Matemática 1
Módulo 11
5.
Chamamos de termo independente do polinômio
P(x), o valor que não depende de "x". Desta forma,
para acharmos o termo independente fazemos x = 0.
POLINÔMIOS – I
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES
1.
PARA
SALA
I. "k" é raiz de um polinômio se e somente se P(k) = 0,
ou seja, "k" é um valor que zera o polinômio.
II. Dado o polinômio P(x) = (2x + 10)(x3 – 8x2 + 15x). Fazendo P(x) = 0, temos: (2x + 10)(x3 – 8x2 + 15x) = 0 ⇒
⇒ (2x + 10) . x . (x2 – 8x + 15 = 0)
* 2x + 10 = 0 ⇒ x = –5
* x=0
* x2 – 8x + 15 = 0 ⇒ x' = 3 e x" = 5
III. Assim as raízes são: –5, 0, 3, 5. A soma é:
−5 +0 + 3+ 5 = 3
Atenção!
Para x = 0, temos:
P(0) = (30 . (0)3 – 50 . (0)2 + 1)4(17 . (0) + 2)3 + (21 . (0) – 4)2 ⇒
P(0) = (1)4 . (2)3 + (–4)2 ⇒ P(0) = 8 + 16 ⇒ P(0) = 24
Resposta correta: B
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS
1.
Atenção!
(–1)par = +1, (–1)ímpar = –1 e (–1)par + (–1)ímpar = 0
Resposta correta: B
2.
Para n = 1 ⇒ P(x) = x + 3 ⇒ P(–1) = –1 + 3 = 2
I. Se 2 é raiz do polinômio P(x) = x4 + 3x2 – kx – 12,
então P(2) = 0.
4
2
II. P(2)
N = (2) + 3 . (2) – k(2) – 12 ⇒
Para n = 3 ⇒ P(x) = x 3 + x 2 + x + 3 ⇒ P(x) = x + 3 ⇒
⇒ P(–1) = –1 + 3 = 2
0
⇒ 16 + 12 − 2k − 12 = 0 ⇒ k = 8
Assim, para qualquer "n" ímpar, P(x) = x + 3. Logo:
P(–1) = –1 + 3 = 2
Resposta correta: A
Resposta correta: C
3.
3
2
I. No polinômio P(x) = x + ax + bx – 10, temos que
P(1) = 0 e P(–1) = 0, pois 1 e –1 são raízes.
3
2
II. P(1)
N = (1) + a(1) + b(1) – 10 ⇒ 1 + a + b – 10 = 0 ⇒
2.
0
II. P(1) = (1)3 +(1)2 + m . (1) – n ⇒ 0 = 1 + 1 + m – n ⇒
⇒a+b=9
3
2
III. P(
−1) = (–1) + a(–1) + b(–1) – 10 ⇒ –1 + a – b – 10 = 0 ⇒
N
⇒ m – n = –2
0
⇒ a – b = 11
IV. Resolvendo o sistema:
III. P(2) = (2)3 + (2)2 + m . (2) – n ⇒ 0 = 8 + 4 + 2m – n ⇒
⇒ 2m – n= –12
⎧⎪a − b = 11
+
⎨
⎪⎩a + b = 9
2a = 20 ⇒ a = 10
IV. Com as equações –m + n = 2 e 2m – n = –12, temos
o sistema:
⎧⎪−m + n = 2
+
⎨
⎪⎩2m − n = −12
m = −10
n = −8
b = −1
V. Se a = 10 e b = –1, então:
a2 – b2 = (10)2 – (–1)2 = 100 – 1 = 99
V. Se m= –10 e n = –8, então:
n2 – m = (–8)2 – (–10) = 64 + 10 = 74
Resposta correta: D
4.
I. Se 1 e 2 são as raízes, então P(1) = P(2) = 0
No polinômio P(x) = x3 + x2 + mx – n, temos:
A soma dos coeficientes é obtida substituindo x por 1:
(3x2 – 2)(4x3 – 4x2 + x + 2)4
S = (3 . 12 – 2)(4 . 13 – 4 . 12 + 1 + 2)4
S = 1 . 34
S = 81
Resposta correta: C
3.
Desta maneira:
S + S = 81 + 81 = 90
Resposta correta: A
Se as raízes do polinômio P(x) = x3 + bx2 + cx + d são
1, 2 e 3, então:
I. P(1) = 0 ⇒ 13 + b + c + d = 0 ⇒ b + c + d = –1
II. P(2) = 0 ⇒ 23 + b . (2)2 + c . (2) + d ⇒ 4b + 2c + d = –8
III. P(3) = 0 ⇒ 33 + b . (3)2 + c . (3) + d ⇒ 9b + 3c + d = –27
IV. Resolvendo o sistema:
⎧b + c + d = −1
⎪
⎨4b + 2c + d = −8 temos: b = –6, c = 11 e d = –6
⎪9b + 3c + d = −27
⎩
Resposta correta: A
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MATEMÁTICA 1
1
4.
