Universidade do Estado do Pará
Centro de Ciências Sociais e Educação
Departamento de Matemática, Estatística e Informática
Curso de Licenciatura em Matemática
André de Oliveira Pinheiro
Saulo Dias Santos
Transformações geométricas com o GeoGebra
Belém
2012
André de Oliveira Pinheiro
Saulo Dias Santos
Transformações geométricas com o GeoGebra
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado
como requisitado parcial para obtenção do
título de Licenciado em Matemática, pela
Universidade do Estado do Pará.
Orientadora: Profª. Ma. Cinthia Cunha Maradei
Pereira Campos.
Belém
2012
André de Oliveira Pinheiro
Saulo Dias Santos
Transformações geométricas com o GeoGebra
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado
como requisitado parcial para obtenção do
título de Licenciado em Matemática, pela
Universidade do Estado do Pará.
Orientadora: Profª. Ma. Cinthia Cunha Maradei
Pereira Campos.
Data: _____/______/______
Banca Examinadora
____________________________________ - Orientador
Prof.
Dr. em Educação
Universidade do Estado do Pará
____________________________________
Prof.
Dr. em Educação
Universidade do Estado do Pará
____________________________________
Prof.
Dr. em Educação
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Belém
2012
AGRADECIMENTOS
A minha mãe, Maria do Socorro, meu pai, Paulo, minha tia, Auxiliadora,
por todo apoio financeiro e emocional que me foi oferecido em minha graduação e
por toda habilidade que vocês têm em se tornarem os melhores em suas posições.
A minha avó, Maria de Lourdes por se tornar o melhor exemplo de pessoa
que alguém pode ser.
Ao meu amor, Laís, por me mostrar todos os dias que a felicidade existe;
e ainda, em vivências simples como um beijo, um carinho, um sorriso, uma
conversa, uma dança ou uma companhia na pulsação das noites de sexta.
Aos meus amigos de graduação, Alexandre, Arthur, Hugo, Leandro,
Mayara, Talita, Renato, Walmi por toda a colaboração e companheirismo nesses 4
anos; além de, é claro, todos os momentos de diversão, sem os quais nenhum ser
humano pode viver.
Ao Saulo, meu companheiro de TCC, por ter acreditar e trabalhar no
desenvolvimento deste trabalho, e por suportar minha impontualidade, meu senso
de humor ácido e meu temperamento.
A professora mestra Cinthia Maradei, por nos orientar, por toda paciência,
comparecimento e, além disso, por ajudar com várias idéias incríveis, sem as quais
este trabalho não seria possível.
Aos professores da UEPA por me servirem de exemplo profissional e a
esta instituição, que mais do que uma Universidade, é um local de engrandecimento
do saber, do caráter e da maturidade, para mim.
A todos que esqueci de mencionar, pois me conhecendo muito bem,
conhecem minha péssima memória.
A Wes Anderson, pelo filme The Darjeeling Limited, que me mostrou que
só o fato de querer ser uma pessoa melhor já nos torna uma pessoa melhor.
Vocês são demais.
André de Oliveira Pinheiro
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus por tudo de bom que proporcionou em minha vida.
Agradeço a minha família, minha mãe Ana, meu pai Fernando, meu irmão
Sávio, minha irmã Fernanda, por todo amor, carinho e ajuda que me deram, não só
nesses quatro anos de universidade, e sim em toda minha vida, obrigado por
estarem sempre comigo, amo todos vocês.
Agradeço a todos os meus amigos de turma, em ordem alfabética:
Andreza, Alexandre, Arthur, Camila, Diego, Douglas, Fernando, Franklin, Guilherme,
Hugo, Jean, José, Leandro, Mayara, Nayra, Talita, Renato, Walmi e todos os outros
que estiveram na turma, no entanto já saíram para traçar outros rumos, pelo
companheirismo, pela amizade, pelos momentos divertidos, pelas “saídas”, pelas
viagens e por tudo de bom que me proporcionaram nesses quatro anos de
universidade, obrigado pela amizade de vocês e espero que ela perdure por muito
tempo.
Agradeço aos meus amigos, em ordem alfabética: Cleo, Daniellen, Itamar,
Kathelen e Lilia, pela amizade, carinho, companheirismo e alegrias que me
proporcionaram nesse tempo, obrigado por estarem comigo e pela ajuda que
sempre me deram, muito obrigado.
Agradeço também ao meu companheiro de TCC, o André, por ter se
juntado comigo nessa empreitada, e apesar das dificuldades que tivemos,
conseguimos concluir este trabalho, obrigado por toda ajuda.
Agradeço a professora Mestra Cinthia Maradei por concordar em orientar
este trabalho, muito obrigado.
Agradeço aos professores, servidores e todos os funcionários da UEPA,
muito obrigado.
Agradeço à instituição UEPA por tudo que ofereceu nestes quatro anos,
muito obrigado.
Um muito obrigado
.
Saulo Dias Santos
um cão apenas
caminhando sozinho numa calçada quente em pleno
verão
parece ter mais poder
do que dez mil deuses.
Por que isso?
Charles Bukowski
RESUMO
PINHEIRO, André de Oliveira; SANTOS, Saulo Dias. Transformações geométricas
com o GeoGebra, 2011. 83 f. Trabalho de Conclusão de Curso - Universidade do
Estado do Pará, Belém, 2011.
Este trabalho apresenta os resultados de um estudo que teve como objetivo
construir um conjunto de atividades para introduzir o conceito de transformações
lineares com exemplificações através das transformações geométricas, explorando
as conversões de registros de representação semiótica com ajuda do software
GeoGebra. Para tal intuito, foi realizado um levantamento bibliográfico de assuntos
relacionados com a temática abordada, a fim de oferecer maior compreensão sobre
a realidade de tais temas. No desenvolvimento do trabalho é feito um estudo sobre a
informática como tendência, mostrando os pontos positivos e negativos do uso de
suas ferramentas na educação matemática; seguido de uma breve explicação sobre
semiótica, para assim chegar na Teoria de Raymond Duval sobre os Registros de
Representação Semiótica. Ainda na parte de referencial, são mostrados alguns
conceitos sobre transformações lineares, com foco nas geométricas que tem essa
característica. A partir destas teorias foram criadas atividades explorando vários
registros e conversões das representações destas transformações, a partir de
conceitos de geometria. Este trabalho poderá servir como ponto de partida para
novas pesquisas nesta teoria.
Palavras-Chave: Matemática. Educação Matemática. Transformações lineares.
Transformações Geométricas. GeoGebra. Registros de Representação Semiótica.
ABSTRACT
PINHEIRO, André de Oliveira; SANTOS, Saulo Dias. Transformações geométricas
com o GeoGebra, 2011. 83 f. Trabalho de Conclusão de Curso - Universidade do
Estado do Pará, Belém, 2011.
This paper presents the results of a study that aimed to build a set of activities to
introduce the concept of linear transformations with exemplifications through
geometric transformations, exploring conversions registers of semiotic representation
with the help of software GeoGebra. To this end, we conducted a literature review of
issues related to the theme addressed in order to provide greater understanding of
the reality of such themes. In developing the work is done a study on the computer
as trend, showing the positives and negatives of using their tools in mathematics
education, followed by a brief explanation of semiotics, thus arriving at Raymond
Duval Theory Records on Representation semiotics. Although part of the framework,
some concepts are shown on linear transformations, focusing on geometric that has
this feature. From these theories were created activities exploring various records
and conversions of representations of these transformations, from concepts of
geometry. This work could serve as a starting point for further research on this theory
Keywords: Mathematics. Mathematics Education. Linear transformations. Geometric
Transformations. GeoGebra. Records Semiotic Representation.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1:
Figura 2:
Figura 3:
Figura 4:
Figura 5:
Figura 6:
Figura 7:
Figura 8:
Figura 9:
Figura 10:
Figura 11:
Figura 12:
Figura 13:
Figura 14:
Figura 15:
Figura 16:
Figura 17
Figura 18
Figura 19:
Figura 20:
Figura 21:
Figura 22:
Figura 23:
Figura 24:
Figura 25:
Figura 26:
Figura 27:
Figura 28:
Figura 29:
Figura 30:
Figura 31:
Figura 32:
Figura 33:
Figura 34:
Tela de entrada do GeoGebra
Quadro de registro de representações por Duval
Esquema para diferenciação de tratamentos e conversões por
Duval
Reflexões em relação aos eixos coordenados
Exemplo de reflexão em torno do eixo
Exemplo de reflexão em torno do eixo
Exemplo de reflexão em torno da origem
Exemplo de dilatação uniforme
Exemplo de contração e dilatação na direção do eixo
Exemplo de contração e dilatação na direção do eixo
Exemplo de cisalhamento na direção do
Exemplo de rotação
Representação geométrica dos vetores , e
Representação geométrica dos vetores
e e dos vetores ,
e
Representação dos vetores e
Representação dos vetores e e dos vetores e
Representação geométrica dos vetores
,
e
(contraexemplo)
Representação geométrica dos vetores
e e dos vetores ,
e
(contraexemplo)
Representação geométrica dos vetores , e
Construção da 1ª elipse
Construção da 2ª elipse (sobre a 1ª)
Reflexão em torno do eixo
Reflexão em torno do eixo
Reflexão em torno da origem
Inserção dos três vetores
O polígono descrito pelas extremidades e origem dos vetores
Efeito do cisalhamento
Efeito do cisalhamento
Efeito do cisalhamento
Primeiro vetor da atividade de rotação
Criação do 1º vetor da atividade
Modificações do no vetor (90º)
Modificações no vetor (180º)
Modificações no vetor (270º)
24
32
33
38
39
40
41
42
43
44
46
48
53
54
55
56
57
61
64
65
66
67
67
70
70
71
72
72
75
76
77
77
78
LISTA DE QUADROS
Quadro 1:
Quadro 2:
Quadro 3:
Quadro 4:
Quadro 5:
Quadro de Conversões da Atividade 1
Quadro de Conversões da Atividade 2
Quadro de Conversões da Atividade 3
Quadro de Conversões da Atividade 4
Quadro de Conversões da Atividade 5
51
59
62
68
74
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO
11
1.2 PROBLEMA
12
1.3 JUSTIFICATIVA
13
1.4 OBJETIVOS
16
1.4.1 Objetivo Geral
16
1.4.2 Objetivos Específicos
16
2 REFERENCIAL TEÓRICO
17
2.1 INFORMÁTICA APLICADA AO ENSINO DE MATEMÁTICA
17
2.1.1 Informática e educação matemática
17
2.1.2 O uso computador como ferramenta didática
18
2.1.3 O uso dos softwares educativos
21
2.1.4 GeoGebra
22
2.1.4.1 Pesquisas envolvendo o GeoGebra
24
2.2 SEMIÓTICA E MATEMÁTICA
27
2.2.1 O que é semiótica?
27
2.2.2 A Teoria de Duval
29
2.3 TRANSFORMAÇÕES LINEARES: ALGUNS CONCEITOS
35
2.3.1 Transformações Lineares
35
2.3.2 Definição
36
2.3.3 Transformações Geométricas
37
2.3.3.1 Reflexões
37
2.3.3.2 Dilatações e contrações
41
2.3.3.4 Cisalhamentos
45
2.3.3.5 Rotações
47
3 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
49
3.1 ATIVIDADE 1
49
3.1.1 Contraexemplo
56
3.2 ATIVIDADE 2
58
3.3 ATIVIDADE 3
61
3.4 ATIVIDADE 4
68
3.5 ATIVIDADE 5
73
4 CONSIDERAÇÕES FINAIS
79
REFERÊNCIAS
81
11
1 INTRODUÇÃO
A matemática, com o passar dos anos, vem se estabelecendo como uma
importante ciência para nossa realidade. O seu corpo de conhecimento abrange
diversas áreas, onde sua utilização se torna fundamental para a formalização,
desenvolvimento e avanço das mesmas.
Nesta perspectiva é necessário que seu processo de ensino esteja
relacionado não apenas com o puro conhecimento matemático, mas também com a
realidade do aluno, evidenciando as suas aplicações no cotidiano, proporcionando
assim um aprendizado mais significativo.
Um fato interessante que ocorre na aprendizagem matemática e que se
torna um grande problema é a impossibilidade de acessar um objeto matemático por
meio de um instrumento ou, mesmo, pela percepção por causa de sua natureza “não
real”. Com isso, é preciso uma relação de denotação, a qual é possível por um
sistema semiótico.
Compreende-se sobre sistema semiótico como um sistema de signos que
permite cumprir as funções de comunicação, tratamento e objetivação, não fazendo
referência somente às notações convencionais que, por sua vez, não constituem um
sistema. Podemos citar como exemplo de sistemas semióticos: a língua natural, o
sistema numérico, o algébrico e o gráfico.
Com vista a possibilitar tal aprendizagem utilizamos uma tendência que
vem se destacando na Educação Matemática: a utilização da informática aplicada ao
ensino de matemática. A escolha desta é devido a seus variados elementos
fundamentais direcionados para a educação, proporcionando assim subsídios
indispensáveis para a formação do individuo, haja vista que, com a modernidade e
os avanços tecnológicos, a sua presença é notada nos mais variados setores da
sociedade, entre eles a educação.
