Instituto Superior de Engenharia do Porto
Departamento de Engenharia Electrotécnica
Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores
SISEL - Sistemas Electromecânicos
Exercícios de
Sistemas robóticos
2006
SISEL - Sistemas Electromecânicos
Sistemas robóticos
1. Considere o manipulador robótico representado na figura. Representando por R uma
junta Rotacional e por P uma junta Prismática, então a estrutura cinemática vem:
A) PPP
B) RPR
C) RRP
D) RRR
2. Considere o manipulador robótico representado na figura. Representando por R uma junta
Rotacional e por P uma junta Prismática, então a estrutura cinemática vem:
A) PPP
B) RPR
C) RRP
D) Outro resultado
3. Considere o manipulador robótico representado na figura. Representando por R uma junta
Rotacional e por P uma junta Prismática, então a estrutura cinemática vem:
A) PPP
B) RPR
C) RRP
D) Outro resultado
4. Considere o manipulador robótico representado na figura. Representando por R uma
junta Rotacional e por P uma junta Prismática, então a estrutura cinemática vem:
A) PPP
B) RPR
C) RRP
D) Outro resultado
5. Considere o espaço de trabalho no espaço operacional Oxy, gerado por um
manipulador com dois eixos. Então, designando por R e P, respectivamente os
eixos rotacional e prismático (ou linear) verifica-se que se trata de um:
A) Robô com eixo 1 = R e eixo 2 = R (robô RR)
B) Robô com eixo 1 = P e eixo 2 = R (robô PR)
C) Robô com eixo 1 = R e eixo 2 = P (robô (RP)
D) Robô com eixo 1 = P e eixo 2 = P (robô PP)
1
SISEL - Sistemas Electromecânicos
6. Considere o robô RR, com dois graus de
liberdade rotacionais (onde l1 e l2 representam,
respectivamente, os comprimentos dos elos 1 e 2)
e –180º<θ1<+180º –180º<θ2<+180º. Na segunda
figura está esboçado o correspondente espaço de
trabalho no espaço operacional {Oxy}. Então,
pode concluir-se que:
A) l1 = 1,2 m e l2 = 0,8 m
B) l1 = 0,6 m e l2 = 0,6 m
C) l1 = 1 m e l2 = 0,2 m
D) l1 = 0,8 m e l2 = 0,4 m
Sistemas robóticos
y
y
l2
θ2
x
l1
θ1
x
1,2 m
0,8 m
7. Considere o robô RR, com dois graus de liberdade rotacionais, e o seu
espaço de trabalho representado na figura. Suponha que os
comprimentos dos elos do robô são representados por li (i = 1,2) e que
os ângulos nos eixos tomam valores tais que θiMin < θi < θiMax, onde θiMin
e θiMax representam, respectivamente, os limites mínimo e máximo de
variação (i = 1,2).
Se os pontos A e B tiverem coordenadas A ≡ (2.7, 0) e B ≡ (0, −0.3)
então pode dizer-se que:
A) l1 = l2 = 1.35
B) l1 = 1.7 e l2 = 1
C) l1 = 1,5 e l2 = 1,2
D) Outro resultado
8. Considere o seguinte manipulador robótico com dois graus de liberdade rotacionais (robô RR).
y
(x,y)
L2
L1
θ2
θ1
o
x
L1 - comprimento do elo 1
L2 - comprimento do elo 2
θ1 - ângulo em que se encontra o eixo 1
θ2 - ângulo em que se encontra o eixo 2
As características físicas do robô são as
seguintes:
A) L1 = 1 m;
L2 = 0,5 m;
−135º < θ1 < +135º;
45 º < θ2 < +180º;
B) L1 = 1 m;
L2 = 0,5 m;
−135º < θ1 < +135º;
0 º < θ2 < +180º;
C) L1 = 1 m;
L2 = 1 m;
−135º < θ1 < +135º;
0 º < θ2 < +180º;
D) L1 = 1 m;
L2 = 0,5 m;
−135º < θ1 < +135º;
0 º < θ2 < +135º;
2
SISEL - Sistemas Electromecânicos
9. Considere o robô RR, com dois graus de
liberdade rotacionais, onde l1 = 1 m e l2 = 1 m, e
correspondente espaço de trabalho no espaço
operacional {Oxy}, representados nas figuras.
Então, pode concluir-se que:
Sistemas robóticos
y
l2
l1
A) 0º < θ1 <+90º e –180º < θ2 < +180º
B) –180º < θ1 <+90º e –180º < θ2 < +90º
C) –180º < θ1 <+180º e –180º < θ2 < +180º
D) –90º < θ1 <+90º e –180º < θ2 < 0º
10. Considere o robô RR, com dois graus de
liberdade rotacionais, onde l1 = 1 m e l2 = 1 m, e
correspondente espaço de trabalho no espaço
operacional {Oxy}, representados nas figuras.
