Matriz de Admitância e Cálculo
de Redes
Matriz de Admitância e Fatoração LU
Joinville, 22 de Abril de 2013
Escopo dos Tópicos Abordados
‹ Matriz
de Admitância e Cálculo de Redes
– Matriz de Admitância;
– Eliminação de Gauss;
– Fatoração LU;
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Resolução das Equações
Nodais
‹ Resolução via Fatoração triangular ou Fatoração LU:
– Consiste em fatorar a matriz Y barra em uma matriz triangular inferior L
(de Lower) e uma matriz triangular superior (Upper):
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Resolução das Equações
Nodais
‹ Resolução via Fatoração triangular ou Fatoração LU:
– A decomposição LU é obtida via eliminação de Gauss;
– Tem como vantagem a propriedade que a decomposição de uma
matriz em matrizes triangulares superior e inferior é única. Assim, se Y
barra não muda, não é necessário realizar a eliminação de Gauss
novamente.
– A matriz U é obtida via eliminação de Gauss convencional;
– A matriz L é obtida via armazenamento das colunas que são
sucessivamente eliminadas via cada passo da eliminação de Gauss.
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Resolução das Equações
Nodais
‹ Fatoração triangular ou Fatoração LU:
– A matriz U é obtida via eliminação de Gauss convencional;
– A matriz L é obtida via armazenamento das colunas que são
sucessivamente eliminadas via cada passo da eliminação de Gauss.
– Decomponha a matriz abaixo via fatoração LU:
Y=
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Resolução das Equações
Nodais
‹ Fatoração triangular ou Fatoração LU:
– A matriz U é obtida via eliminação de Gauss convencional;
– A matriz L é obtida via armazenamento das colunas que são
sucessivamente eliminadas via cada passo da eliminação de Gauss.
Y=
‹Eliminação
Y
(1)
de Gauss da coluna 1:
‹Formação
das colunas 1 e 2 de L:
=
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Resolução das Equações
Nodais
‹ Fatoração triangular ou Fatoração LU:
– A matriz U é obtida via eliminação de Gauss convencional;
– A matriz L é obtida via armazenamento das colunas que são
sucessivamente eliminadas via cada passo da eliminação de Gauss.
Y
‹Eliminação
(1)
=
de Gauss da coluna 2:
‹Formação
da coluna 3 de L:
Y ( 2) = U =
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Resolução das Equações
Nodais
‹
Resolvendo as equações nodais via Fatoração LU:
– A matriz Y barra é obtida decomposta em LU via eliminação de Gauss:
– Como passo intermediário, resolve-se inicialmente a equação via
substituição direta:
– Em seguida a equação via substituição reversa:
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Resolução das Equações
Nodais
‹
Resolvendo as equações nodais via Fatoração LU:
– Como passo intermediário, resolve-se inicialmente a equação via
substituição direta:
9
Resolução das Equações
Nodais
‹
Resolvendo as equações nodais via Fatoração LU:
– Em seguida a equação via substituição reversa:
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Resolução das Equações
Nodais
‹
Desta forma, havendo mudanças no vetor de injeção de
correntes (geração) e não havendo mudanças estruturais no
sistema (na matriz Ybarra) aproveitam-se os valores da
decomposição LU:
– Resolvendo a equação via substituição direta:
– Em seguida a equação via substituição reversa:
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Resolução das Equações
Nodais
‹ Resolução
do exemplo via eliminação de Gauss
extendido para a fatoração LU:
– Para o exemplo dado, que possui 4 equações e 4
incógnitas, deve-se eliminar sucessivamente o número de
equações e incógnitas, uma a uma, até que se chegue a
um sistema de uma equação e uma variável;
– A equação final fornece o valor da respectiva incógnita da
equação, que é substituída novamente no conjunto de
equações a fim de se calcular o restante das incógnitas;
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Resolução das Equações
Nodais
‹ Resolução
do exemplo via eliminação de Gauss
extendido para a fatoração LU:
– Iniciando pela eliminação de Gauss:
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Resolução das Equações
Nodais
‹ Resolução
‹ Passo
via eliminação de Gauss para o exemplo:
1) eliminar V1: divida a equação 1 pelo pivô
Y11:
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Resolução das Equações
Nodais
‹ Resolução
via eliminação de Gauss para o exemplo:
(1)
(2)
(3)
(4)
‹ Passo
2) multiplique
por Y21, Y31 e Y41 e subtraia o resultado das
equações 2, 3 e 4:
