Questão 20
Um objeto parte do ponto A, no instante t = 0,
em direção ao ponto B, percorrendo, a cada
minuto, a metade da distância que o separa
do ponto B, conforme figura. Considere como
sendo de 800 metros a distância entre A e B.
Deste modo, ao final do primeiro minuto
(1º. período) ele deverá se encontrar no ponto
A1 ; ao final do segundo minuto (2º. período),
no ponto A2 ; ao final do terceiro minuto
(3º. período), no ponto A 3 , e, assim, sucessivamente. Suponhamos que a velocidade se
reduza linearmente em cada período considerado.
a) Calcule a distância percorrida pelo objeto
ao final dos 10 primeiros minutos. Constate
que, nesse instante, sua distância ao ponto B
é inferior a 1 metro.
b) Construa o gráfico da função definida por
“f(t) = distância percorrida pelo objeto em
t minutos”, a partir do instante t = 0.
Resposta
a) A cada minuto, o objeto percorre a metade da
distância que o separa de B. Portanto, após t mi800
nutos, t ∈ Z *+ , o objeto estará a t metros do
2
ponto B e, ao final dos 10 primeiros minutos, a
800 25
distância ao ponto B será 10 =
m.
32
2
Dessa forma, a distância percorrida pelo objeto é
25
25 575
m e sua distância ao ponto B
800 −
=
32
32
é inferior a 1 metro.
b) Como a velocidade se reduz linearmente em
cada intervalo de tempo considerado (MUV), o
gráfico da função f(t) é constituído de arcos de parábolas de concavidade para baixo, que não contêm em seus interiores seus respectivos vértices,
pois f(t) é crescente.
Cada arco tem como extremidades os pontos
⎛
800 ⎞
(t; f(t)) = ⎜ t; 800 − t ⎟ e (t + 1; f(t+1)) =
⎝
2 ⎠
⎛
800 ⎞
= ⎜ t + 1; 800 − t + 1 ⎟ , t ∈ Z +∗ .
⎝
⎠
2
Assim, há infinitas possibilidades para f(t), f: R + → R.
Esboçamos a seguir um possível gráfico de f(t),
em metros.
Podemos observar que, sendo f(t) < 800 para
t ∈ Z +∗ , a imagem da função f é Im(f) = [0; 800[.
Questão 21
Na figura, são exibidas sete circunferências.
As seis exteriores, cujos centros são vértices
de um hexágono regular de lado 2, são tangentes à interna. Além disso, cada circunferência externa é também tangente às outras
duas que lhe são contíguas.
matemática 2
Nestas condições, calcule:
a) a área da região sombreada, apresentada
em destaque à direita.
b) o perímetro da figura que delimita a região
sombreada.
Resposta
OA3 = OA22 + A2 A32 = 3 e
OA4 = OA32 + A3 A42 = 4 = 2 , o que sugere
OAn = n .
De fato, se OAk = k , aplicando o Teorema de
Pitágoras ao triângulo OAk Ak + 1 , OAk + 1 =
a) A área da região sombreada é igual à área do
hexágono regular menos a soma das áreas de 6
setores circulares de raio igual à metade do lado
do hexágono e de ângulo central igual ao ângulo
(6 − 2) ⋅ 180o
interno do hexágono, que mede
=
6
o
= 120 . Logo a área sombreada é:
= OAk2 + Ak Ak2 + 1 = k + 1 .
22 3
120o
−6 ⋅
⋅ π ⋅ 12 = 6 3 − 2 π
4
360o
b) O perímetro procurado é igual à soma dos
comprimentos dos 6 arcos que determinam os
setores circulares descritos no item anterior, ou
120o
seja, 6 ⋅
⋅ 2 π ⋅ 1 = 4 π.
360o
a2 =
6⋅
Questão 22
Os triângulos que aparecem na figura da esquerda são retângulos e os catetos OA1 ,
A1 A2 , A2 A 3 , A 3 A4 , A4 A 5 , ..., A9 A10 têm
comprimento igual a 1.