Além disso, sabe-se que o robô apresenta as
seguintes limitações de accionamento nas juntas: –
90º ≤ θ1 ≤ +90º e –180º ≤ θ2 ≤ 0º, Neste caso, para
θ1 = +90º e θ2 = –90º a mão robô atinge:
A) Ponto A
C) Ponto C
θ2
x
θ1
y
C
l2
θ2
l1
θ1
x
B) Ponto B
D) Outro resultado
y
11. Considere o robô RP, com um grau de liberdade rotacional (R) e um grau de liberdade
linear (P), conforme representado na figura. Considere que as juntas têm as limitações de
deslocamento tais que –π/2 < q1 < 5π/6 rad e 2,0 < q2 < 3,0 m. Então, a área de trabalho A
no espaço operacional xy vem aproximadamente:
A) A ≈ 15,7 m2
C) A ≈ 10,5 m2
q2
x
q1
B) A ≈ 31,4 m2
D) Outro resultado
12. Considere o robô PP, com dois graus de liberdade lineares
(P), conforme representado na figura. As juntas são actuadas
por motores acoplados a engrenagens com um reduções ni
onde θi é o deslocamento (rotacional) do motor e qi é o
deslocamento (linear) do elo i do robô (i = 1,2). Considere que
as juntas têm as limitações de deslocamento tais que
–π/2 < θ1 < π rad, –π/3 < θ2 < 2π/3 rad, que n1 = 0,8 m rad−1,
n2 = 0,5 m rad−1. Então, a área de trabalho A no espaço
operacional xy vem aproximadamente:
A) A ≈ 37,01 m2
C) A ≈ 5,92 m2
A
B
y
A
q2
motor 2
q1
θ1
motor 1
n1
θ2
x
n2
B) A ≈ 14,80 m2
D) Outro resultado
3
SISEL - Sistemas Electromecânicos
Sistemas robóticos
13. Considere o robô PP, com dois graus de liberdade
y
lineares (P), conforme representado na figura. As juntas são
qi
actuadas por motores acoplados a engrenagens com um
reduções ni onde θi é o deslocamento (rotacional) do motor e
elo i
motor
qi é o deslocamento (linear) do elo i do robô (i = 1,2).
q1
θ I,
ni
Considere que as juntas têm as limitações de deslocamento
tais que –π/2 < θ1 < π rad, –π/3 < θ2 < 2π/3 rad, que n1 = 0,8
m rad−1, n2 = 0,5 m rad−1. Então, a área de trabalho A no espaço operacional xy vem aproximadamente:
A) A ≈ 17,3 m2
B) A ≈ 5,9 m2
C) A ≈ 4,1 m2
q2
x
D) Outro resultado
14. Considere o manipulador robótico representado na figura, com
estrutura RPP (R - junta Rotacional, P - junta Prismática) e sejam θi (i =
1,2,3) as variáveis das juntas. Se as variáveis nas juntas têm amplitude
de variação tais que 0 ≤ θ1 < 2π rad (eixo R), 0 ≤ θ2 < L (eixo P) e L ≤ θ3
< 2L (eixo P), então o volume de trabalho V vem:
A) V ≈ 4L3
C) V ≈ 12L3
B) V ≈ 9L3
D) Outro resultado
θ2
15. Considere o manipulador robótico com estrutura cinemática RRP representado na
figura (R - junta Rotacional, P - junta Prismática) e sejam {θ1, θ2, θ3} as variáveis das
juntas. Supondo que −π ≤ θ1 ≤ π , −π ≤ θ2 ≤ π, 0 ≤ θ3 ≤ L então o volume de trabalho V
vem:
3
3
A) V = πL /3
B) V = 2πL /3
3
C) V = 4πL /3
θ3
θ1
D) Outro resultado
θ2
16. Considere o manipulador robótico com estrutura cinemática PRP representado na figura
(R - junta Rotacional, P - junta Prismática) e sejam {θ1, θ2, θ3} as variáveis das juntas.
Supondo que 0 ≤θ1 ≤ L , −π ≤ θ2 ≤ π, 0 ≤ θ3 ≤ L então o volume de trabalho V vem:
A) V = πL3
B) V = 2πL3
C) V = 3πL3
D) Outro resultado
17. Considere o manipulador robótico com estrutura cinemática RRP representado na figura
(R - junta Rotacional, P - junta Prismática) e sejam {θ1, θ2, θ3} as variáveis das juntas.
Supondo que −π ≤ θ1 ≤ π [rad], 0 ≤ θ2 ≤ π [rad], L ≤ θ3 ≤ 2L [m] então o volume de
trabalho V vem:
3
θ3
θ1
θ2
θ3
θ1
3
A) V = (7/3)πL /3 [m ]
B) V = (14/3)πL3/3 [m3]
C) V = (28/3)πL3 [m3]
D) V = (4/3)πL3/3 [m3]
4
SISEL - Sistemas Electromecânicos
Sistemas robóticos
18. Considere o manipulador robótico com 3 juntas da figura, que apresenta as
seguintes dimensões e restrições das juntas:
La=0,5 m
−135º < q2 < 135º
Lb=0,1 m
Lc=0,1 m
0 m < q3 < 0,4 m
18.a) Indique qual a estrutura do manipulador, o seu índice de mobilidade (M) e o
número de graus de liberdade (n).
