2 - Avaliação de alternativas de
investimento sujeitas a restrições
orçamentárias
2 - Portfólio de Investimentos
SE: VPL > 0
TIR > TMA
VAUE > 0
ENTÃO:
A ALTERNATIVA DE INVESTIMENTO É SATISFATÓRIA
Entretanto, muitas vezes o capital disponível não é
suficiente para realizar todas as alternativas de
investimento que apresentam resultados satisfatórios.
Essa restrição adicional nos obriga, então, a escolher entre
todas as alternativas consideradas satisfatórias, o conjunto de
alternativas que maximizará o capital disponível.
2 - Portfólio de Investimentos
1- PROJETOS PEQUENOS EM RELAÇÃO AO ORÇAMENTO
Quando os projetos considerados forem pequenos em relação ao
orçamento disponível, basta:
Ordenar as alternativas em ordem decrescente (de acordo com o
método de avaliação utilizado) e aceitar todos aqueles primeiros cuja
soma dos investimentos necessários for imediatamente inferior ao
orçamento.
Admite-se que, como os projetos são pequenos em relação ao orçamento
disponível, a sobra também será negligenciável.
2 - Portfólio de Investimentos
IDENTIFICAÇÃO DA TMA “VERDADEIRA”
• Ordenar os projetos em ordem decrescente da TIR
I0,1
I0,2
I0,3
I0,4
I0,1
I0,2
I0,3
I0,4
R1
R2
R3
R4
Rm-1
Rm
Rm+1
...
I0,m-1
I0,m
I0,m+1
...
I0,m-1
I0,m
I0,m+1
...
m-1
m
m+1
...
...
TIR
...
I0,1 = t=1iE I0,t
...
I0,i
...
PROJETO
"i"
1
2
3
4
m
I0,m
I0,m
Rm
Se: B = orçamento disponível
E: I0, m-1 < B < I 0,m
ENTÃO: Rm = TMA
* Ri > Ri +1; i = 1, 2, ..., m
* Rm > TMA
2 - Portfólio de Investimentos
IDENTIFICAÇÃO DA TMA “VERDADEIRA”
• Uma vez que os critérios do VPL e da TIR podem levar a
ordenações diferentes, é possível que a utilização do método do
VPL conduza a um portfólio diferente.
• É necessário, então, calcular o VPL dos projetos com a “nova”
TMA. Se os projetos selecionados forem os mesmo (mesmo que
com ordenações diferentes), este será o portfólio.
2 - Portfólio de Investimentos
EXEMPLO:
Uma empresa dispõe de $100.000,00 para investir nos projetos
independentes abaixo. Determinar seu portfólio sua TMA (antes da
seleção) é de 10% aa.
PROJETO
A
B
C
D
E
F
G
H
I
A0
-28,55
-48,04
-47,55
-16,90
-28,80
-59,60
-16,33
-13,16
-12,44
A1
10
20
15
10
20
18
12
10
5
A2
10
20
15
10
20
18
12
5
A3
10
20
15
0
18
10
-
A4
10
15
0
18
10
-
2 - Portfólio de Investimentos
EXEMPLO:
1- Determinar a TIR dos projetos
PROJETO
A
B
C
D
E
F
G
H
I
TIR
15%
12%
10%
12%
25%
8%
30%
20%
10%
ORDEM
4
5
5
2
1
3
-
VPL (10%)
3,15
1,70
0,00
0,46
5,91
-2,54
4,50
2,76
0,00
ORDEM
3
5
6
1
2
4
-
2 - Ordenação e seleção dos projetos segundo suas TIR
PROJETO
G
E
H
A
D
B
I 0,1
-16,33
-28,80
-13,16
-28,55
-16,90
-48,04
I 0,1
-16,33
-45,13
-58,29
-86,84
-103,74
-151,78
PORTFÓLIO: Projetos G, E, H ,A
TIR
30%
25%
20%
15%
12%
12%
TMA
2 - Portfólio de Investimentos
EXEMPLO:
3 - Determinar o VPL dos projetos com a “nova” TMA
PROJETO VPL (12% )_
A
1,82
B
0,00
D
0,00
E
5,00
G
3,95
H
2,12
ORDEM
4
1
2
3
PORTFÓLIO: Projetos E, G, H, A
4 - Confronto entre os portfólios selecionados pelos métodos
TIR
G
E
H
A
VPL (12% )_
E
G
H
A
2 - Portfólio de Investimentos
2- PROJETOS GRANDES EM RELAÇÃO AO ORÇAMENTO
Nesse caso, a simples ordenação dos projetos seguidamente não
fornece a melhor seleção. Será necessário, então:
ESTABELECER PACOTES DE ALTERNATIVAS, EM FUNÇÃO
DA RESTRIÇÃO ORÇAMENTÁRIA
EXEMPLO:
Uma empresa possui uma dotação de $ 1.000,00 para a realização de
investimentos. Quais dos projetos apresentados abaixo devem ser
realizados para que ela maximize o retorno sobre esses
investimentos?
