Simetrias do Plano
e Grupos de Friso
1. Isometrias no Plano
Transformação geométrica (em IR2)
É uma aplicação bijectiva T, de IR2 em IR2, que a
cada ponto faz corresponder um novo ponto.
Isometria
É uma transformação geométrica T, de IR2 em IR2,
que preserva as distâncias, ou seja, tal que, se A e B são
dois pontos quaisquer de IR2, se tem
dist(T(A), T(B))=dist(A, B).
Isometrias
Translações
Rotações
Reflexões
Reflexões deslizantes
1.1. Translação
Translação definida por v
É a transformação T de IR2 em IR2 tal que T(A)=A+v
(figura 1).
v
A
A=T(A)
Figura 1
Translação inversa de T1  vector  v
Translação identidade I  vector nulo
A translação é uma isometria
Prova: Se P e Q forem enviados em P  e Q  ,
respectivamente, então PP   QQ . Se P, Q, P  e Q 
forem colineares (figura 2a),
PQ  PQ  QQ  PQ  PP  PQ .
Caso contrário, P P  Q  Q é um paralelogramo (figura
2b). Logo, PQ  PQ .
P
P
P
Q
P'
Figura 2a
Q'
Q
Q
Figura 2b
1.2. Rotação. Simetria central
Rotação de centro O e amplitude  (figura 3)
É uma transformação T de IR2 em IR2
A=T(A)
tal que para A=T(A) verifica-se:

 OA  OA 


O
A
Figura 3
 o ângulo orientado  OA, OA tem amplitude .
A rotação inversa T
1
 é a rotação de centro
Oe
amplitude  .
A t ransformação identidade é a rotação (de centro O)
em que =0º (ou um múltiplo de 360º).
Simetria central ou meia-volta
A simetria de centro O é uma rotação de centro O e
amplitude 180º.
A simetria central é involutiva (T  T=I)
A rotação é uma isometria.
Prova: Sejam P e Q enviados em P  e Q  ,
respectivamente, pela rotação de centro O e amplitude
. Se O, P e Q forem colineares (figura 4a), atendendo
à
definição, PQ  OQ  OP  OQ  OP  PQ .
contrário (figura 4b), OP   OP ,
POQ  P OQ 
De
OQ   OQ 
e
(POP   QOQ ) . Logo, pelo
critério LAL (de congruência de triângulos) conclui-se
que POQ  P OQ  . Pelo que, PQ  P Q  . 
Q'
 P´
P'
Q
P
O
Figura 4a
Q
Q´ 



O
P
Figura 4b
1.3. Reflexão
Reflexão (ou simetria axial) de eixo e
2
e
2
É a transformação T de IR em IR tal
que, qualquer que seja o ponto A de IR2
A'
A
( A e ), a mediatriz do segmento de recta
 AA, com
A  T(A), é a recta e (figura 5).
Figura 5
A reflexão é involutiva (T  T=I). T= T1
A reflexão é uma isometria.
Prova: (uma ideia)
Sejam P e Q dois pontos de IR2 e P  e Q  as suas
imagens, respectivamente, por uma reflexão de eixo e.
1º Caso: P e Q estão do mesmo lado de e.
2º Caso: P e Q estão em lados opostos de e.
3º Caso: Só Pe (ou Pe e Qe).
A prova assenta sobretudo na decomposição de PQ
na soma ou diferença de comprimentos de segmentos
de
recta,
que
permitem
obter
essencialmente a definição de reflexão.
PQ ,
usando
Reflexão deslizante
Dada uma reflexão R, de eixo e, e uma translação T
de direcção paralela a e, chama-se reflexão deslizante à
transformação S=T  R de IR2 em IR2 (figura 6).
e
C
B
A''
B''
C''
A
A'
B'
C'
Figura 6. A reflexão deslizante S transforma
ABC em AB C  . S é
a composta da reflexão de eixo e com a translação de vector BB .
A inversa de S=T  R é S1=R1  T1.
A reflexão deslizante é uma isometria.
Prova:
Seja
S=T  R
uma
reflexão
deslizante.
Atendendo que T e R são isometrias tem-se:
dist(S(A), S(B))=dist(T(R(A)), T(R(B)))
=dist(R(A), R(B))
=dist(A, B). 
1.5. Algumas propriedades das isometrias
1.5.1.Composta de duas translações
C'
C''
C
B'
B''
A'
B
A
r A''
v
r
v
1
2
r r
v +v
1
2
r
r
v1 + v2 ,
A translação
T, de vector
transforma ABC em ABC  . T é a composta da
r
translação T2, de vector v 2 (que transforma ABC 
r
em ABC  ), com a translação T1, de vector v1 (que
transforma ABC em ABC  ).
Figura 7.
A composta de duas translações T1 e T2, de
r r
r r
vectores v e v é uma translação T, de vector v + v .
1
2
1
2
Prova: Seja A um ponto qualquer do plano. Vamos
r r
mostrar que T(A)= A + v + v .
1
T(A)=(T2  T1)(A)
=T2(T1(A))
r
= T2(A + v )
1
r r
=(A + v ) + v
1
2
r r
=A + v + v .
1
2
2
1.5.2.Composta de duas rotações com o mesmo
centro
A'
B'
A''
b
B
C'