18.b) Calcule o espaço de trabalho do manipulador para q1 = 0º.
18.c) Calcule o espaço de trabalho do manipulador para 0º < q1 < 180º.
19. As características de precisão e de repetibilidade de dois
robôs são testadas através de uma mesma experiência. Assim,
solicita-se que repitam várias vezes uma trajectória até ao
centro de um alvo. Os pontos atingidos estão representados nas
figuras seguintes. Então, pode dizer-se que:
A) O robô 1 tem maior precisão que o robô 2
B) O robô 1 tem menor precisão que o robô 2
C) O robô 1 tem menor repetibilidade que o robô 2
D) Outro caso
robot 1
robot 2
pontos
atingidos
alvo
20. As características de precisão e de repetibilidade de dois manipuladores robóticos
são testadas através de uma mesma experiência. Assim, solicita-se que repitam várias
vezes uma trajectória, com início num mesmo ponto até um ponto final situado no
centro de um alvo. Os grupos de pontos atingidos estão representados na figura e
designam-se por A e B, respectivamente para os robôs 1 e 2. Então, pode dizer-se que:
A) O robô 1 tem menor precisão e maior repetibilidade do que o robô 2
B) Os robôs 1 e 2 têm precisão e repetibilidade idênticas
C) O robô 1 tem maior precisão e menor repetibilidade do que o robô 2
D) Outro resultado
21. As características de precisão e de
repetibilidade de dois manipuladores robóticos são
testadas através de uma mesma experiência. Assim,
solicita-se que repitam várias vezes uma trajectória,
com início no ponto A até um ponto final B no
centro de um alvo. Os pontos atingidos estão
representados na figura seguinte. Então, pode dizerse que:
21.a)
A) O robô 1 tem menor precisão que o robô 2
B) O robô 1 tem precisão igual à do robô 2
C) O robô 1 tem maior precisão que o robô 2
D) Outro caso
21.b)
A) O robô 1 tem menor repetibilidade que o robô 2
B) O robô 1 tem repetibilidade igual à do robô 2
C) O robô 1 tem maior repetibilidade que o robô 2
D) Outro caso
5
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Sistemas robóticos
y
22. Considere o robô RRR representado na figura seguinte.
(x,y)
θ3
L3
L2
L1
θ2
θ1
A cinemática directa deste robô é dada por:
o
A)
x = L1senθ1 + L 2 sen (θ1 + θ 2 ) + L3 sen (θ1 + θ 2 + θ 3 )
B)
x = L1 cos θ1 + L 2 cos θ 2 + L3 cos θ 3
y = L1 cos θ1 + L 2 cos(θ1 + θ 2 ) + L3 cos(θ1 + θ 2 + θ 3 )
C)
x = L1 cos θ1 + L 2 cos(θ1 + θ 2 ) + L3 cos(θ1 + θ 2 + θ 3 )
x
y = L1senθ1 + L 2 senθ 2 + L3 senθ 3
D)
Outro resultado
y = L1senθ1 + L 2 sen (θ1 + θ 2 ) + L3 sen (θ1 + θ 2 + θ 3 )
23. Considere o seguinte manipulador robótico com três graus de liberdade rotacionais.
Vista Lateral do Manipulador
Vista de Topo do Manipulador
Y
Z
L2
θ3
L1
θ2
θ1
θ1
h
X
X
23.a) Determine a cinemática directa deste manipulador, sendo:
L1 - comprimento do elo 1;
L2 - comprimento do elo 2;
h - altura desde a base do manipulador até ao eixo 1;
θ1 - ângulo em que se encontra o eixo 1;
θ2 - ângulo em que se encontra o eixo 2;
θ3 - ângulo em que se encontra o eixo 3.
23.b) Esboce o volume de trabalho (vista lateral e vista de topo) deste manipulador, sendo:
L1 = 1 m; L2 = 0,5 m; h = 1,5 m;
−145º < θ1 < +145º; −45 º < θ2 < +180º; 0º < θ3 < 135º.
6
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Sistemas robóticos
Vista Lateral do Manipulador
Z
X
Vista de Topo do Manipulador
Y
X
7
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Sistemas robóticos
24. Considere o seguinte manipulador robótico com estrutura RRP (três graus de liberdade, dois rotacionais θ1 e
θ2 e um prismático l2).
Vista de Topo do Manipulador
Y
Vista Lateral do Manipulador
Z
l2
L1
θ2
θ1
h
θ1
X
X
24.a) Escreva as equações da cinemática directa (de posição) para este robô, sendo:
L1 – comprimento do elo 1;
l2 – deslocamento linear da junta 3;
h – altura desde a base do manipulador até à junta 1;
θ1 – deslocamento angular da junta 1;
θ2 – deslocamento angular da junta 2;
24.b) Represente no espaço operacional a trajectória do robô entre os pontos A e B, representados no espaço das
juntas (θ1 é o eixo vertical, θ2 é o eixo das abcissas e l2 o eixo das ordenadas). Suponha uma interpolação linear
entre estes dois pontos, no espaço das juntas. Considere θ1 constante com o valor θ1 =0º.