PROJETO
A
B
C
INVESTIMENTO ($)
1000,00
500,00
500,00
VPL ($)
1000,00
800,00
600,00
2 - Portfólio de Investimentos
SOLUÇÃO:
PACOTE
A
B+C
INVESTIMENTO ($)
1000,00
1000,00
VPL ($)
1000,00
1400,00
Método heurístico auxiliar (*):
IEVPL = (VPL + I0)/(I0)
Onde: VPL - Valor presente líquido
I0 - Investimento
PROJETO
A
B
C
IEVPL
2,00
2,60
2,20
3
1
2
(*) Esse método apenas orienta e auxilia a decisão ponderando os VPLs
2 - Portfólio de Investimentos
EXERCÍCIO:
Um superintendente está estudando as seguintes alternativas de investimento:
PROJETO
A
B
C
INVESTIMENTO
INICIAL
10000,00
20000,00
50000,00
RECEITAS
ANUAIS
1628,00
3116,00
7450,00
VIDA ÚTIL
10
10
10
O superintendente dispõe de uma dotação orçamentária de $75.000,00 e
trabalha com uma TMA de 6% a.a.
Qual o “pacote” de investimento mais vantajoso para a empresa?
2 - Portfólio de Investimentos
SOLUÇÃO:
ALTERNATIVA
VPL (6% )
TIR
IEVPL
A
B
C
1982,00
2934,00
4833,00
10%
9%
8%
1,20
1,15
1,10
PACOTE
NENHUM
A
B
C
A+B
A+C
B+C
VPL
0,00
1982,00
2934,00
4833,00
4916,00
6814,00
7766,00
PACOTE
OTIMIZADOR
2 - Portfólio de Investimentos
PROBLEMA GERAL:
A empresa KS possui em carteira os seguintes projetos (TMA = 10%)
PROJETO
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
A0
-100
-200
-150
-300
-260
-180
-110
-190
-270
-130
-210
-160
-220
-280
-120
A1
-40
-100
-200
-100
-50
-90
190
-100
-200
-110
50
-10
0
0
0
A2
-40
-100
50
400
0
-90
0
-100
-150
-110
50
0
0
0
0
A3
300
850
50
500
550
700
0
750
900
600
310
300
350
400
200
As atuais disponibilidades financeiras da empresa são de $2.000,00. Dentro de
um ano, a empresa disporá de $1.000,00, aos quais serão acrescidos os recursos
provenientes das receitas dos projetos realizados no ano em curso. Para dentro
de dois anos, os recursos serão apenas aqueles liberados pelos projetos
selecionados.
2 - Portfólio de Investimentos
3 - SELEÇÃO DE PORTFÓLIO ATRAVÉS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR
A programação linear é uma técnica matemática cujo propósito é o de
encontrar a solução ótima para problemas onde o objetivo e as restrições
sejam lineares.