Devido a isto, entende-se que o computador deva servir realmente como
uma ferramenta didática onde os professores e alunos possam usufruir claramente
das suas vantagens, como o uso de softwares educacionais.
Com vista dos aspectos acima delineados, este trabalho encontra-se
assim organizado tendo como primeira seção esta introdução, na qual apresentamos
a descrição do problema que motivou e, consequentemente, nos proporcionou a
elaboração deste estudo.
12
Ainda nesta, é mostrada a justificativa que tem por base nossas
experiências em sala de aula com a disciplina Álgebra Linear, mais precisamente o
assunto transformações lineares. Além disso, ela também se baseia em trabalhos de
autores como Celestino (2000) e Karrer (2006), entre outros.
O objetivo geral e os objetivos específicos são apresentados na em
seguida, onde podemos observar o propósito desta pesquisa.
Com a seção 2 encontramos a fundamentação teórica utilizada na
pesquisa, a qual está dividida em três subseções. A primeira enfatiza a introdução
da informática no contexto educativo, assim como o uso de suas ferramentas
pedagógicas: o computador e os softwares educativos, além de apresentar uma
breve descrição do GeoGebra. A segunda focaliza basicamente nos aspectos
relevantes da Teoria de Raymond Duval sobre os Registros de Representação
Semiótica. Já a terceira mostra a definição de transformações lineares, assim como
algumas transformações geométricas, que servem para exemplificar este conceito.
A seção 3 é composta pela proposta de ensino. Nela podemos encontrar
5 atividades, as quais exploramos vários registros e conversões, com as
representações de transformações lineares pelas transformações geométricas. Cada
atividade apresenta seus objetivos, assim como um passo a passo para resolvê-las
no GeoGebra.
As considerações finais desta pesquisa são encontradas na seção 4.
1.2 PROBLEMA
De acordo com a experiência de graduação obtida na Universidade do
Estado do Pará, e pela leitura da pesquisa de Karrer (2005) foi possível perceber
que o ensino de Transformações Lineares, na maioria das vezes é pautado apenas
em registros de representação discursivas como a língua materna e tratamento
numérico-algébrico e segregado em relação a outros conteúdos, como a Geometria,
o que se traduz nos alunos em grande dificuldade de aprendizado, por não poderem
recorrer à conhecimentos já obtidos e nem diferentes formas de visualização do
objeto.
Tem-se então que, de acordo com a Teoria dos registros de
representação semiótica de Duval (2003, p.15) “a compreensão em matemática
supõe a coordenação de ao menos dois registros de representações semiótica”,
13
sendo que um trabalho de conversão destes registros é o que influencia
significativamente na compreensão do objeto. Ainda, no momento tecnológico em
que vivemos, o computador pode ser um grande aliado do professor, quando a
representação de um objeto se torna muito complexa para o quadro-negro.
Nesse contexto, qual a possibilidade de elaboração de uma sequência de
atividades que seria uma alternativa ao tratamento tradicional dado ao ensino
introdutório do conceito de Transformações Lineares?
1.3 JUSTIFICATIVA
Por empirismo, no 2º ano da graduação no curso de Licenciatura em
Matemática foi possível perceber que o ensino de Álgebra Linear, nesse caso mais
precisamente o objeto matemático chamado Transformações Lineares, é vinculado
apenas a perspectivas conceituais, no esquema clássico conceito-exemplo-exercício
(considerando que exemplo e exercício geralmente não são apresentados como
forma de aplicação ou problemas e sem perspectivas gráficas). Assim tem-se que o
ensino de transformações lineares se encerra em uma redoma de representações
semióticas discursivas em detrimento, ou inexistência, das representações
semióticas não discursivas. Estas percepções foram reforçadas pela leitura da
pesquisa de Karrer (2005), como já foi mencionado; sendo essa pesquisa, uma
proposta de ensino que articula Álgebra Linear, Geometria e os registros de
representação semiótica.
Nosso trabalho então está situado neste mesmo contexto, contudo se
caracteriza pela elaboração de um conjunto de atividades e não uma proposta de
ensino e, ainda, visa introduzir o conceito de transformações lineares com estas
atividades, diferentemente do trabalho de Karrer (2005) que trabalha sua proposta
de articulação com o conceito de transformações lineares já definido.
Ainda, no quesito motivação, foi identificada, por meio do estudo
realizado por Celestino (2000) sobre o estado da arte da Álgebra Linear, a
necessidade de pesquisas referentes ao ensino e à aprendizagem de Geometria
Analítica e Álgebra Linear.
Sua pesquisa mostra uma alta taxa de reprovação
nessas disciplinas (geralmente acima de 30%) em uma amostra de universidades
brasileiras e ainda, segundo suas conclusões: “pesquisas em ensino-aprendizagem
de disciplinas de cursos superiores, no mundo todo, são relativamente recentes, e
14
no início se concentravam na área de cálculo diferencial e integral” (Celestino, 2000,
p.89).
O que nos leva, então, a acrescentar uma forma de explicitar a relação
intrínseca entre a Álgebra Linear e a Geometria, ou seja, para facilitar e enriquecer o
desenvolvimento deste estudo, será executada, através de uma sequência de
atividades, uma articulação entre os registros discursivos vistos em transformações
lineares e registros não discursivos (gráficos) de Geometria, tornando estes últimos
como uma espécie de pré-requisito para a modelagem, visualização e entendimento
do conceito do primeiro, para que haja a conversão entre estes registros e com isso
a efetiva compreensão do objeto; além de executar a mesma relação para mostrar
as peculiaridades das transformações lineares do tipo geométricas. Para tal, será
utilizado com ferramenta o software GeoGebra, pois de acordo com Papert (apud
OLIVEIRA, 2009), “o computador é um dispositivo técnico aberto que estimula os
docentes e discentes a impelir seus conhecimentos até o limite para realçar projetos
através de uma ilimitada variedade de ‘efeitos’”. Esses “efeitos” viriam a se
concretizar em representações que além de gráficas, seriam umas das poucas
formas se visualizar um objeto matemático, uma vez abstrato, e tendo como únicas
possibilidades de representação os registros semióticos.
Ainda em torno deste eixo, pode-se dizer que vivemos em uma sociedade
na qual os homens são direta ou indiretamente dependentes de tecnologia,
sobretudo de recursos computacionais. Essa dependência pode vir a ser útil se bem
direcionada, ao utilizarmos o computador para aperfeiçoarmos nossas atividades
(rotineiras ou não) intelectuais. Sendo assim, a ideia para tal pesquisa, tem como
uma de suas sementes também, o intenso interesse de utilizar uma ferramenta
computacional para o ensino da matemática, uma vez que a informática vem
desenvolvendo um papel bastante importante devido a era digital que se instala
mundialmente, e como uma tendência matemática, ela se torna uma importante
ferramenta de ensino. Karrer (2006) afirma em relação à interação entre o meio
computacional e o meio conceitual matemático:
A fim de que o estudante interaja com o computador para a aprendizagem
de um conceito matemático, é necessário que o mesmo domine o sistema
formal inerente ao software que está utilizando. Os autores afirmam que o
uso do computador no ensino ainda é modesto, mas o impacto
epistemológico ocorrido nas últimas décadas é muito significativo, tendo em
vista que não se projetava o fato do computador tornar possível o
estabelecimento de manipulações diretas de objetos matemáticos e
relações. (Karrer, 2006, p. 35)
15
Para construirmos uma base, no que diz respeito a alicerce, mais sólida a
pesquisa e assim engendrá-la de forma mais eficaz, buscamos aliar teorias ao uso
de ferramentas computacionais, a fim de proporcionar maior credibilidade à pesquisa
e aumentar seu potencial. Nesse sentido a teoria de registros de representação
semiótica de Duval (2005) e os trabalhos de articulação entre Álgebra Linear e
semiótica de Karrer (2006) e Karrer e Jahn (2004) vieram a suprir essa necessidade
de referencial.
A ligação primordial entre o contexto computacional e o contexto inerente
à teoria de Duval, se dá em primeiro lugar, de acordo com perspectivas de Duval
(2005, p. 14) de que “os objetos matemáticos, começando pelos números, não são
objetos diretamente perceptíveis ou observáveis com a ajuda instrumentos”; o que
nos leva a trabalhar apenas com suas representações semióticas. A pesquisa de
Karrer e Jahn (2004) com livros didáticos de Álgebra Linear permite observar ainda o
fato de que nestes existem “deficiências principalmente no que se refere à utilização
do registro gráfico [não discursivo] e às demais conversões entre esse e os demais
registros” (KARRER e JAHN, 2004, p. 1). Analisando estes estudos, pode-se
perceber então dois problemas relacionados a essa falta de registros de
representação de natureza gráfica:
1. A deficiência de concretização dos conceitos abstratos, os quais
poderiam ser mais palpáveis com a ajuda de uma visualização
gráfica.
2. A impossibilidade de trabalhar com a conversão entre registros
discursivos e não discursivos, o que é conflitante, pois a abordagem
cognitiva principal para a assimilação de um conceito seria a
conversão entre registros de natureza diferenciada.
Sendo assim, o uso do software vem a suprir essa impossibilidade
gráfica, e assim se pode articular com sucesso, registros discursivos como a
linguagem simbólica e registros não discursivos através do gráfico produzido pelo
software.
16
1.4 OBJETIVOS
1.4.1 OBJETIVO GERAL
Construir um conjunto de atividades para a introdução do conceito de
ensino de transformações lineares, que trabalhe os mais variados registros de
representação, por meio das transformações geométricas e do GeoGebra.
1.4.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Identificar os registros de representação semiótica utilizados na aplicação;
Verificar as conversões e tratamentos entre os registros identificados;
Facilitar o processo de ensino-aprendizagem do conceito do objeto
matemático transformações lineares e transformações geométricas.
17
2 REFERENCIAL TEÓRICO
2.1 INFORMÁTICA APLICADA AO ENSINO DE MATEMÁTICA
2.1.1 Informática e educação matemática
A informática é uma tendência que vem ganhando espaço nas últimas
duas décadas na educação em geral. Mas é na comunidade de educação
matemática onde cada vez mais se tem discutido o uso da informática para ensinar
tal disciplina.
“[...] Talvez ainda seja possível lembrar dos discursos sobre o perigo que a
utilização da informática poderia trazer para a aprendizagem dos alunos.
Um deles era o de que o aluno iria só apertar teclas e obedecer a
orientação dada pela máquina. Isso contribuiria ainda mais para torná-lo um
mero repetidor de tarefas. [...]” (BORBA e PENTEADO, 2003, p.11)
Ainda em Borba e Penteado (2003, p.11) relatam-se comentários de
palestras e eventos acadêmicos, principalmente entre os educadores de
matemática, onde muitos destes concebem a matemática como a matriz do
pensamento lógico e se o computador passa a executar esse raciocínio, como
consequência o aluno deixa de utilizar a sua capacidade de raciocinar e acaba por
não desenvolver sua inteligência. No entanto, não é com esta perspectiva que
educadores devem visualizar esta tendência.
Com o desenvolvimento das Tecnologias da Informação e Comunicação
(TICs) a sociedade vem passando por uma transformação onde a interação com a
outra pessoa rompe barreiras. Desse mesmo modo, a informática aparece para
romper barreiras na forma de se ensinar, proporcionando assim uma metodologia
inovadora
e
interativa,
capaz
de
fazer
modificações
e
obter
resultados
instantaneamente, gerando vários benefícios ao processo de ensino-aprendizagem.
Vejamos o seguinte trecho:
“A informática, atualmente, é considerada uma das componentes
tecnológicas mais importantes para a efetivação da aprendizagem
matemática no mundo moderno. Sua relação com a Educação matemática
se estabelece a partir das perspectivas metodológicas atribuídas à
informática como meio de superação de alguns obstáculos encontrados por
professores e estudantes no processo ensino-aprendizagem.” (MENDES,
2008, p.61).
Em outras palavras, pensar na informática como um recurso pedagógico,
é pensá-la com uma ferramenta que auxilia e propicia um aumento na eficiência e na
18
qualidade da aprendizagem, direcionando-a para buscar novas estratégias para a
produção do conhecimento e pelo auxílio na busca de superação de problemas na
aprendizagem.
Cada vez mais o ambiente de aprendizagem informatizado ganha espaço
como possibilidade de metodologia de ensino. Porém, é necessário que se tenha
clareza de objetivos e metodologia a ser desenvolvida, exigindo empenho e tempo
para a preparação das aulas. Além disso, o uso da informática poderá auxiliar na
compreensão e propiciar novas formas de percepção a determinados conteúdos que
não poderiam ser desenvolvidas apenas com as tradicionais mídias.
“A informática deverá assumir duplo papel na escola. Primeiro, deverá ser
uma ferramenta para permitir a comunicação de profissionais da escola e
consultores ou pesquisadores externos, permitindo a presença virtual desse
sistema de suporte na escola. Segundo, a informática poderá ser usada
para apoiar a realização de uma pedagogia que proporcione a formação dos
alunos, possibilitando o desenvolvimento de habilidades que serão
fundamentais na sociedade do conhecimento.” (VALENTE, 1999, p.36-37)
Por meio da informática os alunos desenvolvem competências e
habilidades de visualização, argumentação lógica, compreensão de formas e
relações de propriedades, as quais são imprescindíveis para criação de percepção,
interpretação e compreensão de seu espaço físico, além de desenvolver um
raciocínio visual.