Espaço das juntas
Limite do
volume de
trabalho
l2 (m)
1
0,75 A
B
0,5
-45º 0º
135º 180º
θ 2 (º)
θ 1 - eixo vertical
24.c) Esboçe o volume de trabalho (vista lateral e vista de topo) deste manipulador, sendo:
h = 1,5 m; L1 = 1 m;
0,5 m < l2 < 1 m;
−180º < θ1 < +135º;
−45 º < θ2 < +180º;
8
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Sistemas robóticos
Vista Lateral do Manipulador
Z
X
Vista de Topo do Manipulador
Y
X
9
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Sistemas robóticos
25. Considere o robô do tipo RPRP representado na figura, onde:
−180º < q1 < 180º, 0,25 m < q2 < 1,0 m, 0º < q3 < 90º, 0,25 m < q4 < 1,5 m
25.a) Calcule as equações da cinemática directa.
25.b) Determine os valores das juntas de forma a que a posição do robô seja
x = 1,0 m, y = 1,25 m , z = 0,5 m
25.c) Em geral, para uma dada posição (x,y,z) no interior do espaço de trabalho
quantas soluções (q1,q2,q3,q4) existem para as equações da cinemática inversa?
y
26. Considere o robô RR, com dois graus de liberdade rotacionais, representado na
figura tal que l1 = 0,9 m, l2 = 0,4 m, −90º <θ1 <+180º e 0º <θ2 <+180º. Esboce o
espaço de trabalho do robot no espaço operacional {Oxy} e indique os pontos onde
ocorrem singularidades cinemáticas.
l2
l1
θ2
l2
B) x2 + y2 = l12 + l22 e x2 + y2 = l12 − l22
D) x + y = (l1 + l2)2 e x − y = (l1 − l2)2
28. Considere o robô RR, com dois graus de
liberdade rotacionais, onde l1 = 1 m e l2 = 1
m, e correspondente espaço de trabalho no
espaço operacional {Oxy}, representados nas
figuras. Além disso, sabe-se que o robô
apresenta as seguintes limitações de
accionamento nas juntas: –90º ≤ θ1 ≤ +90º e
–180º ≤ θ2 ≤ 0º. Neste caso, é ponto com
singularidade cinemática:
x
θ1
y
27. Considere o robô RR, com dois graus de liberdade rotacionais, representado na
figura tal que l1 e l2 representam os comprimentos dos elos 1 e 2. Então, existem
singularidades cinemáticas nos lugares geométricos:
A) x2 + y2 = (l1 + l2)2 e x2 + y2 = (l1 − l2)2
C) x + y = l1 + l2 e x − y = l1 − l2
θ2
l1
x
θ1
y
D
l2
l1
θ1
θ2
A
B
x
A) Ponto A
B) Ponto B
C) Ponto C
D) Ponto D
C
y
29. Considere o robô RR, com dois graus de liberdade rotacionais, representado na
figura tal que: l1 = 0.6 m, l2 = 0.4 m, −90º ≤ θ1 ≤ +90º e −135º ≤ θ2 ≤ +120º. Esboce
o volume de trabalho do robô no espaço operacional {x, y} e no espaço das juntas
{θ1, θ2}. Indique os pontos onde ocorrem singularidades cinemáticas caso existam.
l2
θ2
l1
θ1
x
10
SISEL - Sistemas Electromecânicos
Sistemas robóticos
y
30. Considere o robô RR, com dois graus de liberdade rotacionais, representado na
figura tal que l1 = 1,0 m l2 = 0,5 m. Então, ocorre uma singularidade cinemática nos
lugares geométricos:
A) x2 + y2 = 2,52 e x2 + y2 = 0
C) x2 + y2 = 22 e x2 + y2 = 0
B) x2 + y2 = 22 e x2 + y2 = 1,52
D) Outro resultado
31. Considere o robô RR, com dois graus de liberdade rotacionais, representado na
figura tal que l1 = 1 m l2 = 0,5 m. Então, existe uma singularidade cinemática no
lugar geométrico:
A) θ1 = 0 rad, θ2 = π/2 rad
C) θ1 = π/2 rad, θ2 = π/2 rad
l1
x
θ1
y
θ2
l2
B) θ1 = ±π rad, θ2 = π/2 rad
D) Outro resultado
l1
x
θ1
y
32. Considere um robô com uma estrutura RR, tal como representado na
figura seguinte, em que os elos apresentam comprimentos Li = 1m (i=1,2). A
gama de variação do movimento de cada uma das juntas deste robô é: –180º
< θi < +180º (i=1,2). Indique se é possível a este robô efectuar uma trajectória
em linha recta no espaço operacional entre os pontos com coordenadas
A ≡ (−1 ; 1.5) e B ≡ (−1 ; −1.5). Justifique a sua resposta através da
representação da trajectória resultante seja no espaço operacional {oxy} seja
no espaço das juntas {oθ1θ2}.
