Introdução
Circuitos Elétricos
• Na análise de circuitos CA estudamos como encontrar as
tensões e correntes em um circuito com fontes de frequência
constante.
Resposta em Frequência – Parte 1
Alessandro L. Koerich
Engenharia de Computação
Pontifícia Universidade Católica do Paraná (PUCPR)
• Se mantivermos a amplitude da senoide constante, mas
variarmos a frequência, obtemos a resposta em frequência do
circuito.
• A resposta em frequência de um circuito é a variação de seu
comportamento com a mudança na frequência do sinal.
Função de Transferência
Função de Transferência
• A função de transferência ( ) é uma ferramenta analítica
útil para encontrar a resposta em frequência de um circuito.
• Na verdade, a resposta em frequência de um circuito é um
gráfico da função de transferência ( ) versus , com
variando de = 0 a = ∞.
• A função de transferência ( ) de um circuito é a razão
dependente da frequência entre um fasor de saída ( ) e um
fasor de entrada ( ).
• Então:
=
• Como tanto a entrada como a saída podem ser tanto uma
tensão ou corrente, temos quatro possibilidades:
–
= ganhodetensão =
–
= ganhodecorrente =
–
= impedânciadetransferência =
–
= admitânciadetransferência =
Função de Transferência
• Como
é uma quantidade complexa, possui uma
e uma fase φ, isso é:
magnitude
=
∠
• Para obter a função de transferência, devemos:
1.
2.
Obter o circuito equivalente no domínio da frequência, substituindo
e
resistores, capacitores e indutores pela suas impedâncias ,1⁄
.
Usar qualquer técnica de circuitos para obter a quantidade apropriada.
Função de Transferência
•
A função de transferência
pode ser expressa em termos de
seu numerador
e denominador
:
=
• As raízes de
= 0 são chamadas de zeros de
geralmente representadas por
= , , ….
• Do mesmo modo, as raízes de
são representadas por
= ,
e são
= 0são os pólos de
, ….
e
• Obtemos a resposta em frequencia do circuito traçando a
magnitude e a fase da função de transferência a medida que
a frequencia varia.
Função de Transferência
Escala Decibel
• Um zero, sendo uma raiz do polinômio do numerador, é um valor
que resulta em um valor zero para a função.
• Uma maneira sistemática de obter a resposta em frequencia é usar
o Diagrama de Bode.
• Um pólo, sendo uma raiz do polinômio do denominador, é um valor
para o qual a função é infinita.
• O diagrama de Bode se baseia em logaritmos e decibeis para
expressar ganho.
• Para evitar algebra complexa, é comum trocar temporariamente
por s quando operamos
e substituimos s por
no final.
• Em sistemas de comunicação, ganho é medido em bels.
Historicamente, o bel é usado para medir a razão entre dois níveis
de potência ou ganho de potência G:
= númerodebels =
• O decibel (dB) nos oferece uma unidade de menor magnitude, É
1/10 de um bel e é dados por:
= 10
Escala Decibel
• Alternativamente, o ganho G pode ser expresso em termos razão
de tensão ou corrente:
= 20
= 20
Diagrama de Bode
• A prática tradicional para mostrar a resposta em frequência é traçar
a função de transferência em um par de diagramas
semilogaritmicos:
– A magnitude em decibéis é traçada versus o logaritmo da frequência
– A fase em graus é traçada versus o logaritmo da frequência
• Estes diagramas semi-logaritmicos da função de transferência são
conhecidos como Diagramas de Bode.
• A função de transferência pode ser escrita como:
= ∠ =
• Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
= ln +
ln = ln + ln
Diagrama de Bode
• Então, a parte real de ln é uma função da magnitude enquanto a
parte imaginária é a fase. Em um diagrama de Bode da magnitude,
o ganho:
= 20
• é traçado em decibéis (dB) versus a frequência.
• Em um diagrama de Bode da fase, φ é traçada em graus versus a
frequência. Ambos devem ser traçados em papel semilog.
Diagrama de Bode
Diagrama de Bode
Diagrama de Bode
• Uma função de transferência pode ser escrita em termos de fatores
que tem partes real e imaginária.
