemas do Banco de Questões da 2ª Olimpíada Brasileira de
Matemática das Escolas Pública.
10. 5 Desenvolvimento da Aula
48
Formar grupos de dois estudantes, e a cada grupo entregar um dos
problemas a seguir:
1. Uma cerca de arame reta tem 12 postes igualmente espaçados. A distância
entre o terceiro e o sexto poste é de 3,3m. Qual o comprimento da cerca?
2. O limite de peso que um caminhão pode transportar corresponde a 50 sacos
de areia ou 400 tijolos. Se este caminhão já contém 32 sacos de areia, quantos
tijolos, no máximo, ele ainda pode carregar?
3. Uma cidade ainda não tem iluminação elétrica e todos usam velas à noite.
Na casa de João usa-se uma vela por noite, sem queimá-la totalmente; com os
tocos de quatro destas velas, é possível fazer uma nova vela. Durante quantas
noites João poderá iluminar sua casa com 43 velas?
4. Uma loja de sabonetes realiza uma promoção com o anúncio: “Compre um e
leve outro pela metade do preço”. Outra promoção que a loja poderia fazer
oferecendo o mesmo desconto percentual é:
a) “Leve dois e pague um”
b) “Leve três e pague um”
c) “Leve três e pague dois”
d) “Leve quatro e pague três”
e) “Leve cinco e pague quatro”
5. Um retângulo está dividido em e regiões, duas delas com áreas 24 cm2 e 13
cm2
conforme indicado na figura.
Qual é a área
da outra região?
6. Um artesão começa a trabalhar às 8 h e produz 6 braceletes a cada vinte
minutos; já seu auxiliar
começa a trabalhar uma hora depois e produz 8
49
braceletes do mesmo tipo a cada meia hora. O artesão pára de trabalhar às 12
h, mas avisa ao seu auxiliar que este deverá continuar trabalhando até produzir
o mesmo que ele. A que horas o auxiliar irá parar?
7. Na figura abaixo temos dois quadrados. O maior tem lado a+b e o menor
lado a.
Qual a área da região em pintada?
8. O perímetro de um retângulo é 100 cm e a diagonal mede x cm. Qual é a
área do retângulo em função de x? (pág 67)
9. Se eu der duas barras de chocolate para Tião, ele me empresta sua bicicleta
por 3 horas. Se eu lhe der 12 bombons, ele me empresta a bicicleta por 2
horas. Amanhã, eu lhe darei uma barra de chocolate e 3 bombons. Por quanto
tempo ele me emprestará a bicicleta? (pág. 85)
10. André treina para a maratona dando voltas em torno de uma pista circular
de raio 100m. Para percorrer aproximadamente 42 km, o número de voltas que
André precisa dar está entre:
a) 1 e 10
b) 10 e 50
c) 100 e 500
d) 500 e 1000
Disponibilizar de algum tempo para que ambos os elementos do grupo
possam pensar sobre a situação recebida;
50
Pedir para que as duplas que possuem o mesmo problema se reúnam e
discutam sobre as dúvidas e/ou possíveis soluções apresentadas pelo
problema;
Solicitar para cada grupo que apresente o problema e sua resolução,
podendo-se utilizar de dramatização ou a forma como preferirem;
10. 6 Considerações sobre a atividade
É necessário que os estudantes tenham um tempo suficiente para
pensar, e, no momento em que as duplas com problemas iguais se juntam, é
preciso que os mesmos vejam a situação como reforços para se pensar sobre
o problema.
A todo o momento, o professor se faz necessário pelos grupos. Por
meio de perguntas, deve levar os estudantes a pensar sobre a situação. Em
algumas circunstâncias, uma pergunta não é suficiente, então o professor deve
ser fazer presente por meio de uma dica ou mesmo uma restrição sobre o
problema.
A riqueza de uma aula como essa, está principalmente no momento da
correção e discussão sobre os problemas, oportunidade na qual os estudantes
poderão rever conceitos, pesquisar sobre novos conteúdos e principalmente
apresentar diversos tipos de soluções para um mesmo problema, o que os
levará a perceber que os problemas são passíveis a diferentes formas de
solução.
10. 7 Avaliação
A avaliação poderá ser feito no decorrer de toda a aula, no momento
das duplas e dos grupos é possível verificar se eles estão participando da
atividade; também no transcorrer da apresentação, é possível avaliar se os
estudantes argumentam, fazem suposições e defendem suas idéias.
Nesse tipo de atividade não se prioriza apenas a resposta correta, mas
o levantamento de hipóteses, as discussões, a boa vontade, as tentativas e a
busca pela resolução do problema.
