ESCOLA SECUNDÁRIA DE MAXIMINOS
AGRUPAMENTO DE MATEMÁTICA
m axi
minus
escola sec.
de maximinos
FICHA DE TRABALHO
COMPLEXOS
1. Considere o número complexo W = 2 – i.
Sem recorrer à calculadora gráfica resolva as alíneas seguintes:
a) Determine em que bissectriz se situa a imagem geométrica de
W 2 − i 23
.
3
3cis π
2
b) Resolva a equação Z 3 = W − i . Apresente as soluções na forma trigonométrica.
c) Determine os números reais b e c para os quais W é raiz do polinómio x 2 + bx + c .
2. Em C, conjunto dos números complexos, considere: Z1 = 1 + i − 1 − i
1− i
1+ i
e Z2 = cis 7π
12
a) Verifique que Z1 = 2i.
b) Para um certo número real positivo k , Z2 é uma raiz cúbica do complexo k − ki . Determine o valor de k.
c) Na figura junta:
- A é o afixo de Z2
A
- AB é o arco de circunferência com centro na origem do referencial
- O ponto B pertence ao eixo das abcissas.
Defina por uma condição em C, a zona sombreada.
B
3. De dois números Z1 e Z 2 sabe-se que:
O
π
Z1 tem argumento
O perímetro da circunferência definida pela condição Z = Z 1 é 4π
6
Z1 e Z 2 são duas das raízes cúbicas de um certo número complexo Z
a) Represente Z 1 na forma algébrica.
b) Sabendo que, no plano complexo, a imagem geométrica de Z 2 pertence ao segundo quadrante, determine Z 2
na forma algébrica.
c) Determine, na forma algébrica, o número complexo Z para o qual Z1 e Z 2 são duas das suas raízes cúbicas.
4. Em C , conjunto dos números complexos, considere:
Z1 = 2cis
π
4
,
Z 2 = rcis
π
3
a) Mostre que Z1 é solução da equação i × Z − Z = 0 .
e
Z3 = 2i × Z 2
b) Sejam A e B as imagens geométricas, no plano complexo, de Z2 e Z3 , respectivamente. Seja O a origem
do referencial. Sabendo que a área do triângulo [OAB] é igual a 16 , determine na forma algébrica, o
número complexo Z3.
5. Seja C o conjunto dos números complexos e W1 um elemento de C.
Observe a figura.
Sabe-se que:
P é a imagem geométrica de W1
W =3
1
a) Escreva na forma trigonométrica o complexo W2 que tem por imagem geométrica
um ponto Q diametralmente oposto a P.
b) Defina, por uma condição em C , a região a tracejado da figura.
6. Seja C o conjunto dos números complexos e i a unidade imaginária.
a) Resolva, em C , a equação Z 3 × Z = i . Apresente as soluções na forma algébrica.
(
b) Prove que Z + Z
2
2
) − (Z − Z )
2
= 4Z .
c) Represente, no plano complexo, o conjunto definido pela condição:
7
5

Z − i < 3 ∧  π < arg (Z − i ) < π ∨ Im ( Z ) > 3
4
4


7. Resolva, em C , a equação 2Z3 – 2Z2 + 5Z = 0.
(Apresente as soluções na forma algébrica do modo mais simplificado possível).
8. Determine o valor de x∈ IR tal que
i (4 + ix )
∈ IR +
1 + i ( x + 3i )
3
m
9. Calcule o valor de m ∈ IN que verifique a condição: (1+ i )
10. Em C , sejam Z 1 = 1 − i e Z2 = 2cis
π

−  2cis  = 0
2

π
.
3
a) Resolva, em C, a equação Z 1 − iZ = Z 2 − 3i − Z
b) Determine os números reais a e b sabendo que Z1 é raiz do polinómio 2x3 +ax2 +6x + b.
c) Seja Z 3 =
1
Z4 × Z3
é um número real.
cisα . Calcule o valor de α ∈ [0 , π] para o qual 1
2
Z2
11. Mostra que:
(1 −
a) O complexo
6
)
2
3i − 2 
 π 
−  31 cis   é um número real.
13
1− i
 4 


