Algarismos Romanos
A numeração romana é um sistema de numeração que usa letras maiúsculas, as quais são
atribuídos valores. Os algarismos romanos são usados principalmente:
 Nos números de capítulos uma obra.
 Nas cenas de um teatro.
 Nos nomes de papas e imperadores.
 Na designação de congressos, olimpíadas, assembléias...
Regras
A numeração romana utiliza sete letras maiúsculas, que correspondem aos seguintes valores:
Letras
Valores
I
1
V
5
X
10
L
50
C
100
D
500
M
1000
Exercícios de Médias
1) Calcule a média aritmética simples em cada um dos seguintes casos:
a) 15 ; 48 ; 36
b) 80 ; 71 ; 95 ; 100
c) 59 ; 84 ; 37 ; 62 ; 10
d) 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9
e) 18 ; 25 ; 32
f) 91 ; 37 ; 84 ; 62 ; 50
2) João deseja calcular a média das notas que tirou em cada uma das quatro matérias a
seguir. Calcule a média ponderada de suas notas, sendo que as duas primeiras provas valem
2 pontos e as outras duas valem 3 pontos:
Inglês
1ª prova
6,5
2ª prova
7,8
3ª prova
8,0
4ª prova
7,1
Português
1ª prova
7,5
2ª prova
6,9
3ª prova
7,0
4ª prova
8,2
História
1ª prova
5,4
2ª prova
8,3
3ª prova
7,9
4ª prova
7,0
Matemática
1ª prova
8,5
2ª prova
9,2
3ª prova
9,6
4ª prova
10,0
Exercícios de Porcentagem
a) A quantia de R$ 1143,00 representa qual porcentagem de R$ 2540,00?
b) Sabe-se que 37,5% de uma distância x corresponde a 600 m. Qual a distância x?
c) Uma escola tem 25 professores, dos quais 24% ensinam Matemática. Quantos professores
ensinam Matemática nessa escola?
d) Na compra de um aparelho obtive desconto de 15% por ter feito o pagamento à vista. Se
paguei R$ 102,00 reais pelo aparelho, qual era seu o preço original?
Calcule as porcentagens correspondentes:
e) 2% de 700 laranjas
f) 40% de 48 m
g) 38% de 200 Kg
h) 6% de 50 telhas
i) 37,6% de 200
j) 22,5% de 60
Regra de três simples
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais
conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.
Passos utilizados numa regra de três simples:
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma
linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.
2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
3º) Montar a proporção e resolver a equação.
Exemplos:
1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar
consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia
produzida?
Solução: montando a tabela:
Área (m2)
Energia (Wh)
1,2
400
1,5
x
Identificação do tipo de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são
diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª
coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.
2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas.
Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?
Solução: montando a tabela:
Velocidade (Km/h)
400
480
Identificação do tipo de relação:
Tempo (h)
3
x
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui.
Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são
inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na
1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.
3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo
tipo e preço?
Solução: montando a tabela:
Camisetas
Preço (R$)
3
120
5
x
Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são
diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.
4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número
de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?
Solução: montando a tabela:
Horas por dia
Prazo para término (dias)
8
20
5
x
Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta.
Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são
inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Exercícios de Regra de Três
a) Três caminhões transportam 200m³ de areia. Para transportar 1600m³ de areia, quantos
caminhões iguais a esse seriam necessários?
b) A comida que restou para 3 náufragos seria suficiente para alimentá-los por 12 dias. Um
deles resolveu saltar e tentar chegar em terra nadando. Com um náufrago a menos, qual
será a duração dos alimentos?
c) Para atender todas as ligações feitas a uma empresa são utilizadas 3 telefonistas,
atendendo cada uma delas, em média, a 125 ligações diárias. Aumentando-se para 5 o
número de telefonistas, quantas ligações atenderá diariamente cada uma delas em média?
d) Um pintor, trabalhando 8 horas por dia, durante 10 dias, pinta 7.500 telhas. Quantas
horas por dia deve trabalhar esse pintor para que ele possa pintar 6.000 telhas em 4 dias?
e) Em uma disputa de tiro, uma catapulta, operando durante 6 baterias de 15 minutos cada,
lança 300 pedras. Quantas pedras lançará em 10 baterias de 12 minutos cada?
