A NOMINALIZAÇÃO COMO MARCA DO DISCURSO
NA AULA DE MATEMÁTICA
Airton Carrião
Universidade Federal de Minas Gerais, Brasil
[email protected]
RESUMO
A análise das interações na sala de aula a partir da abordagem discursiva de
Bakhtin parece ser a adequada para se analisar a linguagem presente no
processo de aprendizagem, tendo a perspectiva sócio-cultural, iniciada por
Vygotsky, como orientação. Com isto em tela, este trabalho tem como
objetivo apresentar uma marca do discurso da sala de aula de Matemática a
nominalização. As marcas caracterizam um discurso, tornando-os distinto, e
revelando, entre outras, as concepções e as ideologias presentes no campo
de atividade. A nominalização consiste em substituir um processo por um
nome, que vai indicar a ação, no lugar do verbo. Essa marca, bem como o
símbolo que é sua expressão máxima, vai ser elemento importante na
constituição do discurso, bem como na forma das interações, da aula de
matemática. Neste trabalho vamos mostrar exemplos do uso dessa marca,
observadas em aulas do ensino médio, nas interações entre professor e
alunos e entre alunos.
Palavras-chave: Discurso na aula de matemática, marcas discursivas e
nominalização
ABSTRACT/RESUMÉ/RESUMEN
The analysis of the interactions in the classroom using Bakhtin's discursive
approach seems more appropriate to analyze the language in this learning
process, and the socio-cultural, initiated by Vygotsky, as a guide. With this
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screen, this paper aims to present a hallmark of the discourse of classroom
mathematics the nominalization. The hallmark characterizes a discourse,
making them distinct and revealing, among other things, concepts and
ideologies present in the field of activity. The nominalization involves
replacing a process with a name that will indicate the action, in place of the
verb. This hallmark, and the symbol that is its highest expression, it will be
important in the formation of discourse, as well as the interactions of math
class. In this paper we show examples of the use of such hallmark, observed
classes in high school, the interactions between teacher and students and
among students.
Keywords: Mathematics classrooms discourse, speech hallmarks and
nominalization
1
Introdução
Em um grupo de trabalho que tem a linguagem e a cognição como tema não
parece ser necessário discutir a importância da linguagem no processo de cognição.
Porém, existem formas distintas, mesmo neste grupo, de entender a relação entre a
linguagem e a cognição. Desta forma, se faz necessário explicitar como se entende essa
relação, para situar este trabalho.
Este trabalho se apoiará em Vygotsky, considerando que a linguagem que tem um
papel determinante no pensamento. Para esse autor é inquestionável que “o
desenvolvimento do pensamento é determinado pela linguagem, isto é, pelos
instrumentos linguísticos do pensamento e pela experiência sóciocultural da criança”
(VYGOTSKY, 2000, p.62). Dessa forma, a linguagem deve ser considerada como
constituinte do processo de construção de significados.
Das diversas formas de desenvolvimento do pensamento, ou de produção de
significados, as que mais tem se destacado neste grupo são as ligadas as situações de
ensino, em particular nas escolares. Assim, é significante se discutir a relação entre a
linguagem e a aprendizagem, principalmente na sala de aula de Matemática, em um
grupo como este.
2
O discurso na sala de aula de Matemática
Pode-se investigar a linguagem presente na aprendizagem de Matemática através
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de diversas abordagens, assim faz-se necessário optar explicitamente por uma
perspectiva de processo cognitivo e uma de linguagem. Desta forma, neste trabalho foi
escolhida para a primeira a perspectiva sócio-cultural, iniciada por Vygotsky e para a
segunda a discursiva de Bakhtin.
A adoção da perspectiva sócio-cultural indica que vai se considerar, neste
trabalho, que o aprendizado é situado pelo contexto e cultura do grupo social, e que é
mediado pela linguagem. Desta forma, não se dissocia interação, discurso e
conhecimento, que tem como base a linguagem.
Vygotsky defende a origem social do processo de funcionamento mental humano
do indivíduo. Assim, os processos social e psicológico são moldados pelos meios de
mediação, especialmente a linguagem, ou seja, esses meios moldam o processo mental
humano. A análise sobre como as ferramentas culturais medeiam o funcionamento
mental social e individual fornece um modo de relacionar o funcionamento mental
individual com a cultura, história e instituições (WERTSCH, 2003).
A análise da aprendizagem na sala de aula de Matemática, nessa perspectiva, deve
ter em tela a linguagem ali presente, portanto, faz-se necessário caracteriza-la e
compreender seu funcionamento. Porém, a linguagem, ao menos como mediadora da
aprendizagem, só pode ser analisada na interação. Desta forma, para explicitar esse
caráter de interação, neste trabalho, optou-se por usar o termo discurso ao invés de
linguagem.