 5 
b) A imagem geométrica do número complexo que é solução da equação (1 + i ) Z = 2 2cis π 
 3 

pertence à bissectriz dos quadrantes pares.
12. Seja Z um número complexo de módulo
3
2 e Z o seu conjugado. No plano complexo, considere o ponto P
como imagem geométrica de Z tal que P pertença à bissectriz do 4º quadrante.
Determine as raízes cúbicas do número complexo
Z
i
13. Em C , seja W1 = 2cis
23
π
+Z.
uma das raízes cúbicas de um certo número complexo W.
3
a) Determine a área do polígono cujos vértices são as imagens geométricas, no plano complexo, das raízes
cúbicas de W.
Z
.
b) Determine, na forma trigonométrica, os valores não nulos de Z para os quais Z 2 =
W1
(Apresente as soluções na forma trigonométrica).
14. Considera Z =
(
3 −i
)
n
a) Calcula o menor valor de n ∈ N tal que Z ∈ R0+
b) Para n=8 calcula as raízes cúbicas de Z.
15. Sejam os complexos
Z
1
= −2 3 − 2i e
a) Calcula os valores de θ de modo que
Z
2
π

= cis + θ 
2

Z1
seja um imaginário puro.
Z2
b) Identifica no plano d’Argand o conjunto definido pela condição
Z − i ≤ Z1 ∧
π
2
≤ arg Z 2 ≤ π
16. Indica uma condição em C que defina a área representada a cinzento em cada uma das figuras:
a)
b)
17. Relativamente à figura ao lado sabe-se que:
- a circunferência tem centro na origem e raio 2
- a recta r é bissectriz dos quadrantes ímpares
- o ponto A é a imagem geométrica de uma das raízes
cúbicas de 8i
a) Mostra que a imagem geométrica do número
(1 + i ) 4
se situa no interior da circunferência
 π
2 3cis − 
 4
e sobre a recta r.
b) Define, por uma condição em C, a zona colorida (inclui a fronteira).
18. Considera, no plano complexo, o quadrado [ABCD]. Os pontos A, B, C e D
encontram-se à distância de uma unidade da origem do referencial.
3π
dois números complexos.
2
W2
Mostra que as raízes quartas do número complexo
têm por
Z
a) Sejam W = 1 − i e Z = 2cis
imagens geométricas os pontos A, B, C e D.
b) Define, por uma condição em C, a região colorida incluindo o contorno.
BOM TRABALHO!
Soluções:

7 
5 
 23 
π ; 2 2cis π ; 2 2cis π  c) b = −4; c = 5
 12 
4 
 12 
1. a) 1º Quadrante b) S = 2 2cis

7
π ≤ arg z ≤ π
12
5
3. a) Z 1 = 3 + i b) 2cis π c) Z = 8i
6
4. b) Z 3 = −4 3 + 4i
5
2
5. a) W2 = 3cis π b) z ≤ 3 ∧ π ≤ arg z ≤ π
3
3
 2
2
2
2 
6. a) S = 
+
i; −
−
i
2
2
2 
 2
 1 3 1 3 
7. S = 0; − i; + i 
 2 2 2 2 
8. x = 8
9. m = 6
11
 1 1 
10. a) S = − + i  b) a = −5, b = −2 c) α =
π
12
 2 2 
π 
 3π 
 17 
12. 2cis ; 2cis
; 2cis π 
 12 
 4 
 12 
 1  5  1  11  1  17 
13. a) A = 3 3 b) S =  cis π ; cis π ; cis π 
 2  9  2  9  2  9 
2. b) k =
2
2
c) z ≤ 1 ∧
c)
15. b)
 4  3
2 
8 
π ; 4 4cis π ; 43 4cis π 
 9 
9 
9 
14. a) n=12 b) 43 4cis −
15. a) θ =
π
6
+ kπ , k ∈ Z
π
 π

≤ arg Z ≤ − ∨ arg Z ≥ 0 
2
4


16. a) Z + 4 ≤ Z − 3i ∧ z + 4 ≤ 3 b) Z − 2 + 2i ≤ 8 ∧  −
5 
π 5

Z ≤ 2 ∧  0 ≤ arg Z ≤ ∨ π ≤ arg Z ≤ π 
4 6
4 

π
2  3π
5π   π
18. b) Z ≥
∧
≤ arg(Z − 1) ≤
 ∧  − ≤ arg(Z + 1) ≤ 
2  4
4   4
4
17 b)