C
C''
A
B''
O
R1(O; ) transforma ABC em ABC  e a
rotação R2(O; b) transforma ABC  em ABC  . A rotação R (O;
+b) é a composta da R2 com R1, transformando ABC em ABC  .
Figura 8. A rotação
A composta de duas rotações R1(O; ) e R2(O; b) é
a rotação R(O; +b).
Prova: Omitida (ver trabalho escrito). 
1.5.2.Composta de duas reflexões
e
A''
e
1
A
2
C''
A'
C
C'
B''
B'
2d
d
B
Figura 9a. A composta de duas reflexões de eixos
paralelos é uma translação.
A reflexão
R1, de eixo
e1,





transforma ABC em A B C e a reflexão R2, de eixo e2,
transforma ABC  em ABC  . A translação T, de vector
BB , é a composta da R2 com R1, transformando ABC em
ABC  .
A composta da reflexão R2, de eixo e2, com a reflexão
R1, de eixo e1, é uma translação de vector perpendicular
aos eixos, se estes forem estritamente paralelos, sentido
de e1 para e2 e norma igual ao dobro da distância entre
os eixos.
Prova. Omitida (ver trabalho escrito).
e
A'
e
2
1
A''
A
C
C'
B'
B''
2
B
C''

O
Figura 9b. A composta de duas reflexões de eixos
concorrentes é uma rotação. A reflexão R1, de eixo e1 transforma
ABC em ABC  e a reflexão R2, de eixo e2, transforma
ABC  em AB C  . A rotação R (O; 2 ) é a composta da R2
com R1, transformando ABC em AB C  .
A composta da reflexão R2, de eixo e2, com a reflexão
R1, de eixo e1, é uma rotação de centro no ponto de
intersecção dos eixos, se estes forem concorrentes, e
amplitude igual ao dobro do ângulo dos eixos.
Prova. Omitida (ver trabalho escrito).
2. Simetrias do Plano
2.1. Transformações de simetria
Transformação de simetria (ou simplesmente
simetria) de F (subconjunto de IR2 ou figura de IR2)
É uma transformação T de IR2 em IR2 tal que T(F)=F.
Significa que como subconjuntos de IR2 T(F) e F são
iguais.
Exemplos de figuras simétricas
e
Figura 1
A reflexão de eixo e deixa a figura 1 invariante. A
figura tem uma simetria de reflexão.
Figura 2
A rotação de amplitude 72º e centro no centro da
figura deixa a figura 2 invariante. A figura 2 tem uma
simetria de rotação.
Exemplo de uma figura não simétrica
Figura 3
A figura 3 não é simétrica. Não existe nenhuma
transformação geométrica  da identidade que a deixe
invariante.
2.2. Grupo de simetria de F
O conjunto das transformações de simetria de F é um
grupo para a composição de transformações (grupo de
simetria de F).
Sejam T, R e S transformações de simetria de F. Então:
 T  S  transformação de simetria de F.
T  S(F)=T(S(F))
=T(F)
=F.
 A composição é associativa
((T  R)  S)(F)= (T  R)(S(F))
=T(R(S(F)))
=T  ((R  S)(F))
Então, (T  R)  S=T  (R  S).
 T1  transformação de simetria. T1(F)=F
(porque T(F) =F).
 I  transformação de simetria. I(F)=F.
Elementos do grupo de simetria da figura 1
j
i
l
h
g
m
f
e
Figura 1
 8 reflexões (de eixos e, f, g, h, i, j, l, e m).
 8 rotações em torno do centro da figura (de
amplitudes 45º, 90º, 135º, 180º, 225º, 270º, 315º e
360º).
 Geradores do grupo: reflexão de eixo e e rotação
de 45º ou reflexões de eixos e e f
Elementos do grupo de simetria da figura 2
Figura 2
 5 rotações (de 72º, 144º, 216º, 288º, e 360º em
torno do centro da figura).
 Transformação geradora: rotação de 72º.
3. Frisos e grupos de friso
Padrão
Figura obtida pela repetição de outra - o motivo do
padrão.
Friso
Padrão com simetrias de translação numa só direcção
(com uma translação de módulo mínimo não nulo).
Podem existir outras simetrias para além da de
translação.