Para Bakhtin, a interação verbal não pode ser compreendida e explicada fora da
situação concreta de produção. A interação verbal, que está sempre acompanhada por
atos sociais de caráter não verbal, tais como os gestos, entonação, etc, deve ser estudada
não só na situação imediata, mas também, através dela, no contexto social mais amplo.
Assim, ao se estudar o discurso da sala de aula de Matemática esta se incorporando os
vários elementos presentes na interação, indo-se muito além da análise de frases ou
palavras isoladas.
A escolha de utilizar a perspectiva discursiva de Bakhtin se justifica, pois, como
afirma Wertsch (2003), as idéias de Vygotsky e Bakthin podem ser vistas como
existindo numa complementaridade dinâmica e produtiva. Ambos apresentam uma
visão social do homem, relacionando o contexto amplo das relações econômicas, da
situação político-social e das ideologias, com o contexto do homem social (ROJO,
2001). Essa visão, por eles compartilhada, faz com que explicitem a necessidade de se
dar conta da apropriação, por parte do indivíduo, das práticas sociais em circulação na
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situação social mais ampla (ROJO, 2001). Assim, o papel que o discurso, repleto de
significados (ou sentidos) particulares, desempenha na emergência do pensamento
assume a centralidade na perspectiva de ambos (HICKS, 1996). Para eles o
funcionamento mental humano emerge principalmente através do domínio e da
internalização do discurso social (WERTSCH, 2003).
Sendo o discurso socialmente localizado, temos de analisa-lo a partir das
interações no espaço social da sala de aula, onde estão presentes, entre outros, o aluno, o
professor e o conteúdo matemático. Segundo Rojo, a observação da situação imediata
de produção dos discursos é fundamental, pois “os textos/enunciados a eles pertencentes
não podem ser compreendidos, produzidos ou conhecidos sem referência aos elementos
de sua situação de produção” (2002, p.13).
Para Bakhtin/Volochinov (1929) “cada época e cada grupo social têm seu
repertório
de
formas
de
discurso
na
comunicação
sócio-ideológica.”
(BAKHTIN/VOLOSHINOV, (29) 1992, p. 42). Desta forma, a escola, como campo de
atividade, com suas características próprias, produz seu repertório de formas de
discurso.
Como aponta Bourdieu,
“Para explicar o discurso, é preciso conhecer as condições de constituição do
grupo no qual ele funciona: a ciência do discurso deve levar em conta não
somente as relações de força simbólicas que se estabelecem no grupo em
questão … mas também as próprias leis de produção do grupo que fazem
com que certas categorias estejam ausentes … Essas condições ocultas são
determinantes para compreender o que pode ou não ser dito num grupo”
(BOURDIEU, 1994, p. 163).
A escola tem suas formas próprias de se relacionar com o mundo. Segundo
Bourdieu, a escola propicia “não tanto esquemas de pensamento particulares e
particularizados, mas uma disposição geral geradora de esquemas particulares capazes
de serem aplicados em campos diferentes do pensamento e da ação” (BOURDIEU, p.
211, 2003). Segundo Bakhtin (29/1992), “cada campo de criatividade ideológica tem
seu modo de orientação para a realidade e refrata a realidade à sua maneira. Cada campo
dispõe de sua própria função no conjunto da vida social” (p. 33). Assim, participar dessa
prática exige que o indivíduo conheça sua estrutura de funcionamento, sob pena de ser
excluído. Desta forma, para se investigar o discurso na sala de aula, deve-se observar
quais são os elementos que vão constituir os discursos da escola.
A constituição de uma cultura escolar, e de cada escola em particular, decorre de
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vários fatores, onde a definição do currículo é apenas um deles, e se dão em um
contexto mais amplo, que tem como componente um longo processo histórico de
construção, que envolveu conflitos e lutas em torno da definição de quais
conhecimentos deveriam ser transmitidos e com que linguagem, para quem e para que.
Nesse processo, as classes dominantes tiveram papel preponderante; dessa forma, a sua
cultura é a que norteia a escolar.
A constituição da escola como um campo de atividade é sócio-históricamente
contextualizada, pelos interesses, descobertas e afinidades do grupo de participantes ao
longo da história e vai constituir seus próprios discursos. De maneira análoga pode-se
considerar a sala de aula de uma disciplina escolar como um campo discursivo, que vai
conformar discursos próprios. Em particular a sala de aula de Matemática com suas
características próprias, que dependem de como ela é estruturada e das relações de
poder que vão se instituir no seu interior, vai constituir um repertório de formas de
discurso. É a partir desse discurso que se reconfiguram os enunciados e palavras
trazidos de outros campos, refletindo suas condições específicas e finalidades.