θ2
l2
(x,y)
L2
L1
θ2
θ1
o
x
33. Um manipulador RR está inserido no processo de produção fabril representado na figura.
33.a) Configure os limites das juntas de modo a
evitar que (por exemplo, devido a um erro de
programação) o manipulador choque com a
Máquina 1.
33.b) A função do manipulador consiste em
transportar peças do tapete 1 (ponto A) para o
tapete 2 (ponto B). Calcule as coordenadas (q1,q2)
de quatro pontos (inicial, intermédio1,
intermédio2 e final) de uma trajectória a ser
seguida pelas juntas que permita que o
manipulador cumpra essa função sem colidir com
nenhuma das máquinas. Esboce a evolução da
posição dos elos ao longo da trajectória.
l1 = 0.75m
A ≡ (1, 0)
C ≡ (0, 0.5)
y (m)
l2 = 0.5m
B ≡ (0, -1)
D ≡ (0.6, -0.6)
Máquina 1
X
q1
l2
q2
C
Tapete 1
l1
A
(0,0)
B
DX
X
x (m)
Máquina 2
X
Tapete 2
11
SISEL - Sistemas Electromecânicos
Sistemas robóticos
34. Considere o robô RR, com dois graus de liberdade rotacionais, representado
na figura tal que l1 = 0,5 m, l2 = 0,4 m, −90º <θ1 < +90º e −120º < θ2 < +150º.
34.a) Esboce o espaço de trabalho do robô no espaço operacional {xy} e no
espaço das juntas {θ1θ2}. Indique os pontos onde ocorrem singularidades
cinemáticas caso existam.
34.b) A mão do robô executa uma trajectória no espaço operacional entre os
pontos A = (x,y) ≡ (0,5; −0,1) e B = (x,y) ≡ (0,2; 0,3). Determine as
correspondentes coordenadas no espaço das juntas {θ1θ2}. Comente as diferentes
possibilidades caso elas existam.
y
l2
l1
θ1
θ2
x
35. Um robô RR com l1 = 1 m e l2 = 1,5 m, está inserido no processo de produção fabril representado na figura. A
função do manipulador consiste em transportar peças do tapete 1 (ponto A) para o tapete 2 (ponto B).
35.a) Calcule, no espaço das juntas, as coordenadas
{q1, q2} de quatro pontos (inicial, intermédio1,
intermédio2 e final) de uma trajectória a ser seguida
pelas juntas que permita que o manipulador cumpra
essa função sem colidir com nenhuma das máquinas.
Esboce a evolução da posição dos elos ao longo da
trajectória.
35.b) Seria possível usar outro tipo de manipulador
com um número de juntas igual ou inferior ao do robô
RR para desempenhar a função descrita? Em caso
afirmativo diga qual e esboce a sua trajectória, no
espaço das juntas, para o percurso A-B.
A ≡ (2, 0)
C ≡ (0, 1)
y (m)
Máquina 1
B ≡ (0, -2)
D ≡ (0.8, -0.8)
l2
X
C
q2
l1
q1
A
DX
B
Tapete 1
X
x (m)
Máquina 2
X
Tapete 2
36. Considere o robô RR, com dois graus de liberdade rotacionais e l1 = l2 = 1 m, e as trajectórias A→B e C→D
no espaço operacional {Oxy}, ambas com duração de 2 seg, representadas nas duas figuras para várias
configurações sucessivas do robô. Então, pode dizer-se que:
A) A trajectória A→B impõe maiores velocidades nos eixos do robô.
B) A trajectória C→D impõe maiores velocidades nos eixos do robô.
C) As trajectórias A→B e C→D impõem velocidades idênticas nos eixos do robô.
D) Outro resultado.
12
SISEL - Sistemas Electromecânicos
Sistemas robóticos
37. Considere o planeamento de trajectórias de um robô. Então, em geral pode dizer-se que:
A) A trajectória deve incluir pontos situados muito perto dos limites de deslocamento dos eixos
B) A trajectória deve incluir pontos situados perto das singularidades cinemáticas
C) A trajectória deve incluir pontos situados fora do espaço de trabalho
D) Outro resultado
38. Considere o robô RR, com dois graus de liberdade rotacionais, com l1 = 5 m e l2 = 5 m e as seguintes
limitações de accionamento nas juntas: –90º ≤ θ1 ≤ +90º e 0º ≤ θ2 ≤ +180º. Pretende-se efectuar a trajectória
A→B→C→D→E no espaço operacional Oxy representada na figura da direita. Indique a corresponde evolução
dos sinais {x(t), y(t)} e {θ1 (t), θ2(t)}.
y
l2
θ2
l1
x
θ1
39. Considere o robô RR, com dois graus de liberdade rotacionais, com l1 = 5 m e l2 = 5 m e as seguintes
limitações de accionamento nas juntas: θ1min ≤ θ1 ≤ θ1max e θ2min ≤ θ2 ≤ θ2max (com valores mínimo e máximo tais
que θ1min < θ1max e θ2min < θ2max). Pretende-se efectuar a trajectória A→B→C→D→E no espaço operacional Oxy
representada na figura da direita.
y
l2
θ2
l1
θ1
x
Determine os valores limite de {θ1min, θ1max, θ2min, θ2max} tais que:
39.a) A trajectória só é possível de executar com configuração do robô “cotovelo para baixo” (lower elbow).