É importante salientarmos que só a inclusão da informática nas
instituições de ensino não é indicação de mudança. O aluno usando o computador e
realizando tarefas não quer dizer que compreendeu determinado assunto.
“Do mesmo modo que não é o objeto que leva à compreensão, não é o
computador que permite ao aluno entender ou não um determinado
conceito. A compreensão é fruto de como o computador é utilizado e de
como o aluno está sendo desafiado na atividade de uso desse recurso.”
(VALENTE, 1999, p.37)
Uma mudança como essa implica em um desafio enorme, e não será só
na compra de equipamentos a solução do problema, e sim em uma proposta
pedagógica eficaz e que preserve a união entre o professor, o aluno, a tecnologia e
o conhecimento.
2.1.2 O uso computador como ferramenta didática
Como mencionamos anteriormente, com o passar dos anos, assim como
a informática, o próprio computador tem sido alvo de grandes discussões pela
19
comunidade cientifica. Isso significa dizer que o uso do computador na sala de aula
e em outros setores das instituições de ensino está sendo questionados a fim de
propiciar uma positiva interação entre os usuários que se utilizam desta ferramenta
digital.
O computador no ensino de matemática ou ainda no processo de ensino aprendizagem é hoje conduzida a inúmeros resultados, estes baseados nas
propostas que muito pesquisadores trazem a comunidade como um todo em vários
eventos, congressos, semanas acadêmicas, enfim, nas grandes reuniões cientificas
que ocorrem em todo o país.
“O estudo do uso do computador no ensino de Matemática ou como
ferramenta de investigação cognitiva ou como maneira de renovar os cursos
tradicionais, tem se firmado como uma das áreas mais ativas e relevantes
da Educação Matemática. Existem, atualmente, inúmeros grupos estudando
o uso de computadores no ensino de Matemática. [...]” (MENDES, 2008,
p.61)
A utilização desta ferramenta propõe uma nova realidade para a
educação, na qual o ensino tradicional perde espaço para uma aula mais interativa e
motivacional, onde o aluno se depara com um ambiente de uma matemática
imaginária diferente da qual está acostumado a ver no seu cotidiano.
Outro ponto interessante no uso do computador é a manifestação do
“erro” de uma forma menos traumática que as tradicionais (normalmente corrigidos,
grifados e reescritos em vermelho). O erro nesta metodologia é um desafio que
propõe ao sujeito a possibilidade de buscar novas descobertas, causando menos
danos na sua busca pelo conhecimento.
Segundo Mendes (2008, p.61) “o computador exerce um papel decisivo
no ensino da matemática nos dias atuais em virtude das possibilidades de
construção de modelos virtuais para a matemática imaginária”. No entanto, ainda
com este autor, ao utilizar tal ferramenta poderemos ter vantagens, assim como
também teremos riscos, conforme os modos de utilizá-lo e com base em cada
proposta pedagógica em que está apoiado (MENDES, 2008, p.61).
Assim como há vantagens na sua utilização, devido a “fácil” manipulação
de fórmulas e figuras geométricas e, também, a informatização que ocorre na
sociedade, há riscos para os professores quando não se apóiam numa metodologia
eficiente, tendo prejuízo para o prosseguimento da aula.
“Consequentemente, o professor deve estar preparado para compreender o
pensamento de seu aluno na resolução do problema no ambiente
informatizado e as suas formas de comunicação com a máquina, bem como
20
o papel assumido pelo computador no processo didático.” (KARRER, 2006,
p.37)
Sobre as discussões feitas sobre o computador no âmbito educacional,
ainda há argumentos e questionamentos contrários ao seu uso em sala. Estes
questionamentos podem ser desde sentimentos dúbios advindos de professores que
por ventura pensem que o computador ocupará seus lugares e que acabarão sendo
dispensáveis ou ainda, o entendimento de que esta ferramenta vem para atrapalhar
suas vidas e dificultam em aceitar e empregar uma metodologia que eles nem
mesmos vivenciaram.
O que o educador deve ser capaz de entender é que, sim, o computador
é realmente capaz de armazenar muitas informações e organizá-las segundo seus
parâmetros, sendo até capaz de apresentá-las seguindo uma programação prédefinida, contudo não é capaz de orientar um raciocínio ou conduzir uma discussão.
Nem é capaz de relacionar informações para as quais não foi programado. Assim,
um computador nunca poderá ocupar o lugar de um professor que não se limite
apenas a transmitir informações. A utilização do computador no ambiente escolar é
feita para auxiliar o processo de aprendizagem, mas não para conduzi-lo.
E ainda, a introdução da informática na educação propõe aos
profissionais uma nova postura de se empenhar e prosseguir com uma formação
continuada para sua constante atualização profissional, este sim é o maior desafio a
ser enfrentado, pois muitos professores se formam e não continuam sua educação.
Segundo Borba e Penteado (2003, p.15) “o computador pode ser uma
problema a mais na vida já atribulada do professor, mas pode também desencadear
o surgimento de novas possibilidades para o seu desenvolvimento como um
profissional da educação”.
[...] O professor deverá incentivar o processo de melhorias contínuas e ter
consciência de que a construção do conhecimento se dá por meio do
processo de depurar o conhecimento que o aluno já dispõe. Para tanto, o
professor deverá conhecer os seus alunos, incentivando a reflexão e a
crítica e permitindo que eles passem a identificar os próprios problemas na
sua formação, buscando soluções para o mesmo. Caberá ao professor
saber desempenhar um papel de desafiador, mantendo vivo o interesse do
aluno, e incentivando relações sociais, de modo que os alunos possam
aprender uns com os outros e saber como trabalhar em grupo. Além disso,
o professor deverá servir como modelo de aprendiz e ter um profundo
conhecimento dos pressupostos teóricos que embasam os processos de
construção de conhecimento e das tecnologias que podem facilitar esses
processos. (VALENTE, 1999, p.35)
21
Ainda com Valente (1999, p.35) “o professor deixará de ser o de total
entregador da informação para ser o facilitador, supervisor, consultor do aluno no
processo de resolver o seu problema”. Para isto, é imprescindível que o professor
perceba e saiba a importância dos recursos computacionais para o bom
desempenho e eficácia do seu trabalho.
O computador é uma ferramenta poderosa quando utilizada com uma
proposta pedagógica concreta e coerente, mas deve ser usada com cautela, pois
não resolverá todos os problemas, “diferentemente do que acontece quando se trata
de apontar os perigos, nem sempre aparece de forma explícita para qual problema o
computador é a solução” (BORBA e PENTEADO, 2003, p.11), pois como as outras
mídias, o uso da ferramenta computacional pode tornar uma aula desinteressante e
monótona
2.1.3 O uso dos softwares educativos
Com a introdução do computador na educação como recurso pedagógico,
houve a criação de softwares específicos para auxiliar no processo de construção do
conhecimento dos alunos.
Para este software damos o nome de software educativo que serviu
como mais um instrumento para agir junto com o computador no processo ensinoaprendizagem. O que confere a um software o caráter educacional é a sua aplicação
no processo de ensino - aprendizagem, neste sentido um software pode ser
considerado educacional quando adequadamente utilizado em uma relação de
ensino – aprendizagem.


Software aplicativo, nesta categoria entram aqueles que não foram
desenvolvidos com finalidades educativas, mas podem ser utilizados para
este fim. São os programas de uso geral no mercado e utilizados em
contexto de ensino, como por exemplo, o banco de dados, processadores
de texto, planilhas eletrônicas e editores gráficos. [...]
Software educativo, o objetivo destes programas é favorecer os processos
de ensino – aprendizagem, são desenvolvidos especialmente para construir
o conhecimento relativo a um conteúdo didático. Entre as características
principais de um software educativo estão o seu caráter didático com a
finalidade de levar o aluno/usuário a construir o conhecimento em uma
determinada área, sua possibilidade de interação, mediada pelo professor,
entre usuário e programa e sua facilidade de uso, permitido que qualquer
usuário possa desenvolver suas atividades com facilidade. (OLIVEIRA apud
JUCÁ, 2006, p.89)
22
Como observamos neste trecho, o uso do software educacional em sala
de aula aparece como uma ferramenta que podemos explorar e expandir nas
instituições de ensino. Contudo a sua utilização no processo de ensino, geralmente,
segue duas abordagens distintas: a abordagem instrucionista e a abordagem
construcionista.
As primeiras aplicações pedagógicas do computador foram no sentido
que o computador fosse usado como uma máquina de ensinar e empregava o
conceito de instrução programada. Para isto, é empregada a abordagem
educacional instrucionista, onde sua principal característica é a informatização dos
meios tradicionais de ensino, ou seja, o computador passa as informações
necessárias a alunos passivos. Assim, o professor e o computador continuam sendo
detentores do conhecimento. Dentre os softwares educativos que se encaixam nesta
abordagem, encontram-se os tutoriais, os de exercício e prática, os jogos e as
simulações.
O termo construcionismo foi utilizado por Seymor Papert, na década de
80, para descrever a construção do conhecimento por meio da realização de uma
atividade no computador. Ao contrário da abordagem instrucionista, em que o
professor assume o papel de transmissor de informações e o aluno fica passivo no
processo de aprendizagem, no ambiente construtivista, o papel do professor será de
facilitador da aprendizagem do aluno. Nesta abordagem o computador é uma
ferramenta que ajuda na resolução de problemas e auxilia em diversas tarefas.
Assim, professor e máquina constroem os conhecimentos com os alunos,
proporcionando criatividade e capacidade de interagir, questionar, criticar e dar
soluções aos problemas propostos. Com isso, assumirão uma postura mais critica
frente à sociedade e um olhar mais atento quanto às mudanças de parâmetros. Os
softwares educativos que se adéquam a esta abordagem são os aplicativos, os de
resolução de problemas, de produção de música, além de programas de controle de
processo e a utilização do computador como comunicador.
2.1.4 GeoGebra
O Software GeoGebra é um programa de computador de geometria
dinâmica que foi criado por Marcus Hohenwarter, da Universidade de Salzburg na
Áustria, em 2001. O software é livre e gratuito sob a Licença Pública Geral (GPL) e
23
está escrito em Java, o que lhe permite estar disponível em várias plataformas
(Microsoft Windows, Linux, etc.).
O GeoGebra é uma ferramenta computacional educacional que
proporciona ao educador um grande aparato de opções afim de dinamizar o ensino
e propor novas possibilidades metodológicas. Esse software é caracterizado por
trabalhar com geometria dinâmica.
Entende-se por softwares de Geometria Dinâmica aqueles capazes de
construir e manipular objetos geométricos na tela do computador [...]
Softwares deste tipo possibilitam trabalhar com Geometria Euclidiana Plana,
Geometria Não-Euclidiana e Geometria Analítica, sendo possível também
tratar de alguns assuntos não-geométricos, como funções, por exemplo.
(SILVA, 2009, p. 5).
O programa reune os conteúdos de Geometria, Álgebra e Cálculo,
podendo ser utilizado em diversos níveis de ensino, permitindo realizar construções
de pontos, vetores, segmentos, retas, seções cônicas, assim como funções e alterar
todos esses objetos de forma dinâmica após a construção estar finalizada. Por outro
lado, podem ser incluídas equações e coordenadas diretamente. Desse modo, o
GeoGebra é capaz de lidar com variáveis para números, vetores e pontos, derivar e
integrar funções e ainda oferece comandos para encontrar raízes e pontos extremos
de uma função. Com isso, o programa reúne as ferramentas tradicionais de
Geometria, com outras mais adequadas à Álgebra e ao Cálculo. Assim tem a
vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, duas representações diferentes
de um mesmo objeto que interagem entre si: a sua representação geométrica e a
sua representação algébrica.
O software proporciona tanto para os alunos como os professores, nos
laboratórios das escolas, utilizar recursos que antes eram considerados de grande
dificuldade na construção e na demonstração de figuras gráficas e geometrias. Este
programa possui recursos em duas e em três dimensões e podem ser encontrados
em: Português, Inglês, Espanhol, Alemão, Frances, Catalão, Italiano, etc. Logo
abaixo observamos a tela de entrada do GeoGebra.
24
Figura 1 – Tela de entrada do GeoGebra
Fonte: Imagem produzida pelos autores.
2.1.4.1 Pesquisas envolvendo o GeoGebra
De acordo com estas perspectivas, várias instituições têm trabalhado em
produções científicas envolvendo o GeoGebra, algumas delas discutiremos aqui.
Primeiramente temos que levar em consideração o International
GeoGebra Institute (IGI). Este instituto é uma rede formada de vários institutos que
são implantados afim de desenvolverem pesquisas relacionadas ao GeoGebra,
como meio ou fim. Segundo as palavras do site oficial do GeoGebra
O International GeoGebra Institute (IGI) é uma rede crescente de
organizações sem fins lucrativos em todo o mundo. Nosso locais Institutos
GeoGebra participar professores, estudantes, desenvolvedores de software
e pesquisadores de todo o mundo para se envolver nas seguintes
atividades:
 projeto de ensino gratuito e materiais de desenvolvimento
profissional;
 face-a-face e oficinas on-line para professores;
 organização de competições estudantis;
 suporte on-line para usuários GeoGebra;
 desenvolvimento de software para o GeoGebra;
 tradução da documentação GeoGebra;
 projetos de pesquisa sobre GeoGebra e IGI;
 apresentações em congressos nacionais e internacionais;
25
 publicações em revistas.