O discurso presente na aula de Matemática vai mediar todas as interações que ali
ocorrem, indo além da aprendizagem, como, por exemplo, nas relações sociais. Em
Carrião (2010), fica claro que os alunos que não dominavam o discurso da aula de
Matemática eram os que apresentavam mais dificuldades, além de ocuparem uma
posição de menos prestígio, o que demandava deles um maior esforço em participar das
interações e, em muitos casos, implicando em fracasso escolar. O processo de
diferenciação que ocorre na sala de aula pode nos ajudar a entender um dos papéis do
discurso. Já que não dominá-los pode resultar na exclusão, ou pelo menos numa
participação subalterna, o seu domínio por outro lado, vai facilitar a participação.
Ao se considerar que existe um discurso da aula de Matemática, com seu
repertório de formas, que Bakhtin chama de gêneros do discurso, esta se supondo que
estes tenham características e o distingam dos demais discursos sociais. Desta forma,
existem marcas que o caracterizem como distinto. Este trabalho visa contribuir com
caracterização desse discurso, apontando uma importante marca que o caracteriza: a
nominalização.
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A nominalização como marca do discurso da aula de Matemática
Uma forma de se caracterizar um determinado discurso é a busca por
regularidades nos enunciados. Essas regularidades que caracterizam o discurso são suas
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marcas discursivas. Outra forma de se caracterizar é buscar nos enunciados marcas de
discursos que são trazidos de outros campos e que ajudam a compor as formas presentes
na sala de aula.
Muitos pesquisadores em Educação Matemática tem apontado características
próprias do discurso da aula de Matemática, ou da pesquisa que são marcas discursivas
desses campos. Essas marcas, quando presentes nos enunciados da aula de Matemática,
terão papel importante na determinação do tema e da forma composicional dos
enunciados nas interações discursivas.
As marcas do discurso da sala de aula de Matemática contribuem de forma
significativa para se revelar a história destes enunciados, explicitando também as vozes
que são trazidas para a sala de aula, bem como um lugar social, já que os mesmos vêm
de um lugar demarcado. Tais marcas vão, de certa forma, revelar as concepções dos
autores e as ideologias presentes na sala de aula. A maior presença de uma ou outra
marca vai nos revelar a presença, maior ou menor, de uma dada perspectiva da
matemática escolar, como por exemplo, a do formalismo.
Apesar de existirem várias marcas no discurso da sala de aula de Matemática,
neste trabalho vai-se discutir apenas uma delas1: a nominalização. A opção por esta
marca se justifica no fato de ela refletir o discurso da matemática acadêmica na sala de
aula.
A nominalização é um recurso muito utilizado tanto nos discursos cotidianos
como nos discursos especializados, e consiste em substituir um processo ou estado
previamente significado por um nome. Nos discursos acadêmicos, este recurso tem
grande importância, pois ele tenta aprisionar todo o sentido de um processo em um
nome. Ou seja, a linguagem acadêmica substitui os processos, expressos normalmente
por verbos, por grupos nominais. Em particular nos discursos de comunicação científica
a nominalização é uma marca importante como apontam Halliday (1992) e Mortimer et
al (1998). A nominalização “aumenta a densidade léxica da linguagem científica, na
qual quase todos os termos usados carregam significados interligados numa estrutura
conceitual” (MORTIMER et al, 1998).
Como aponta Bakhtin, o uso do objeto reificado, que não comunica nada a
respeito de si mesmo, onde os conceitos se tornam “coisas” é típico das ciências e da
matemática, se refletindo, entre outras marcas, na nominalização.
1
Para ver outras marcas do discurso da sala de aula de Matemática ver Machado (2008).
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Nos textos matemáticos, o ato de nomear os processos, ou conceitos é muito
importante, já que, neles, os termos têm significados muito mais específicos do que na
linguagem cotidiana. Desta forma, a partir de um conjunto restrito de termos, os
matemáticos são capazes de expressar suas idéias de forma sucinta (MEANEY, 2005).
Sfard (2000) afirma que a necessidade de criar novos objetos com o propósito de
comunicar não é específica da matemática, mas no discurso matemático, especialmente
por causa da busca de generalidade das expressões e de se manter imparcial à realidade
material imediata, a criação de tais objetos tem um papel central.
Segundo Meaney (2005), com o uso da nominalização nos textos matemáticos o
verbo assume muitas vezes apenas uma função passiva ou de relação entre itens. Na
matemática, portanto, é o nome que, em geral, vai indicar a ação, e não o verbo.
Mortimer et al afirmam que, ao se “usar linguagem científica se começa a habitar um
estranho mundo onde os processos se transformaram em nomes ou grupos nominais e os
verbos não expressam mais ações e sim relações” (p. 4, 1998).