39.b) A trajectória só é possível de executar com configuração do robô “cotovelo para cima” (upper elbow).
40. Considere um manipulador robótico do tipo RR com l1 = l2 = 1,5 m e −180º<q1<180º e −180º<q2<180º.
Pretende-se que o manipulador se movimente segundo uma trajectória com pontos inicial e final respectivamente
A≡(x0,y0) = (−1,1) e D≡(x3,y3) = (1,−1). O algoritmo de planeamento de trajectória efectua uma interpolação
gerando dois pontos adicionais B e C de forma aos quatro pontos ficarem equidistantes. Para uma configuração
“lower elbow”, determine os valores das coordenadas (q1,q2) e (x,y), respectivamente no espaço das juntas e no
espaço operacional, correspondentes aos quatro pontos {A,B,C,D} quando:
40.a) A interpolação é executada no espaço das juntas Oq1q2
40.b) A interpolação é executada no espaço operacional Oxy
40.c) A trajectória especificada na alínea anterior obriga o manipulador a cruzar uma singularidade. Indique qual
a singularidade, os seus efeitos no desempenho do manipulador e uma possível forma de os minimizar.
13
SISEL - Sistemas Electromecânicos
Sistemas robóticos (soluções)
Soluções
1.
D) RRR
2.
D) Outro resultado (RPP)
3.
C) RRP
4.
B) RPR
5.
C) Robô com eixo 1 = R e eixo 2 = P (robô (RP)
6.
C) l1 = 1 m e l2 = 0,2 m
7.
C) l1 = 1,5 e l2 = 1,2
8.
B)
9.
D) –90º < θ1 <+90º e –180º < θ2 < 0º
10.
A) Ponto A
11.
12.
(
π ⎛5
)
1⎞ 2
2
2
⎜ + ⎟ 3 − 2 ≅ 10,5m
2 ⎝6 2⎠
C) A ≈ 10,5 m2
A=
C) A ≈ 5,92 m2
13.
−
−
π
2
π
3
< θ1 < π
< θ2 <
⎯
⎯→ Δθ 1 =
2π
3
Δq i = nΔθ i
3π
2
⎯
⎯→ Δθ 2 = π
⎯
⎯→
⎛ 3π
⎞
A = Δq1 .Δq 2 = ⎜
.0,8 ⎟(π .0,5) ≅ 5,9m 2
2
⎝
⎠
B) A ≈ 5,9 m2
14.
B) V ≈ 9L3
15.
C) V = 4πL3/3
16.
A) V = πL3
17.
B) V = (14/3)πL3/3 [m3]
18.
18.a)
RRP, M=3, n=3
Representação da área de trabalho no espaço
operacional para q1=0º
18.b)
área de trabalho =
270
π (0,5 2 − 0,12 ) ≈ 0,56m 2
360
0,1
0,5
1
SISEL - Sistemas Electromecânicos
Sistemas robóticos (soluções)
18.c)
Volume de trabalho =
2π
3
π 0 ,5
4
sen(q 2
0
0 ,1
∫ ∫ ∫
0
19.
B) O robô 1 tem menor precisão que o robô 2
20.
C) O robô 1 tem maior precisão e menor repetibilidade do que o robô 2
21.
21.a)
21.b)
A) O robô 1 tem menor precisão que o robô 2
B) O robô 1 tem repetibilidade idêntica à do robô 2
22.
C)
23.
23.a)
0 ,5
3
π ⎡q 3 ⎤
)q 3 2 dq 3 dq 2 dq1 = −2π [cos (q 2 )]04 ⎢ 3 ⎥ ≈ 0,44m 3
⎢⎣ 3 ⎥⎦ 0 ,1
Cinemática directa:
⎧ x = cos θ1 [l1 cos θ 2 + l 2 cos(θ 2 + θ 3 )]
⎪
⎨ y = senθ1 [l1 cos θ 2 + l 2 cos(θ 2 + θ 3 )]
⎪ z = h + l senθ + l sen (θ + θ )
1
2
2
2
3
⎩
23.b)
2
SISEL - Sistemas Electromecânicos
24.
24.a)
Sistemas robóticos (soluções)
⎧ x = cos(θ 1 )[(L1 + l 2 ) cos(θ 2 )]
⎪
Cinemática directa: ⎨ y = sen (θ 1 )[(L1 + l 2 ) cos(θ 2 )]
⎪ z = h + (L + l )sen (θ )
1
2
2
⎩
24.b)
z
θ 2=135º
B
θ 2=0º
l1=1m
A
l2=0,75m
h
x
24.c)
3
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Sistemas robóticos (soluções)
25.