(Em: <http://www.GeoGebra.org/cms/organization>, tradução nossa.
Acesso em: 18/11/2011)
No Brasil temos o Instituto GeoGebra de São Paulo,
sediado na
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnologia da Pontifícia Universidade Católica de
São Paulo (PUC-SP) e Instituto GeoGebra do Rio de Janeiro, sediado no Instituto de
Matemática e Estatística da Universidade Federal Fluminense.
No site oficial do Instituto GeoGebra de São Paulo são disponibilizadas as
pesquisas realizadas por alunos e professores com a utilização do software. Esse
instituto vem desenvolvendo pesquisas voltadas ao ensino de diversos conteúdos
dos ensinos Fundamental e Médio e uma voltada ao ensino de conteúdo superior.
Os conteúdos são variados: inequações, função afim, função quadrática,
função logarítmica, função trigonométrica, razões trigonométricas no triângulo
retângulo, números complexos, simetria, e ainda, relacionado ao Ensino Superior,
temos o cálculo diferencial. Com isso, podemos perceber as inúmeras possibilidades
e ampla adequação de conteúdos, os quais podemos trabalhar através de
metodologias e atividades no GeoGebra.
Dentre estas pesquisas a mais relevante à nossa pesquisa seria a
pesquisa de Evangelista (2011) a qual trabalha com transformações no plano, no
âmbito do ensino Fundamental e embasada no contexto da Etnomatemática.
O Instituto GeoGebra do Rio de Janeiro tem como estudo, a criação de
tutoriais1 sobre o GeoGebra e, ainda, pequenos applets2 com este programa.
Applets
são programas desenvolvidos em linguagem de programação Java®, que
podem ser incluídos em códigos HTML (DEITEL; DEITEL, 2003). Estes
recursos, em geral, visam adicionar interatividade a aplicações Web. Na
Matemática, o uso de applets permite experimentações e investigações, de
forma interativa, e possibilita estabelecer conjecturas sobre determinado
conceito, de modo que o mesmo possa ser construído de forma consistente
(SANTOS, 2008). (apud, BARCELOS, BATISTA e MOREIRA, p.1 2008)
Um applet interessante seria o encontrado na página A Geometria das
Transformações Lineares do Plano no Plano3 e sugerido pelo Profº Dr. Humberto
José Bortolossi, coordenador do Instituto GeoGebra do Rio de Janeiro. O applet tem
com função a expansão/contração de um quadrado e de um círculo através da
inserção de valores em campos de entrada ou de controles deslizantes, ficando a
1
Encontrados em < http://www.geogebra.im-uff.mat.br/vtt.html>
Encontrados em < http://www.professores.uff.br/hjbortol/>
3
Encontrado em <http://www.professores.uff.br/hjbortol/arquivo/2011.1/aal/tl2x2/tl2x2-html/tl2x2-br.html>
2
26
cargo do usuário essa inserção, o que possibilita interatividade e possível
entendimento das mudanças ocorridas em objetos devido mudanças ocorridas em
coordenadas através de Transformações Lineares.
Além
dos
dois
institutos
de
pesquisas,
temos
outros
estudos
independentes de variadas universidades e institutos pelo Brasil, tais quais nos
despertaram alguma atenção.
Temos o trabalho desenvolvido pelos discentes da Universidade Federal
do Rio Grande do Sul, Cunha e Moraes (2008) o qual utiliza Transformações
Geométricas Euclidianas (algumas delas são exemplos de Transformações Lineares
Planas, contudo não mostradas neste âmbito) para o ensino do conceito de funções,
utilizando o GeoGebra; o trabalho de Barcelos, Batista e Moreira (2010) que tem por
objetivo aprenda a gerar ou modificar applets no GeoGebra.
E na região Norte do país, mais precisamente no Pará, temos alguns
trabalhos que valem à pena seres citados, como o trabalho de Costa e Tenório
(2011) que nos premia com uma análise do GeoGebra como ferramenta didática, e
ainda apresenta propostas metodológicas, experimentadas por eles em uma escola
da rede pública de ensino da cidade de Belém. No mesmo trabalho também
executam a mesma pesquisa com o software WxMaxima, contudo este não
interessa ao nosso estudo, no momento; o trabalho de Fontes e Neri Jr. (2011) que
nos permite perceber a sutil, porém conveniente, diferença entre construir e
desenhar uma figura no software GeoGebra.
Percebemos então, com toda essa pesquisa, que o GeoGebra vem sendo
amplamente pesquisado e inserido em situações corriqueiras ao contexto da relação
ensino-aprendizagem a qual se encontra o professor de matemática, o que é
enriquecedor e possibilita a este professor novos aparatos de pesquisa e utilização
para suas metodologias.
Contudo, quando falamos deste professor, estamos nos referindo ao
professor de matemática do ensino básico. Não conseguimos, infelizmente encontrar
alguma pesquisa que utilize o GeoGebra voltado para o ensino de conteúdos do
ensino superior. O que reforça o que frisamos anteriormente, sobre o fato do ensino
superior necessitar de aparatos gráficos para visualização de seus conceitos
matemáticos, uma vez que estes são considerados mais complexos e abstratos do
que os do ensino básico.
27
2.2 SEMIÓTICA E MATEMÁTICA
2.2.1 O que é semiótica?
Antes de qualquer discussão sobre as perspectivas da semiótica no
contexto matemático, a qual temos por principal referencial a teoria dos registros de
representação semiótica exposta por Raymond Duval em seu livro Sémiosis et
Pensée Humaine, deve-se, de imediato partir à busca do significado do termo
semiótica, que é considerada uma ciência na verdade, e toda etimologia envolvendo
este termo.
O objetivo de um conhecimento mais apurado sobre este termo está no
fato de possibilitar a familiarização à ideia de Duval e com a relação entre esta
ciência e a matemática.
A semiótica é uma ciência relativamente nova, “é uma ciência, um
território do saber e do conhecimento ainda não sedimentado, indagações e
investigações em progresso” (SANTAELLA, 1983, p.1) e por ter uma grande
abrangência de relações como qualquer ciência, seu sentido pode não parecer
prontamente definido e objetivo.
Em uma busca imediata por um conceito de semiótica, uma sentença
encontrada em Santaella(1983, p.1) sintetiza bastante a natureza desta ciência: “é a
ciência de toda e qualquer linguagem”. Apesar de sintetizada, esta sentença deixa
claro qual o objeto de estudo desta. Assim estamos falando do sentido de
linguagem, não apenas da língua materna a qual geralmente é associada a
linguagem, e sim a toda as formas de comunicação que se pode utilizar; logo, fica
perceptível a amplitude alcançada por estas ciência em seu estudo, e como ela pode
ser empregada nas mais diversas ciências, pois abrange e focaliza “todas as
linguagens, sejam elas verbais – como é a língua materna – ou não verbais, como
são a Fotografia, a Pintura, a Arquitetura e, respeitadas algumas condições, a
Matemática” (SANTOS, 2011, p.18,19).
Atualmente percebe-se o poder das linguagens não-verbais ante a
linguagem verbal ao nosso redor. Toda informação recebida através da TV, conduta
de grupos sociais, moda e tecnologias da informação, também é uma intensa forma
de aquisição de conhecimento, além ou em conjunto com a linguagem verbal.
28
De dois séculos para cá (pós-revolução industrial), as invenções de
máquinas capazes de produzir, armazenar e difundir linguagens (a
fotografia, o cinema, os meios de impressão gráfica, o rádio, a TV, as fitas
magnéticas etc.) povoaram nosso cotidiano com mensagens e informações
que nos espreitam e nos esperam. Para termos uma idéia das
transmutações que estão se operando no mundo da linguagem, basta
lembrar que, ao simples apertar de botões, imagens, sons, palavras (a
novela das 8, um jogo de futebol, um debate político...) invadem nossa casa
e a ela chegam mais ou menos do mesmo modo que chegam a água, o gás
ou a luz. (SANTAELLA, 1983, p.2)
Logo percebe-se o quanto a linguagem é um conceito complexo e que
nos remete à formas socializantes de comunicação, tendo para isso que haver
algum significado nesta comunicação. Dito isto, nos deparamos com algo próximo
de nós, educadores: conhecimento, entendimento e cognição.
Para que ocorra o significado em uma comunicação, é imprescindível que
exista algum tipo de linguagem e esta seja satisfatória. Na semiótica, os signos,
exercem este papel.
A concepção de Charles Sanders Peirce, considerado como o pai da
semiótica, reorganizada por Silva (s.d., p.1), diz que signo “é qualquer coisa que
representa alguma outra coisa para alguém”. Nesse sentido pode-se considerar que
signos são as formas de representação de qualquer mensagem, logo, as linguagens
propriamente ditas.
Ainda falando de signos temos que signo é um elemento que se
correlacionam dois outros elementos, chamados de objeto e interpretante. Esta
relação pode ser caracterizada como sendo uma tríade, intradependente, tendo o
signo sendo o meio que representa a mensagem, conhecimento, etc; o objeto é o
que é representado e o interpretante é, por sua vez, o que surge na mente do
intérprete, ao perceber o signo, fazendo com que ele interprete de sua maneira
peculiar, podendo ser a descrição objetiva do signo ou não. (SILVA, s.d., p.2)
Os signos podem ser de três tipos: simbólicos (símbolos), icônicos
(ícones) e indiciais (índices).
Os signos simbólicos são dados por convenção entre os indivíduos e
representam de forma arbitrária os objetos; eles não têm uma relação direta com a
visualização do objeto que se quer representar, mas ainda sim é aceito como
representação. Temos as letras, palavras e os símbolos matemáticos nesse caso.
(SILVA, s.d, p.4; SANTOS, 2011, p.19).
Os signos são icônicos quando guardam semelhança ou analogia com
seu o objeto que se quer representar. Possuem uma relação imitativa com este
29
objeto; sua representação é dada pela semelhança, pela lembrança imediata.
Podemos enquadrar nessa classificação, como por exemplo, uma foto para
representar uma pessoa. (SILVA, s.d., p.4; SANTOS, 2011, p.19).
Já os signos indiciais teriam essa mesma relação direta com o objeto que
se quer representar, mas não de maneira imitativa e sim de maneira associativa; o
signo nos faz perceber o objeto por que nos foi imposto isso e nem porque são
semelhantes visualmente e sim porque são relacionados e temos conhecimento
disto; o signo carrega indícios do objeto que se quer representar. Por exemplo,
nuvens negras no céu as quais nos fazerm entender que uma chuva está por vir.
(SILVA, s.d, p.5; SANTOS, 2011, p.19).
Sendo assim, de acordo com as ideias referidas, um conceito para
semiótica um pouco mais profundo e satisfatório para estabelecer a relação entre
semiótica e educação (como busca do conhecimento), é encontrado através de uma
síntese de Santaella (1983, p.2):
A Semiótica é a ciência que tem por objeto de investigação todas as
linguagens possíveis, ou seja, que tem por objetivo o exame dos modos de
constituição de todo e qualquer fenômeno como fenômeno de produção
designificação e de sentido. [...] Nos fenômenos, sejam eles quais forem —
uma nesga de luz ou um teorema matemático, um lamento de dor ou uma
idéia abstrata da ciência —, a Semiótica busca divisar e deslindar seu ser
de linguagem, isto é, sua ação de signo. Tão só e apenas. E isso já é muito.
(SANTAELLA, 1983, p.2,3).
Assim percebe-se como a semiótica, utilizando o mote “teorema
matemático”, pode se relacionar com a atividade cognitiva e o processo de ensinoaprendizagem, uma vez que ela busca dissecar toda a natureza das representações
de um objeto, podendo muito bem ser um objeto matemático, analisando assim, todo
o processo de formação do significado deste objeto e com isso, de formação algum
conhecimento. Disto, é perceptível a luz, em semiótica, que deu origem à teoria de
Duval, a teoria dos registros de representação semiótica, a qual utiliza a semiótica
para mostrar uma forma de se ter um aprendizado eficaz, em matemática. Este foi o
maior referencial o qual deu ímpeto a este trabalho.
2.2.2 A Teoria de Duval
Os pontos convergentes entre a semiótica e a atividade cognitiva, são os
signos (sejam símbolos, índices ou ícones) os quais para semiótica são um dos
objetos de estudo e para a atividade cognitiva podem vir a ser (se considerarmos os
30
conceitos adotados) o que busca representar o objeto que se quer representar para
formar o conhecimento. A representação tem então, uma importância primordial à
atividade cognitiva, sendo esta praticamente dependente da primeira,
porque para conhecer é preciso ter acesso aos objetos do conhecimento problema fundamental da aquisição do conhecimento. Logo, a
representação será o modo pelo qual se toma possível a visibilidade, a
transparência e, assim, a ordenação dos objetos do conhecimento. A
representação como suporte que possibilita a mediação entre dois pólos: o
do sujeito e o do objeto. (FLORES, 2006, p.6).