MODELO GERAL DA P.L. PARA DECISÕES DE INVESTIMENTOS
F.O.:
MAX Z = j=1n VPLj x Xj
s. a:
m
i=1 
Ai,j x Xj < Oi
Xj > O
ONDE:
VPLj = Valor presente líquido do Projeto “j”
Xj = No. de vezes que o projeto “j” será executado
Ai,j = Valor do fluxo de caixa do Projeto “j” no período “i”
Oi = Disponibilidade financeira no período “i”
n
= No total de projetos analisados
m = No de períodos de planejamento considerado
2 - Portfólio de Investimentos
EXERCÍCIO
Uma empresa dispõe de um conjunto de orçamento de $1.000,00 e
deverá constituir seu portfólio a partir dos seguintes projetos:
PROJETO
A
B
C
INVESTIMENTO ($)
1000,00
500,00
500,00
VPL ($)
1000,00
800,00
600,00
Determinar a melhor solução através de P.L.
SOLUÇÃO
MAX Z = 1000.X1 + 8000.X2 + 6000.X3
s.a. 1000.X1 + 500.X2 + 5000.X3 < 1000
X1 < 1
Por P.L., tem-se:
X2 < 1
Z = 1400 e X1 = 0
X3 < 1
X2 = 1
X1, X2, X3 > O
X3 = 1
2 - Portfólio de Investimentos
EXEMPLO 2:
A empresa AK possui em carteira os seguintes projetos (x $1000):
PROJETO
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A0
-203
-180
-208
-268
-96
-160
-160
-136
-67
-39
A1
-105
0
0
-30
-174
-49
0
-73
-67
-74
A2
300
0
0
222
190
166
100
120
80
36
A3
500
480
506
210
190
157
100
120
90
124
Suas disponibilidades financeiras atuais são de $ 900.000,00, e dentro de um
ano serão de $ 380.000,00. A TMA da empresa é de 10% a.a.
Qual o portfólio de projetos que maximiza os investimentos da empresa?
2 - Portfólio de Investimentos
OUTRAS RESTRIÇÕES:
• Projetos mutuamente exclusivos: um projeto só poderá ser selecionado
caso um outro projeto não seja escolhido. EXCLUSIVIDADE
EX: Se for comprada uma máquina nova, o projeto de atualização do sistema
da máquina antiga não deverá ser realizado.
• Projetos contigentes: um projeto só poderá ser selecionado caso tenha
sido selecionado um outro projeto. DEPENDÊNCIA
EX: Se for selecionado o projeto de ampliação da fábrica, também deverá ser
selecionado o projeto de confecção de novos racks para a linha de produção.
2 - Portfólio de Investimentos
OUTRAS RESTRIÇÕES:
• Projetos mutuamente exclusivos:
• Projetos contigentes:
XA /nA+ XB /nB + XC /nC < 1
XD/nD – XE/nE < 0
onde:
Xi = nº de vezes que o projeto “i” deverá ser executado para otimizar o
portfólio;
ni = no. máximo de vezes que o projeto “i” poderá ser executado.
2 - Portfólio de Investimentos
UTILIZAÇÃO DA P.L. COM VIOLAÇÃO ORÇAMENTÁRIA
• Corresponde, de uma certa forma, a uma análise de sensibilidade do
problema de programação linear.
• Supõe a violação das restrições orçamentárias (uma, alguma, todas)
mediante uma certa compensação financeira.
MAX Z = Fn / ( 1 +i )n
s.a.
j=1
m
j=1
 A1,j . Xj + F0 = O0 + S0
m
j=1
 A2,j . Xj - F0.(1+i) + F1 +S0.(1+) = O1 + S1
m
 Am,j . Xj - Fm-1.(1+i) + Fm +Sm-1.(1+) = Om
ONDE:
Si = Valor da violação orçamentária no período “i”
 = Taxa de juros especial (correspondente a uma taxa de juros diferenciada
paga pelo dinheiro complementar)
2 - Portfólio de Investimentos
SELEÇÃO DE PORTFÓLIO ATRAVÉS DE PROGRAMAÇÃO POR OBJETIVOS
•A programação por objetivos (PPO) permite resolver problemas que
envolvam um conjunto de metas a serem atingidas simultaneamente.
•A PPO pode ser aplicada na resolução de problemas que apresentem
objetivos simultâneos e conflitantes, problemas esses que muitas vezes
são impossíveis de serem resolvidos por programação linear.
•A aplicação da PPO exige que o decisor estabeleça uma seqüência de
prioridades para as diferentes metas da empresa.