25.a)
⎡ x ⎤ ⎡q 4 cos(q 3 ) cos(q1 )⎤
⎢ y ⎥ = ⎢ q cos(q )sen(q ) ⎥
3
1 ⎥
⎢ ⎥ ⎢ 4
⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣ q 2 + q 4 sen(q 3 ) ⎥⎦
25.b)
r = x 2 + y 2 = 1,5m
Só é possível com q 3 = 0° e q 4 = 1,5m , logo:
⎡ x ⎤ ⎡1,5 cos(q1 )⎤
q 2 = z = 0 ,5m
⎧
⎢ y ⎥ = ⎢1,5sen(q ) ⎥ ⇔ ⎪ y sen(q )
1
⎨ =
1 ⎥
⎢ ⎥ ⎢
⇔ q1 = 48,2°
⎪⎩ x cos(q1 )
⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣
⎥⎦
q2
25.c)
Infinitas.
26.
Volume de trabalho no espaço operacional
Obtêm-se duas
cinemática:
zonas
de
singularidade
R2
⎧ R1 = l1 + l 2 = 1,3m
⇒
⎨
⎩ R 2 = l1 − l 2 = 0,5m
R1
⎧ θ 1 = 0°
⎨
⎩θ 2 = 180°
27.
A) x2 + y2 = (l1 + l2)2 e x2 + y2 = (l1 - l2)2
28.
C) Ponto C
29.
Volume de trabalho no espaço das juntas
θ2
120º
Lower Elbow
-90º
90º
θ1
Upper Elbow
-135º
4
SISEL - Sistemas Electromecânicos
Sistemas robóticos (soluções)
Volume de trabalho no espaço operacional
(Lower Elbow)
R2
R1
⎧⎪ R = 0 ,6 2 + 0 ,4 2 − 2.0 ,6.0 ,4. cos(60°) = 0,529m
⎨ 1
⎪⎩
R 2 = 0 ,6 + 0 ,4 = 1m
Verifica-se uma singularidade cinemática para:
θ1 qualquer, θ2 = 0º
Volume de trabalho no espaço operacional
(Upper Elbow)
R2
R1
⎧⎪ R = 0 ,6 2 + 0 ,4 2 − 2.0 ,6.0,4. cos(45°) = 0,425m
⎨ 1
⎪⎩
R 2 = 0 ,6 + 0 ,4 = 1m
Verifica-se uma singularidade cinemática para:
θ1 qualquer, θ2 = 0º
30.
D) Outro resultado
⎧⎪ x 2 + y 2 = 1,5 2
Pontos singulares ⎨ 2
⎪⎩ x + y 2 = 0,5 2
31.
D) Outro resultado
θ2 = 0 rad , θ2 = ±π rad
5
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Sistemas robóticos (soluções)
32.
Volume de trabalho no espaço das juntas
q2
y
Trajectória pretendida no
espaço operacional
180º
2
A
B
-2
2
x
A
q1
180º
-180º
B
-180º
-2
A (98º;51,3º)
q1 excede o limite de
movimento admissível
33.
33.a)
B (-149º;51,3º)
⎛ 0 ,5 ⎞
q 2 = arcsin⎜
⎟ = 41,8°
⎝ 0,75 ⎠
−180° < q1 < 41,8°
− 180° < q 2 < −41,8°
33.b)
⎧⎪ x = 1
⎧ q = 28,9°
⇒ ⎨ 1
Ponto inicial → Ponto A ⎨ A
⎪⎩ y A = 0
⎩q 2 = −75,5°
⎧⎪ x I = 0,75
⎧ q = 19,3°
⇒ ⎨ 1
Ponto intermédio 1 → Ponto I1 ⎨ 1
⎪⎩ y I1 = −0,25
⎩q 2 = −104,5°
y
⎧⎪ x I = 0,25
⎧ q = −33,8°
⇒ ⎨ 1
Ponto intermédio 2 → Ponto I2 ⎨ 2
⎪⎩ y I 2 = −0,75
⎩q 2 = −104,5°
⎧⎪ x = 0
⎧ q = −61°
⇒ ⎨ 1
Ponto final → Ponto B ⎨ B
⎪⎩ y B = −1
⎩q 2 = −75,5°
0,36m
A
x
B
6
SISEL - Sistemas Electromecânicos
Sistemas robóticos (soluções)
34.
34.a)
Volume de trabalho no espaço das juntas
θ2
150º
Lower Elbow
-90º
90º
θ1
Upper Elbow
-120º
Volume de trabalho no espaço operacional
(Lower Elbow)
Volume de trabalho no espaço operacional
(Upper Elbow)
R2
R2
R1
R1
⎧⎪ R = 0,5 2 + 0 ,4 2 − 2.0 ,5.0 ,4. cos(30°) = 0 ,252m
⎨ 1
⎪⎩
R 2 = 0 ,5 + 0,4 = 0 ,9m
⎧⎪ R = 0 ,5 2 + 0,4 2 − 2.0,5.0,4. cos(60°) = 0,458m
⎨ 1
⎪⎩
R 2 = 0,5 + 0 ,4 = 0,9m
Nas duas situações existem singularidades cinemáticas para: θ1 qualquer, θ2 = 0º
34.b)
y
B (0,2;0,3)
x
A (0,5;-0,1)
Só é possível através da configuração lower elbow,
pois na configuração upper elbow os limites das
juntas do robô são ultrapassados.