Tudo que o homem percebe ao seu redor, observa, sente, toca, ouve é
uma linguagem do ambiente ao seu redor em relação à ele; tudo pode ser um signo
representando os aspectos da realidade.
Diante de qualquer fenômeno, isto é, para conhecer e compreender
qualquer coisa, a consciência produz um signo, ou seja, um pensamento
como mediação irrecusável entre nós e os fenômenos. E isto, já ao nível do
que chamamos de percepção. Perceber não é senão traduzir um objeto de
percepção em um julgamento de percepção, ou melhor, é interpor uma
camada interpretativa entre a consciência e o que é percebido.
Nessa medida, o simples ato de olhar já está carregado de interpretação,
visto que é sempre o resultado de uma elaboração cognitiva, fruto de uma
mediação sígnica que possibilita nossa orientação no espaço por um
reconhecimento e assentimento diante das coisas que só o signo permite.
O homem só conhece o mundo porque, de alguma forma, o representa e só
interpreta essa representação numa outra representação [...] (SANTAELLA,
1983 p.11)
Assim Raymond Duval embasa sua teoria de busca da otimização da
cognição, na essencialidade das representações.
Raymond Duval é um filósofo e psicólogo de formação. O principal foco
de suas pesquisas é a Psicologia Cognitiva, pesquisas tais que resultaram em sua
principal obra Sémiosis et penseé humaine. Nesta obra ele desenvolveu um modelo
de funcionamento cognitivo do pensamento, em termos de registro de representação
semiótica. (MACHADO, 2003, p.7).
Estes registros de representação nada mais são do que os signos
estudados pela semiótica, pois, como mencionamos são as diversas linguagens e
formas de se representar um objeto.
O foco de sua teoria foi funcionamento cognitivo em matemática, esta a
qual sabemos esta repleta de representações e dos mais variados tipos: símbolos,
gráficos, linguagem escrita, linguagem oral, etc.
Se por um lado a universalização de símbolos ajudou a Matemática a se
desenvolver de forma acelerada nos últimos cinco séculos, a compreensão
dos conceitos matemáticos por meio dessa simbologia tem sido um desafio
para os alunos da Educação Básica da atualidade.
31
Foi este fenômeno que motivou Duval a estudar o fenômeno da
compreensão em Matemática sob uma “abordagem cognitiva”. (SANTOS,
2011, p.22)
Essa abordagem cognitiva e a questão da aprendizagem em matemática
se relacionam diretamente com os processos definidos pelo autor como semiosis e
noesis. “Entende-se por semiosis a apreensão ou produção de uma representação
semiótica, e por noesis, os atos cognitivos como a apreensão conceitual de um
objeto [...]” (KARRER, 2006, p.17) formando assim uma relação intrínseca entre
estes conceitos e o objeto; análoga a tríade mencionada anteriormente que
relaciona signo, objeto e interpretante.
Essa mesma relação se faz presente porque, o último (noesis) não pode
existir sem o primeiro (semiosis), não há como adquirir um conceito relacionado a
um objeto sem recorrer aos seus sistemas de representação. (KARRER, 2006,
p.17).
Assim temos que a noesis ou o raciocínio e a aprendizagem matemática
está diretamente ligada as diversas representações semióticas existentes em
matemática, uma vez que toda a visualização matemática se alicerça nessas
representações. Isso porque, considerando Flores (2006, p.2) “os objetos
matemáticos, não sendo acessíveis pela percepção, só podem sê-lo por sua
representação, lembrando que um mesmo objeto matemático poderá ter
representações diferentes, dependendo da necessidade e do uso”, ou seja, os
objetos de estudo da matemática, os valores e conjuntos numéricos, as grandezas,
as operações e relações, etc., não são palpáveis e observáveis como os das demais
ciências, como a física ou a biologia, tendo que se valer única e exclusivamente dos
registros de representação para se fazer visível. Como saberíamos como expressar
e ter uma certa visualização do infinito sem a língua materna para explicar (um dos
registros de representação) ou o símbolo “∞” (outro registro) para manipular?
Esta natureza ímpar da matemática como ciência permite ainda a Duval
(2003) diferenciar a atividade cognitiva neste domínio do conhecimento dos outros
domínios através das duas características seguintes já comentadas, contudo, agora
objetivamente em síntese: a importância primordial das representações semióticas e
a grande variedade destas representações utilizadas em matemática.
A percepção da primeira característica acontece, de acordo com Duval
(2003) por dois motivos; primeiro porque as formas de tratar os objetos matemáticos
dependem necessariamente do sistema de representação utilizado. Como
32
exemplificou Duval (2003, p.13) “o sistema de numeração decimal de posição
oferece mais possibilidades que os sistemas grego ou romano de numeração”.
Segundo porque, como já foi dito, o acesso aos objetos matemáticos é complexa e
somente perceptível ou observável com a ajuda de instrumentos e representações.
A segunda característica é claramente perceptível no primeiro contato
com a matemática, a gama de representações em matemática é imensa. “Além dos
sistemas de numeração, existem as figuras geométricas, as escritas algébricas e
formais as representações gráficas e a língua natural, mesmo se ela é utilizada de
outra maneira que não a da linguagem corrente” Duval (2003, p.14).
Sendo assim, ante essa diversidade, Duval (2003) desenvolve uma
classificação para os registros de representação (a qual podemos verificar no quadro
que segue) em registros multifuncionais, que podem ser de representação discursiva
ou não discursiva e registros monofuncionais que também podem ser classificados
da mesma maneira, em registros de representação discursiva ou não discursiva.
Figura 2 – Quadro de registros de representações por Duval.
Fonte: Duval (2003, p. 14).
Essa classificação permite Duval a chegar na conjectura definitiva de sua
teoria definindo assim a maneira propícia de se tratar de forma eficaz, a
compreensão em matemática. Esta hipótese ou conjectura pode ser encontrada em
Duval (2003, p. 14, 15):
A originalidade da atividade matemática está na mobilização simultânea de
ao menos dois registros de representação ao mesmo tempo, ou na
possibilidade de trocar a todo o momento de registro de representação [...]
Podemos então antecipar a hipótese, ou, em linguagem matemática,
‘conjecturar’ o seguinte: a compreensão em matemática supõe a
coordenação de ao menos dois registros de representações
semióticas. (DUVAL, 2003, p. 14, 15).
33
Ou seja, a atividade cognitiva em matemática, se dá de forma plena e
através da manipulação dos mais variados registros, o que facilita a aquisição de um
conceito. Ao lidar com essas várias representações de um mesmo objeto
matemático e saber proporcionar interações entre eles, respeitando suas naturezas,
o aluno pode vir a ter uma efetiva compreensão daquele objeto que está sendo
representado. Tudo depende também do estímulo dado pelo professor para que haja
um contexto propício a essas manipulações dos registros. Vale lembrar também que
não se deve confundir um objeto e sua representação, ou seja, eles não são a
mesma coisa.
Há duas formas de se executar essas manipulações/transformações de
registros, considerando, que ao se deparar com uma informação, conceito a ser
adquirido ocorre “a formação de representação dentro de um registro semiótico
particular, seja pela expressão de uma representação mental, seja pela evocação de
um objeto real” (SANTOS, 2011, p.22). As transformações podem ser tratamentos
ou conversões.
[...] essas atividades relacionam-se à capacidade de transformar essa
representação em outras que possam preservar o conteúdo da
representação inicial. Essa transformação pode ocorrer dentro do mesmo
registro, ou de um registro para outro. Ao primeiro caso, Duval chama de
tratamento; ao segundo, de conversão. (Santos 2011, p.22, 23)
Abaixo temos o esquema desenvolvido por Duval (2003) para exemplificar
essa diferença:
Figura 3 – Esquema para diferenciação de tratamentos e conversões por Duval.
Fonte: Duval (2003, p. 15).
34
Um tratamento é a transformação de uma representação que acontece
permanecendo no mesmo registro, como um ato de resolver uma equação ou um
sistema de equações. Já a conversão é a transformação de uma representação que
consiste em mudar de registro, obviamente sem alterar a natureza do objeto; um
exemplo, digamos que primordial ao nosso trabalho como veremos adiante, seria
passar uma equação de sua escrita algébrica para sua representação gráfica.
(DUVAL, 2003)
As duas transformações tem um grande poder no entendimento da
matemática por parte do indivíduo o qual se objetiva ensinar, e esse poder vem do
seguinte fato que ao transitar entre registros de representação de um mesmo objeto,
fica claro que o entendimento do que é este objeto está preciso; não há a possível
confusão entre o objeto e sua representação. A obtenção dessa distinção e a
manipulação das representações demonstram então que o indivíduo percebe a real
natureza de um objeto.
De acordo com a inferência acima, fica um pouco mais claro que uma
dessas transformações é mais eficaz que a outra no entendimento de um objeto
matemático.
De acordo com Duval (2003) é a conversão que toma um papel de
atividade de transformação fundamental à condução de todos mecanismos
subjacentes à compreensão.
É claro que o tratamento tem o seu valor cognitivo uma vez que também é
uma fuga ao enclausuramento de um objeto em uma representação. Contudo a
conversão por permitir trabalhar com o objeto em registros diferentes, possibilita
perceber todo o conteúdo diferenciado advindo destes registros (de natureza
desigual) e reconhecê-lo como conteúdo de natureza do objeto.
Assim, para Duval (2003) deve-se realizar a atividade de conversão de
forma correta para resultados satisfatórios; não ver a conversão como uma simples
tradução, codificação ou associação entre nomes, símbolos e figuras, como por
exemplo, passar de uma equação à sua representação gráfica se valendo apenas
de uma codificação em que seria suficiente aplicar uma regra tabelada a qual um
ponto está associado a um par de números sobre um plano quadriculado por dois
eixos graduados. Isso se caracterizaria apenas como uma atividade superficial, pois
esta codificação permitiria apenas uma leitura pontual das representações gráficas.
35
Na realidade, a conversão entre gráficos e equações supõe que se consiga
levar em conta, de um lado, as variáveis visuais próprias dos gráficos
(inclinação, intersecção com os eixos, etc.) [sendo estas de natureza própria
desta representação] e, de outro, os valores escalares das equações
(coeficientes positivos ou negativos, maior, menor ou igual a 1, etc.) [estas
de natureza da representação algébrica] [...] São essas variáveis que
permitem determinar quais as unidades de significados pertinentes, que
devem ser levadas em consideração, em cada um dos dois registros.
(DUVAL, 2003, p. 17)
Entende-se aqui por fim, e com base nesse aparato teórico, que a
atividade matemática de cognição está sim, intimamente ligada com a manipulação
de registros, sendo a principal a de conversão, como foi explicitado assim,
permitindo reconhecer o objeto e os diferencia-lo de suas representações.
Esse reconhecimento é a condição fundamental para que um aluno possa,
por si próprio, transferir ou modificar formulações ou representações de
informações durante a resolução de um problema. Essa condição supõe
que ele não identifica mais os objetos matemáticos com os conteúdos de
certas representações. (DUVAL, 2003, p.23).
E, mais além, percebemos que, a base teórica de Duval nos leva a outras
reflexões que não se referem propriamente ao aspecto cognitivo do aluno. O que
queremos dizer é que ela nos faz pensar sobre o papel primordial, o funcionamento
e a constituição de um sistema de representação que rege a construção dos
saberes, no nosso contexto, saberes matemáticos.
2.3 TRANSFORMAÇÕES LINEARES: ALGUNS CONCEITOS
Sendo o objeto de estudo deste trabalho o ensino de transformações
lineares e de transformações geométricas, é necessário observar alguns conceitos
importantes para a eficácia do entendimento das atividades propostas.
Assim, baseado em Steinbruch e Winterle (1987), abaixo vejamos um
resumo destes conceitos.
2.3.1 Transformações Lineares
Transformações lineares é a definição dada a um tipo de aplicação onde o
domínio e o contra domínio são espaços vetoriais reais, assim tanto a variável
independente quanto a variável dependente são vetores, assim são consideradas
funções vetoriais, mais precisamente funções vetoriais lineares.
36
Simbolicamente, uma transformação
vetorial
, é definida por
cada elemento (vetor)
indicado por
. Sendo
do espaço vetorial
no espaço
uma função, temos por definição, que
tem somente um vetor imagem
, o qual é
.
Para caracterizar uma transformação como linear, esta deve obedecer
duas condições.
2.3.2 Definição
Sejam
e
espaços vetoriais, uma aplicação
transformação linear se
é chamada de
preserva as operações de adição e multiplicação por
escalar, isto é, satisfaz as seguintes condições:
i) Para quaisquer
ii) Para todo
No caso de
,
e para todo
, ou seja,
.
,
.
, temos que
é um operador
linear.
Exemplo:
,
, é linear.
Prova:
i) Sejam
e
vetores genéricos de
Então:
ii) Para todo
e para qualquer
, tem-se:
.
37
2.3.3 Transformações Geométricas
Um exemplo de transformações lineares, que será importante para nossa
pesquisa são as transformações geométricas. Vejamos abaixo um resumo deste
conceito.
Seja
um plano. Definimos uma transformação geométrica no plano
como sendo uma função de
de
em
, denotado por
particular, se
que associa cada ponto
. Para
chamamos imagem de
é uma figura no plano, a imagem de
imagens de , denotado por
do plano
por
um ponto
por
. Em
é o conjunto de pontos
.