±
( )=
1+
1+ ⁄
⁄
1+ 2
⁄
1+ 2
que é obtida dividindo os pólos e zeros em
⁄ +
⁄
+
⁄
…
…
• Na construção do diagrama de Bode, traçamos cada fator
separadamente e então adicionamos graficamente.
• Termo constante: para o ganho , a magnitude é 20
é 0 . Se é negativo, a magnitude permanece 20
fase é ±180 .
e a fase
mas a
( ).
• Esta é a chamada forma padrão e podem aparecer diferentes
fatores:
1.
2.
3.
4.
Um ganho .
ou zero ( ) na origem.
Um pólo
ou zero 1 + ⁄
simples
Um pólo 1⁄ 1 + ⁄
⁄ +
⁄
ou zero 1 + 2
Um pólo 1⁄ 1 + 2
quadrático.
⁄
+
⁄
Diagrama de Bode
• Zero na origem: para o zero ( ) na
origem, a magnitude é 20
ea
fase é 90 . A inclinação é de 20
dB/década enquanto a fase é
constante.
• Pólo na origem: para o pólo ( )
na origem, a magnitude é 20
e
a fase é −90 . A inclinação é de –20
dB/década enquanto a fase é
constante.
• Em geral, para ( ) , onde N é um
inteiro, o diagrama da magnitude terá
uma inclinação de 20N dB/década,
enquanto a fase é 90 .
Diagrama de Bode
•
Zero simples: para um zero simples 1 + ⁄ , a magnitude é
⁄ . Mas:
20
1+ ⁄
e a fase é
= 20
= 20
•
1+
1+
⇒ 20
⇒ 20
1 = 0(
(
→ 0)
→ ∞)
Ou seja, podemos aproximar a magnitude por zero ( uma linha reta com
inclinação zero) para valores pequenos de ω e por uma linha reta com
inclinação 20 dB/década para valores grandes de ω.
Diagrama de Bode
Diagrama de Bode
• A frequência =
onde duas linhas assintóticas se encontram é
chamada de frequência de quebra.
• A fase
⁄
=
• O diagrama aproximado é bem próximo do diagrama real, exceto
onde = , sendo o desvio 20
(1 + 1) = 20
2 ≃ 3dB
pode ser expressa como:
0 ,
= 0
=
= 45 ,
90 ,
→ ∞
• Na aproximação por linhas retas temos ϕ ≃ 0 para
≤ ⁄10 ,
ϕ ≃ 45 para = e ϕ ≃ 90 para ≥ 10 . O diagrama tem uma
inclinação de 45 por década.
• Pólo simples: o diagrama de Bode para um polo simples 1/
1 + ⁄ , é similar ao do zero simples, exceto que a frequência
de quebra é em = , a magnitude tem uma inclinação de –20
dB/década e a fase tem uma inclinação de −45 por década
Diagrama de Bode
Diagrama de Bode
• Polo quadrático: para um polo quadrático
⁄ +
⁄
1/ 1 + 2
, a magnitude é
⁄ +
⁄
− 20
1+ 2
e a fase é
⁄ )⁄(1 − ⁄ ). Mas:
(2
= −20
= −20
1+
1+
2
2
+
+
⇒ 0(
⇒ −40
• Note que o diagrama real depende do fator de amortecimento
bem como da frequência de quebra .
→ 0)
(
→ ∞)
• Ou seja, podemos aproximar o diagrama da amplitude por duas
linhas retas assintóticas:
– Uma com inclinação 0 para <
– Uma com inclinação –40 dB/década para
quebra.
>
sendo
a frequência de
Diagrama de Bode
• A fase pode ser expressa como:
=
2
1−
⁄
⁄
= 0
0 ,
=
= −90 ,
−180 ,
→ ∞
• O diagrama de fase é uma linha reta com inclinação −90 por
década, iniciando em ⁄10 e acabando em 10 .
• Zero quadrático: o diagrama de Bode para um zero quadrático
⁄ +
⁄
1+ 2
, é invertido pois o diagrama de
magnitude tem inclinação de 40 dB/década enquanto que o
diagrama de fase tem uma inclinação de 90 por década