Figura 1

Figura 3a. Motivo do padrão
da figura 1.
vr
Figura 2
Figura 3b. Motivo do padrão
da figura 2.
Grupos de frisos
Só existem sete grupos de friso (ou tipos de friso).
Isto significa que ao associarmos a cada friso o seu
grupo de simetria, apenas obteremos 7 grupos distintos.
Prova: (no Livro Transformation Geometry de George Martin fazse a prova desta afirmação entre as páginas 78 e 81)
Fluxograma de Washburn-Crowe para classificação
de frisos
Existe uma reflexão de eixo vertical?
sim
não
Existe uma
reflexão de eixo
horizontal?
Existe uma reflexão de eixo
horizontal ou uma reflexão
deslizante?
não
sim
Existe uma
meia-volta?
sim
não
sim
não
Existe uma
reflexão de eixo
horizontal?
sim
não
Existe uma
meia-volta?
sim
não
pmm2
pma2
pm11
p1m1
p1a1
p112
p111
(fig. 11)
(fig. 10)
(fig. 9)
(fig. 8)
(fig. 7)
(fig. 6)
(fig. 5)
Friso p111
Figura 5. Friso com simetria de translação.
1 não tem nenhuma reflexão de eixo perpendicular
à direcção de translação do friso.
1 não tem reflexão de eixo com a direcção da
translação do friso
 nem reflexão deslizante de eixo (de reflexão)
paralelo à direcção da translação do friso
1 não existe uma meia-volta
Friso p112











Figura 6. Friso com simetria de meia-volta.
1 não tem nenhuma reflexão de eixo perpendicular
à direcção de translação do friso. 
1 não tem reflexão de eixo com a direcção da
translação do friso. 
 nem reflexão deslizante de eixo (de reflexão)
paralelo à direcção da translação do friso
2 existe uma meia-volta
Friso p1a1
Figura 7. Friso com simetria de reflexão
deslizante.
1 não tem nenhuma reflexão de eixo perpendicular
à direcção de translação do friso. 
a tem reflexão deslizante de eixo (de reflexão)
paralelo à direcção da translação do friso.
1 não existe uma meia-volta. 
Friso p1m1
Figura 8. Friso com simetria de reflexão de eixo
horizontal.
1 não tem nenhuma reflexão de eixo perpendicular
à direcção de translação do friso. 
m tem reflexão cujo eixo tem a direcção da
translação do friso.
1 não existe uma meia-volta. 
Friso pm11
Figura 9. Friso com simetria de reflexão de eixo
vertical.
m tem uma reflexão de eixo perpendicular à
direcção de translação do friso.
1 não tem reflexão de eixo com a direcção da
translação do friso. 
 nem reflexão deslizante de eixo (da reflexão)
paralelo à direcção da translação do friso. 
1 não existe uma meia-volta. 
Friso pma2









Figura 10. Friso com simetrias
de reflexão
deslizante,
meia


volta e reflexão vertical.