Este assunto será importante para o desenvolvimento de nossa pesquisa,
pois servirá para criar as atividades e consequentemente ajudar na introdução do
conceito de transformações lineares. Passamos agora a detalhar algumas
transformações que serão detalhadas na seqüência de atividades.
2.3.3.1 Reflexões
Pode-se entender por reflexão como sendo a transformação de figuras
em imagens num espelho, por isso que muitas vezes é chamada de espelhamento.
Geometricamente temos dois tipos de reflexões: a reflexão em relação a um ponto e
a reflexão em relação a uma reta.
Na primeira a reflexão em relação a um ponto A, a reflexão aplicada a um
ponto
gerará um ponto
, tal que
seja ponto médio do segmento
. Já a
segunda, teremos uma reflexão em relação a reta , onde a transformação aplicada
a um ponto
segmento
gerará um ponto
de tal forma que a reta
seja mediatriz do
.
Para analisar de forma algébrica a reflexão em torno de uma reta, vamos
pensar nela em torno dos eixos coordenados (Figura 4). Na reflexão do ponto
em relação ao eixo das ordenadas, observamos que o ponto
, pois teremos o eixo das ordenadas sendo a bissetriz do segmento
forma semelhante a reflexão do ponto
. De
em relação ao eixo das abscissas,
de modo que neste caso a relação entre as coordenadas será
.
38
Figura 4 – Reflexões em relação aos eixos coordenados.
Fonte: Internet.
Análogo a idéia de reflexão em transformações geométricas, também
temos nas transformações lineares, uma vez que esta tranformação é considerada
também linear, podendo então ser representada também sob a ótica deste objeto
matemático.
a) Reflexões em torno do eixo
A reflexão em torno do eixo
ponto
para a sua imagem
é uma transformação linear que leva cada
, que é simétrica em relação ao eixo .
Sendo assim, essa transformação pode ser representada simbolicamente
por:
ou
Na figura 5, temos um exemplo geométrico do que acontece com um
ponto sob esta transformação linear.
39
Figura 5 – Exemplo de reflexão em torno do eixo .
Fonte: Steinbruch e Winterle (1987, p.196)
b) Reflexões em torno do eixo
A reflexão em torno do eixo
ponto
para a sua imagem
é uma transformação linear que leva cada
, logo, é simétrica em relação ao eixo .
Simbolicamente, pode ser representada por:
ou
Um exemplo do que ocorre geometricamente pode ser verificado na figura
6, seguinte.
40
Figura 6 – Exemplo de reflexão em torno do eixo .
Fonte: Steinbruch e Winterle (1987, p.196)
c) Reflexões em torno da origem
A reflexão em torno do eixo
ponto
é uma transformação linear que leva cada
para a sua imagem
, logo, modifica as duas coordenadas,
criando uma imagem simétrica em relação à ambas.
Simbolicamente, pode ser representada por:
ou
Exemplo na figura 7.
41
Figura 7 – Exemplo de reflexão em torno da origem.
Fonte: Steinbruch e Winterle (1987, p.196)
2.3.3.2 Dilatações e contrações
Nas transformações geométricas as dilatações e contrações são
consideradas homotetias4, pois elas ampliam ou reduzem as figuras no sentido
horizontal ou no vertical.
Para estas transformações temos deformações na direção do eixo x de
acordo com uma constante
, e na direção do eixo y conforme uma constante
.
Dessa forma, as coordenadas do ponto P’ obtido a partir de P são dadas por:
Análogo a idéia de dilatação e contração em transformações geométricas,
também este tipo de transformação sob a ótica das transformações lineares, que
veremos em seguida.
4
São transformações geométricas que geram ampliações e reduções no tamanho de figuras do
plano.
42
a) Dilatações (ou contrações) na direção do vetor
Esse tipo transformação linear leva cada vetor
de mesma direção e sentido de
do plano num vetor
, que seria sua imagem, porém
vezes maior
(ou menor). É também chamada de dilatação ou contração uniforme.
Pode ser representada por:
ou
Exemplo abaixo, figura 8.
Figura 8 – Exemplo de dilatação uniforme.
Fonte: Steinbruch e Winterle (1987, p.198)
Pode-se verificar, de acordo com a natureza desta transformação, que:
se
,
se
é uma dilatação;
,
é uma contração;
se
,
é a identidade ;
se
,
troca o sentido do vetor, análogo à reflexão em torno da origem;
43
b) Dilatação (ou contração) na direção do eixo x.
Esse tipo transformação linear leva cada vetor
de mesmo sentido de
coordenada , em
do plano num vetor
, que seria sua imagem, porém alterando apenas sua
vezes.
É representada por:
ou
Exemplo gráfico abaixo, na figura 9, considerando
e
.
Figura 9 – Exemplo de contração e dilatação na direção do eixo .
Fonte: Steinbruch e Winterle (1987, p.198)
É observável que:
se
se
,
é uma dilata o vetor;
,
é uma contrai o vetor.
c) Dilatação (ou contração) na direção do eixo y.
Esse tipo transformação linear é análoga à dilatação (ou contração),
porém alterando apenas sua coordenada , em
vezes.
44
É representada por:
ou
Exemplo gráfico abaixo, na figura 10, considerando
e
.
Figura 10 – Exemplo de contração e dilatação na direção do eixo .
Fonte: Steinbruch e Winterle (1987, p.199)
A diferença em uma dilatação ou contração em
em uma dilatação ou contração em .
é análoga à diferença
45
2.3.3.4 Cisalhamentos
Nas transformações geométricas o cisalhamento também é uma
homotetia, pois provoca um deslocamento horizontal ou vertical nos ponto de um
plano, de forma que as figuras geométricas são deformadas.
A relação entre as coordenadas de um ponto qualquer
coordenadas de
, imagem do ponto
do plano, e as
pela transformação de cisalhamento
horizontal é dada por:
Onde
é o ângulo em relação ao eixo dos
. Analogamente, o
cisalhamento vertical é dado por:
Análogo a idéia de cisalhamento em transformações geométricas, sob a
ótica das transformações lineares, temos abaixo:
a) Cisalhamento na direção do eixo
Essa
transformação
coordenada do vetor
e , tal qual
linear
consiste
na
modificação
da
primeira
, substituindo-a por uma combinação linear específica de
.
É representada por:
ou
46
Graficamente abaixo (figura 11):
Figura 11 – Exemplo de cisalhamento na direção do .
Fonte: Steinbruch e Winterle (1987, p.200).
O efeito do cisalhamento é transformar o retângulo OAPB no
paralelogramo OAP’B’, de mesma base e altura. É observável que cada ponto
se desloca paralelamente ao eixo
até chegar em
mesmo não acontece para os pontos do próprio eixo
temos
,
. Tem-se ainda que o
, uma vez que para eles
.
b) Cisalhamento na direção do eixo .
É análogo ao cisalhamento na direção do eixo , contudo com todas as
suas mudanças relacionadas ao eixo . É dado por:
ou
47
2.3.3.5 Rotações
Uma rotação fica determinada por um sentido (horário ou anti-horário) e
por um ângulo de giro. Desta forma, para que a rotação fique inteiramente definida e
caracterizada precisamos indicar o ângulo de giro e o centro da rotação. Quando o
centro da rotação estiver definido, é fácil notar que é o único ponto que, quando
aplicada a transformação, não mudará de lugar, por isso chamado de ponto fixo.
Analisando de forma algébrica, dado um sistema de coordenadas de
origem
, a rotação
de centro
e ângulo
transforma o ponto
no ponto
com:
Análogo a idéia de rotação em transformações geométricas, também
temos nas transformações lineares, que veremos em seguida.
A rotação de um plano dado é um tipo de transformação linear que
permite a cada ponto deste plano descrever um ângulo .
Pode ser representado por:
ou
Geometricamente na figura 12 (considerando os vetores
:
e
48
Figura 12 – Exemplo de rotação.
Fonte: Steinbruch e Winterle (1987, p.201).
49
3 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
Este conjunto de atividades está focado nas ideias dos registros de
representação semiótica e suas conversões e na possibilidade destas atividades
serem utilizadas em uma aula introdutória ao conceito do objeto matemático
transformações lineares, utilizando como exemplificações as transformações
geométricas, uma vez que, como já foram mostradas, algumas destas são tipos de
transformações lineares. Nestas atividades são trabalhados alguns tipos de registros
de representação e a conversões entre eles.
Uma vez que o interesse está nos tipos de representação menos usuais,
as atividades são focadas de forma mais incisiva na conversão entre o tipo de
representação discursiva e o de não discursiva, a qual será utilizada a conversão
entre
registros
monofuncionais
que
se
caracteriza
partindo
do
meio
algébrico/numérico/simbólico para o meio gráfico, e vice-versa, através de atividades
desde a construção de figuras até sua manipulação, partido do sistema algébrico,
através de reflexões, rotações e deformações, ou seja, as propostas de
transformações geométricas de uma figura.
Terá uso também, outros tipos de conversões e representações como
atividades complementares e, com isso, válidas, para o entendimento do objeto,
para por fim, alicerçar uma introdução ao conceito de Transformações Lineares e
suas implicações no plano.
Assim, são propostas estas atividades, afim o professor conduza o aluno
à percepção das relações entre os registros e da visualização do concreto para
entender o conceito de transformações lineares e as transformações geométricas.
3.1 ATIVIDADE 1
Título: O conceito de transformação linear.
Objetivo: Perceber as duas condições necessárias para uma transformação ser
linear e ainda uma interpretação geométrica do significado desse tipo de
transformação.
Material: Papel, lápis ou caneta e computador com o GeoGebra instalado.
50
Procedimento:
Dados os vetores
e
, resolva Parte I e Parte II desta atividade.
Parte I
a) Determine o cálculo da adição
.
b) Utilize o GeoGebra para representar graficamente os vetores ,
c) Agora multiplique a matriz
e
pelos os vetores
.
, mudando a
simbologia dos novos vetores.
d) Ainda na mesma janela GeoGebra e represente graficamente os vetores
obtidos no item anterior.
e) Efetue a adição entre os vetores correspondentes à multiplicação da matriz
dada e os vetores
e , e represente o resultado no GeoGebra.
f) Descreva, com palavras, que efeito geométrico ocorre nos vetores, nos itens
c) e e).
Parte II
a) Determine o cálculo da multiplicação
.
b) Utilize o GeoGebra para representar graficamente os vetores
c) Multiplique a matriz
pelos vetores
e
e
.
, mudando a simbologia dos
novos vetores.
d) Abra uma nova janela no GeoGebra e represente os dois vetores encontrados
no item anterior.
e) Multiplique também por
dada e o vetor
o vetor correspondentes à multiplicação da matriz
e represente o resultado no GeoGebra.
f) Descreva, com palavras, que efeito geométrico ocorre nos vetores, nos itens
c) e e).
Obs.: Esta atividade está dividida em duas partes para uma explanação melhor do
assunto envolvido: Parte I e Parte II.
51
Quadro 1 – Quadro de Conversões da Atividade 1.
Quadro de Conversões
Item
Situação
Tipo de conversão ou
tratamento
Vetores dados para a
efetuação de cálculos
Item “a”
entre eles e,
consequentemente,
resultarem em novos
Tratamento no registro
monofuncional de
representação discursiva
vetores.
Conversão entre o registro
Item “b”
Vetores dados para a
monofuncional de
construção de uma
representação discursiva para
figura geométrica.
o registro multifuncional de
representação não discursiva
Vetores dados para
Item “c”
calcular uma
Tratamento no registro
multiplicação por uma
monofuncional de
matriz resultando em
representação discursiva
um vetor
Conversão entre o registro
Itens “d” e “e”
Vetores dados para a
monofuncional de
construção de uma
representação discursiva para
figura geométrica.
o registro multifuncional de
representação não discursiva
Item “f”
Análise da modificação
Conversão entre o registro
visualizada
monofuncional de
geometricamente para
representação não discursiva
expressão em língua
para o registro multifuncional
materna
de representação discursiva
Fonte: Quadro produzido pelos autores.
Com relação aos objetivos específicos, nos itens “a”, “b”, “c” e “d” de cada
parte pretende-se verificar se o aluno demonstra domínio na coordenação entre os
52
registros simbólico-algébrico, gráfico e numérico-tabular, além de representar por
meio do GeoGebra como os vetores se relacionam geometricamente a partir das
operações que ocorrem entre eles. No item “e” pretende-se que o aluno expresse
em língua natural o efeito geométrico que ocorre a partir das imagens geradas pelo
GeoGebra, partindo de uma conversão de registro gráfico para linguagem natural.
Pretende-se ainda com esta atividade mostrar para o aluno a definição de
uma transformação linear na sua forma geométrica, isto é, utilizando a ferramenta
GeoGebra, mostrar como a representação geométrica dos vetores mantém
preservado a soma e a multiplicação por escalar quando efetuamos a
transformação, pois normalmente o aluno se depara só com sua forma algébrica em
sala de aula.
