Matemática e suas
Tecnologias - Matemática
Ensino Fundamental, 7º Ano
Conjuntos dos números racionais relativos
operações de potenciação e radiciação
resolução de situaçõesproblema
Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental
Conjuntos dos números racionais relativos
1. Introdução
Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental
Conjuntos dos números racionais relativos
Números Racionais
Z
 2,5,...
0,1,2,3,...
1
,...
2
N
 0,1,2,3,...
 0,3,...
2
,...
7
Q
Interseção dos conjuntos: Naturais, Inteiros e Racionais.
São todos os números que são representados na
forma decimal, aqueles números que podem ser
escritos na forma de fração.
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Conjuntos dos números racionais relativos
Números Racionais
Podemos escrevê-los de algumas formas diferentes.
Por exemplo:
♦ Em forma de fração ordinária
Esses números têm a fora
6 1 9
; ; e todos os seus opostos.
3 2 3
a
com a , b  Z e b ≠ 0.
b
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Números Racionais
♦ Números decimais com finitas ordens decimais ou
extensão finita:
3
0,3 
10
25 1
0,25 

100 4
 75  3
 0,75 

100
4
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Conjuntos dos números racionais relativos
Números Racionais
♦ Número decimal com infinitas ordens decimais ou de
extensão infinita periódica. São dízimas periódicas
simples ou compostas:
1
 0,3333 ...
3
4
23
 0,36363636 ...
 0,2555 ...
11
90
a
As dízimas periódicas de expansão infinita podem ser escritas na forma :
b
com a, b  Z e b ≠ 0.
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Conjuntos dos números racionais relativos
Conjunto dos Números Racionais
O conjunto dos números racionais é representado pela
letra Q maiúscula na figura.(Próprio autor do slide).
a
Q = {x = , com a Z e b Z*}
b
Q
OU
N
Z
Q={
a
, sendo a e b números inteiros e b ≠ 0}
b
N está contidoem Z, e Z está contidoem Q
Indicamos: N  Z  Q
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Conjuntos dos números racionais relativos
Conjunto dos Números Racionais
Além de N e Z, existem outros subconjuntos de Q.
Q* ---------- É o conjunto dos números racionais diferentes de zero.
Q+ ---------- É o conjunto dos números racionais positivos e o zero.
Q- ---------- É o conjunto dos números racionais negativos e o zero.
Q*+ --------- É o conjunto dos números racionais positivos.
Q*- --------- É o conjunto dos números racionais negativos.
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Conjuntos dos números racionais relativos
Conjunto dos Números Racionais
Representação Geométrica
 1,5
4
1
 0,25... 0...
5
3
5
 1...
4
7
2
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Conjuntos dos números racionais relativos
Conjunto dos Números Racionais
 1,5
4
1
 0,25... 0...
5
3
5
 1...
4
Entre dois números
racionais existem
infinitos outros
números racionais.
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7
2
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Conjuntos dos números racionais relativos
Conjunto dos Números Racionais
Recorde
Os termos de uma fração são:
numerador
3
7
denominador
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Conjuntos dos números racionais relativos
As operações envolvendo frações são
fundamentais para a resolução de diversos
problemas da Matemática e das demais
ciências. É importante saber adicionar,
subtrair, multiplicar e dividir esses números
que são tão comuns em nosso cotidiano. A
potenciação e a radiciação de frações são
outras
duas
operações
importantes
envolvendo os números racionais (frações),
mas que ainda provocam várias dúvidas
em muitos estudantes.
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Conjuntos dos números racionais relativos
POTENCIAÇÃO
Veremos como
efetuar essas
operações e
acabar
solucionando as
dúvidas existentes.
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Conjuntos dos números racionais relativos
Potenciação de Números Racionais
Com expoentes
inteiros não
negativos
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Conjuntos dos números racionais relativos
Potenciação de Números Racionais
A definição da potenciação de números
racionais com expoentes inteiros positivos é a
mesma das potências de números inteiros.
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Conjuntos dos números racionais relativos
Potenciação de Números Racionais
expoente
a
base
n
 a  a  a  ... a
n fatores
Para todo número racional a e
número inteiro n, sendo n > 1,
definimos:
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Conjuntos dos números racionais relativos
Potenciação de números racionais
A definição da potenciação de números
racionais com expoentes inteiros positivos é a
mesma das potências de números inteiros.
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Conjuntos dos números racionais relativos
Potenciação de Números Racionais
Sabemos que a multiplicação de
frações é feita multiplicando
numerador com numerador e
denominador com denominador.
Assim, segue que:
n
a a a a a a
       ...
b b b b b b
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Potenciação de Números Racionais
A definição da potenciação de números
racionais com expoentes inteiros negativos é
da seguinte forma:
a
 