7
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Sistemas robóticos (soluções)
Lower Elbow
trajectória
A
B
x
0,5
0,425
0,35
0,275
0,2
Upper Elbow
θ1 (graus) θ2 (graus) θ1 (graus) θ2 (graus)
y
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
-58,0
-50,4
-36,4
-16,8
3,9
112,0
125,0
133,9
137,4
134,4
35,3
50,4
68,3
88,8
108,7
-112,0
-125,0
-133,9
-137,4
-134,4
35.
35.a)
⎧⎪ x = 2
⎧q = −46,6°
⇒ ⎨ 1
Ponto inicial → Ponto A ⎨ A
⎪⎩ y A = 0
⎩ q 2 = 75,5°
⎧
2
⎪⎪ x I1 =
2
Ponto intermédio 1 → Ponto I1 ⎨
⎪y = − 2
⎪⎩ I1
2
⎧q = −142,2°
⇒ ⎨ 1
⎩ q 2 = 138,6°
⎧⎪ x I = 1
⎧q = −138,3°
⇒ ⎨ 1
Ponto intermédio 2 → Ponto I2 ⎨ 2
⎪⎩ y I 2 = −3
⎩ q 2 = 104,5°
y
⎧⎪ x = 0
⎧q = −136,6°
⇒ ⎨ 1
Ponto final → Ponto B ⎨ B
⎪⎩ y B = −2
⎩ q 2 = 75,5°
35.b)
A
x
B
Sim. Uma estrutura RP.
q2
B
A
2
1
-π
2
-π
4
q1
36.
B) A trajectória C→D impõe maiores velocidades nos eixos do robô.
37.
D) Outro resultado
8
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Sistemas robóticos (soluções)
Cinemática inversa de um robô RR:
⎡
⎛ l 2 sin θ 2
⎛ y⎞
⎢arctg 2 ⎜ ⎟ − arctg 2 ⎜⎜
⎝x⎠
⎡ θ1 ⎤ ⎢
⎝ l1 + l 2 cos θ 2
⎢θ ⎥ = ⎢
2
2
⎛
x + y − l1 2 − l 2 2 ⎞⎟
⎣ 2⎦ ⎢
arccos⎜
⎟
⎜
2l1l 2
⎢
⎠
⎝
⎣
38.
⎞⎤
⎟⎟⎥
⎠⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Com l1 = l2 = 5m vem:
Lower Elbow
trajectória
A
B
C
D
E
tempo
0
4,5
7
11
13
x
9
9
6
3
0
y
0
1,5
3
3
0
Upper Elbow
θ1 (graus)
θ2 (graus)
θ1 (graus)
θ2 (graus)
-25,8
-14,7
-21,3
-19,9
-45
51,7
48,3
95,7
129,8
180
25,8
33,6
74,4
109,9
135
-51,7
-48,3
-95,7
-129,8
-180
Solução 1, é possível
Solução 2: não é possível pois
excede os limites das juntas.
Evolução de x e y
10
9
8
x
7
y
6
5
4
3
2
1
0
0
2
4
6
8
10
12
14
tem po
Evolução de q1 e q2
200
150
q1 (graus)
100
q2 (graus)
50
0
0
2
4
6
8
10
12
14
-50
-100
tem po
39.
(Ver resolução do exercício anterior)
39.a)
39.b)
Lower Elbow: –90º ≤ θ1 ≤ 0º e 0º ≤ θ2 ≤ 180º
Upper Elbow: 0º ≤ θ1 ≤ 180º e -180º ≤ θ2 ≤ 0º
9
SISEL - Sistemas Electromecânicos
Sistemas robóticos (soluções)
40.
40.a)
Lower Elbow
trajectória
A
B
C
D
x
-1
0,37
1,37
1
y
1
1,37
0,37
-1
θ1 (graus) θ2 (graus)
73,1
13,1
-46,9
-106,9
123,7
123,7
123,7
123,7
40.b)
Interpolação no espaço operacional
y
Lower Elbow
trajectória
A
B
C
D
x
-1
-0,33
0,33
1
y
1
0,33
-0,33
-1
θ1 (graus) θ2 (graus)
73,1
54,0
-126,0
-106,9
123,7
161,9
161,9
123,7
A (-1;1)
B
3
C
D (1;-1)
40.c)
- Singularidade cinemática: l1 = l2 e x=y=0 (θ1 qualquer, θ2 = ±180º).
- Existe um número infinito de possíveis configurações do robô.
- Definir uma trajectória que não atravesse o ponto singular em causa.
10
x