m tem uma
reflexão
de eixo  perpendicular à



direcção de translação do friso. 
a tem reflexão deslizante de eixo (da reflexão)
paralelo à direcção da translação do friso. 
2 existe uma meia-volta. 
Friso pmm2
Figura 11. Friso com simetrias de reflexões de eixos horizontal e vertical
e meia volta.
m tem uma reflexão de eixo perpendicular à
direcção de translação do friso. 
m tem reflexão cujo eixo tem a direcção da
translação do friso. 
2 existe uma meia-volta. 
FIM
(da 1ª parte)
4. Padrões Periódicos ou Papeis de
Parede
Definição
 Padrões periódicos ou
papeis de parede são
figuras planas
caracterizadas por
terem uma região
fundamental (motivo) e
duas translações
linearmente
independentes
17 Grupos de Simetria dos
Padrões Periódicos
Grupos Sem Rotações
Grupo p1
 Apenas estão presentes
translações;
 É um grupo de
translações.
Grupo pm
 Além das duas
translações presentes
que formam um
subgrupo de qualquer
papel de parede, estão
presentes reflexões.
Grupo pg
 Além do subgrupo das
translações estão
presentes também as
reflexões deslizantes.
Grupo cm
 Grupo onde estão
presentes as reflexões.
 Reflexões deslizantes
onde o eixo não é das
reflexões.
Grupos Com Rotações de Grau 2 - 180 Graus
Grupo p2
 Rotações de 180 graus
e translações.
Grupo pgg
 Rotações de 180 graus;
 Não há reflexões;
 Há reflexões deslizantes.
Grupo pmg
 Para além das
translações e rotações
de 180 graus, estão
presente reflexões em
uma só direcção.
Grupo pmm
 Rotações de 180 graus
 Reflexões em duas
direcções.
 Os centros de rotação
estão sobre os eixos de
reflexão.
Grupo cmm
 Rotações de 180 graus onde
os centros de rotação não
estão sobre os eixos de
reflexão.
 Reflexões em duas
direcções.
Grupos Com Rotações de Grau 4 - 90 Graus
Grupo p4
 Não tem reflexões nem
reflexões deslizantes,
apenas rotações de 90 e
180 graus.
Grupo p4m
 Rotações de 90 e 180 graus.
 Reflexões onde os eixos
fazem um ângulo de 45 graus.
Grupo p4g
 Rotações de 90 e 180.
 Reflexões onde os eixos não
fazem ângulo de 45 graus.
Grupos Com Rotações de Grau 3 - 120 Graus
Grupo p3
 Apenas rotações de 120
graus.
Grupo p31m
 Rotações de 120 graus.
 Reflexões.
 Os centros de rotação não
estão todos sobre os eixos
de reflexão.
Grupo p3m1
 Rotações de 120 graus.
 Reflexões.
 Os centros de rotação estão
todos sobre os eixos de
reflexão.
Grupos Com Rotações de Grau 6 - 60 Graus
Grupo p6
 Rotações de 60, 120 e 180 graus.
Grupo p6m
 Acrescenta reflexões às
simetrias do grupo
anterior
Qual é a menor rotação?
600
Existe reflexão?
Existe reflexão?
Existe reflexão?
nenhuma
Existe reflexão?
pg p1
Si m
Não
pmm
cmm
Sim
Estão
todos os
centros
de
rotação
sobre os
eixos de
reflexão?
Existe
uma
reflexão
deslizante
cujo eixo
não é de
reflexão?
Não
p2 pmg
Não
Si m
pgg
Sim
Não
p 4g
Existe
reflexão
deslizante?
Si m
Si m
p 4m
Não
Não
p31m
Não
Si m
p3m1
Existem
reflexões
em duas
direcções?
Si m
Existe
reflexão
deslizante?
Não
o
Existem
reflexões
cujos
eixos
fazem
um
ângulo
de 450
Existe reflexão?
Si m
Nã
p4
Estão
todos os
eixos de
rotação
sobre os
eixos de
reflexão?
1800
Si m
Não
p3
Si m
Não
p6
900
Não
Si m
p 6m
1200
pm cm
Pavimentações
 Cada um dos motivos é
isolado por uma figura
geométrica.
 A reunião destas figuras
geométricas gera uma rede,
que cobre todo o plano.
Pavimentações
 Com as pavimentações pretende-se cobrir
completamente o plano, através de um conjunto
numerável de ladrilhos que não se sobrepõem e não
deixam espaços em branco.
Conjuntos não conexos e cuja fronteira não é uma curva
fechada ou que se cruza não são aceitáveis para
construir uma pavimentação.
Conjuntos não
aceitáveis para
ladrilhos de uma
pavimentação
Conjuntos aceitáveis
para ladrilhos de uma
pavimentação
Pavimentações Regulares
 São constituídas apenas por polígonos regulares do
mesmo tipo
 Só é possível construir 3.
Lados
Ângulo Interno
Nº de Polígonos
3
60
6
4
90
4
5
108
3,333333333
6
120
3
7
128,5714286
2,8
8
135
2,666666667
9
140
2,571428571
10
144
2,5
11
147,2727273
2,444444444
12
150
2,4
13
152,3076923
2,363636364
14
154,2857143
2,333333333
15
156
2,307692308
16
157,5
2,285714286
17
158,8235294
2,266666667
18
160
2,25
19
161,0526316
2,235294118
20
162
2,222222222
Pavimentações Semi-Regulares ou
Arquimedianas
 São as que não são formadas apenas por um polígono regular.
 Em torno de cada vértice pode encontrar-se triângulos equiláteros,
hexágonos, quadrados e pentágonos regulares.
 Chama-se espécie de um vértice aos polígonos regulares que se
intersectam nesse vértice.
 Chama-se tipo de vértice à ordem pela qual estão colocados os
polígonos em torno do vértice.
17 espécies de vértices e 21 tipos
 É condição necessária para que uma pavimentação formada
por polígonos regulares seja de um dos seguintes dos 21
tipos
3.3.3.3.3.3
3.3.3.3.6
3.3.3.4
3.3.4.3.4
3.3.4.12
3.4.3.12
3.3.6.6
3.6.3.6
17 espécies de vértices e 21 tipos
3.4.4.6
3.4.6.4
3.7.42
3.9.18
3.9.18
3.8.24
3.10.15
3.12.12
17 espécies de vértices e 21 tipos
4.4.4.4
4.5.20
4.6.12
6.6.6
4.8.8
5.5.10
Exemplos
FIM