b
n
n
b
b
   n
a
a
n
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Potenciação de números Racionais
Note que a potenciação de
frações é feita elevando o
numerador e o denominador
ao expoente n.
n
an
a
   n
b
b
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Conjuntos dos números racionais relativos
REGRA DO SINAL DE UMA POTÊNCIA DE
NÚMERO RACIONAL
Quadro-resumo da potência an em que a é inteiro e n é natural
Base e expoente
Sinal da potência
Base positiva
Potência positiva
Base negativa e expoente par
Potência positiva
Base negativa e expoente ímpar
Potência negativa
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2. Exemplos de Aplicação de
Potência
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Conjuntos dos números racionais relativos
Exemplo 1. Calcule o valor de cada uma das
seguintes potências.
2
3
9
3
a)    2 
4 16
4
4
2
2
16
 2
b)    4 
5
625
5
5
4
1
1
1
c)    5 
3
243
 3
5
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Conjuntos dos números racionais relativos
Exemplo 2. Calcule o valor de cada uma das
seguintes potências.
2
9
3
 4 4
a)       2 
4
 3  3 16
2
3
3
10 1000
7
 10 
b)       3 
7
343
 10 
7
4
4
3
5
625
1
5
c)       5 
 625
1
1
5
1
5
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Conjuntos dos números racionais relativos
Exemplo 3. Calcule o valor de cada uma das
seguintes potências.
0
9
1
 79 
a) 
 1
 
0
100 1
 100
0
0
2 1
2
b)    0   1
3 1
3
0
0
19 1
 19 
c)    0   1
23 1
 23 
0
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RADICIAÇÃO
Veremos como
efetuar essas
operações e
acabar
solucionando as
dúvidas
existentes.
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Conjuntos dos números racionais relativos
Radiciação
Para realizar a
radiciação de
frações,
utilizaremos os
mesmos conceitos
da potenciação.
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Conjuntos dos números racionais relativos
Radiciação de Números Racionais
Considerando uma fração do
tipo
a
, com b ≠ 0, a raiz de
b
índice n de uma fração é dada
por:
n
n
a
a
n
b
b
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Conjuntos dos números racionais relativos
3. Exemplos de Aplicação de
Radiciação
Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental
Conjuntos dos números racionais relativos
Exemplo 1. Calcule o valor de cada uma das
seguintes raízes.
25
25 5
a)


36
36 6
3
8
8
2
b) 3
3

27
27 3
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Conjuntos dos números racionais relativos
Exemplo 2. Suponha um terreno quadrado cuja área é
72,25 m². Calcule o valor que mede cada lado do
terreno (x, em metro):
Resolução:
O número positivo x que, ao ser elevado ao quadrado resulta em 72,25,
é a raiz quadrada de 72,25.
Sabemos que esse número é maior que 8, pois 8² = 64, e é menor que
9, pois 9²= 81.
Por tentativa, é possível determinar o produto:
8,5  8,5  72,25
Então:
72,25  8,5m
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Conjuntos dos números racionais relativos
4. Exercícios de Aplicação
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Conjuntos dos números racionais relativos
1. Escreva na forma de potência os seguintes
produtos:
a) 8,5  8,5  8,5  8,5
 3  3
b)       
 4  4
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Conjuntos dos números racionais relativos
2. Na potenciação, quando elevamos um número
racional a um determinado expoente, estamos
elevando o numerador e o denominador a esse
expoente. Calcule o valor das potências:
5
a) 
 
 2
2
b) 

3
7

 9
c) 

3
3  7 
  
 5  9
0
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Conjuntos dos números racionais relativos
3. Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada
a um número racional, estamos aplicando essa raiz
ao numerador e ao denominador. Calcule o valor das
raízes:
a)
17,64
b)
1,44
c)
25
36
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Conjuntos dos números racionais relativos
4. Paulo comprou um terreno com as seguintes
medidas: 12,50 m de frente por 15,5 m de lado.
a) Calcule a área em m².
b) Calcule a raiz da área do terreno e encontre as
medidas do lado de um terreno de forma quadrada
que terá a mesma área do terreno de Paulo.
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Conjuntos dos números racionais relativos
5. Maria pintou 1/3 de um quadro, João também
pintou 1/3 e Pedro pintou 1/3 restante. Calcule,
usando potenciação, a quantidade que eles pintaram.
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Conjuntos dos números racionais relativos
6. O volume de um tanque cheio de água é 0,27m³.
Usando radiciação, calcule as dimensões desse
tanque em forma de cubo.
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Conjuntos dos números racionais relativos
7. O volume de um tanque cheio de água é 0,512 m³.
Usando radiciação, calcule as dimensões desse tanque
em forma de cubo.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Projeto Araribá: matemática: ensino fundamental/ Obra coletiva concebida,
desenvolvida e produzida pela Editora Moderna; editora execultiva Juliane
Matsubara Barroso. – 3ª ed. – São Paulo: Moderna, 2010. p. 62 – 64 e 87 – 89.
< http://apeedpedroiv.no.sapo.pt/professor.gif>. Acesso em 24 jun. 2012, 23:36:41
<http://www.alunosonline.com.br/matematica/potenciacao-radiciacao-fracoes.
html>. Acesso em 28 jun. 2012, 28:31:18.
<http://2.bp.blogspot.com/-Ro7c_s5Ntw0/Tv8cGNcs1lI/AAAAAAAAARY/ATA0vTxZ
kMY/s1600/080914_professor_policial.jpg >. Acesso em 24 jun. 2012, 23:27:52.
Tabela de Imagens
n° do slide direito da imagem como está ao lado da
foto
10 | 11 |16 Everaldo Coelho and YellowIcon / GNU
| 18 | 20 | Lesser General Public License
28
13 | 14 | David Vignoni, modifications by
26 | 27 DaniDF1995 / GNU Lesser General
Public License
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Data do
Acesso
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Crystal_Cl 13/09/2012
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