Conceitos Fundamentais – Aula 2
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Equações de Onda (espaço livre)
Meio homogéneo, isótropo e sem fontes
   0, J  0ou espaço livre.
~
H 
D
~
E 
~
~
t
B
~
t
.D 0
~
.B 0
~

2 E   
2 E
~
t
~
2
0
Equações de onda
 H
2
 H 
2
~
t
~
2
0
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Ondas Electromagnéticas
• A descrição de uma estrutura ondulatória envolve coordenadas espaciais e a coordenada temporal.
Nem todas as funções f(x,y,z,t) são ondas.
Ondas Planas
O lugar geométrico dos pontos em que os valores das grandezas ondulatórias são constantes, são
planos.
As ondas planas são muito importantes porque:
•
A grande distância das fontes as ondas esféricas e cilíndricas podem ser localmente
aproximadas por ondas planas
•
Qualquer tipo de onda pode ser sintetizado (via integral de Fourier em vectores de onda) à
custa de ondas planas elementares.
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Equações de Onda
Meio homogéneo, isótropo e sem fontes   0, J  0 ou espaço livre.
H 
D
~
E 
~
~
t
B
~
t
.D 0
~
.B 0
~

2 E   
2 E
~
t
~
2
0
Equações de onda
 H
2
 H 
2
~
t
~
2
0
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Propagação de Ondas Planas e Uniformes
Admitamos para simplificar que
E eH
~
2 E
z
~
2

2 E
t
~
2
só dependem de z.
~
 0
3 eqs. escalares
2 E
~ y
2
z

2 E
t
Solução geral :
Funções :
c
~ y
2
1

E y  f1  z  ct   f 2  z  ct 
A cos k
 z  ct 
C e k ( z  ct )
Todas as funções representam movimento ondulatório
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z  ct
O que é uma onda?
É um fenómeno físico que ocorre num local num dado instante e é reproduzido noutros
lugares em instantes posteriores, sendo o atraso proporcional à distância de cada local à
primeira posição.
Uma onda não é necessariamente um fenómeno repetitivo no tempo.
(Ex: Tsunami).
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Se houver apenas onda incidente:
E = f (z – ct)
Trata-se de uma onda plana e uniforme
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Variação Temporal Harmónica
Os geradores produzem tensões e correntes, e portantos campos eléctrico e magnético
que variam sinusoidalmente no tempo.
Qualquer variação periódica pode ser analisada em termos de variações sinusoidais
com frequências que reproduzem o conteúdo espectral do estímulo electromagnético.
E  E0 cos(t   )
E  E0 sin(t     / 2)
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Variação Temporal Harmónica
E = Eo cos ωt+
E = Eo sin ωt+
•
Notação complexa permite suprimir o factor temporal

_ _


E  r , t   Re  E ( r ) e jt
~  ~


 ~
Consideramos por ex:






Ex 
 r, t 
 ~ 
  


jt 
E x  r , t   Re  E x  r 
e


~
 ~ 




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Equações de Maxwell (notação complexa)
_

_
_
 H  J  j D

~
~
~


_
 _




j
 E
B
~
 ~



_
 .  
 D
~



_
 . B  0
 ~
Equação de Helmoltz
Eq. de onda
(Meio sem perdas)
_
_
~
~
2 E   2   E  0
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Propagação de Ondas num Meio sem Perdas
Seja
E z, t 
~
2
_
E
_
~    2 
E
2
z
~
em que
k    

c
jkz

E x  C1 e
 C2 e  jkz
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Velocidade de Fase
Fase da onda
φ = ωt - kz
Fase constante  ωt – kz = cte
vp 
dz


dt
k
^
Orientação k~ arbitrária
 ^
v 
k
~p
k ~
Comprimento de onda
k =2π
k desfasagem por unidade de comprimento
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Equações de Onda em Meios com Perdas
J   E:
Num meio com perdas a condutividade é finita:
~

   H   E  j E
~
~
~
t
___
___
~
___
___
__
~
~
     E   j H
___
___
___
___
~
~
~
~
. E   2 E   j E   2  E
Bom condutor ρ = 0 (só existe carga superficial) e tem-se:
___
___
~
~
 E  j   j  E  0
2
Define-se

. E  0
~
 2  j   j 
   j 
Constante de propagação complexa
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Onda plana e uniforme a propagar-se segundo
^
z:
~
2 E
z
~
2
 2 E
~
Solução:
Ez   E e  z  E 0 e z e  jz
~
~0
Ez, t   e z E 0 cos t   z  
~
Equação de dispersão
k . k  j   j  0
~
~
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
Propagação de Ondas em Dieléctricos

 1

__
__
__
~
~
~
  H  J  j D   E  j E  j  eq E
 eq    j
~
~
~


 Ângulo de perdas do

 
 j      j
2 
dieléctrico:
t g 

 ( 1)

 O efeito das perdas (pequenas) traduz-se no aparecimento de  mas β fica
praticamente inalterado em relação ao caso  = 0.
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Impedância característica
Z ~
 
 
1  j

 
2 
 Num dieléctrico com fracas perdas, a pequena componente de perdas vai fazer
aparecer uma pequena componente reactiva na impedância característica.
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 Propagação num Bom Condutor

1

 
 
 

j 1  j
~



^
1 j
 

2

e
 n~ . r~
j

1
e 
^
n~ . r~

j
e 
^
n~ . r~
^
n~ direcção de propagação (normal ao plano de fase constante)
•
A onda é muito atenuada á medida que se propaga no meio condutor e a sua desfasagem por
unidade de comprimento também é muito elevada.
•
A velocidade de fase é muito pequena
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Impedância característica
Z
•
j
~
  j
j

1 

R

 m
 

 Rm 1  j 
Num bom condutor em radio frequência a taxa de atenuação é muito elevada e a
onda só penetra uma distância curtíssima, sendo rapidamente reduzida a um valor
insignificante.
•
δ – profundidade na qual a onda já foi atenuada de 1/e (~ 37% do seu valor inicial)
Cobre
1MHz
0.0667 mm

100 MHz
0.00667 mm
Água do Mar
1MHz
25 m
Água
1MHz
7.1 m
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