(2’)
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Resolução das Equações
Nodais
‹ Passo
2) :
(1)
(2)
(3)
(4)
(2’)
(3’)
(4’)
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Resolução das Equações
Nodais
‹ Reescrevendo
em forma compacta:
(1’)
(2’)
(3’)
(4’)
‹ De
forma genérica:
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Resolução das Equações
Nodais
‹ Após
o passo 1, o nó 1 é eliminado e pode-se
resolver um sistema de 3 incógnitas e 3 variáveis:
‹ Sistema original:
‹ Sistema
com V1 eliminado – resolve-se para V2, V3
e V4:
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Resolução das Equações
Nodais
‹ Graficamente,
após o passo 1, o nó 1 foi eliminado,
resultando em um sistema equivalente de 3 nós e a
referência:
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Resolução das Equações
Nodais
‹ Realizando
eliminações sucessivas através das
equações genéricas, elimina-se V2:
‹ Resultando
no sistema:
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Resolução das Equações
Nodais
‹ Graficamente,
‹ Resultando
elimina-se V2:
no sistema:
21
Resolução das Equações
Nodais
‹ Prosseguindo
‹ Resultando
com a eliminação, elimina-se V3:
no sistema onde se obtém V4:
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Resolução das Equações
Nodais
‹ Por
substituição reversa, a partir do valor de V4,
calcula-se V3, V2 e V1:
23
Resolução das Equações
Nodais
‹Passos
que devem ser realizados para a
Solução das equações via fatoração LU:
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Resolução das Equações
Nodais
‹ Aproveitando
as colunas da eliminação de Gauss
para a formação da matriz L da fatoração triangular
LU:
– A matriz U é obtida via eliminação de Gauss convencional; A matriz U
é dada pela última matriz da eliminação de Gauss:
– A matriz L é obtida via armazenamento das colunas que são
sucessivamente eliminadas via cada passo da eliminação de Gauss.25
Resolução das Equações
Nodais
‹ Formação
da matriz L:
‹ Passo 1: coluna 1 de L é a coluna 1 da matriz do
sistema original:
‹
Matriz L extrutura completa: Obs - neste momento existe
apenas a coluna 1 de L:
I
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Resolução das Equações
Nodais
‹ Formação da matriz L:
– Passo 2: coluna 2 de L é a coluna 2 da matriz obtida via eliminação do
Nó 1 via eliminação de Gauss:
– Sistema com V1 eliminado – resolve-se para V2, V3 e V4:
– Coluna 2 da matriz L:
I
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Resolução das Equações
Nodais
‹ Formação da matriz L:
– Passo 3: coluna 3 de L é a coluna 3 da matriz obtida via eliminação do
nó 2 via eliminação de Gauss:
– Elimina-se V2:
– Coluna 3 da matriz L:
I
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Resolução das Equações
Nodais
‹ Formação da matriz L:
– Passo 4: coluna 4 é a coluna 4 da matriz obtida via eliminação do nó 3
via eliminação de Gauss:
– Elimina-se V3:
– Coluna 4 da matriz L:
I
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Resolução das Equações
Nodais
‹ Passo
5: matrizes U e L estão formadas e prontas
para serem utilizadas na solução do sistema:
⎡V1' ⎤
⎢ '⎥
⎢V2 ⎥
⎢V3' ⎥
⎢ '⎥
⎢⎣V4 ⎥⎦
– Matriz L:
I
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Resolução das Equações
Nodais
‹
Relembrando: de posse das matrizes L e U encontra-s a
solução do sistema ( YbarraV=I) via substituição direta e reversa
YbarraV=I
– Resolvendo a equação via substituição direta:
– Em seguida a equação via substituição reversa:
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Resolução das Equações
Nodais
‹A
partir das matrizes L e U, pode-se alterar o vetor
de injeção de correntes e solucionar diversos casos:
– Resolvendo a equação via substituição direta a partir da matriz L:
I
– Em seguida, a equação via substituição reversa:
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Resolução das Equações
Nodais
‹ Resolvendo
a equação via substituição reversa a
partir da matriz U:
V'
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Resolução das Equações
Nodais
‹ Exemplo de solução a partir da fatoração LU:
– Escolha de qualquer vetor de corrente – emulando um redespacho de
geração elétrica:
– Uso da Matriz L para solução via substituição direta:
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Resolução das Equações
Nodais
‹ Exemplo de solução a partir das fatoração
– Uso da Matriz U para solução via substituição reversa:
LU:
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