•Em inglês, PPO = GOAL PROGRAMMING.
2 - Portfólio de Investimentos
MODELO GERAL DA PPO:
MINIMIZAR Z = C.D
s.a.
A.X+R.D=B
X, D > 0
Onde:
C = Vetor das prioridades e “pesos” correspondentes
D = Vetor dos desvios positivos e/ou negativos
A = Matriz dos coeficientes das variáveis nas metas a serem atingidas
X = Vetor das variáveis a serem determinadas
R = Matriz de elementos unitários (positivos ou negativos) e/ou nulos
B = Vetor das constantes
2 - Portfólio de Investimentos
EXEMPLO ILUSTRATIVO 1
Uma indústria de eletrodomésticos fabrica televisores a cores e preto e branco.
O tempo de fabricação médio para ambos os tipos é de uma hora, e a
capacidade normal de atividade da fábrica, por semana, é de 40 horas. O
departamento de vendas informou que o número máximo de vendas por
semana para aparelhos a cores e P&B é de 24 e 30 unidades,
respectivamente.
Determinar a produção semanal que maximizará os lucros da empresa,
sabendo que a margem de lucro unitária sobre as vendas dos televisores a
cores e P&B é de $ 80,00 e $ 40,00, respectivamente.
2 - Portfólio de Investimentos
EXEMPLO ILUSTRATIVO 1
SOLUÇÃO POR PROGRAMAÇÃO LINEAR
MAX Z = 80.X1 + 40.X2
s.a.
X1 + X2 < 40
X1 < 24
X2 < 30
X1, X2 > O
Onde:
X1 = No. de televisores coloridos
X2 = No. de televisores P&B
2 - Portfólio de Investimentos
EXEMPLO ILUSTRATIVO 1
SOLUÇÃO GRÁFICA
Ponto ótimo(24, 16)
X1
40
X2 = 30
Z = 2.650  X1 = 24
X2 = 16
X1 = 24
24
X1 + X2 = 40
X1 + X2 = 40
10
0
20
Z = 80.X1 + 40.X2
30
40
X2
2 - Portfólio de Investimentos
EXEMPLO ILUSTRATIVO 2
Vamos
considerar
o
mesmo
problema
apresentado
anteriormente.
Suponhamos que o presidente da indústria tenha os seguintes objetivos a
alcançar:
1 - Evitar a não utilização da capacidade normal da indústria (evitar a
ociosidade).
2 - Vender o maior número de aparelhos possível. Desde que a margem de
lucro unitária dos televisores coloridos é duas vezes maior do que a dos
televisores P&B, o administrador desejará vender duas vezes mais aparelhos
a cores.
3 - Minimizar, tanto quanto possível, o trabalho em horas extras.
2 - Portfólio de Investimentos
EXEMPLO ILUSTRATIVO 2
SOLUÇÃO POR PPO:
MIN Z = P1.d1- + 2.P2.d2- + P2.d3- + P3.d1+
s.a.
X1 + X2 + d1- d1+
= 40
X1
+ d2- d2+
= 24
X2
+ d3- d3+ = 30
X1, X2, d1+, d2+, d3+, d1-, d2-, d3- > 0
2 - Portfólio de Investimentos
EXEMPLO ILUSTRATIVO 2
SOLUÇÃO GRÁFICA:
X1
Ponto ótimo(24, 30)
40
d2+
24
d1+
d2-
d1-
d3-
d3+
0
X2
Z = 3.120  X1 =24
X2 = 16

d1- = 0
d2-
=0
e
d3- = 0
d1+ = 14
2 - Portfólio de Investimentos
CONSIDERAÇÕES FINAIS
• A PPO fornece ao decisor recursos para determinar a melhor hierarquia
dos objetivos a serem alcançados partindo de uma definição inicial e
analisando os resultados obtidos, o decisor pode alterar a formulação
inicial do modelo, criando assim um novo problema que apresentará um
novo conjunto de soluções, e assim por diante.
• A formulação correspondente à solução escolhida caracterizará, então, a
melhor estrutura hierárquica para os objetivos a serem alcançados.