O uso de símbolos, bem como nomes e expressões é parte integrante do registro
matemático e vai ser elemento fundamental na constituição do discurso da matemática
acadêmica. Sfard (2000) considera que no discurso matemático os artefatos simbólicos
são a principal, se não a única, ferramenta de mediação.
Como apontam Mortimer et al (1998), a nominalização, de certa forma, congela
os processos, colocando-os em uma estrutura. Com isso pode-se ter o encobrimento da
ação, removendo o sujeito que efetivamente faz a ação no enunciado. Isto pode criar
uma sensação de que os objetos matemáticos são suficientemente distintos e fortes, e
pode fazer com que uma pessoa acredite que a existência destes objetos transcende a
fronteira do discurso (SFARD, 2000).
Um exemplo simples dessa alteração pode ser a expressão “o zero da função f é
3”. Nesse caso, o que indica a ação é a expressão o “zero da função” que quer dizer o
número cuja imagem obtida pela função f é zero. O verbo “ser” indica apenas a relação
com esse número, que no caso é três. Esse processo de substituição transformou o
processo em um objeto. Outro exemplo, a multiplicação sucessiva de um mesmo
número por si mesmo, com a nominalização, passa a ser potenciação. Essa
transformação cria uma dualidade objeto-processo, que se revela de forma mais
acentuada nos símbolos matemáticos.
Meaney aponta que é através dessa nominalização que os matemáticos reforçam
sua condição de participantes da comunidade. Dominar os nomes é uma senha para
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participar da atividade. Mas a nominalização, por outro lado, os ajuda a desenvolver
novas idéias matemáticas, como pode-se ver através da história: a definição dos nomes e
de símbolos, facilitaram na manipulação dos conceitos, contribuindo para o seu
desenvolvimento.
A necessidade de rigor, precisão e impessoalidade trazida pelo formalismo dá uma
maior importância à nominalização, já que o uso de nomes com sentidos restritos passa
a ser essencial, nesta perspectiva, para a produção matemática. O uso de símbolos nesse
sentido é uma forma mais adequada de se nomear os processos ou conceitos, já que
neles a associação com expressões do cotidiano é mais difícil, além de facilitarem a
operacionalização. Pode-se verificar isso, por exemplo, através do nome “meio”: para a
matemática ele tem um sentido estrito de dividir o todo em duas partes iguais, o que é
um pouco diferente do cotidiano, onde, em geral, ele tem o sentido de dividir em duas
partes, porém, não necessariamente iguais. Por outro lado, quando usamos o símbolo
1/2 dificilmente uma pessoa o associaria apenas à divisão de algo em duas partes.
Meaney considera que os símbolos matemáticos são um exemplo extremo de
densidade lexical, fazendo com que o leitor necessite de habilidade para interpretar as
informações matemáticas. Ela aponta, ainda, que em discussões orais frequentemente se
fazem referências ao símbolo matemático escrito. Isso decorre do fato de que devido “a
densidade das idéias matemáticas, nem sempre é possível garantir todo o sentido na
comunicação ou na rememoração, sem o uso dos símbolos” (MEANEY, p.123, 2005).
Os símbolos, bem como os nomes e as expressões, são parte integrante do registro
matemático e vão ser elemento fundamental na constituição do discurso da matemática
acadêmica. Expressões como “se ... então”, “tal que” ou “supondo que”, são marcas
que, de certa forma, vão indicar que um enunciado pertence a esse campo discursivo,
revelando também a influência da perspectiva formalista.
Burton e Morgan apontam que “as convenções sobre a escrita matemática não são
necessárias, nem consequências da natureza da disciplina; elas são mais propriamente ‘o
produto da relação de poder e de práticas discursivas’ dentro da comunidade”
(BURTON e MORGAN, 2000, p.450). Segundo elas, o novato tem de conseguir ser
aceito e ganhar status junto à comunidade matemática; para tanto, deve produzir textos
que estejam de acordo com as expectativas convencionais dos “guardiães do campo”,
que podem ser os pareceristas dos periódicos ou seus orientadores. Dominar o gênero do
artigo acadêmico da matemática é o caminho não só para ser aceito no campo, como
também para ter sucesso. “O prestígio do cientista pode ser medido pelas possibilidades
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de produção e de publicação dos gêneros dominantes nos veículos mais valorizados, que
se constituem pela arbitragem dos pares” (GRILLO, p. 150, 2006).
Apesar do uso da nominalização trazer mais habilidade para se manipular e
combinar diferentes ideias matemáticas, ela dificulta o acesso aos não iniciados, por não
se explicitar como essas idéias serão descritas, devido à remoção das referências a
criação humana, restringindo, assim, as conexões que podem ser feitas com outras
idéias (MEANEY, 2005).
O compartilhamento dos enunciados matemáticos é que mostra se um indivíduo
pertence ou não à comunidade matemática. Essa forma de inclusão faz parte de um
modelo de controle cultural, que reflete as crenças sobre quem pode participar e o que
se pode fazer ou dizer (MEANEY, 2005).
