UFPE, 1o semestre de 2003.
Curso MES-942, “Métodos Matemáticos para Estatı́stica”.
Professor André Toom
Prova 2, versão 1.
Problema 1. Temos dois conjuntos A, B ⊆ IR . Sabemos que ambos são
nem abertos, nem fechados.
a) Podemos concluir que A ∩ B é nem aberto, nem fechado? 10 pontos.
b) Podemos concluir que A ∪ B é nem aberto, nem fechado? 10 pontos.
c) Podemos concluir que A ∆ B é nem aberto, nem fechado? 10 pontos.
Problema 2. A soma da serie
P∞
n=1
n− ln n é finita ou não ? 10 pontos.
Problema 3. As funcoes f (x) e g(x) são continuas e positivas na toda
reta e ambas tendem para ∞ quando x → ∞ . Denotamos
h(x) =
f (x) g(x)
−
.
g(x) f (x)
Pode ser que o limite de h(x) quando x → ∞ :
a) é igual á 0 ? 8 pontos.
f) é igual á 1/2 ? 8 pontos.
b) é igual á 1 ? 8 pontos.
g) é igual á −1/2 ? 8 pontos.
c) é igual á −1 ? 8 pontos.
h) é igual á ∞ ? 8 pontos.
d) é igual á 2 ? 8 pontos.
i) é igual á −∞ ? 8 pontos.
e) é igual á −2 ? 8 pontos.
j) não existe ? 8 pontos.
Problema 4. Seja
f (x, y) =
x2
xy
+ y2
para todos pontos salvo (0, 0) . É possivel definir esta função em (0, 0) tal
que fazer ela continua neste ponto? 10 pontos.
Problema 5.
A função f (x) é definida na toda reta. Sabemos que
o conjunto {(x, y) : y > f (x)} é aberto. Podemos concluir que a função
f (x) é continua na toda reta ? 10 pontos.
UFPE, 1o semestre de 2003.
Curso MES-942, “Métodos Matemáticos para Estatı́stica”.
Professor André Toom
Prova 2, versão 1.
Problema 1. Temos dois conjuntos A, B ⊆ IR . Sabemos que ambos são
nem abertos, nem fechados.
a) Podemos concluir que A ∩ B é nem aberto, nem fechado? 10 pontos.
b) Podemos concluir que A ∪ B é nem aberto, nem fechado? 10 pontos.
c) Podemos concluir que A ∆ B é nem aberto, nem fechado? 10 pontos.
Problema 2. A soma da serie
P∞
n=1
n− ln n é finita ou não ? 10 pontos.
Problema 3. As funcoes f (x) e g(x) são continuas e positivas na toda
reta e ambas tendem para ∞ quando x → ∞ . Denotamos
h(x) =
f (x) g(x)
−
.
g(x) f (x)
Pode ser que o limite de h(x) quando x → ∞ :
a) é igual á 0 ? 8 pontos.
f) é igual á 1/2 ? 8 pontos.
b) é igual á 1 ? 8 pontos.
g) é igual á −1/2 ? 8 pontos.
c) é igual á −1 ? 8 pontos.
h) é igual á ∞ ? 8 pontos.
d) é igual á 2 ? 8 pontos.
i) é igual á −∞ ? 8 pontos.
e) é igual á −2 ? 8 pontos.
j) não existe ? 8 pontos.
Problema 4. Seja
f (x, y) =
x2
xy
+ y2
para todos pontos salvo (0, 0) . É possivel definir esta função em (0, 0) tal
que fazer ela continua neste ponto? 10 pontos.
Problema 5.
A função f (x) é definida na toda reta. Sabemos que
o conjunto {(x, y) : y > f (x)} é aberto. Podemos concluir que a função
f (x) é continua na toda reta ? 10 pontos.
UFPE, 1o semestre de 2003.
Curso MES-942, “Métodos Matemáticos para Estatı́stica”.
Professor André Toom
Prova 2, versão 2.
Problema 1. Temos dois conjuntos A, B ⊆ IR2 . Sabemos que ambos são
nem abertos, nem fechados.
a) Podemos concluir que A ∩ B é nem aberto, nem fechado? 10 pontos.
b) Podemos concluir que A ∪ B é nem aberto, nem fechado? 10 pontos.
c) Podemos concluir que A ∆ B é nem aberto, nem fechado? 10 pontos.
Problema 2. A soma da serie
P∞
n=1
2
e− ln
n
é finita ou não ? 10 pontos.
Problema 3. As funcoes f (x) e g(x) são continuas e positivas na toda
reta e ambas tendem para 0 quando x → ∞ . Denotamos
h(x) =
1
1
−
.
f (x) g(x)
Pode ser que o limite de h(x) quando x → ∞ :
a) é igual á 0 ? 8 pontos.
f) é igual á 1/2 ? 8 pontos.
b) é igual á 1 ? 8 pontos.
g) é igual á −1/2 ? 8 pontos.
c) é igual á −1 ? 8 pontos.
h) é igual á ∞ ? 8 pontos.
d) é igual á 2 ? 8 pontos.
i) é igual á −∞ ? 8 pontos.
e) é igual á −2 ? 8 pontos.
j) não existe ? 8 pontos.
Problema 4. Seja
x2 − y 2
f (x, y) = 2
x + y2
para todos pontos salvo (0, 0) . É possivel definir esta função em (0, 0) tal
que fazer ela continua neste ponto? 10 pontos.
Problema 5.
A função f (x) é definida na toda reta. Sabemos que o
conjunto {(x, y) : y ≥ f (x)} é fechado. Podemos concluir que a função
f (x) é continua na toda reta ? 10 pontos.
UFPE, 1o semestre de 2003.
Curso MES-942, “Métodos Matemáticos para Estatı́stica”.
Professor André Toom
Prova 2, versão 2.
Problema 1. Temos dois conjuntos A, B ⊆ IR2 . Sabemos que ambos são
nem abertos, nem fechados.
a) Podemos concluir que A ∩ B é nem aberto, nem fechado? 10 pontos.
b) Podemos concluir que A ∪ B é nem aberto, nem fechado? 10 pontos.
c) Podemos concluir que A ∆ B é nem aberto, nem fechado? 10 pontos.
Problema 2. A soma da serie
P∞
n=1
2
e− ln
n
é finita ou não ? 10 pontos.
Problema 3. As funcoes f (x) e g(x) são continuas e positivas na toda
reta e ambas tendem para 0 quando x → ∞ . Denotamos
h(x) =
1
1
−
.
f (x) g(x)
Pode ser que o limite de h(x) quando x → ∞ :
a) é igual á 0 ? 8 pontos.
f) é igual á 1/2 ? 8 pontos.
b) é igual á 1 ? 8 pontos.
g) é igual á −1/2 ? 8 pontos.
c) é igual á −1 ? 8 pontos.
h) é igual á ∞ ? 8 pontos.
d) é igual á 2 ? 8 pontos.
i) é igual á −∞ ? 8 pontos.
e) é igual á −2 ? 8 pontos.
j) não existe ? 8 pontos.
Problema 4. Seja
x2 − y 2
f (x, y) = 2
x + y2
para todos pontos salvo (0, 0) . É possivel definir esta função em (0, 0) tal
que fazer ela continua neste ponto? 10 pontos.
Problema 5.
A função f (x) é definida na toda reta. Sabemos que o
conjunto {(x, y) : y ≥ f (x)} é fechado. Podemos concluir que a função
f (x) é continua na toda reta ? 10 pontos.