Para executar esses objetivos devemos utilizar o GeoGebra e para isto
seguiremos os procedimentos abaixo:
Passo 1: Resolução no GeoGebra do item “b” da “Parte I”
Nesta etapa vamos utilizar os vetores
,
e
para serem
representados graficamente no GeoGebra. Com o GeoGebra aberto inserimos no
campo entrada os valores de cada vetor:
desta etapa teremos a seguinte imagem:
,
,
. Depois
53
Figura 13 – Representação geométrica dos vetores ,
Fonte: Imagem produzida pelos autores.
Obs.: O vetor
e
.
que é obtido no item “a” foi representado pelo vetor
para
facilitar o prosseguimento da atividade.
Passo 2: Resolução no GeoGebra do item “d” da “Parte I”
Neste passo iremos inserir, na mesma janela do passo anterior, os
valores dos vetores obtidos no item “c”. Para este procedimento foi utilizado a
seguinte simbologia:
e .
Já com o GeoGebra na tela inserimos no campo entrada os valores
destes vetores:
seguinte:
,
e
. A imagem formada será a
54
Figura 14 – Representação geométrica dos vetores
e e dos vetores ,
Fonte: Imagem produzida pelos autores.
e
.
Assim, ao efetuar a adição requerida no item “e” este novo vetor será idêntico ao
vetor , logo será visível que
; sendo possível ao professor introduzir a ideia
de conservação da adição para as Transformações Lineares.
Passo 3: Resolução no GeoGebra do item “b” da “Parte II”
Abrindo uma nova janela do GeoGebra vamos inserir no campo de
entrada os valores dos vetores
e
. Este último é obtido a partir do item “a” da
“Parte II”.
Com o GeoGebra aberto inserimos no campo entrada os valores de cada
vetor:
e
. A figura formada será a seguinte:
55
Figura 15 - Representação dos vetores e
Fonte: Imagem produzida pelos autores.
Obs.: Neste procedimento o vetor
.
é representado pelo vetor
para facilitar o
prosseguimento da atividade.
Passo 4: Resolução no GeoGebra do item “d” da “Parte II”
Neste passo iremos inserir, na mesma janela do passo anterior, os
valores dos vetores obtidos no item “c”. Para este procedimento foi utilizado a
seguinte simbologia:
e .
Então com a janela do GeoGebra na tela iremos inserir no campo de
entrada os valores dos vetores:
seguinte:
e
. A figura formada será a
56
Figura 16 - Representação dos vetores
e e dos vetores
Fonte: Imagem produzida pelos autores.
e
.
Assim, ao efetuar a multiplicação requerida no item e) este novo vetor
será idêntico ao vetor , logo será visível que
; sendo possível ao professor
introduzir a ideia de conservação da multiplicação por escalar para as
Transformações Lineares.
Neste passo a passo fica visível para o aluno e para o professor como os
vetores atuam geometricamente em uma transformação linear, além de proporcionar
a visualização do que define este objeto matemático, pois analisando as imagens
fornecidas observamos que a adição e a multiplicação por escalar dos vetores
permanecem preservados.
3.1.1 Contraexemplo
Objetivo: A partir do comando da atividade anterior provaremos, por um
contraexemplo, quando uma determinada sentença não é uma transformação linear.
Material: Papel, lápis ou caneta e computador com o GeoGebra instalado.
Procedimento:
57
Dados os vetores
e
, resolva utilizando os comandos
da parte i da atividade 1, no entanto, no item “c” utilize a matriz
.
Passo 1: Resolução no Geogebra do item “b” da “Parte I”
Nesta etapa vamos utilizar os vetores
,
e
para serem
representados graficamente no GeoGebra. Com o GeoGebra aberto inserimos no
campo entrada os valores de cada vetor:
,
,
. Depois
desta etapa teremos a seguinte imagem:
Figura 17 – Representação geométrica dos vetores , e
Fonte: Imagem produzida pelos autores.
Obs.: O vetor
(contraexemplo).
que é obtido no item “a” foi representado pelo vetor
para
facilitar o prosseguimento da atividade.
Passo 2: Resolução no GeoGebra do item “d” da “Parte I”
Neste passo iremos inserir, na mesma janela do passo anterior, os
valores dos vetores obtidos no item “c”. Para este procedimento foi utilizado a
seguinte simbologia:
e .
58
Já com o GeoGebra na tela inserimos no campo entrada os valores
destes vetores:
,
e
. A imagem formada será a
seguinte:
Figura 18 – Representação geométrica dos vetores
e e dos vetores ,
(contraexemplo).
Fonte: Imagem produzida pelos autores
e
A partir da interpretação geométrica da figura 18 fica visível que não
ocorre a preservação da adição, logo a sentença que é estudada não é uma
transformação linear.
3.2 ATIVIDADE 2
Título: Exemplo de transformação linear: a transformação geométrica de
contração/dilatação.
Objetivo: Visualizar como ocorre geometricamente uma transformação linear, do
tipo transformação geométrica de contração/dilatação e perceber os padrões
numéricos utilizados, afim representar essa transformação sob a simbologia das
transformações lineares.
59
Material: Papel, lápis ou caneta e computador com o GeoGebra instalado.
Procedimento:
Dado o vetor
a) Multiplique por
b) Multiplique por
, faça o seguinte:
a abscissa do vetor .
a abscissa do vetor .
c) Agora utilizando o GeoGebra represente na mesma janela o vetor
e os
vetores formados no item “a” e “b”.
d)
e) Descreva, com palavras, que efeito geométrico nota-se com a figura do item
“c” quando multiplicamos por
e depois por
a abscissa do vetor .
Quadro 2 – Quadro de Conversões da Atividade 2. (continua).
Quadro de Conversões
Item
Item “a”
Item “b”
Situação
Tipo de conversão ou
tratamento
Vetor dado para a
Tratamento no registro
efetuação de cálculo
monofuncional de
com um escalar.
representação discursiva.
Vetor dado para a
Tratamento no registro
efetuação de cálculo
monofuncional de
com um escalar.
representação discursiva.
Conversão entre o registro
Item “c”
Vetores dados para a
monofuncional de
construção de uma
representação discursiva para
figura geométrica.
o registro multifuncional de
representação não discursiva.
60
Quadro 2 – Quadro de Conversões da Atividade 2. (conclusão).
Análise da modificação
visualizada
Item “d”
geometricamente para
expressão em língua
materna
Conversão entre o registro
monofuncional de
representação não
discursiva para o registro
multifuncional de
representação discursiva.
Fonte: Quadro produzido pelos autores.
Com relação aos objetivos específicos, nos itens “a” e “b” pretende-se que
o aluno faça um tratamento com o registro simbólico-algébrico a partir do vetor
e
dos dados fornecidos. No item “c” pretende-se, com o uso do GeoGebra,
estabelecer uma conversão do registro simbólico-algébrico para o gráfico do vetor u,
com o intuito do aluno observar como a formato de um vetor se apresenta quando
modificamos sua abscissa. Como conseqüência desta visualização, o item “d”
consiste que o aluno expresse em língua materna o efeito geométrico que ocorre
com a modificação da primeira coordenada do vetor, partindo da conversão do
registro gráfico para a linguagem materna.
Para executar esses objetivos devemos utilizar o GeoGebra e para isto
seguiremos os procedimentos abaixo:
Depois de ter resolvido os itens “a” e “b” iremos abrir uma janela do
GeoGebra e no campo entrada inserir os valores de cada vetor. A figura formada
será a seguinte:
61
Figura 19 – Representação geométrica dos vetores ,
Fonte: Imagem produzida pelos autores.
e
.
A partir da visualização desta imagem o aluno poderá resolver o item “d”
da atividade.
3.3 ATIVIDADE 3
Título: Exemplo de transformação linear: a transformação geométrica de reflexão.
Objetivo: Visualizar como ocorre geometricamente uma transformação linear, do
tipo transformação geométrica de reflexão e perceber os padrões numéricos
utilizados,
afim
representar
essa
transformação
sob
a
simbologia
transformações lineares.
Material: Papel, lápis ou caneta e computador com o GeoGebra instalado.
Procedimento:
Dada a elipse de equação
a) Encontre os focos desta elipse.
.
das
62
b) Com os focos determinados, construa uma elipse no GeoGebra, tendo um 3º
ponto de referência
c) Descreva o que acontece com ao mudarmos o valor da 1ª coordenada de
cada um dos nossos pontos de referência para seus simétricos.
d) Descreva o que acontece com ao mudarmos o valor da 2ª coordenada de
cada um dos nossos pontos de referência para seus simétricos.
e) Descreva o que acontece com ao mudarmos o valor das duas coordenadas
de cada um dos nossos pontos de referência para seus simétricos.
f) Como podemos descrever isso através da simbologia das Transformações
Lineares?
Quadro 3 – Quadro de Conversões da Atividade 3 (continua)
Quadro de Conversões
Item
Situação
Da equação dada ao
Item “a”
encontro de dois termos
componentes desta
equação: os focos.
Modificações algébricas
nos vetores para
Itens “c”, “d” e ”e”
modificação da figura
geométrica e sua
consequente
visualização.
Itens “c”, “d” e ”e”
Tipo de conversão ou
tratamento
Tratamento de registro
monofuncional de
representação discursiva.
Conversão entre o registro
monofuncional de
representação discursiva para
o registro monofuncional de
representação não discursiva.
Análise da modificação
Conversão entre o registro
visualizada
monofuncional de
geometricamente para
representação não discursiva
expressão em língua
para o registro multifuncional
materna.
de representação discursiva.
63
Quadro 3 – Quadro de Conversões da Atividade 3 (conclusão)
Da observação do padrão
Item “f”
Tratamento no registro
das mudanças algébricas
para a uma modelo
matemático desse padrão.
monofuncional de
representação discursiva.
Fonte: Quadro produzido pelos autores.
No item “a” a finalidade é rever os conceitos de Geometria Analítica, no
caso a elipse, já sabidos pelo aluno como forma à torná-los uma espécie de zona de
conforto a ele, e para que ele possa construir a elipse que servirá de objeto para a
representação das transformações. Os itens “b”, temos o aperfeiçoamento da
utilização do GeoGebra, com a utilização de mais uma de suas ferramentas. Os
itens “c”, “d” e “e”, podem possibilitar que o aluno visualize graficamente o ocorrido
através das mudanças de valores dos pontos, e descreva este ocorrido, convertendo
esta visualização para sua linguagem materna. O item “f” tem por objetivo que o
aluno descreva, agora, simbólico-algebricamente a mudança e por fim realiza a
modelagem do conceito de uma transformação linear, que seria a reflexão, sob
seus três aspectos.
Para execução de tal atividade no GeoGebra, devemos primeiramente
inserir os focos encontrados (aqui chamaremos de
e
) e o ponto dado ( ),
através do Campo de Entrada. Feito isso, utilizando a ferramenta “Elipse”, devemos
construir a elipse, selecionando os pontos criados. A elipse ficará assim dependente
dos pontos, o que possibilitará a visualização de sua movimentação. O esperado
está na figura 20, seguinte.
64
Figura 20 – Construção da 1ª elipse.
Fonte: Imagem produzida pelos autores.
Esta elipse servirá como ponto de referência para as modificações e
comparações; assim deve-se deixar esta fixa e criar uma nova elipse (da mesma
forma e com os mesmos valores, aqui chamados de
e
). Caso haja
alguma dificuldade em criar a nova elipse sobre a anterior, sugestionamos, apenas
no momento da criação, ocultar os objetos antigos (botão direito sobre o objeto e em
seguida a opção “Exibir objeto”).
O resultado está na figura seguinte, quase imperceptível graficamente.
65
Figura 21 – Construção da 2ª elipse (sobre a 1ª).
Fonte: Imagem produzida pelos autores.
Pode ocorrer uma irrisória variação em algum termo da equação da nova
elipse em relação à antiga; isso ocorre devido a imprecisão do mouse ao construir a
segunda de forma idêntica à primeira. Essa variação, contudo, não afetará os
resultados.
Após essa criação, deve-se modificar as coordenadas da nova elipse
como pedido no item “c”. Isso pode ser feito inserindo os valores diretamente no
campo de entrada ou na janela algébrica (lado esquerdo) dando um duplo-clique no
item que se quer modificar. Após as devidas modificações, a imagem será a descrita
pela figura 22 seguinte.
66
Figura 22 – Reflexão em torno do eixo .
Fonte: Imagem produzida pelos autores.
Aqui
temos
uma
importante
conversão,
a
qual
ocorre
quando
manipulamos as variáveis algébricas em virtude da visualização geométrica do
objeto, que é afetado pela transformação linear plana de reflexão em torno do eixo .
O mesmo ocorre nos itens “d” (reflexão em torno do eixo ) e “e” (reflexão em torno
da origem) as quais as figuras 23 e 24 respectivamente descrevem o ocorrido.
67
Figura 23 – Reflexão em torno do eixo .
Fonte: Imagem produzida pelos autores.
Figura 24 – Reflexão em torno da origem.
Fonte: Imagem produzida pelos autores.
Por fim, após essas visualizações, o esperado é que o aluno perceba os
padrões nas mudanças e os descreva algebricamente, sob os conceitos de
transformações lineares.
68
3.4 ATIVIDADE 4
Título: Exemplo de transformação linear: a transformação geométrica de
cisalhamento.
Objetivo: Visualizar como ocorre geometricamente uma transformação linear, do
tipo transformação geométrica de cisalhamento e perceber os padrões numéricos
utilizados,
afim
representar
essa
transformação
sob
a
simbologia
das
transformações lineares.