A relação entre o autor e o destinatário dos enunciados no discurso da matemática
acadêmica é interna ao campo, entre pares, ou seja, os enunciados destinam-se a quem
tem “amplitude relativa de seus conhecimentos especializados” (BAKHTIN, 1997, p.
322). Além do destinatário, o querer-dizer do locutor também vai determinar o
enunciado. No caso dos matemáticos, o objetivo, ao lançar mão de um enunciado
usando o discurso da matemática acadêmica, é o de produção/divulgação de
conhecimento matemático novo.
A sala de aula de matemática, apesar de também trabalhar com conceitos
matemáticos, é um campo distinto, onde, entre outros, os objetivos, os destinatários são
diferentes. A nominalização na sala de aula pode aparecer de forma reconfigurada, mas
ainda assim continua funcionando como uma senha de acesso ao discurso desse campo.
Ao transformar os processos em objetos, a nominalização, pode trazer
dificuldades para quem não é familiarizado com este discurso, pois no discurso
cotidiano normalmente se designam seres e coisas por nomes e processos por verbos.
Outro efeito da nominalização que pode trazer dificuldades para o aluno se sentir
participante da interação, é o fato de que ela cobre o agente da ação, removendo o
sujeito que realmente faz a ação na oração (HERBEL-EISENMANN, 2004). Desta
forma, a nominalização dificulta a participação dos alunos nas interações discursivas
das aulas de Matemática, quando estes ainda não estão iniciados no campo discursivo.
Segundo Sfard (2000), um aluno “constrói um objeto matemático” quando
consegue corresponder o nome ou símbolo usado, de forma semelhante ao que o objeto
possui no discurso matemático. Sendo que o conjunto de experiências associado com
um símbolo simplesmente não pode existir independentemente da (e anterior à)
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introdução desse símbolo. Com isso pode se concluir que os objetos matemáticos
desenvolvidos na escola, utilizando-se de um discurso fortemente marcado pela
nominalização, principalmente através dos símbolos, só pode se desenvolver na própria
escola, ou em espaços que trabalhem com o seu discurso. Desta forma, o aluno
dificilmente se familiarizara com esse discurso em seu contexto cotidiano.
A seguir serão apresentados exemplos do uso da nominalização em enunciados
presentes em interações discursivas da sala de aula de Matemática.
4
A nominalização na aula de Matemática
A análise que será apresentada agora faz parte da pesquisa apresentada em
Machado (2008). A pesquisa foi do tipo etnográfica, onde o pesquisador vai a campo
com uma perspectiva de observação e análise, tendo grande interação com os sujeitos e
o ambiente da investigação, além de participar, mesmo que apenas como observador,
dos fatos que nele ocorrem. Ela foi realizada em uma escola pública de ensino médio e
técnico, vinculada a uma universidade federal, com um concorrido processo seletivo,
onde foram acompanhadas duas turmas: uma de primeiro e outra de terceiro ano 2.
As turmas foram acompanhadas por um período de aproximadamente cinco
meses, com a filmagem de parte significativa das aulas. Destas filmagens, alguns
episódios foram selecionados para a análise, dos quais dois serão utilizados neste
trabalho.
É importante destacar que a escola, por ser de técnica, tem uma tradição no fazer,
mas ela tem também uma forte influência científico-acadêmica. Essas características se
refletem na grande ênfase nas disciplinas da área de ciências da natureza e na grande
carga horária de laboratórios. A escola tem também uma longa história de pesquisa na
área de educação e de inovação pedagógica. Seu quadro docente é composto por
aproximadamente 80% de mestres e doutores, que atuam como pesquisadores em
diversas áreas do conhecimento.
As turmas observadas tinham características distintas, a de primeiro ano era
bastante heterogênea, tanto na origem dos alunos, como na participação e
aproveitamento escolar. Já turma de terceiro ano era bastante homogênea em todos os
aspectos, com os alunos estando juntos a, pelo menos, dois anos e tendo um grande
entrosamento.
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Para ver uma discussão mais aprofundada da metodologia, bem como da descrição do ambiente da
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As professoras que trabalhavam com as turmas também apresentavam diferenças
significativas. A do primeiro ano, Sofia, era recém formada e com forte influência das
tendências mais atuais da Educação Matemática. A do terceiro ano, Delana, era bacharel
em Matemática e estava formada a 13 anos, tinha mestrado em Matemática e doutorado
em Lógica, desta forma sua formação em educação havia sido feita na prática cotidiana,
porém, era clara a influência do formalismo.