Desenvolvendo o polinômio x3 + 8, temos:
x3 + 23 = (x + 2)(x2 – x . 2 + 22) ⇒ x3 + 8 = (x + 2)(x2 – 2x + 4)
Então P(x) = (x + 2)(x2 – 2x + 4)
9.
Resposta correta: D
5.
Somando-se dois polinômios de mesmo grau, teremos
uma soma de grau menor ou igual ao grau de cada polinômio, ou seja: 0 ≤ gr(g + h) ≤ 3.
I. Um polinômio do 2º grau pode ser representado por
P(x) = ax2 + bx + c. Substituindo 0, 1 e 2, em P(x)
temos:
* P(0) = a. (0)2 + b . (0) + c ⇒ –20 = c
* P(1) = a . (1)2 + b . (1) + c ⇒ P(1) = a + b + c ⇒
⇒ P(1) = a + b – 20
* P(2) = a . (2)2 + b . (2) + c ⇒ P(2) = 4a + 2b + c ⇒
⇒ P(2) = 4a + 2b + c
II. Se P(1) + (P) = –18, então:
(a + b – 20) + (4a + 2b – 20) = –18 ⇒ 5a + 3b = 22
Multiplicando-se dois polinômios, o grau do produto é
igual à soma dos graus dos polinômios, então:
0 + gr (ƒ) ≤ gr [ƒ(g + h)] ≤ 3 + gr(ƒ)
0 + 3 ≤ gr [ƒ(g + h)] ≤ 3 + 3 ⇒ 3 ≤ n ≤ 6
III. Se P(–1) – 3 . P(2), então:
(a + b – 20) – 3 . (4a + 2b – 20) = +6 ⇒
⇒ a + b – 20 – 12a – 6b + 60 = 6 ⇒ –11a – 5b = –34
Resposta correta: E
6.
⎧5a + 3b = 22
IV. Formando o sistema ⎨
, temos a = –1 e
⎩11a + 5b = 34
b = 9.
Sabemos que [P(x)]3 = P(x) . P(x) . P(x), então o grau de
[P(x)]3 é 5 + 5 + 5 = 15, do mesmo modo o grau de
[P(x)]2 é 10.
O grau da soma de polinômios de graus diferentes é igual
ao grau maior dos graus entre os polinômios, então:
V. Se a = –1, b = 9 e c = –20, P(x) = –x2 + 9x – 20.
Como P(x) < 0, temos:
[P(x)] 3 + [P(x)] 2 + 2P(x)
Grau 5
VI. –x2 + 9x – 20 < 0;
Grau 10
Grau 15
S = {x ∈ R / x < 4 ou x > 5}
A soma terá grau 15.
Resposta correta: B
Resposta correta: C
7.
Atenção!
10. I. Se P(x) =
Um polinômio será do 2º grau se, e somente se, o
coeficiente de x2 for maior e diferente de zero.
Para que o polinômio P(x) = (m2 – 16)x2 + (m + 4)x + 4
seja do 2º grau, temos que m2 – 16 ≠ 0
II. m2 – 16 ≠ 0 ⇒ m ≠ 4 e m ≠ –4
x +1
e
= x3 – 3x2 + x + 1, então P(x) = x3 – 3x2 + x + 1
II. P(3) = (3)3 – 3(3)2 + (3) + 1 ⇒ P(3) = 27 – 27 + 4 ⇒
⇒ P(3) = 4
Resposta correta: D
III. P(4) = (4)3 – 3 . (4)2 + (4) + 1 ⇒ P(4) = 64 – 48 + 5 = 21
Como 1 e 3 são raízes do polinômio, então P(1) = P(3) = 0.
Substituindo 1 e 3 em P(x):
I. P(x) = x3 – 7x2 + ax + b
P(1) = 13 – 7 . 12 + a . 1 + b
0=–6+a+b
a+b=6
IV. Assim P(3) + P(4) = 4 + 21 = 25
Resposta correta: D
II. P(x) = x3 – 7x2 + ax + b
P(3) = 33 – 7 . 32 + a . 3 + b
0 = 27 – 63 + 3a + b
3a + b = 36
Das equações (I) e (II):
3a + b = 36
∴ a = 15 e b = –9
a+b=6
RS
T
Desta maneira: a – b = 15 – (–9) = 24
Resposta correta: E
2
x
x 2 − 3x ( −1)
= x(x 2 − 3x) − ( −1)(x + 1) = x 3 − 3x 2 + x + 1 =
x +1
x
I.
8.
x 2 − 3x ( −1)
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