Material: Papel, lápis ou caneta e computador com o GeoGebra instalado.
Procedimento:
Dados os vetores
,
e
; ou
,
e
.
a) Utilizando o GeoGebra, verifique que figura geométrica é formada pelas
extremidades destes vetores?
b) Descreva agora o que acontece se substituirmos a 1ª coordenada de cada
vetor pelo valor de
? E de
? E de
?
Quadro 4 – Quadro de Conversões da Atividade 4 (continua)
Quadro de Conversões
Item
Situação
Vetores dados para a
Item “a”
construção de uma
figura geométrica com
suas extremidades.
Tipo de conversão ou
tratamento
Conversão entre o registro
monofuncional de
representação discursiva para
o registro multifuncional de
representação não discursiva
69
Quadro 4 – Quadro de Conversões da Atividade 4 (conclusão)
Modificações algébricas
nos vetores para
modificação da figura
Item “b”
geométrica e sua
monofuncional de
representação discursiva para
o registro monofuncional de
consequente
representação não discursiva
visualização
Item “b”
Conversão entre o registro
Análise da modificação
Conversão entre o registro
visualizada
monofuncional de
geometricamente para
representação não discursiva
expressão em língua
para o registro multifuncional
materna
de representação discursiva
Fonte: Quadro produzido pelos autores.
Especificamente falando, temos no item “a” a finalidade de verificar se o
estudante determina a imagem geométrica de um objeto, partindo da forma
simbólico-algébrica, através dos conceitos de vetores e a utilização do GeoGebra; e
no item “b”, o objetivo é proporcionar ao aluno a visualização do que acontece com o
objeto geométrico a partir da substituições dos valores da primeira coordenada.
Para
executar
esses
objetivos,
devemos
seguir
os
seguintes
procedimentos:
No item “a” devemos inserir os valores dos vetores dados no campo de
entrada do GeoGebra.
O esperado, após inserirmos os vetores no GeoGebra, podemos ver na
figura seguinte.
70
Figura 25 – Inserção dos três vetores.
Fonte: Imagem produzida pelos autores.
Para resolver efetivamente o item “a”, temos então que utilizar ferramenta
“Polígono” e construir o polígono utilizando as extremidades e a origem dos vetores
como vértices desse polígono, resultando na figura abaixo
Figura 26 – O polígono descrito pelas extremidades e origem dos vetores.
Fonte: Imagem produzida pelos autores.
71
.Temos então um quadrado formado pelas extremidades e a origem dos
vetores. Esse primeiro item funciona apenas para construção do nosso registro
gráfico inicial, servindo como introdução à questão principal, o item “b”. Para
resolução desse item, temos que modificar, através do campo de entrada, os valores
da 1ª coordenada
de cada vetor pelo valor de
de suas coordenadas.
Temos então, como resultado esperado, uma deformação do quadrado, o
“transformando” em um paralelogramo como mostra a figura abaixo.
Figura 27 – Efeito do cisalhamento
.
Fonte: Imagem produzida pelos autores.
Aqui podemos encontrar preciosas conversões entre o registro algébrico
e o registro gráfico, pois, através da manipulação algébrica temos a visualização
geométrica do ocorrido.
De mesma forma executamos as outras mudanças da 1ª coordenada em
(figura 28) e
(figura 29).
72
Figura 28 – Efeito do cisalhamento
.
Fonte: Imagem produzida pelos autores.
Figura 29 – Efeito do cisalhamento
.
Fonte: Imagem produzida pelos autores.
73
Por fim, é esperado que o aluno possa chegar a conclusão de que há
uma deformação padrão no objeto geométrico, e de forma horizontal, através da
variação dos valores que multiplicam “y” somados ao valor de “x”, na substituição da
1ª coordenada; chegando à uma sentença matemática padrão, que vai se
caracterizar por ser um tipo de transformação linear plana; o cisalhamento.
3.5 ATIVIDADE 5
Título: Exemplo de transformação linear: a transformação geométrica de rotação.
Objetivo: Visualizar como ocorre geometricamente uma transformação linear, do
tipo transformação geométrica de rotação e perceber os padrões numéricos
utilizados,
afim
representar
essa
transformação
sob
a
simbologia
das
transformações lineares.
Material: Papel, lápis ou caneta e computador com o GeoGebra instalado.
Procedimento:
Utilizando o GeoGebra, execute os passos abaixo
a) Construa o vetor
b) Ainda no GeoGebra construa a matriz
seletor
de
até
, incremento de
c) Multiplique agora a matriz
resultante crie um novo vetor
e um
.
pelo vetor
(M1*u) e com o ponto
.
d) Caminhe com o seletor por todos os seus pontos, verifique e descreva
o que acontece.
e) Faça essa multiplicação (com os valores do seletor) no papel e
verifique se há algum padrão que permita considerar essa operação
como uma transformação linear. Se sim, descreva-a simbolicamente.
74
Quadro 5 – Quadro de Conversões da Atividade 5
Quadro de Conversões
Item
Situação
Tipo de conversão ou
tratamento
Conversão entre o registro
Item “a”
Vetores dados para a
monofuncional de
construção deste com
representação discursiva para
ferramenta.
o registro multifuncional de
representação não discursiva
Modificações algébricas
nos vetores para
Itens “c” e “d”
modificação da figura
geométrica e sua
consequente
visualização
Itens “c” e “d”
Conversão entre o registro
monofuncional de
representação discursiva para
o registro monofuncional de
representação não discursiva
Análise da modificação
Conversão entre o registro
visualizada
monofuncional de
geometricamente para
representação não discursiva
expressão em língua
para o registro multifuncional
materna
de representação discursiva
Da observação do
Item “e”
padrão das mudanças
Tratamento no registro
algébricas para a uma
monofuncional de
modelo matemático
representação discursiva.
desse padrão.
Fonte: Quadro produzido pelos autores.
Especificamente falando, do item “a” ao “c” tem por objetivo converter os
registros já conhecidos dos vetores e matrizes para o geométrico, com a utilização
da ferramenta, e com isso o aperfeiçoamento no uso desta.
Ainda em “c” e chegando em “d”, tem-se que estes itens podem
possibilitar que o aluno visualize graficamente o ocorrido através das mudanças de
valores dos pontos, e descreva este ocorrido, convertendo esta visualização para
sua linguagem materna.
75
O item “e” tem por objetivo que o aluno descreva, agora, simbólicoalgebricamente a mudança e o padrão e por fim realize a modelagem do conceito de
um transformação linear, que seria a rotação.
Para executar esta atividade deve-se primeiramente inserir o vetor no
GeoGebra, com resultado esperado na figura 30 abaixo.
Figura 30 – Primeiro vetor da atividade de rotação.
Fonte: Imagem produzida pelos autores.
Deve-se
“
então
inserir
a
matriz
dada,
da
seguinte
forma
” e o seletor na ferramenta “Seletor”.
Assim a imagem abaixo descreve o resultado esperado (figura 31):
76
Figura 31 - Criação do 1º vetor da atividade.
Fonte: Imagem produzida pelos autores.
Em seguida, ao multiplicar a matriz
sobre o ponto
pelo vetor
, o ponto
é criado
, e com este ponto deve-se criar um novo vetor . Assim, o primeiro
vetor servirá como comparação fixa às modificações ocorridas no segundo.
Após as movimentações no seletor temos os resultados abaixo (para 90°,
180°, 270°; 360º é a volta, o mesmo local do 0°):
77
Figura 32 - Modificações do no vetor (90º).
Fonte: Imagem produzida pelos autores.
Figura 33 - Modificações no vetor (180º).
Fonte: Imagem produzida pelos autores.
78
Figura 34 - Modificações no vetor (270º).
Fonte: Imagem produzida pelos autores.
Pode-se também, para uma melhor visualização da rotação, diminuir o
incremento deste e deixá-lo percorrer seus valores automaticamente, em “Animação
Ativada”.
Por fim, o item “e” permite perceber o padrão das multiplicações no vetor,
e assim definir o modelo de transformação linear plana de rotação.
79
4 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Há décadas existe a busca pela melhoria do ensino da Matemática, seja
através de pesquisas nesta área educativa e pedagógica, como através do
desenvolvimento de materiais educativos possibilitando novas formas de se ensinar
e repassar o conhecimento. Nesta perspectiva é que as tecnologias de informação e
comunicação estão sendo cada vez mais utilizadas e hoje se tornaram uma
realidade no processo de ensino-aprendizagem.
Com base nos estudos analisados, que foram base para a realização
desse trabalho, podemos afirmar que, apesar dos avanços e das tentativas de
incorporação de tecnologias de informação pelo ensino, ainda são muitos os
obstáculos a transpor pelas instituições e professores. Esses obstáculos vão desde
a necessidade de novas posturas por parte dos profissionais da educação,
mudanças curriculares nos cursos que formam esses profissionais e projetos que
respeitem e considerem os princípios de uma educação transformadora.
Acreditamos que a dinâmica oferecida não só pelo software GeoGebra,
como também por outros voltados para o ensino de Álgebra Linear e, também, para
a matemática em geral, podem contribuir significativamente para o desenvolvimento
da aprendizagem nessa área. Apesar das possibilidades oferecidas por esses
softwares, o ambiente lápis e papel e o uso de outras tecnologias serão
complementares e essenciais para o desenvolvimento da aprendizagem. Os tipos de
problemas propostos e a metodologia de trabalho do professor também serão
fatores determinantes para a aprendizagem dos alunos.
Por fim, esperamos que este trabalho tenha destacado a importância da
Teoria de Raymond Duval sobre os Registros de Representação Semiótica, aqui
visto no caso particular das transformações lineares e transformações geométricas.
E que possibilite a visualização de que é possível desenvolver novas propostas em
sala, aliando novas teorias com a utilização de tecnologias da informação.
Também esperamos com a futura aplicação destas atividades,
evidências suficientes para identificarmos quais conversões os alunos poderão ter
mais dificuldades e quais, de fato, podem trazer a compreensão conceitual do objeto
matemático em questão, para assim podermos trabalhar em cima de cada uma
delas.
80
Neste trabalho, foram abordadas apenas atividades de ensino referentes
a conhecimentos sobre transformações lineares, no entanto a aplicabilidade do
software abrange outros conhecimentos matemáticos, por isso surgirão pesquisas
futuras, como por exemplo, a elaboração de atividades para outros tópicos de
Álgebra Linear como autovalores e autovetores, ortogonalização e formas
quadráticas.
Salientamos que esta pesquisa é apenas o começo de futuras
investigações e pesquisas que pretendemos continuar realizando, na tentativa de
buscar contribuições para a aprendizagem Matemática que se processa nas
instituições de ensino.
Ressaltamos ainda que este trabalho possa servir de base para estudos e
pesquisas posteriores que venham propor uma transformação no processo de
ensino-aprendizagem, objetivando a construção de conceitos e consequentemente
uma aprendizagem significativa.
81
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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software GeoGebra. 2010. Disponível em: <http://www.essentiaeditora.iff.edu.br/
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Matemática / Marcelo de Carvalho Borba, Miriam Godoy Penteado. 3ª Edição. Belo
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brasileiras na década de 90. 2000. 113f. Dissertação (Mestrado em Educação
Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2000.
COSTA, Fernanda & TENÓRIO, Aldo. Uso dos softwares GeoGebra e wxMaxima:
Como recurso tecnológico no ensino de matemática. Artigo. Universidade Federal do
Pará, Belém, 2011.
CUNHA, Igor & MORAIS, Priscila. O ensino de funções e de transformações
geométricas com o auxílio do software GeoGebra. Trabalho Acadêmico.
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DUVAL, Raymond. Registros de representação semiótica e funcionamento
cognitivo da compreensão em matemática. In: MACHADO, S. D. A. (Org.).
Aprendizagem em matemática: registros de representação semiótica. Campinas:
Papirus, 2003, p.11-33.
EVANGELISTA, Mitchell Christopher Sombra. As Transformações Isométricas no
GeoGebra com a Motivação Etnomatemática. Dissertação de Mestrado. PUC-SP,
São Paulo, 2011.
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mesma coisa?. Artigo. Escola Técnica Estadual Magalhaes Barata & Universidade
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82
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JAHN, A. P.; KARRER, M. Transformações lineares nos livros didáticos: uma
análise em termos de registros de representação semiótica. Educação Matemática
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JUCÁ, Sandro César Silveira. A relevância dos softwares educativos na
educação profissional. Disponível em: <http://www.cienciasecognicao.org/revista/
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KARRER, M. Articulação entre Álgebra Linear e Geometria: um estudo sobre as
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São Paulo, 2006. Tese (Doutorado em Educação Matemática) – Programa de
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MACHADO, S. D.A. (Org.).
Aprendizagem
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representação semiótica. Campinas: Papirus, 2003.
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VALENTE, José Armando. O computador na sociedade do conhecimento. 1ª
Edição. Campinas: Nied/Unicamp, 1999.
84
Universidade do Estado do Pará
Centro de Ciências Sociais e Educação
Departamento de Matemática, Estatística e Informática
Curso de Licenciatura em Matemática
Travessa Djalma Dutra, s/n – Telégrafo
66113-200 Belém-PA
http://www2.uepa.br/ccse