As aulas da turma de primeiro ano eram centradas na resolução de problemas,
enquanto as do terceiro tinham um caráter hibrido de exposição e resolução de
problemas. Em ambas, porém, existia rigor nas definições e no uso dos conceitos. Desta
forma, em ambos ambientes a nominalização era elemento frequentemente presente nas
aulas, não só nos enunciados das professoras, mas também nos dos alunos. A seguir
serão apresentados alguns exemplos dessa presença.
O primeiro exemplo é de um momento de interação coletiva, com a professora
Delana, em frente ao quadro, estava apresentando algumas propriedades dos
polinômios, interagindo com toda a sala, estabelecendo uma relação do tipo pergunta,
resposta avaliação (IRA). No turno 56 do episódio ela diz:
56. Profa Delana. Pôr um, aqui é a mesma coisa, então se eu fizer P de um, P de
um é trocar todo x por um, então vai dar cinco menos sete, menos três, mais um, mais
um, que é menos três, ‘elevado a menos um’ (não está claro este trecho). Então a soma
dos coeficientes é dada por P de um, tá. Pra que serve isso?
Quando a Delana diz “então se eu fizer P de um”, ela está se referindo a um
procedimento que é determinado pelo nome “P de um” e não pelo verbo fazer, que aí
tem a função de indicar que o procedimento vai ser realizado. Apesar de ele parecer
claro aos alunos, já que ninguém explicita dúvidas, a professora tenta explicitar o
procedimento na seqüência “P de um é trocar todo xis por um, então vai dar cinco
menos...”, possivelmente como um reforço à interpretação que ela estabeleceu, na aula
anterior, para o nome P de um. Mesmo assim, pode-se considerar que em sua
explicitação do procedimento, Delana utiliza outros nomes, como xis, além de deixar
outros implícitos, tais como, a forma de se realizar essa troca. Outro fato, é que “P de
um” também é a expressão do valor do polinômio P quando da substituição do valor da
variável x por um.
Nos discursos primários, quando uma pessoa diz “então se eu fizer café”, ela
pesquisa ver Machado (2008).
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também está se referindo a um procedimento, como no da aula da professora Delana.
Aqui não fica claro como é o procedimento que ela vai utilizar para fazer o café. Para se
saber isto, deve-se conhecer a pessoa e saber como ela habitualmente faz café.
Nos dois enunciados (“P de um” e “fazer café”) tem-se um nome, que indica
procedimento. Em ambos, existe uma forte contextualização, pois torna-se necessário
buscar referências em outros discursos, para compreendê-los. No segundo, porém, essa
contextualização se dá na relação social mais imediata. No primeiro ela, apesar de ser
estabelecida na sala de aula, se utiliza de discursos que são externos à relação imediata.
O uso de nomes se mostrou comum tanto por parte das professoras como dos
alunos, sendo mais presente nos enunciados das primeiras. Na fala dos alunos, quando
participando dos momentos coletivos, na maior parte das vezes os nomes eram usados
para se referir ao objeto e não a um processo. Isso se deve normalmente ao fato de eles
estarem respondendo a uma questão colocada pela professora, como se pode ver no
exemplo a seguir. Nesse extrato, do mesmo episódio do anterior, o aluno esta
interagindo com a professora.
41. Profa Delana – Se eu igualar o polinômio a zero eu vou achar o quê?
42. Carlos – A raiz.
Carlos está se referindo ao objeto, raiz do polinômio, em resposta a questão da
professora, que intencionava, por outro lado, associar o processo ao nome. Nota-se que
seu enunciado deixa claro que ele identifica o nome ao processo, portanto, neste caso, a
nominalização serviu como sinal de pertencimento do aluno ao campo.
Nota-se nas aulas, observadas na pesquisa, um esforço constante em reforçar a
significação dos nomes e símbolos matemáticos, o que deixa explícita a importância que
se dá, em geral, nas aulas de Matemática ao uso adequado de tais significações pelos
alunos. Esse reforço se dava, normalmente, através do questionamento constante sobre
tais significações.
Nas relações entre os alunos observa-se também uso apropriado de nomes, como
se explicita no exemplo a seguir. Ele se dá em um episódio onde um grupo de quatro
alunos interage para resolver um problema proposto pela professora Sofia.
5. Tomas – É dois elevado a xis menos um.
6. Cássia – … Tá dobrando porque mais um … é dois xis mais dois …
Tomas usa o termo “elevado” para representar a potenciação, e está usando o x
para representar a variação de tempo. Temos aqui uma composição de objetos
matemáticos, representados por nomes, que o aluno parece manipular com desenvoltura.
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Segundo Sfard (2000), os símbolos nos fornecem uma linguagem metafórica com
a qual falamos sobre um fenômeno. Os significados simbólicos são, eventualmente, a
base para novos objetos matemáticos. Notamos que, em geral, no ensino médio, os
enunciados matemáticos são compostos por uma complexa composição de símbolos e
nomes. Muitos deles, por sua vez, só são compreendidos a partir de outros objetos
matemáticos, que também são compostos por outros nomes e símbolos.