10. 8 Referências Bibliográficas
51
OBMEP
2005.
1ª
Olimpíada
Públicas.Brasília, 2005.
Brasileira
de
Matemática
das
Escolas
52
11. ÁREA MÁXIMA E FUNÇÃO QUADRÁTICA
11. 1 Objetivos
11. 1. 1 Objetivo Geral:
Reconhecer a Matemática como ferramenta de trabalho para a
resolução de problemas do dia a dia.
11.1.2 Objetivos Específicos:
•
Calcular a área de diversas figuras planas;
•
Utilizar o Teorema de Pitágoras e a fórmula de Herão;
•
Reconhecer o número π e calcular o comprimento de uma
circunferência;
•
Construir tabelas com valores para comprimento, largura,
perímetro e área do retângulo;
•
Compreender a condição de existência de um triângulo;
•
Calcular a área máxima de um retângulo em função do seu
perímetro;
•
Escrever e interpretar a lei de formação de uma função;
•
Construir gráficos;
•
Localizar e calcular o vértice de uma parábola;
11. 2 Conteúdos
Possíveis conteúdos abordados, de acordo com o desenvolvimento da
aula:
•
Valor máximo e valor mínimo;
•
Cálculo de área;
•
Comprimento, largura e altura;
•
Teorema de Pitágoras;
•
Fórmula de Herão;
•
Função;
•
Plano cartesiano;
•
Construção de gráficos;
53
•
Número irracional ;
•
Vértice de uma parábola;
11. 3 Metodologia
Resolução de Problemas.
11. 4 Materiais
Régua, esquadro, compasso e papel quadriculado.
11. 5 Desenvolvimento
PROBLEMA: Uma escola ganhou como doação, uma tela de 60m de
comprimento. A direção resolveu, então, cercar um terreno que tivesse a maior
área possível, para fazer experiências com plantas. Como pode ser esse
terreno? Quais são as dimensões?
Proporcionar um tempo para que os estudantes, em grupo,
possam pensar sobre a situação;
Perguntar qual a forma que cada grupo pensou para o cercado;
Fazer no quadro, um levantamento das possíveis formas:
triângulo, quadrado, hexágono, retângulo, círculo, etc;
Propor para que cada grupo faça o cálculo de uma das possíveis
formas para o cercado;
Pedir para que cada grupo compartilhe com a turma a área
encontrada;
No decorrer do trabalho, é possível, conduzir os estudantes a
trabalharem com a classificação de triângulos, a fórmula de Herão, condição de
existência de triângulos, entre outros conteúdos. Esse processo deve ser feito
por meio de perguntas, como a que segue:
Será que com 60 m eu posso formar triângulos com quaisquer medidas?
Existe alguma condição de existência para o triângulo?
54
PROBLEMA: Em reunião realizada na escola, os professores de Ciências e
Biologia alegaram que, devido ao tipo de canteiros que eles queriam construir,
o cercado deveria ser na forma de um retângulo. Portanto, quais as medidas do
retângulo com perímetro 60m que possui a maior área?
Cada grupo se encarregará de fazer um novo cálculo, com
valores quaisquer para o comprimento e a largura do retângulo.
Para descobrir quais podem ser as medidas dos lados do
cercado, pode-se propor a construção de uma tabela para a sistematização dos
resultados obtidos por cada grupo. A partir da tabela, pode-se propor a
construção do gráfico, onde x representa o comprimento e y a área do
retângulo.
Questão que pode ser proposta, para reflexão:
Um quadrado também pode ser chamado de retângulo?
Após as discussões e a confecção do gráfico, pode-se propor a
seguinte questão:
E se já tivéssemos um muro e quiséssemos fazer um
cercado encostado nesse muro, ou seja, economizando um dos
lados do retângulo. Qual seria a nova área?
11. 6 Outros problemas
1. (OBMEP, 2006) Se os dois lados de um triângulo medem 5cm e 7cm, então
o terceiro lado não pode medir:
a) 11 cm
b) 10 cm
c) 6 cm
d) 3 cm
55
e) 1 cm
2. (DANTE, 2004) Sabe-se que o lucro total de uma empresa é dado pela
fórmula L = R – C, em que L é o lucro total, R é a receita total e C é o custo
total da produção. Numa empresa que produziu x unidades, verificou-se que
R(x) = 6000x – x2 e C(x) = x2 – 2000x. Nessas condições, qual deve ser a
produção x pra que o lucro da empresa seja máximo?