Adição e subtração de números fracionários
Temos que analisar dois casos:
1º) Denominadores Iguais
Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o
denominador.
Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o
denominador.
Observe os exemplos:
2º) Denominadores Diferentes
Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações equivalentes, de
denominadores iguais ao MMC dos denominadores das frações. Exemplo: somar as frações
Obtendo o MMC dos denominadores temos (5,2) = 10.
(10:5).4 = 8
(10:2).5 = 25
Resumindo: utilizamos o MMC para obter as frações equivalentes e depois somamos normalmente
as frações, que já terão o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o caso 1.
Multiplicação e divisão de números fracionários
Na multiplicação de números fracionários, devemos multiplicar numerador por numerador, e
denominador por denominador, assim como é mostrado nos exemplos abaixo:
Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da
segunda, como é mostrado no exemplo abaixo:
1. (CFO-03) Se uma vela de 360 mm de altura, diminui 1,8 mm por minuto, quanto tempo levará para se
consumir?
20 minutos
30 minutos
2h 36 min
3h 20 min
3h 18min
2. (SESD-04) 30 operários deveriam fazer um serviço em 40 dias. 13 dias após o início das obras, 15
operários deixaram o serviço. Em quantos dias ficará pronto o restante da obra?
53
54
56
58
3. Doze operários, em 90 dias, trabalhando 8 horas por dia, fazem 36m de certo tecido. Podemos afirmar que,
para fazer 12m do mesmo tecido, com o dobro da largura, 15 operários, trabalhando 6 horas por dia levarão:
90 dias
80 dias
12 dias
36 dias
64 dias
4. (Colégio Naval) Vinte operários constroem um muro em 45 dias, trabalhando 6 horas por dia. Quantos
operários serão necessários para construir a terça parte desse muro em 15 dias, trabalhando 8 horas por dia?
10
20
15
30
6
5. (EPCAr) Um trem com a velocidade de 45km/h, percorre certa distância em três horas e meia. Nas mesmas
condições e com a velocidade de 60km/h, quanto tempo gastará para percorrer a mesma distância?
2h30min18s
2h37min8s
2h37min30s
2h30min30s
2h29min28s
6. (ETFPE-11) Se 8 homens levam 12 dias montando 16 máquinas, então, nas mesmas condições, 15 homens
montam 50 máquinas em:
18 dias
3 dias
20 dias
6 dias
16 dias
7. Doze pedreiros fizeram 5 barracões em 30 dias, trabalhando 6 horas por dia. O número de horas por dia,
que deverão trabalhar 18 pedreiros para fazerem 10 barracões em 20 dias é:
8
9
10
12
15
8. Ao reformar-se o assoalho de uma sala, suas 49 tábuas corridas foram substituídas por tacos. As tábuas
medem 3 m de comprimento por 15 cm de largura e os tacos 20 cm por 7,5 cm. O número de tacos
necessários para essa substituição foi:
1.029
1.050
1.470
1.500
1.874
9. Um relógio atrasa 1 min e 15 seg a cada hora. No final de um dia ele atrasará:
24 min
30 min
32 min
36 min
50 min
10. Uma blusa custa R$ 30,00 e está na promoção com um desconto à vista de 20%. Qual será o preço dessa
blusa ?
R$ 40,00
R$ 23,00
R$ 24,00
R$ 50,00
R$ 18,00
Exercícios de Porcentagem
a) A quantia de R$ 1143,00 representa qual porcentagem de R$ 2540,00?
b) Sabe-se que 37,5% de uma distância x corresponde a 600 m. Qual a distância x?
c) Uma escola tem 25 professores, dos quais 24% ensinam Matemática. Quantos professores
ensinam Matemática nessa escola?
d) Na compra de um aparelho obtive desconto de 15% por ter feito o pagamento à vista. Se
paguei R$ 102,00 reais pelo aparelho, qual era seu o preço original?
Calcule as porcentagens correspondentes:
e) 2% de 700 laranjas
f) 40% de 48 m
g) 38% de 200 Kg
h) 6% de 50 telhas
i) 37,6% de 200
j) 22,5% de 60
Fevereiro de 2013
Professor Daniel