Porém, fica claro que Cássia compreende o enunciado de Tomas, explicitando o
porque de ser dois elevado a xis, ao afirmar “Tá dobrando”, questionando e
discordando dele. Nota-se, nesse exemplo, que mesmo não estando em interação com a
professora, que poderia suscitar a ideia de avaliação, os alunos utilizam o nome para
indicar a ação, o que mostra que eles dominam o uso desse nome e que não tem
dificuldades no uso da nominalização.
O uso dos símbolos parece ser um refinamento da nominalização, o ápice do
processo de nomear os objetos. Nesse caso, ao invés de um nome ou grupo nominal, que
podem ter significações diversas fora dos gêneros ligados à Matemática, utilizam-se
apenas símbolos, que são próprios destes gêneros. O símbolo é usado, em geral, no
sentido que o formalismo estabeleceu, de precisão, de afastamento dos significados que
não são pertinentes à Matemática.
O extrato acima é um exemplo do uso de símbolos. Para resolver a questão, os
alunos usam a idéia de dois elevado a xis, sendo o xis aí usado para representar a
variação de tempo. Na forma simbólica, seria representado por 2 x . A palavra “elevado”
tem significações distintas3, mas normalmente ela é associada a adjetivos como que se
eleva, alto, superior, o que pode gerar confusões, já que na matemática este termo não
se refere necessariamente a algo maior ou que cresce. Por outro lado, o símbolo em si
não tem referente fora da matemática.
O símbolo tem um papel importante na Matemática, bem como no seu ensino. Seu
uso é comum nas aulas, bem como nos livros didáticos de Matemática.
Nos enunciados da aula de Matemática, os símbolos, em geral, funcionam como
substantivos, e como estes têm dupla função: servem para nomear e para indicar uma
ação-procedimento. Se a nominalização mantém afastados os não iniciados no gênero
3
No dicionário Aurélio encontramos os seguintes significados para a palavra elevado:
Adjetivo: 1..- Que tem elevação; que se eleva ou elevou.2..- Transcendente, alto, superior. 3..- Grande,
nobre
Substantivo masculino: 4.Via urbana, para tráfego rodoviário ou ferroviário, em nível superior ao do solo.
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da matemática escolar, os símbolos podem fazer isso de forma mais acentuada.
O símbolo, em muitos casos, não pode ser expresso oralmente por uma só palavra
(nome), mas sim por um grupo de palavras.
Um exemplo do uso de símbolos está no episódio citado inicialmente, onde
Delana trabalha com os polinômios. No primeiro turno do episódio, a professora usa um
símbolo e nem chega a expressá-lo oralmente, como pode-se ver:
1. Delana – Olha só ... Eu falei para vocês a aula passada sobre a definição de
polinômio. Polinômio é uma coisa desse tipo ai. (Ela aponta no quadro onde escreve
P(x) = ao + a 1 x + a 2 x2 + ... + an xn. E continua falando). Onde cada um dos
coeficientes é um número o quê?
Neste enunciado, o símbolo assume a função de nome, indicando apenas o que é
um polinômio. Pode, porém, em outro enunciado assumir a função de procedimento.
O uso do símbolo substituindo a fala, que é muito comum nas aulas de
Matemática. Neste episódio ele não criou nenhum problema de compreensão, já que os
alunos responderam à questão colocada pela professora.
No turno 21 do mesmo episódio, Delana faz um uso diferente do símbolo ao
discutir o procedimento de se determinar o “P de um”.
21. Delana – a zero, mais a um, mais a dois etc. etc. Então a gente viu isso, então
a soma dos coeficientes escreve assim, tá bom. Lembra disso, só para gente lembrar.
n
Ela escreve no quadro  ai , enquanto expressa, na forma oral, apenas parte do
i 0
grupo nominal que o símbolo representa, mesmo ele tendo aqui a função de nomeprocedimento.
n
O símbolo  ai usado pela professora seria expresso, em nossa língua, por:
i 0
somatório dos termos a i, com i variando de 0 a n; e que significa o processo de somar
estes termos a i de 0 até n e ao mesmo tempo o valor desta soma. Mesmo expresso desta
forma, está se usando nomes que indicam procedimento como somatório de símbolos
como a i. Tem-se assim, um símbolo, composto por uma cadeia de outros símbolos e
nomes. Desta forma, a significação dele depende de um grande número de informações
que o aluno deve possuir.