Assim,
indutiva-
mente OAn = n . Em particular, OA10 = 10 .
b) No triângulo OAn An + 1 temos an = sen(θn ) =
=
An An + 1
=
OAn + 1
2
1
n +1
. Logo a1 =
,
=
2
n +1
n +1
3
4
1
10
, a3 =
e a9 =
.
=
3
4
2
10
Questão 23
As figuras A e B representam dois retângulos
de perímetros iguais a 100 cm, porém de áreas
diferentes, iguais a 400 cm2 e 600 cm2 , respectivamente.
A figura C exibe um retângulo de dimensões
(50 − x) cm e x cm, de mesmo perímetro que
os retângulos das figuras A e B.
a) Calcule os comprimentos das hipotenusas
OA2 , OA 3 , OA4 e OA10 .
$
b) Denotando por θn o ângulo (A nOA
n + 1 ),
conforme figura da direita, descreva os elementos a1 , a2 , a 3 e a9 da seqüência (a1 , a2 , a 3 ,
..., a 8 , a9 ), sendo a n = sen(θn ).
Resposta
a) Pelo Teorema de Pitágoras,
OA2 = OA12 + A1 A22 = 12 + 12 = 2 ,
a) Determine a lei, f(x), que expressa a área
do retângulo da figura C e exiba os valores de
x que fornecem a área do retângulo da figura
A.
b) Determine a maior área possível para um
retângulo nas condições da figura C.
matemática 3
Resposta
a) A área do retângulo da figura C é dada por f(x) =
= x ⋅ (50 − x) ⇔ f(x) = −x 2 + 50x, para 0 < x < 50, x
em centímetros.
A área da figura A é 400 cm 2 . Logo −x 2 + 50x =
= 400 ⇔ x 2 − 50x + 400 = 0 ⇔ x = 40 cm ou
x = 10 cm.
b) Como f(x) é uma função quadrática, seu maior
−50
valor possível é obtido para x =
= 25 cm,
2 ⋅ ( −1)
isto é, a maior área possível é f(25) = 625 cm 2 .
Logo a região sombreada é um triângulo retângulo de catetos k e 2k.
k ⋅ 2k
a) A área da região é A(k) =
=k2.
2
b) A hipotenusa do triângulo é k 2 + (2k) 2 = k 5
e, portanto, o perímetro do triângulo é k + 2k + k 5 =
= k(3 + 5 ).
Questão 25
Considere os gráficos das funções definidas
por f(x) = log10 ( x) e g( x) = 10x , conforme figu-
Questão 24
Considere a região sombreada na figura, delimitada pelo eixo Ox e pelas retas de equações
y = 2x e x = k, k > 0.
Nestas condições, expresse, em função de k:
a) a área A(k) da região sombreada.
b) o perímetro do triângulo que delimita a região sombreada.
Resposta
A intersecção das retas de equações y = 2x e x = k,
k > 0, é o ponto (k; 2k).
ra (fora de escala).
a) Dê as coordenadas de M, ponto médio do
segmento AB.
b) Mostre que ( f o g)( x) = x e (g o f )( x) = x,
para todo x > 0.
Resposta
a) A abscissa de A é igual à abscissa do ponto
onde f corta o eixo x e a ordenada de B é igual à
ordenada do ponto onde g corta o eixo y. Assim,
f(x) = 0 ⇔ log10 x = 0 ⇔ x = 1, ou seja, A = (1;101 ) =
= (1; 10) e g(0) = f(x) ⇔ 100 = log10 x ⇔
⇔ x = 10, isto é, B = (10; 1).
⎛ 1 + 10 10 + 1 ⎞ ⎛ 11 11 ⎞
Portanto M = ⎜
;
; ⎟.
⎟ =⎜
⎝ 2
2 ⎠ ⎝2 2 ⎠
b) Para todo x ∈ R, (f o g)(x) = f(g(x)) = f(10 x ) =
= log1010 x = x e, para todo x > 0, (g o f)(x) = g(f(x)) =
= g(log10 x) =10log10 x = x.