3. (DANTE, 2004) Um projétil da origem O(0,0), segundo um referencial dado,
percorre uma trajetória parabólica que atinge sua altura máxima no ponto (2,4).
Escreva a equação dessa trajetória.
4. (OBMEP, 2006) Em um restaurante, qual família come mais pizza: aquela
que pede uma grande de 43 cm de diâmetro ou aquela que pede duas médias
de 30 cm de diâmetro?
5. Qual a soma de dois lados de um triângulo eqüilátero cujo perímetro é de 24
cm?
6. (DANTE, 2004) Tenho material suficiente para erguer 20m de cerca. Com
ele pretendo fazer um cercado retangular de 26m2 de área. Quanto devem
medir os lados desse retângulo?
11. 7 Avaliação
A avaliação poderá ser feita de maneira contínua, a todo o momento:
presença, participação nas atividades desenvolvidas no decorrer da aula,
interesse e desempenho.
Como trabalho final, poderia ser a resolução do último problema, o qual
deve ser entregue na próxima aula, bem como um relato da aula.
11. 8 Referências Bibliográficas
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Editora
Ática, 2004.
56
OBMEP. Banco de Questões: 2ª Olimpíada Brasileira de Matemática das
Escolas
Públicas, 2006.
57
12.SEQÜÊNCIA DE FIBONACCI
12.1 Objetivos
•
Compreender o significado do número φ .
•
Verificar a beleza e a harmonia por meio da Matemática.
•
Identificar seqüências numéricas.
•
Solucionar equações do segundo grau.
•
Construir gráficos.
•
Fazer construções geométricas com régua e compasso ou com o
software Cabri II.
12.2 Conteúdos abordados
Medidas, proporções, seqüências, equações do 2º grau, funções,
números irracionais, desenho geométrico, soma dos termos de uma seqüência,
número φ , retângulo áureo.
12.3 Metodologia
Resolução de Problemas e Atividade de Investigação.
12.4 Materiais
Livros, revistas e internet para pesquisa, régua e compasso ou o
software Cabri 2d.
12.5 Desenvolvimento da Aula
No decorrer da aula, diversos problemas aparecem, é necessário
disponibilizar tempo para que os estudantes pensem sobre a situação, só para
então, depois, por meio de questionamentos, oferecer as soluções, caso essas
não sejam apresentadas pelos estudantes.
Seqüência de Fibonacci
58
Leonardo de Pisa, de acordo
com Bongiovanni (1994), conhecido
como Leonardo Fibonacci (filho de
Bonacci),
viveu
tornando-se
no
famoso
século
XIII,
pelos
seus
conhecimentos matemáticos.
http://cidadaodomundo./Fibonacci.gif
Um dos seus problemas mais famoso é assim proposto:
“Um casal de coelhos torna-se produtivo depois de dois meses de
vida. A partir de então, produz um novo casal a cada mês. Começando
com um único casal de coelhos recém-nascidos, quantos casais teremos
ao final de um ano?”
Mês:
Pares:
1
1
2
3
jan
5
fev
8
mar
abr
mai
jun ...
...
Fonte: http://www.jimloy.com/algebra/rabbits.gif
Observe os números formados por essa seqüência, existe alguma
relação entre eles?
Os números formados pelos pares de coelho: 1, 1, 2, 3, 5, 8,... formam,
nessa ordem, a seqüência de Fibonacci.
59
Qual o próximo termo dessa seqüência? Qual sua lei de formação?
Observando atentamente essa seqüência, percebemos que, a partir do
terceiro, cada termo é igual à soma dos dois anteriores. Assim, podemos
escrever a seqüência de Fibonacci até onde quisermos:
Mês
jan
fev
mar
abri
mai
jun
jul
1
1
2
3
5
8
13 21
Esta
seqüência
tem
uma
ago
set
out
nov
dez
34 55 89
característica
...
144 ...
especial,
denominada
recursividade:
•
O 1º termo somado com o 2º termo gera o 3 º termo;
•
O 2º termo somado com o 3º termo gera o 4 º termo;
•
O 3º termo somado com o 4º termo gera o 5 º termo;
•
E assim sucessivamente...
Denotando a sequência por u=u(n) como o número de pares de
coelhos ao final do mês n, poderemos escrever:
u(1)
+
u(2)
=
u(3)
u(2)
+
u(3)
=
u(4)
u(3)
+
u(4)
=
u(5)
u(4)
+
u(5)
=
u(6)
M
M
u (n – 1)
+
M
u (n)
=
u
(n + 1)
Portanto, depois de um ano teremos 144 pares de coelho, sendo o
primeiro par, que deu origem e mais os 143 pares produzidos.