O uso de tal símbolo parece familiar aos alunos, um vez que Gabriel, ao vê-lo no
5.- Tip. Letra, número ou outro sinal de olho menor que
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quadro, o associou, mesmo que de forma equivocada, a um assunto estudado
anteriormente:
22. Gabriel – Esse é o termo geral da PA”.
As professoras ao usar símbolos costumavam expressá-los de forma oral mais
simplificada, como é comum nos discursos orais, tanto na sala de aula, como na
comunicação entre matemáticos. Delana, por exemplo, diz “Cinco xis à nona”, ao invés
de “cinco vezes o xis, e este elevado à nona potência”. Essa forma de expressão oral não
é, nem se pretende ser, tão precisa como a simbólica. Expressa como o foi oralmente,
ela pode gerar diferentes interpretações, tais como, por exemplo, (5x)9. Este é um dos
motivos que levou os formalistas a buscarem uma linguagem desprovida de semântica
externa à Matemática. Mas, em geral, o contexto onde esses símbolos são expressos na
forma oral fornecem elementos para que os alunos produzam o significado
intencionado.
Fica claro ao se observar aulas Matemática que o símbolo não pode ser facilmente
verbalizado, isso gera a necessidade de muitas vezes se utilizar o registro escrito, o que
pode resultar em enunciados híbridos, que tem uma parte oral e outra escrita. O uso de
nomes, e principalmente os símbolos, aliado à ideia de não ambiguidade associada a
eles, faz como que os enunciados da aula de Matemática constantemente sejam
compostos de forma hibrida, tendo uma parte oral e outra escrita. Essa forma de
construção de enunciados gera uma outra marca interessante no discurso da aula de
Matemática, que é o hibridismo, mas que não será discutido neste trabalho.
Mesmo que os alunos do ensino médio dominem, de certa maneira, a
nominalização utilizada nesta forma de discurso, nem sempre se produz o significado
intencionado por quem emitiu o enunciado. A seguir um exemplo da dificuldade que o
uso de nomes pode causar. Nele a professora Delana acaba de concluir da discussão
com os alunos que os expoentes das variáveis no polinômio são sempre números
naturais, em seguida no turno 12 Carlos intervém:
12. Carlos – Não pode ter raiz esse negocio.
13. Delana – Oi, como não pode ter raiz.
14. Carlos – Não pode ter expoente fracionário.
15. Delana – Não tem expoente fracionário, mas existe, o que a gente falou a aula
passada: raiz de polinômio, o que é raiz de polinômio.
16. Carlos - A tá. (o trecho sublinhado indica que as falas foram simultâneas)
O excerto mostra que há uma dupla interpretação para o nome raiz, ambos o usam
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para descrever um processo, porém, Carlos está relacionando o nome a raiz de um
número, o que fica quando ele se refere ao expoente não poder ser fracionário. Delana
por sua vez está se referindo a raiz de polinômio, que é o tema da interação, porém, ela
percebe a significação dada por Carlos e no turno 15 ela tenta resignificar o nome, e
obtém sucesso. No turno 16, Carlos percebe e concorda com o significado associado ao
tema estabelecido.
A produção distinta de significado, bem como a negociação, como a ocorrida no
exemplo acima, é comum nas interações na aula de Matemática, porém, nem sempre as
situações são explicitas, pois dependem de uma interação onde ambos possam ser
ouvidos. Além disso, a negociação de significados nem sempre é simples e rápida como
a do exemplo, muitas vezes ela exige um processo longo, onde os participantes tenham
reconstruir a significação de nomes e símbolos.
5
Conclusão
A nominalização no discurso da aula de Matemática é um reflexo direto do campo
da matemática acadêmica, mais precisamente do formalismo. Sua estratégia de
substituir os objetos matemáticos por nomes ou símbolos vai marcar o discurso da sala
de aula de Matemática. A nominalização, e em particular o uso dos símbolos, vai
diferenciar o discurso da sala de aula de Matemática dos discursos cotidianos.
Retomando a ideia de que a linguagem tem um papel determinante no pensamento
e que deve ser considerada como constituinte do processo de construção de significados,
deve-se refletir o papel desempenhado pela nominalização na aprendizagem.
Apesar de neste trabalho o foco não ser o pensamento, pode-se verificar através
dos exemplos de interação, que a estrutura da interação é alterada, portanto, usando
Vygotsky, pode-se concluir que o domínio do discurso de aula de Matemática pode,
através da nominalização, reconfigurar o processo de construção de significados.
Outro ponto importante, é que através dessa marca discursiva pode-se verificar
como uma ferramenta cultural age diretamente sobre os meios de mediação, trazendo
consigo todo o peso de um campo de atividade, a matemática acadêmica, explicitando
assim a relação entre o funcionamento mental individual com a cultura, história e
instituições.
O domínio do discurso da aula de Matemática, em particular a nominalização, tem
um importante papel não só para o desempenho escolar, mas principalmente, para o
desenvolvimento de uma forma especifica de pensamento que é valorizada socialmente.
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