Será que a seqüência de Fibonacci aparece
em outras situações da vida?
São diversas as aplicações, segundo Sodré (2005), em que
encontramos a Seqüência de Fibonacci, entre elas:
•
estudo genealógico de coelhos;
60
•
estudo genealógico de abelhas;
•
comportamento da luz;
•
comportamento de átomos;
•
crescimento de plantas;
•
probabilidade e Estatística;
•
curvas com a forma espiralada como: Nautilus (marinho),
galáxias, chifres de cabras da montanha, marfins de elefantes, rabo do cavalo
marinho, onda no oceano, furacão, etc.
Na seqüência de Fibonacci existe um fato curioso! Descubra qual é essa
fato, fazendo as divisões de cada termo pelo seu antecessor:
F (n + 1)
F ( n)
Razão
1
1
1
2
1
2
3
2
1,5
5
3
1,666...
8
5
1,6
13
8
1,625
21
13
1,615
34
21
1,619
M
M
Quando colocamos essas razões sucessivas em um gráfico em que o
eixo horizontal indica o elementos da seqüência de Fibonacci, fica , observe o
que acontece com a razão:
61
As razões vão se aproximando de um valor particular, conhecido como
Número de Ouro (Número Áureo), que é frequentemente representado pela
letra grega Phi.
Phi = φ
= 1.618033988749895
O número irracional Phi φ , de acordo com Teramon (2007), recebeu
esse nome em homenagem ao arquiteto e escultor grego Phidias, o qual foi
responsável pelo Pathernon.
Agora, faça o contrário, encontre as razões entre um número da
seqüência de Fibonacci e seu sucessor. Veja o que acontece:
F (n + 1)
F ( n)
Razão
(aproximada)
1
1
1
1
2
O,5
2
3
0,666...
3
5
0,6
5
8
0,625
8
13
0,615
62
13
21
0,619
21
34
0,617
M
M
Dessa vez, obtém-se a razão que se aproxima do número ϕ , que
equivale a 0.618033988749895.
ϕ = 0.618033988749895
Obtendo os números φ e ϕ geometricamente
e numericamente
Dado um segmento AB, como dividi-lo em duas partes?
Para essa pergunta, há infinitas respostas, porém, para que a divisão
seja harmoniosa, segundo Teramon (2007), é imposta a seguinte regra:
Todo
Maior
=
Maior Menor
A) Obtendo x geometricamente:
1
x
=
x 1− x
x2 = 1− x
x2 = 1− x
x 2 + x = 1 (completando quadrados:)
1
1
x + x + = 1+
⇒
4
4
2
2
1

1
2
x +  =1 + 
2

2
2
Utilizando o teorema de Pitágoras, temos:
63
2
1
1

1 +  = x+ 
2
2

2
2
b 2 + c 2 = a 2 , onde 1 e
1
1
são os catetos e x + é a hipotenusa.
2
2
Construção:
1º Marcar AB= u;
2º Traçar mediatriz de AB, obtendo o ponto
C;
3º Traçar perpendicular em B e transferir a
medida 1/2u, marcando D;
4° Unir A e D;
5º Transportar medida 1/2u (BD) marcando
E;
6º Medida AE = x
B) Obtendo x numericamente:
x2 + x = 1
x2 + x −1 = 0
x' =
−1+ 5
5 −1
⇒
=
2
2
x' ' =
−1− 5 − 5 −1
5 +1
⇒
=
=
2
2
2
x' = 0,6180... = ϕ
x" = 1,6180... = φ
Retângulo de Ouro
O retângulo de ouro ou retângulo áureo, construído a partir do número
de ouro, é considerado o mais harmonioso dentre as formas retangulares, e é
utilizado em diversas obras de arte.
De acordo com Santos (2006), nas ruínas do Pathernon, templo grego
construído no século V a. C, e na mais notável e conhecida obra do pintor
italiano Leonardo da Vinci, a Mona Lisa, pode-se verificar a existência do
retângulo áureo.
64
Fotos: http://www.unicamp.br/unicamp
O retângulo de ouro obedece às seguintes proporções:
A partir de dois quadrados de lado 1, é possível fazer uma construção
com retângulos áureos, utilizando a seqüência de Fibonacci:
São construídos diversos quadrados com lados cujos comprimentos
possam ser expressos por termos sucessivos da seqüência de Fibonacci, e,
ERROR: undefined
OFFENDING COMMAND: 91!~
STACK: