Mestrado em
Matemática
Aplicada
EXAMES DE QUALIFICAÇÃO
1989 – 2002
M
Universidade Federal do Rio de Janeiro
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA
EXAMES DE
CÁLCULO AVANÇADO
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Cálculo Avançado
Setembro de 1989
1a Questão:
Qual o volume da maior caixa retangular com lados paralelos aos planos coordenados
que pode ser inscrita no elipsoide x2 /a2 + y 2 /b2 + z 2 /c2 = 1?
2a Questão:
¡
¢
Considere as seguintes normas definidas em E = C 1 [0, 1]; R :
©
ª
kf k1 = sup |f (x)| | x ∈ [0, 1]
©
ª
©
ª
kf k2 = sup |f (x)| | x ∈ [0, 1] + sup |f 0 (x)| | x ∈ [0, 1]
Exiba uma sequência fn ∈ E convergente na norma kf k1 e divergente na norma kf k2 .
Justifique suas afirmativas.
3a Questão:
Demonstre a fórmula da mudança de variáveis de integração no caso particular em que
¡
¢
a mudança é da forma (x, y) 7→ (x, g(x, y)), onde ∂g/∂y (x, y) 6= 0, para todo número
real y.
4a Questão: (O objetivo desta questão é provar a lei de Gauss da eletrostática)
O potencial do campo elétrico de uma carga puntiforme situada na origem é dado por
f (x, y, z) = 1/(x2 + y 2 + z 2 )1/2 .
a) Mostre que o fluxo deste campo por uma superfı́cie fechada que não contém a
origem é zero.
b) Calcule o fluxo através de uma esfera de raio R e centro na origem.
c) Calcule o fluxo através de uma superfı́cie fechada qualquer que contenha a origem.
5a Questão:
Seja f : R2 −→ R uma função de classe C 1 . Mostre que as componentes conexas do
conjunto
ª
©
∂f
(x, y) 6= 0
(x, y) ∈ R2 | f (x, y) = 0 mas
∂x
são difeomorfas à reta.
Exames de Cálculo Avançado —
1
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Cálculo Avançado
Março de 1990
1a Questão:
Seja f : RN −→ R de classe C 2 e tal que f (tx) = t2 f (x) ∀t ∈ R, ∀x ∈ RN . Mostre que
f (x) =
1 2
D f (0) · x2
2
∀x ∈ RN .
2a Questão:
©
ª
PN
Seja p ∈]1, ∞[ e seja B = x ∈ RN | i=1 |xi |p = 1
a) Seja y = (y1 , . . . , yN ) ∈ RN . Calcule maxx∈B |y1 x1 + . . . + yN xN |.
b) Demonstre a desigualdade de Hölder:
|
N
X
i=1
xi yi | ≤
ÃN
X
!1/p Ã
|xi |p
i=1
N
X
!1/q
|yi |q
∀x ∈ RN ∀y ∈ RN ,
i=1
onde q é tal que 1/p + 1/p = 1.
3a Questão:
Seja f : R2 −→ R dada por f (x, y) = xy + 21 e−(x
ª
1 .
2
+y 2 )
©
e seja C = (x, y) ∈ R2 | f (x, y) =
a) Mostre que C é uma curva (isto é, que numa vizinhança de cada um de seus
pontos C é gráfico de uma função).
b) Mostre que C não é conexa.
4a Questão:
Considere F : R3 −→ R3 um campo de vetores C ∞ . Seja Φ: R4 −→ R3 o fluxo associado
a F , isto é: se v: R −→ R3 é dada por v(t) = Φ(t, x, y, z), (x, y, z) fixo, então v(0) =
d
(x, y, z) e dt
v(t) = F (v(t)). Considere sabido que Φ é de classe C ∞ .
©
ª
Seja B0 = (x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 ≤ 1 e seja, para cada t em R,
©
ª
B(t) = Φ(t, x, y, z) | (x, y, z) ∈ B0 .
Seja v: R −→ R dado por v(t) =
em termos apenas de B0 e de F .
R
B(t)
dx (isto é, v(t) = volume de B(t)). Calcule v 0 (0)
Sugestão: não se esqueça de que Φ(0, x, y, z) = (x, y, z).
Exames de Cálculo Avançado —
2
5a Questão:
Seja u: R2 −→ R de classe C 2 e seja (a, b) ∈ R2 . Considere m: [0, ∞[−→ R dada por
m(r) = valor médio de u sobre Cr , onde
©
ª
Cr = (x, y) ∈ R2 | (x − a)2 + (y − b)2 = r2 .
a) Calcule m0 (r).
2
2
b) Seja ∆u = ∂∂xu2 + ∂∂yu2 . Mostre que se ∆u é sempre não negativo então m é
não decrescente e que se ∆u é sempre não positivo então m é não crescente. Em
particular, demonstre a propriedade da média: se u é harmônica (∆u = 0), então
m(r) ≡ u(a, b).
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Cálculo Avançado
Setembro de 1990
1a Questão:
R
2
Seja IN = IRN e−πkxk dx, x ∈ IRN .
a) Prove que I2 = 1.
b) Mostre que I2 = I12 .
c) Use (b) para mostrar que IN = 1 ∀N ∈ N.
2a Questão:
Sejam γ: (a, b) −→ R3 , C 1 , com γ 0 (t) 6= 0 ∀t ∈ (a, b), p0 ∈ R3 tal que p0 ∈
/ γ(t) ∀t ∈ (a, b)
3
2
e h , i o produto interno usual de R . Defina g(t) = kγ(t) − p0 k onde kxk2 = hx, xi.
Mostre que g é C 1 , calcule sua derivada e mostre que g 0 (t0 ) = 0 se e somente se p0 −γ(t0 )
é perpendicular ao vetor tangente a γ em t0 , γ 0 (t0 ).
3a Questão:
Seja T ∈ L(Rm , Rm ). Dizemos que A é uma raiz cúbica de T se A3 = T .
a) Mostre que existem uma vizinhança U da identidade e uma função
ϕ: U −→ L(Rm , Rm )
de classe C ∞ tal que ϕ(I) = I e ϕ(T ) é uma raiz cúbica de T ∈ U .
b) Mostre que para m = 2 a identidade admite mais de uma raiz cúbica.
Exames de Cálculo Avançado —
3
4a Questão:
a) Deduza do Teorema da Divergência (Gauss) a 2a identidade de Green:
Z
Z
∆uv − ∆vu =
Ω
∂u
∂v
v−
u.
∂η
∂Ω ∂η
R
b) Conclua que se u é harmônica então ∂Ω ∂u
∂η = 0.
©
ª
3
c) Seja Br = x ∈ R | kxk ≤ r e Ω² = Br \ B² , r > ² > 0.
Considere v =
1
kxk
e faça ² → 0 para obter o teorema da média:
1
u harmônica ⇒ u(0) =
4πr2
Z
u.
∂Br
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Cálculo Avançado
Fevereiro de 1991
1a Questão:
Seja ϕ: Rm −→ Rm uma contração (i.e., existe 0 < λ < 1 tal que kϕ(x) − ϕ(y)k ≤
λkx − yk). Prove que a aplicação f : Rm −→ Rm dada por f (x) = x + ϕ(x) é um
homeomorfismo de Rm sobre si mesmo.
2a Questão:
Seja Ω um aberto em R3 e seja u: Ω −→ R de classe C 2 . Seja P ∈ Ω e suponha que a
bola de centro P e raio R esteja contida em Ω. Para r ∈ [0, R] defina o Valor Médio
de u sobre a esfera Sr de centro P e raio r por
Z
1
m(r) =
u dS.
4πr2 Sr
a) Mostre que
1
m (r) =
4πr2
Z
0
∆u dV,
Br
onde Br é a bola de centro P e raio r e ∆u =
u.
∂2u
∂x2
2
2
+ ∂∂yu2 + ∂∂zu2 é o Laplaciano de
b) Prove que se ∆u = 0, então m(r) = u(P ). Conclua que se P é ponto de máximo
ou mı́nimo local de u e ∆u = 0, então u é constante em qualquer bola de centro
P e contida em Ω.
Exames de Cálculo Avançado —
4
3a Questão:
Seja U ⊂ R3 aberto, f : U −→ R2 , C ∞ com Df (z): R3 −→ R2 sobrejetiva, ∀z ∈ U . Prove
que para todo compacto K ⊂ U , |f |K | (f restrito K) atinge seu máximo na fronteira de
K.
4a Questão:
a) Seja f : U −→ Rm de calsse C 1 no aberto U ⊂ Rm . Para algum a ∈ U , seja
f 0 (a): Rm −→ Rm um isomorfismo. Mostre que
lim
³ ¡
¢´
vol f B(a; r)
volB(a; r)
r→0
= |detf 0 (a)|.
b) Se f 0 (a) não é isomorfismo, prove que
lim
³ ¡
¢´
vol f B(a; r)
r→0
volB(a; r)
= 0.
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Cálculo Avançado
Setembro de 1991
1a Questão:
Seja f : U ⊆ Rm −→ R uma função de classe C 2 . O ponto crı́tico x0 ∈ U diz-se não
degenerado quando a forma bilinear f 00 (x0 ) é não singular, isto é, f 00 (x0 )(u, v) = 0 ∀v ⇒
u = 0.
Considere o caso m = 2, U ⊆ R2 e seja z0 ∈ U um ponto crı́tico de f . Denote:
a=
∂2f
(z0 ),
∂x2
b=
∂2f
∂2f
(z0 ) e c =
(z0 )
∂x∂y
∂y 2
a) Exprima em termos de a, b e c a condição para que z0 seja não degenerado.
b) Sendo z0 não degenerado, obtenha condições adicionais para que z0 seja um
máximo, um mı́nimo ou um ponto sela.
Exames de Cálculo Avançado —
5
2a Questão:
Seja B a bola unitária de RN e F : B −→ B uma aplicação de classe C 1 . Denote por
Df (x) a matriz Jacobiana de f no ponto x ∈ B. Suponha que existe λ > 0 tal que para
todo x ∈ B, kDf (x) · vk ≤ λkvk ∀v ∈ RN . Prove que f satistaz:
kf (x) − f (y)k ≤ λkx − yk
∀x, y ∈ B.
3a Questão:
Seja ρ(x, y, t) a densidade, em um ponto (x, y) no tempo t, de um lı́quido que flui
©
ª
horizontalmente através de um cilindro cuja base é o disco D = (x, y) | x2 + y 2 ≤ 1
e sua altura é considerada desprezı́vel.
¡
¢
Denotemos por V (x, y, t) = v1 (x, y, t), v2 (x, y, t) a velocidade do fluı́do em (x, y) ∈ D,
no tempo t.
Suponha ρ e V funções de classe C 1 . A partir da equação
∂ρ
+ div(ρV ) = 0,
∂t
válida para (x, y, t) ∈ D × [0, ∞), prove que:
Z Z
ρ(x, y, t) dxdy
(∗)
é constante,
D
sabendo-se que V (x, y, t) = (x2 , 0) e ρ(x, y, t) = 1 para (x, y, t) ∈ ∂D × [0, ∞).
(Sugestão: Integre (*) no domı́nio D.)
4a Questão:
Considere f : R4 −→ R dada por f (λ, a, b, c) = λ3 + aλ2 + bλ + c. Mostre que existe
δ > 0 e que existem funções reais λi (a, b, c), i = 1, 2, 3, de classe C ∞ no domı́nio
©
ª
Bδ = (a, b, c) ∈ R3 | k(a, b, c) − (0, −1, 0)k < δ ,
¡
¢
tais que ∀(a, b, c) ∈ Bδ , f λi (a, b, c), a, b, x = 0, i = 1, 2, 3 e λ1 (a, b, c) < λ2 (a, b, c) <
λ3 (a, b, c).
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Cálculo Avançado
Março de 1993
1a Questão:
2
Considere Rm o espaço das matrizes reais m × m. Mostre que existe uma vizinhança V
2
da matriz identidade e uma aplicação g: V −→ Rm de classe C ∞ , tal que [g(Y )]2 = Y
para todo Y ∈ V .
Exames de Cálculo Avançado —
6
2a Questão:
Seja f : [0, 2] −→ R contı́nua positiva e tal que
R1
0
f (x) dx =
R2
1
f (x) dx = 1.
a) Prove que para cada x ∈ [0, 1] existe um único y = g(x) ∈ [1, 2] tal que
Ry
f (t) dt = 1.
x
b) Prove que g é de classe C 1 .
c) Construa uma sequência fn nas hipóteses acima tal que a sequência gn associada
satisfaça: limn→∞ gn (x) = 1 para todo 0 < x < 1.
d) A convergência acima pode ser uniforme? Justifique.
3a Questão:
©
ª
Seja U ⊂ R2 aberto, D2 = (x, y) | x2 + y 2 ≤ 1 ⊂ U . Seja ϕ: U −→ R2 função de
¡
¢
classe C ∞ dada por ϕ(z) = f (z), g(z) , z = (x, y) ∈ U e tal que |ϕ(z)|2 = 1 ∀z ∈ U .
a) Mostre que fx gy − fy gx = 0 ∀z ∈ U .
©
ª
R
b) Calcule S 1 f dg − g df , onde S 1 = ∂D2 = (x, y) | x2 + y 2 = 1 .
c) Conclua que não existe ϕ nas condições acima com ϕ|S 1 = identidade.
4a Questão:
Seja f : Rm −→ Rm talque f (0) = 0. Suponha que a sequência fn definida por
x
fn (x) = nf ( ) para
n
1
≤ |x| ≤ 1
2
converge uniformemente para uma transformação linear L: Rm −→ Rm na bola
|x| ≤ 1.
1
2
≤
Prove que f é diferenciável em 0.
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Cálculo Avançado
Março de 1994
1a Questão:
Prove que todas as normas de Rn são equivalentes.
2a Questão:
Defina o que é uma forma diferenciável em Rn . Defina a derivada exterior d. Mostre
que d(dω) = 0 para toda forma diferenciável ω.
Exames de Cálculo Avançado —
7
3a Questão:
Seja f : Rn −→ R de classe C 2 e tal que: f (tx) = t2 f (x) ∀t ∈ R, ∀x ∈ Rn .
Mostre que: f (x) = 12 D2 f (0) · x2 ∀x ∈ Rn .
4a Questão:
Seja (fn ) a sequência de funções de [−1, 1] definida por:
f0 (t) = 0
¢
1¡
fn+1 (t) = fn (t) + t2 − fn2 (t)
2
Mostre que (fn ) converge uniformemente. Sugestão: 0 ≤ fn (t) ≤ fn+1 (t) ≤ |t|.
5a Questão:
Enuncie e prove o Teorema da Aplicação Inversa. Assuma o:
Teorema (da Perturbação da Identidade). Seja φ: U −→ Rm uma contração definida no aberto U ⊂ Rm . A aplicação f : U −→ Rm dada por
f (x) = x+φ(x) é um homeomorfismo de U sobre o conjunto aberto f (U ) ⊂ Rm .
Além disso, se U = Rm , tem-se f (U ) = Rm .
6a Questão:
ª
©
Seja ³D o ´disco unitário de R2 : D = (x1 , x2 ) | x21 + x22 ≤ 1 . Suponha que u: D −→ R2 ,
1
u= u
u2 é duas vezes continuamente diferenciável em D.
a) Usando o Teorema de Stokes (ou o Teorema de Green), mostre que:
ZZ
µ ∂u1
onde Du =
∂x1
∂u2
∂x1
1
det(Du(x)) dx =
2
D
∂u1
∂x2
∂u2
∂x2
I
µ
¶
∂u2
∂u1
u1
− u2
ds
∂θ
∂θ
∂D
¶
é a derivada de u e ds é o comprimento de arco.
³ ´
1
b) Se u(x) = M x = M x
x2 na circunferência |x| = 1 (onde M é uma matriz 2 × 2
constante), use o item (a) para mostrar que:
ZZ
det(Du(x)) dx = π det M.
D
Exames de Cálculo Avançado —
8
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Cálculo Avançado
Setembro de 1994
1a Questão:
Considere F : Rn → R definida por F (x) = (x1 x2 · · · xn )2 e S = {x ∈ Rn | x21 +· · ·+x2n =
1}. Mostre que ∃y ∈ S tal que F (y) = max{F (x) | x ∈ S} e calcule-o. Utilize
este resultado para deduzir a seguinte desigualdade, válida para números rais positivos
a1 , a2 , . . . , an :
a1 + a2 + · · · + an
(a1 a2 · · · an )1/n ≤
.
n
2a Questão:
Seja ϕ ∈ L(Rm ; Rn ). Mostre que ϕ é injetiva ⇐⇒ ∃k > 0 tal que kϕ(x)k ≥ kkxk,
∀x ∈ Rm .
3a Questão:
1
Seja u ∈ C (0, L) tal que u(0) = u(L) = 0. Mostre que |u(x)| ≤
2
Z
1
L
|u0 (s)| ds.
0
4a Questão:
Seja U ⊆ R3 aberto e f : U → R4 função de classe C 1 . Suponha x0 ∈ U tal que
Df (x0 ) seja injetiva. Prove que existe uma vizinhança V de f (x0 ) e um difeomorfismo
φ: V → φ(V ) ⊆ R4 tal que (φ ◦ f )(x1 , x2 , x3 ) = (x1 , x2 , x3 , 0).
5a Questão:
Considere Ω ⊂ RN domı́nio de classe C 2 e u: Ω → R, u ∈ C(Ω) ∩ C 1 (Ω), satisfazendo
(
−∆u + u ≥ 0 em Ω
(∗)
u ≥ 0 sobre ∂Ω
Mostre que u(x) ≥ 0 ∀x ∈ Ω.
Exames de Cálculo Avançado —
9
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Cálculo Avançado
Março de 1995
1a Questão:
Considere o problema de valor inicial
( 0
x =g(t, x) com x(t0 ) = x0
(1)
y 0 =f (t, x)y com y(t0 ) = y0
onde:
a) g: R2 −→ R é uma função contı́nua, limitada e lipschitziana na segunda variável,
isto é, |g(t, x1 ) − g(t, x2 )| ≤ kkx1 − x2 k, k > 0,
b) f : R2 −→ R é contı́nua e limitada.
Mostre que o sistema (1) possui uma única solução em R.
2a Questão:
Seja f : IRN −→ R, f de classe C 2 e x0 um ponto crı́tico não degenerado, isto é,
¶
µ 2
∂ f
(x0 ) 6= 0.
det
∂xi ∂xj
Mostre que existe uma vizinhança V (x0 ) que não contém outro ponto crı́tico de f .
3a Questão:
Considere f : IRN −→ IRN , f de classe C 1 tal que f (x/2) = f (x)/2, ∀x ∈ IRN . Mostre
que f é linear.
4a Questão:
Seja S um subconjunto convexo de IRN e d = inf x∈S kxk2 . Se xn ∈ S e kxn k2 → d
quando n → ∞, mostre que xn é uma sequência de Cauchy.
(Sugestão: Regra do paralelogramo: kx + yk22 + kx − yk22 = 2kxk22 + 2kyk22 .)
5a Questão:
a) Deduza do Teorema da Divergência a 2a Identidade de Green:
Z
Z
∆u v − ∆v u =
Ω
∂u
∂v
v−
u.
∂ν
∂Ω ∂ν
R
b) Conclua que se u é harmônica, então ∂Ω ∂u
∂ν = 0.
c) Seja Br = {x ∈ R3 | kxk ≤ r} e Ωε = Br \ Bε , 0 < ε < r.
1
e faça ε → 0 em b) para obter o teorema da média:
Considere v = kxk
Z
1
∆u = 0 ⇒ u(0) =
u dS.
4πr2 ∂Br
Exames de Cálculo Avançado —
10
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Cálculo Avançado
Setembro de 1995
1a Questão:
Seja E ⊂ R2 aberto, convexo e f : E → R.
(i) Mostre que se
∂f
∂x (x, y)
≡ 0 então f não depende de x.
(ii) Mostre que (i) não se aplica se E é um conjunto da forma abaixo.
2a Questão:
Seja I = {x ∈ R ; 0 < x < 1} e V = {(x, y) ∈ R2 ; x = 0 ou y = 0}. Mostre que I não
é difeomorfo a V .
3a Questão:
2
Seja M o espaço das matrizes quadradas de ordem n, munido da topologia do Rn . Seja
D o conjunto das matrizes de determinante unitário.
(i) Mostre que D é fechado.
(ii) Mostre que M/D não é conexo.
4a Questão:
Sejam Ω ⊂ IRN aberto de fronteira Γ regular, f : Ω → R uma função. Suponha u: Ω → R
satisfazendo
(
−a∆u = f
em Ω
u=0
em Γ
onde a > 0 é um parâmetro a determinar a partir do conhecimento de g =
derivada normal de u em Γ.
(i) Use o teorema da divergência para obter a identidade
Z
Z
∂v
∂u
v−
u,
∆uv − ∆vu =
∂ν
Ω
Γ ∂ν
para u, v ∈ C 2 (Ω).
(ii) Suponha g 6= 0 e que exista v ∈ C 2 (Ω) satisfazendo
(
−∆v =0
em Ω
v =g
em Γ
Exames de Cálculo Avançado —
11
∂u
∂ν |Γ ,
a
Mostre que g determina a > 0 univocamente.
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Cálculo Avançado
Março de 1996
1a Questão:
Considere o conjunto A = {(x, y) ∈ R2 ; y = sen 1/x , x > 0}.
(a) Caracterize A \ A.
(b) Mostre que A é conexo.
(c) Mostre que A não é localmente conexo.
(d) Investigue se A é ou não conexo por caminhos, justificando seu raciocı́nio.
2a Questão:
Seja U = C 1 [0, 1].
(a) Investigue a convergência da sequência fn (x) = xn , n ≥ 1 com respeito às normas
kf k1 = sup |f (x)|
e
kf k2 = sup |f (x)| + sup |
x∈[0,1]
x∈[0,1]
x∈[0,1]
df
(x)|
dx
(b) Investigue a convergência da sequência

0
fn (x) = nx − n−2
2

−nx + n+2
2
se x ∈ [0, 1/2 − 1/n] ∪ [1/2 + 1/n, 1]
se x ∈ [1/2 − 1/n, 1/2]
se x ∈ [1/2, 1/2 + 1/n]
para n ≥ 2, com respeito às normas
µZ
kf k1 = sup |f (x)|
e
1
kf k2 =
x∈[0,1]
¶1/2
f (x) dx
2
0
3a Questão:
Seja U um espaço vetorial com uma norma induzida pelo produto interno, isto é:
kuk =
p
hu ; ui, ∀u ∈ U
Seja G: U → R. Diz-se que G tem derivada em u na direção v se existe G0 : U → U, tal
que
G(u + δv) − G(u)
hG0 (u) ; vi = lim
δ→0
δ
Exames de Cálculo Avançado —
12
Considere um conjunto V ⊂ U e um funcional F : K → R que atinge seu mı́nimo em K,
isto é, ∃u ∈ K tal que F (u) ≤ F (v), ∀v ∈ K.
(a) Mostre que a seguinte caracterização é válida:
hF 0 (u) ; v − ui ≥ 0, ∀v ∈ K.
(b) Discuta o caso em que K = U.
(c) Para cada u ∈ U, considere F : K → R dado por
F (v) =
1
ku − vk2 .
2
Quando K é fechado, este funcional atinge seu mı́nimo em K no ponto Pu que é a
projeção de u sobre o convexo K.
Demonstre a afirmação acima para o caso particualr em que U tem dimensão finita
e K é um hipercubo fechado de U.
(d) De volta ao caso geral, mostre que é valida a caracterização:
hPu ; v − Pu i ≥ hu ; v − Pu i ∀v ∈ K.
(e) Discuta o caso K = U.
4a Questão:
−
→
Seja A um campo vetorial definido numa região simplesmente conexa de R3 . Mostre
→
−
−
→
que A é potencial se e somente se A é irrotacional.
5a Questão:
−
→
Considere o campo vetorial F : R3 \ {(0, 0, 0)} → R3 definido por
−
→
F (x, y, z) =
µ
1
x2 + y 2 + z 2
¶3/2
(x, y, z)
e a superfı́cie
x2
y2
z2
+
+
= 1, z > 0}
4
9
16
−
→
orientada por sua normal exterior. Calcule o fluxo de F ao “longo” de S, isto é:
S = {(x, y, z) ∈ R3 ;
Z
−
→
F · d~s
S
Exames de Cálculo Avançado —
13
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Cálculo Avançado
Setembro de 1996
1a Questão:
Sejam p > 1 e q > 1 tais que 1/p + 1/q = 1.
(a) Determine o mı́nimo de f : R2 → R definida por f (x, y) = xp /p + y q /q quando
xy = 1;
(b) Mostre que se a e b são não-negativos então ab ≤ ap /p + bq /q;
(c) Se ai , bi , i = 1, . . . , n são números reais não-negativos, demonstre a desigualdade
de Hölder:
n
X
Ã
ai bi ≤
n
X
i=1
!1/p Ã
api
i=1
n
X
!1/q
bqi
i=1
2a Questão:
Seja ψ: R3 → R de classe C 2 tal que ∆ψ + h = 0, onde h: Ω ⊂ R3 → R é de classe C 2 e
se anula em R3 \ Ω. Suponha satisfeitas as seguintes condições:
lim |ψ(~r )| = 0
|~
r |→∞
e
lim |∇ψ(~r )||~r | = 0
|~
r |→∞
onde |~r | = (x2 + y 2 + z 2 )1/2 . Use a segunda identidade de Green para mostrar que
1
ψ(~r0 ) =
4π
Z
R3
h(~r )
dV
|~r − ~r0 |
3a Questão:
Seja
p V um espaço vetorial com norma induzida pelo produto interno, isto é, kuk =
hu, ui, ∀u ∈ V e J: V → R uma função G-diferenciável em u ∈ V , isto é, existe
0
J : V → V tal que
J(u + δv) − J(u)
∈ R,
δ→0
δ
hJ 0 (u), vi = lim
Mostre que as duas afirmações abaixo são equivalentes:
(a) J é convexa em V ;
(b) J(v) ≥ J(u) + hJ 0 (u), v − ui,
∀u, v ∈ V .
Exames de Cálculo Avançado —
14
∀v ∈ V.
4a Questão:
Seja Ω ⊂ R3 um aberto e T > 0 um número real.
(a) Considere as seguintes funções de classe C 1 :
ρ: Ω × [0, T ]
(~r, t)
−→
R
7→ ρ(~r, t)
(densidade de carga elétrica)
~ : Ω × [0, T ] −→
R
(~r, t)
7→ ~ (~r, t)
(densidade de corrente elétrica)
onde ~r = (x, y, z) ∈ R3 . Se B ⊂ Ω é compacto arbitrariamente fixado, defina
R
½
Q: [0, T ] → R por Q(t) = B ρ(~r, t) dV
(carga elétrica em B)
R
~
i: [0, T ] → R por i(t) = B ~ (~r, t) · dS (corrente elétrica através de ∂B)
Estabeleça o princı́pio da conservação da carga elétrica:
∂ρ
+ div ~ = 0.
∂t
(b) Suponha que
~ B:
~ Ω × [0, T ] → R3
E,
sejam campos vetoriais de classe C 2 satisfazendo
~ =0
div B
~
~ = − ∂B
rot E
∂t
~ Ω × [0, T ] → R3 tais que
Mostre que existem Φ: Ω × [0, T ] → R e A:
~
~ = −∇Φ − ∂ A .
E
∂t
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Cálculo Avançado
Março de 1997
1a Questão:
Seja f uma função de R2 em R tal que:
(a) Para todo y0 ∈ R, f (x, y0 ) é contı́nua.
(b) Para todo x0 ∈ R, f (x0 , y) é contı́nua.
(c) f leva compactos em compactos.
Mostre que f é contı́nua.
Exames de Cálculo Avançado —
15
2a Questão:
Mostre que nas coordenadas esféricas X(r, φ, θ) = (r cos φ sen θ, r sen φ sen θ, r cos θ) o
laplaciano de U se escreve:
µ µ
¶
µ
¶
µ
¶¶
1
∂
∂U
∂
∂U
∂
1 ∂U
2
∆U = 2
r sen θ
+
sen θ
+
r sen θ ∂r
∂r
∂θ
∂θ
∂φ sen θ ∂φ
Dica: Usando o Segundo Teorema de Green, calcule a integral de ∆U na região
r1 < r < r2 ,
φ 1 < φ < φ2 ,
θ 1 < θ < θ2 .
3a Questão:
Seja f : Rm → Rm tal que f (0) = 0. Suponha que a sequência fn definida por
x
fn (x) = nf ( ),
n
para
1
≤ |x| ≤ 1
2
converge uniformemente para uma transformação linear L: Rm → Rm na região
|x| ≤ 1.
1
2
≤
Prove que f é derivável em 0.
4a Questão:
Mostre que a aplicação
exp: L(Rm ) →
A 7→
L(Rm )
exp A = I + A + 12 A2 +
1 3
3! A
+ ···
transforma difeomorficamente uma vizinhança de 0 em uma vizinhança da aplicação
identidade I ∈ L(Rm ). Use este fato para definir o log de uma matriz na vizinhança de
I.
5a Questão:
Se M = Rm \ V , onde V é uma união finita de subespaços de qualquer dimensão,
definimos Z k como o conjunto das k-formas ω tais que dω = 0. Definimos como B k o
conjunto das k-formas ω tais que ω = dη para alguma (k − 1)-forma η.
O k-ésimo grupo de cohomologia é definido como o quociente
Hk =
Zk
Bk
Mostre que se existe um difeomorfismo (i.e., uma bijeção diferenciável com inversa diferenciável) entre regiões M e N , então H k (M ) é isomorfo a H k (N ).
Exames de Cálculo Avançado —
16
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Cálculo Avançado
Setembro de 1997
1a Questão:
(a) Uma função f : Rn → R é dita convexa se para todo x, y ∈ Rn e t ∈ [0, 1] vale
¡
¢
f x + (1 − t)y ≤ tf (x) + (1 − t)f (y)
(1)
Seja f diferenciável em Rn . Prove que f é convexa se e somente
f (x) ≥ f (x0 ) + df (x0 ) · (x − x0 ),
(2)
para todo x, x0 ∈ Rn . (Sugestão: (⇒) Use (1) e a definição de função diferenciável
em x0 . (⇐) Considere dois pontos x1 , x2 ∈ Rn , x1 6= x2 , e aplique (2) duas vezes,
uma para cada um desses pontos, tomando x0 em ambos os casos como sendo um
ponto do segmento de reta que liga x1 a x0 .)
(b) Um conjunto K é convexo se dados x, y ∈ K, então tx + (1 − t)y ∈ K, para todo
t ∈ [0, 1]. Mostre que se f é diferenciável e convexa em um aberto convexo A e
x0 ∈ A é ponto crı́tico então f tem um mı́nimo absoluto em x0 . (Sugestão: use
(a)).
(c) Para f e A como no item anterior, prove que o conjunto K = {x ∈ A; df (x) = 0}
é convexo.
2a Questão:
Sejam f, g: R4 → R dadas por f (~u) = y 2 + w2 − 2xz e g(~u) = y 3 + w3 + x3 − z 3 ,
~u = (x, y, z, w), e considere F = (f, g): R4 → R2 .
(a) Mostre que há duas funções escalares ϕ = ϕ(y, w) e ψ = ψ(y, w) definidas em uma
vizinhança V de (−1, 1) com ϕ(−1, 1) = 1 e ψ(−1, 1) = 1 tais que
¡
¢
F ϕ(y, w), y, ψ(y, w), w = (0, 0), ∀(y, w) ∈ V
(b) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de ϕ e ψ em (−1, 1).
3a Questão:
Seja Sn (a) o seguinte conjunto em Rn , onde a > 0:
Sn (a) = {(x1 , x2 , . . . , xn ); |x1 | + |x2 | + · · · + |xn | ≤ a}.
Seja Vn (a) o volume de Sn (a).
(a) Prove que Vn (a) = an Vn (1).
(b) Para n ≥ 2, mostre que Vn (1) = 2Vn−1 (1)/n.
(c) Deduza que Vn (a) = 2n an /n!.
Exames de Cálculo Avançado —
17
4a Questão:
Seja {fn } uma sequência de funções contı́nuas em RN , N ∈ N, convergindo uniformemente para uma função f em um aberto limitado A ⊂ RN . Seja {un } uma sequência
de funções de classe C 2 satisfazendo
∆un (x) = fn (x),
∀x ∈ A.
e seja u uma função de classe C 2 em A satisfazendo
∆u(x) = f (x),
∀x ∈ A.
Mostre que, para todo a ∈ A,
Z
Z
1
∂un
1
∂un
lim lim
dS = lim lim
dS,
n→∞ t→0 |B(a, t)| ∂B(a,t) ∂ν
t→0 n→∞ |B(a, t)| ∂B(a,t) ∂ν
onde B(a, t) = {x ∈ RN ; |x − a| < t} e ∂u/∂ν = ∇u · ν, sendo ν a normal unitária
exterior a ∂B(a, t).
5a Questão:
Seja f (~u) = x1 x2 . . . xn e M = {~u ∈ Rn ; x1 + · · · + xn = 1, xi > 0 para i = 1, . . . , n},
onde ~u = (x1 , . . . , xn )
(a) Mostre que f (~u) ≤ n−n para todo ~u ∈ M .
(b) Usando (a), prove que a média geométrica de n números positivos é sempre menor
ou igual à média aritmética dos mesmos.
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Cálculo Avançado
Março de 1998
1a Questão:
Seja B = {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 ; x21 + x22 ≤ 1} a bola unitária em R2 e f : R2 → R tal que
½
1 se x ∈ B,
f (x) =
0 se x 6∈ B.
Demonstre que f é Riemann integrável em R2 .
2a Questão:
Determine os máximos e mı́nimos da função f (x, y, z) = x3 + y 3 + z 3 quando restrita
ao conjunto x2 + y 2 + z 2 = 1.
Exames de Cálculo Avançado —
18
3a Questão:
Seja f : R2 → R uma função de classe C 1 . Mostre que f não é injetora.
4a Questão:
Seja V um aberto limitado de Rn de fronteira S regular, ν o vetor unitário exterior a
S, f e g duas funções de classe C 2 (Rn , R).
(a) Mostre a primeira identidade de Green:
Z
Z
(f ∇g)ν ds =
S
(f ∆g + ∇f ∇g) dV,
V
onde (f ∇g)ν denota a projeção de f ∇g sobre ν.
(b) Mostre a segunda identidade de Green:
Z
∂f
∂g
(f
− g ) ds =
∂ν
∂ν
S
Z
(f ∆g − g∆f ) dV
V
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Cálculo Avançado
Setembro de 1998
1a Questão:
Considere a forma quadrática f (x, y) = ax2 + 2bxy + cy 2 , com a, b e c não nulos.
(a) Mostre que o sistema de equações


 ax + by = λx
bx + cy = λy

 2
x + y2 = 1
em (x, y, λ) possui pelo menos duas soluções.
(b) Considere (x1 , y1 , λ1 ) e (x2 , y2 , λ2 ), soluções de (∗). Mostre que se λ1 6= λ2 , então
os vetores ~v1 = (x1 , y1 ) e ~v2 = (x2 , y2 ) são ortogonais.
(c) Mostre que se λ1 6= λ2 , então em relação à base de R2 formada pelos vetores ~v1 e
~v2 obtidos no item (b), a forma quadrática f = f (x, y) pode ser expressa na forma
f (x, y) = λ1 ξ 2 + λ2 η 2 ,
para
(x, y) = ξ~v1 + η~v2 .
Exames de Cálculo Avançado —
19
2a Questão:
Seja f : R → R de classe C 1 com |f 0 (x)| ≤ θ < 1, ∀x ∈ R. Mostre que f possui um
e somente um ponto fixo em R. (Sugestão: considere a sequência xn = f (xn−1 ), n ∈
N, x0 arbitrário.)
3a Questão:
Seja Ω = {(x, y) ∈ R2 ; 0 < y < R}, onde R > 0, e considere o conjunto de funções
D = {u ∈ C 1 (Ω); u(x, 0) = 0, ∀x ∈ R}.
Seja, ainda, p > 1.
(a) Demonstre, utilizando a desigualdade de Hölder, que existe uma constante positiva
c1 tal que para qualquer função u ∈ D,
ÃZ
R
|u(x, y)| ≤ c1
!1/p
|uy (x, η)|p dη
,
∀(x, y) ∈ Ω.
0
(b) Mostre que existe uma constante c2 tal que para qualquer u ∈ D,
Z
Z
p
|u(x, y)| dxdy ≤ c2
|uy (x, y)|p dxdy.
Ω
Ω
4a Questão:
Seja n ∈ N e seja k · k a norma Euclidiana em Rn .
R∞
√
2
(a) Mostre que −∞ ex dx = π.
R
2
(b) Mostre que Rn e−kxk dx = π n/2 .
R
2
(c) Mostre que (4πt)−n/2 Rn e−kxk /4t dx = 1, ∀t > 0.
(d) Seja K(t, x) = (4πt)−n/2 e−kxk
x ∈ Rn .
2
/4t
. Mostre que Kt = ∆K para todo t > 0 e todo
5a Questão:
(a) Enuncie o Teorema da Divergência.
(b) Mostre que ∇ · (u∇v) = u∆v + ∇u · ∇v.
(c) Mostre que
Z
·
Z
[u∆v − v∆u] dx =
Ω
∂Ω
∂v
∂
u
−v
∂ν
∂ν
¸
dσ.
(d) Seja {um }m uma sequência de funções harmônicas em um aberto Ω de Rn , n ∈ N.
Suponha que ∇um −→ ∇u uniformemente em todo subconjunto compacto de Ω,
onde u é de classe C 2 em Ω. Mostre que u é harmônica.
Exames de Cálculo Avançado —
20
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Cálculo Avançado
Março de 1999
1a Questão:
Seja g: Rn → Rn continuamente diferenciável tal que |Dg(x)| ≤ λ para todo x ∈ Rn ,
onde 0 < λ < 1. Mostre que f (x) = x + g(x) é um homeomorfismo de Rn em Rn .
2a Questão:
Considere um aberto Ω ⊂ Rn com fronteira regular ∂Ω.
(a) Use o teorema da divergência para obter a identidade
Z
Z
½
{v∆u − u∆v} =
Ω
∂Ω
∂u
∂v
v
−u
∂ν
∂ν
¾
,
para u, v ∈ C 2 (Ω), onde ∂/∂ν indica a derivada normal em ∂Ω.
(b) Sejam f : Ω → R e u: Ω → R tais que
(
−a∆u = f, em Ω,
u = 0, em ∂Ω,
onde a > 0 é um parâmetro a ser determinado em função do conhecimento da
derivada normal g = ∂u/∂ν|∂Ω em ∂Ω.
Suponha que g 6= 0 e que exista v ∈ C 2 (Ω) tal que
(
−∆v = 0, em Ω,
v = g, em ∂Ω.
Mostre que g determina a univocamente.
3a Questão:
Seja f : R2 → R dada por
2
f (x, y) = x2 y 2 + e−(x
+y 2 )
e considere
C = {(x, y) ∈ R2 ; f (x, y) = 1}.
(a) Mostre que C é uma curva (isto é, que em uma vizinhança de cada um de seus
pontos, C é o gráfico de uma função).
(b) Mostre que C não é conexa.
Exames de Cálculo Avançado —
21
4a Questão:
Seja Ω ⊂ R3 um aberto limitado e seja f : Ω → R2 contı́nua e de classe C 1 em Ω.
Suponha que Df (x): R3 → R2 seja sobrejetiva para todo x ∈ Ω. Mostre que todo ponto
de máximo de |f | pertence à fronteira de Ω.
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Cálculo Avançado
Setembro de 1999
1a Questão:
Considere f : RN → R e r > 0 .
a) Suponha que N = 2. Mostre que exists x ∈ RN com |x| = r tal que f (x) = f (−x).
b) Mostre que se N > 2 existem infinitos valores de x com |x| = r que satisfazem
f (x) = f (−x).
2a Questão:
Considere g: RN → R, g ∈ C 1 (RN ) satisfazendo a seguinte propriedade:
∇g(x) · x > 0, ∀x, tal que |x| = 1.
Mostre que existe x0 ∈ B1 (0) tal que ∇g(x0 ) = 0.
3a Questão:
Seja u(x, t) ∈ C 2 (R2 ) tal que o campo de vetores F (x, t) = (−ux (x, t), ut (x, t)) satisfaça
a div F (x, t) = 0, ∀(x, t) ∈ R2 . Considere os pontos B = (x − t, 0) e C = (x + t, 0).
Mostre que o valor da função u em um ponto (x, t) depende unicamente dos valores de
u e ut no intervalo [x − t, x + t].
4a Questão:
A intensidade do campo eletrostático E~ provocado por uma carga pontual q situada na
origem de um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais x, y, z é dado por
q
E~ = 3 ~r,
r
onde ~r é o vetor posição do ponto em que está sendo registrado o valor do campo.
a) Determine o fluxo do vetor E~ através de qualquer superfı́cie fechada S, que não
contenha a carga no interior do volume por ela limitado.
b) Determine o fluxo no caso em que a superfı́cie S contenha a carga no interior do
volume por ela limitado.
Exames de Cálculo Avançado —
22
5a Questão:
Considere uma função lipschitz contı́nua f : R2 → R e seja y: R → R de classe C 1 (R) tal
que y é solução de
y 0 (t) = f (t, y(t))
(∗)
y(0) = y0
a) Mostre que y é solução da equação integral
Z
t
y(t) = y0 +
f (t, y(s))ds.
0
Reciprocamente, seja y de classe C 1 solução de y(t) = y0 +
Rt
0
f (t, y(s))ds.
b) Mostre que y é solução de
y 0 (t) = f (t, y(t))
y(0) = y0
c) Mostre que se f ∈ C 1 (R2 ) existe uma única solução y de (*) definida em [0, t0 ] para
t0 suficientemente pequeno.
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Cálculo Avançado
Março de 2000
1a Questão:
Calcule os valores máximo e mı́nimo de f (x, y) = x3 + y 3 sobre a elipse 2x2 + 3y 2 = 1.
2a Questão:
Considere f : R2 \ {(0, 0)} → R2 o campo definido por
f (x) =
onde kxk2 =
x
,
kxk22
p
x21 + x22 é a norma euclidiana de R2 . Considere as curvas
©
ª
S1 = (x1 , x2 ) ∈ R2 ; x21 + x22 = 1 ,
©
ª
S2 = (x1 , x2 ) ∈ R2 ; (x1 − 1)2 + (x2 − 1)2 = 1/4 .
Para i = 1, 2, calcule
R
Si
f · dγ, o fluxo de f sobre Si .
Exames de Cálculo Avançado —
23
3a Questão:
p
©
ª
Seja kxk2 = x21 + x22 + · · · + x2n a norma euclidiana de Rn e B1 = x ∈ Rn ; kxk2 ≤ 1
a bola unitária.
a) Para que valores de α ∈ R é finita a integral
Z
B1
kxkα
2 dx?
¡
¢1/p
b) Seja kxkp = |x1 |p + |x2 |p + · · · + |xn |p
, p ≥ 1, a norma p de Rn . Para que
valores de α ∈ R é finita a integral
Z
B1
kxkα
p dx?
Justifique suas respostas.
4a Questão:
a) Enuncie o Teorema da Função Inversa;
b) Assumindo a validade do Teorema da Função Implı́cita, demonstre o Teorema da
Função Inversa.
Sugestão: Dada f : Rn → Rn , considere g: Rn × Rn → Rn definida por g(x, y) =
y − f (x).
5a Questão:
Seja f : [0, 2] → R função positiva e contı́nua tal que
Z
Z
1
f (t) dt =
0
2
f (t) dt = 1.
1
a) Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que para todo x ∈ [0, 1] existe
um único y = ϕ(x) ∈ [1, 2] tal que
Z
y
f (t) dt = 1.
x
b) Use o Teorema da Função Implı́cita para mostrar que a função y = ϕ(x) definida
em (a) é de classe C 1 .
c) Sabendo que f (1/2) = 2, f (3/2) = 3 e ϕ(1/2) = 3/2, calcule ϕ0 (1/2).
Exames de Cálculo Avançado —
24
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Cálculo Avançado
Setembro de 2000
1a Questão:
Seja I = [a, b] um intervalo fechado e limitado em R e f : [a, b] −→ [a, b] contı́nua,
continuamente derivável em (a, b), com f (a) = a, f (b) = b. Mostre que existem dois
pontos a < x1 < x2 < b tais que
1
1
+ 0
= 2.
0
f (x1 ) f (x2 )
Considere ai , i = 1, 2, 3, 4, 5, números reais distintos e p(x) =
5
Y
(x − ai ). Considere
i=1
ainda o problema
p(x) = γ,
(Pγ )
que depende de um parâmetro real γ. Defina
Γ = {γ ∈ R, (Pγ )tem 5 soluções distintas}.
Evidentemente, 0 ∈ Γ.
i) Mostre que (Pγ ) só tem uma solução se |γ| é suficientemente grande e que, portanto, Γ é limitado.
ii) Use o Teorema da Função Implı́cita para mostrar que Γ é aberto.
3a Questão:
Seja f : R −→ R uma isometria, isto é, |f (x) − f (y)| = |x − y| para todo x, y ∈ R.
i) Suponha que f seja de classe C 1 . Mostre que f (x) é da forma x + a ou −x + a.
ii) Demonstre (i) sem nenhuma hipótese sobtre a derivabilidade de f . (Sugestão: não
tente mostrar que f é diferenciável.)
4a Questão:
Seja A uma matriz n × n simétrica e f : Rn −→ Rn tal que f (x) = (Ax, x), onde (., .)
denota o produto escalar usual de Rn . Seja ainda S = {x ∈ Rn , (x, x) = 1} a esfera
unitária centrada na origem.
i) Mostre que f é derivável em todos os pontos e que f 0 (x) = 2Ax.
ii) Mostre que existe u1 ∈ S tal que f (u1 ) = min f (u). Mostre que u1 é autovetor de
u∈S
A, associado a λ1 = f (u1 ).
iii) Seja S2 = {u ∈ S, (u, u1 ) = 0}. Mostre que existe u2 ∈ S2 tal que f (u2 ) =
min f (u). Mostre que u2 é autovetor de A, associado a λ2 = f (u2 ).
u∈S2
iv) Iterando o argumento descrito acima, demonstre o Teorema Espectral no caso real,
isto é, que uma matriz simétrica possui uma base ortonormal de autovetores.
Exames de Cálculo Avançado —
25
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Cálculo Avançado
Fevereiro de 2001
1a Questão:
Determine e classifique os pontos crı́ticos da função f : R2 → R definida por
f (x, y) = x4 + y 4 + x2 + αy 2 − 6x,
α ∈ R.
2a Questão:
Seja f : Rn → R, n ≥ 1, uma função de classe C 1 e Ω ⊂ Rn subconjunto aberto, limitado
e convexo tais que
0 ∈ Ω e ∇f (x) · η(x) < 0, ∀x ∈ ∂Ω,
onde η(x) denota o vetor unitário normal exterior a Ω em x ∈ ∂Ω.
1) Mostre que existe x0 ∈ Ω tal que ∇f (x0 ) = 0.
2) Mostre qua 1) é falso se Ω é não limitado.
3a Questão:
Seja f : [0, 1] → R função contı́nua e R ⊂ R2 o triângulo com vérticies em (0, 0), (1, 0) e
(0, 1). Mostre que
ZZ
Z 1
f (x + y) dxdy =
ξf (ξ) dξ.
R
0
4a Questão:
Seja ϕ: R3 → R função de classe C 2 tal que ∇ϕ(x) · x = 1 para todo x ∈ R3 tal que
|x| = 2. Calcule
Z
∆ϕ(x) dx.
{|x|≤2}
5a Questão:
Seja P3 o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 3, isto é:
©
ª
P3 = p ; p(x) = ax3 + bx2 + cx + d, a, b, c, d ∈ R .
1) Para p ∈ P3 , seja kpk = |a| + |b| + |c| + |d|. Mostre que kpk define uma norma em
P3 .
2) Seja S = {p ∈ P3 ; a = 1 e p possui três raı́zes reais e distintas}. Mostre que
p(x) = x3 é ponto de acumulação de S mas não pertence a S.
3) Seja Ω = {(b, c, d) ∈ R3 ; p(x) = x3 + bx2 + cx + d ∈ S}. Mostre que Ω é aberto
em R3 e que a aplicação Λ: Ω → R3 definida por (b, c, d) ∈ Ω 7→ (λ1 , λ2 , λ3 ), onde
λi é raı́z de p é diferenciável. (Sug.: use o Teorema da Função Inversa)
Exames de Cálculo Avançado —
26
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Cálculo Avançado
Dezembro de 2001
1a Questão:
Seja U ⊂ Rn aberto e [a, b] ⊂ R. Seja f : U × [a, b] → Rn de classe C k . Mostre que a
Rb
função g: U → Rn definida por g(x) = a f (x, t) dt é de classe C k .
2a Questão:
Sejam f, g: Rn → R funções de classe C 1 . Suponha que o conjunto S = {x ∈ R ; g(x) =
0} é não vazio e considere o problema de minimização com restrição
min f (x).
(M )
x∈S
Seja xm um ponto de mı́nimo local de (M ) e suponha que g 0 (xm ) 6= 0. Use o Teorema
da Função Implı́cita para mostrar que existe (um multiplicador de Lagrange) λ ∈ R tal
que f 0 (xm ) = λg 0 (xm ).
3a Questão:
Seja n ∈ N, x ∈ Rn e p: Rn → R dada por
kx−xk2
1
−
2
p(x) =
e
,
(2π)n/2
(1)
onde k · k é a norma euclidiana usual. Definimos uma função de probabilidade (dita
normaL) em Rn dizendo que a probabilidade associada a uma região (suave) Ω ⊂ Rn é
R
dada por Ω p(x) dx.
(i) Considere o caso n = 2, x = 0 e use coordenadas polares para mostrar que
R
p(x) dx = 1 (a probabilidade total é igual a 1). Obtenha o mesmo resultado
Rn
para x qualquer.
R
(ii) Use (i) para mostrar que Rn p(x) dx = 1 vale para n = 1.
(iii) O valor esperado E associado a uma função de probabilidade p é definido por
R
E = Rn xp(x) dx. Mostre que se n = 1 e p é dada por (1), então E = x.
(iv) Mostre que (ii) e (iii) vale para n ∈ N qualquer.
4a Questão:
Seja U ⊂ Rn um aberto de fronteira regualar S. Dados f : U → R e g: S → R funções
contı́nuas, considere o problema de Neumann que consiste em determinar u: U → R de
classe C 2 em U tal que

 −∆u = f em U,
(N )
∂u

= g em S,
∂η
Exames de Cálculo Avançado —
27
onde η é o vetor normal unitário definido sobre S e exterior a U .
Use o Teorema de Gauss para mostrar que nem sempre (N ) tem solução.
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Cálculo Avançado
Dezembro de 2002
1a Questão:
Mostre que
©
ª
a) max x + y + z | x4 + y 4 + z 4 = 1 = 3 · 3−1/4 .
©
ª
b) max xyz | x4 + y 4 + z 4 = 1 = 3−3/4 .
©
ª
c) max (x + y + z)xyz | x4 + y 4 + z 4 = 1 = 1.
d)
x4 +y 4 +z 4
x+y+z
≥ xyz.
2a Questão:
O objetivo desta questão é demonstrar a fórmula de Green em um retângulo. Sejam
∂Q
R = [a, b] × [c, d] e P, Q : R → R contı́nuas tais que ∂P
∂y e ∂x existem e são integráveis.
Mostre que
¸
I
Z ·
∂Q
∂P
(P, Q) · d~l =
(x, y) −
(x, y) dxdy.
∂y
∂R
R ∂x
3a Questão:
Seja A ⊂ Rn não vazio. Definimos, para todo x ∈ Rn ,
ρ(x) = inf kx − ak.
a∈A
Mostre que
a) ρ(x) = 0 se, e somente se, x ∈ A.
b) Se A é fechado então existe a ∈ A tal que ρ(x) = kx − ak.
c) ρ(x) − ρ(y) ≤ kx − yk.
d) Conclua que ρ é Lipschitz contı́nua com constante de Lipschitz igual a 1.
Sugestão: para mostrar (c) observe que para todo ε > 0 existe a ∈ A tal que ρ(y) + ε ≥
ky − ak.
Exames de Cálculo Avançado —
28
4a Questão:
Seja A uma matriz n × n e f ∈ C 1 (R) tal que f (0) = 0 e f 0 (0) = 1. Para todo λ ∈ R
definimos
Sλ = {x = (x1 , ..., xn ) ∈ Rn | Ax − (f (λx1 ), ..., f (λxn )) = 0} .
Mostre que se λ0 não é autolavor de A, então existem ε, δ > 0 tais que
|λ − λ0 | < ε
=⇒
Sλ ∩ B0 (δ) = {0}
(onde B0 (δ) é a bola de centro 0 ∈ Rn e raio δ).
Sugestão: considere a função F : R × Rn → Rn dada por
F (λ, x) = Ax − (f (λx1 ), ..., f (λxn )).
Exames de Cálculo Avançado —
29
EXAMES DE
ÁLGEBRA LINEAR
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Álgebra Linear
Setembro de 1989
1a Questão:
Se A é uma matriz complexa 5 × 5 com polinômio caracterı́stico (X − 2)3 (X + 7)2 e
polinômio minimal (X − 2)2 (X + 7), qual a forma de Jordan de A?
2a Questão:
Seja V um espaço vetorial e T : V −→ V uma transformação linear tal que T ◦ T = T .
Mostre que V = Im(V )⊕Ker(T ). Use isto para mostrar que duas matrizes idempotentes
de mesmo posto são similares.
3a Questão:
Seja A uma matriz n × n e λ um autovalor de A. Se f (X) é um polinômio, mostre que
f (λ) é um autovalor de f (A).
4a Questão:
Se A é uma matriz real simétrica, mostre que existe um inteiro m tal que mI + A é
positiva definida. Ache o menor m que satisfaça esta propriedade no caso em que A é
a matriz


−10 5 2
 5
0 3
2
3 6
5a Questão:
Mostre que toda matriz ortogonal 3 × 3 é similar a uma matriz da forma
µ
¶
±1 0
0 B
onde B é uma matriz ortogonal 2 × 2.
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Álgebra Linear
Março de 1990
1a Questão:
Seja A a matriz complexa


2 0 0
a 2 0 
b c −1
Mostre que A é similar a uma matriz diagonal se, e somente se, a = 0.
Exames de Álgebra Linear —
1
2a Questão:
Seja V um espaço vetorial complexo de dimensão finita, com produto interno. Seja T
um operador auto-adjunto em V . Mostre que:
a) kα + iT αk = kα − iT αk, para todo α ∈ V .
b) α + iT α = β + iT β se, e somente se, α = β.
c) I + iT e I − iT são invertı́veis.
d) O operador U : V −→ V definido por U = (I − iT )(I + iT )−1 é um operador
unitário.
3a Questão:
a) Sejam N1 e N2 duas matrizes complexas 3 × 3, nilpotentes. Mostre que N1 é
similar a N2 se, e somente se, N1 e N2 têm o mesmo polinômio minimal.
b) Sejam A e B matrizes complexas n×n que têm o mesmo polinômio caracterı́stico
f (x) = (x − c1 )d1 . . . (x − ck )dk
e o mesmo polinômio minimal. Suponha que di ≤ 3, para todo i = 1, . . . , k.
Mostre que A e B são similares.
4a Questão:
Seja E um espaço real de dimensão finita. Seja T um operador linear em E. Suponha
que T tem um autovalor complexo λ = α + iβ com β 6= 0. Mostre que existem u, v ∈ E,
linearmente independentes tais que:
a) O espaço gerado por u e v é invariante por T .
b) A matriz de T restrita a este subespaço (na base {u, v}) é
·
α
−β
β
α
¸
Sugestão: Estenda T ao complexificado de E e procure w tal que T w =
©
λw. Se E é um espaço vetorial real, seu complexificado é Ẽ = x + iy |
ª
x, y ∈ E é um espaço vetorial complexo. Dado T : E −→ E linear, T
admite uma única extensão linear T̃ : Ẽ −→ Ẽ, dada por T̃ (x + iy) =
T (x) + iT (y).
5a Questão:
Seja V um espaço de dimensão finita com produto interno e T um operador linear
invertı́vel em V . Mostre que existe um operador unitário U em V e um operador
positivo N em V tal que T = U N .
Sugestão: Mostre que existe um operador invertı́vel positivo R tal que R2 = T ◦ T .
Exames de Álgebra Linear —
2
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Álgebra Linear
Setembro de 1990
1a Questão:
Seja A uma matriz complexa n × n satisfazendo à equação Ar = I, r ∈ N, r 6= 0.
a) Mostre que A é diagonalizável.
b) Mostre que | tr A| ≤ n.
2a Questão:
Seja A uma matriz real n × n satisfazendo At = A2 − 2A + 2I.
a) Mostre que A e At são simultaneamente diagonalizáveis.
b) Calcule os possı́veis autovalores reais de A.
3a Questão:
Seja J uma matriz real 4 × 4 tal que J 2 = −I. Seja A uma matriz real 4 × 4 satisfazendo
At JA = J.
a) Mostre que J é não singular.
b) Mostre que se λ é auto-valor de A, então λ−1 também é.
4a Questão:
Seja A uma matriz n × n, simétrica e positiva definida.
a) Mostre que existe uma única matriz B n × n, simétrica positiva definida tal que
B 2 = A.
b) Mostre que existem B 6= C simétricas tais que B 2 = C 2 .
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Álgebra Linear
Setembro de 1991
1a Questão:
Seja T : Cn −→ Cn transformação linear e suponha que seu polinômio mı́nimo tenha
somente raı́zes simples. Mostre que T é diagonalizável.
Exames de Álgebra Linear —
3
2a Questão:
Seja L(Rn ) o espaço das trasformações lineares de Rn −→ Rn . Mostre que se P ∈ L(Rn )
é simétrica positiva definida então a aplicação
ϕ : L(Rn ) −→
L(Rn )
X
7→ P X + XP
é um isomorfismo linear.
3a Questão:
Seja T : Rn −→ Rn linear tal que T 2 = T − I.
a) Mostre que n é par.
b) Se n = 2k, mostre que existe base β do Rn tal que
·
0
[T ]β =
Ik
¸
−Ik
,
Ik
onde Ik é a matriz identidade k × k.
4a Questão:
Seja T : V −→ V um operador linear, onde V é um espaço vetorial complexo com
produto interno. Mostre que T é normal se, e somente se, T = T1 + iT2 , onde T1 e T2
são operadores auto-adjuntos que comutam.
5a Questão:
a) Descrever suscintamente como se consegue uma base de Jordan para um operador
nilpotente L: U −→ U .
b) Seja T : R10 −→ R10 um operador linear cujo polinômio mı́nimo é pm = (x − 2)4
e tal que dim Ker(T − 2I) = 3. Descreva as possibilidades para dim Ker(T − 2I)2
e dim Ker(T − 2I)?
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Álgebra LInear
Setembro de 1992
1a Questão:
Seja T : Rm −→ Rm um operador linear de posto 1. Demonstre que T é diagonalizável
ou nilpotente.
Exames de Álgebra Linear —
4
2a Questão:
Seja T : R4 −→ R4 um operador linear cujos polinômios mı́nimo e caracterı́stico são,
respectivamente, (x2 + 1)(x − 2) e (x2 + 1)(x − 2)2 . Determine as possı́veis formas
canônicas reais de T , a menos da ordem dos blocos.
3a Questão:
Seja T : R3 −→ R3 ortogonal. Mostre que T ou é uma rotação em torno de um eixo ou
é a composição de uma rotação em torno de um eixo com a reflexão com respeito ao
plano que passa pela origem e é perpendicular ao eixo.
4a Questão:
©
Sejam T : Rm −→ Rm um operador linear e λ um auto-valor de T . Seja Ni = v ∈ Rm |
ª
(T − λI)i v = 0 . Demonstre que:
a) Ni ⊆ Ni+1 .
b) Se Ni+1 = Ni então Ni+j = Ni para todo j ≥ 0.
c) Existe i satisfazendo a propriedade do item b).
5a Questão:
Seja A uma matriz auto-adjunta n × n. Uma matriz B n × n é dita uma raiz quadrada
de A se B 2 = A.
a) Mostre que se todos os auto-valores de A são positivos, então A admite uma raiz
quadrada que é auto-adjunta.
µ
¶
1 2
b) Calcule uma raiz quadrade de
. Ela é auto-adjunta?
2 1
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Álgebra Linear
Setembro de 1993
1a Questão:
Seja A matriz real n × n e suponha que λ ∈ C é autovalor de A com parte imaginária
não nula. Mostre que existe um subespaço de dimensão 2 em Rn invariante por A.
2a Questão:
Seja A, B: Rn −→ Rm lineares. Mostre que Ker(A) = Ker(B) se e só se existe C: Rm −→
Rm linear inversı́vel com A = CB.
Exames de Álgebra Linear —
5
3a Questão:
Seja B: Rn −→ Rn linear e simétrica. Sejam
©
ª
Λ = λ ∈ C | λ é autovalor de B
ρ(B) = max |λ|
λ∈Λ
(ρ(B) é dito o raio espectral de B).
Dado u0 ∈ Rn , defina a sequência (un )n∈N por un+1 = Bun .
a) Mostre que lim un = 0 para qualquer u0 se e só se ρ(B) < 1.
n→∞
b) Refaça o problema sem a hipótese “B simétrica”.
4a Questão:
Seja A uma matriz real n × n. Mostre que vale a “decomposição QR”, isto é: existem
Q ortogonal e R triangular superior tais que A = QR.
5a Questão:
Seja A: R3 −→ R3 linear e tal que A−1 = A2 + A. Mostre que existe B: R3 −→ R3 linear
tal que B 2 = A.
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Álgebra Linear
Março 1994
1a Questão:
Construa uma matriz A, 3 × 3, que tem apenas 2 autovetores independentes, sabendo
que A fixa os vetores (0,1,3) e (3,0,1). Calcule A20 .
2a Questão:
Uma transformação unitária A pode satisfazer a equação 2A − A3 = 0? Explique.
3a Questão:
Seja:

αn
0


A=

αn−1




...
α2

0
α1
Sob que condições A é diagonalizável ? (Nota : Os αi são complexos).
Exames de Álgebra Linear —
6
4a Questão:
Seja A uma matriz normal, tal que A3 = A2 . Prove que então A é idempotente. O que
acontece se não supomos que A é normal ?
5a Questão:
Seja p um polinômio de grau n. Considere A: p(t) 7→ p(t + 1). Qual é o polinômio
mı́nimo de A? Encontre a base de Jordan.
6a Questão:
Seja A tridiagonal simétrica :

a1
 b1


A=


b1
a2
b2

b2
a3
...
...
...
...
an−1
bn−1
bn−1
an






onde todos os bi são diferentes de 0.
Mostre que todos os auto-espaços têm dimensão 1.
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Álgebra Linear
Setembro de 1994
1a Questão:
Ache a forma de Jordan da matriz

3
4

0
0
−4
−5
0
0
0
−2
3
2

2
4 

−2
−1
2a Questão:
Sejam A e B matrizes de ordem (m, n) e (k, m) respectivamente.
a) Prove que posto(BA) ≤ min{posto(B), posto(A)}.
b) Se m = k e B é inversı́vel, prove que posto(BA) = posto(A)
Exames de Álgebra Linear —
7
3a Questão:
Seja A uma transformação linear de posto 1.
a) Mostre que existe um único escalar α tal que A2 = αA.
b) Mostre que se α 6= 1 então I − A é inversı́vel.
4a Questão:
Seja A matriz 2 × 2 e considere
¡
¢
λ2 = max{ Av; v | kvk = 1},
onde
¡
;
¢
¡
¢
λ1 = min{ Av; v | kvk = 1},
e k · k denotam respectivamente o produto escalar e a norma usuais de R2 .
a) Prove que se A é simétrica, então λ1 e λ2 são os autovalores de A.
b) De exemplo de matriz A para a qual os λi acima não são autovalores.
5a Questão:
Seja A = (aij ) matriz n × n e {λ1 , . . . λl } seus autovalores. Defina
Li = |ai1 | + · · · + |ain |,
Cj = |a1j | + · · · + |anj |,
L = max Li e C = max Cj .
1≤i≤n
1≤j≤n
Prove que max |λk | ≤ min{L, C}.
1≤k≤l
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Álgebra Linear
Março de 1995
1a Questão:
Seja A uma matriz real, com polinômio caracterı́stico:
pc = (x − 1)3 (x − 2)4 (x − 3)5 . . . (x − n)n+2
e com polinômio mı́nimo:
pm = (x − 1)(x − 2)2 (x − 3)3 . . . (x − n)n
1) Quantas possibilidades existem para a Forma Normal de Jordan de A?
2) Para que valores de n a matriz A pode ser simétrica? Ortogonal?
3) Qual o maior número possı́vel de auto-vetores à direita (módulo R∗ ) de A?
Exames de Álgebra Linear —
8
2a Questão:
Seja T : IRN −→ IRN linear, tal que:
T2 = T − I
1) Mostre que N é par.
2) Se N = 2k, mostre que existe uma base β de IRN tal que:
µ
[T ]β =
0
Ik
−Ik
Ik
¶
onde Ik é a identidade de Rk .
3a Questão:
∞
Seja kAk∞ = max kAxk
kxk∞ . Mostre que:
kAk∞ = max
i
X
|aij |
j
4a Questão:
Enuncie e prove o Teorema Espectral para matrizes Hermitianas.
5a Questão:
Seja B = (bij ), 1 ≤ i, j ≤ 20 uma matriz 20 × 20 real, tal que:
½
bii = 0
se 1 ≤ i ≤ 20
bij ∈ {−1; 1} se 1 ≤ i, j ≤ 20, i 6= j
Mostre que B é não-singular.
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Álgebra Linear
Setembro de 1995
1a Questão:
Sejam A, B: Rn → Rm transformações lineares com Im(A) = Im(B). Mostre que existe
C: Rn → Rn linear e invertı́vel tal que A = BC.
Exames de Álgebra Linear —
9
2a Questão:
Seja V um espaço vetorial de dimensão finita e {v1 , . . . , vn }, {w1 , . . . , wm } duas bases
de V . Mostre que n = m.
3a Questão:
Seja A: R3 → R3 transformação linear tal que A3 − 2A2 + 2A = I. Mostre que A é
ortogonal.
4a Questão:
Seja B: RN → RN transformação linear e
kxk =
N
³X
x2i
´1/2
i=1
a norma euclidiana definida para x = (x1 , . . . , xN ) ∈ RN . Defina
kBk∗ = sup
x∈RN
x6=0
kBxk
kxk
(pode-se mostrar que k · k∗ define uma norma).
(i) Mostre que se B é simétrica, então
kBk∗ = max{|λi | ; λi autovalor de B}
(ii) Mostre que a igualdade em (i) não se verifica, em geral, se B não é simétrica.
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Álgebra Linear
Março de 1996
1a Questão:
Sejam A, B: Rn −→ Rk lineares. Mostre que Ker(A) = Ker(B) se e só se existe
C: Rk −→ Rk linear e inversı́vel tal que A = CB.
2a Questão:
Considere a matriz

0 0
A = 0 1
1 0

1
0
0
Quantas matrizes (reais) ortogonais P existem tais que:
(a) P −1 AP é diagonal?


0 1 0
(b) P −1 AP =  1 0 0 ?
0 0 1
Exames de Álgebra Linear —
10
3a Questão:
Mostre que a matriz

0
0

0
1
1
0
0
0
0
1
0
0

0
0

1
0
é similar a uma matriz do tipo

1
0

0
0
0
ω
0
0
0
0
ω2
0

0
0 

0
ω3
Generalize para dimensões maiores.
4a Questão:
Seja r(A) = máximo dos módulos dos autovalores da matriz A. Mostre que r(A) = kAk
se e somente se
kAk k = kAkk , ∀k = 0, 1, 2, . . .
5a Questão:
Diz-se que uma transformação linear A é uma isometria parcial se
kAvk = kvk ∀v ∈ W,
onde
W = (Ker A)⊥ .
(i) Encontre uma isometria parcial que tem um autovalor λ = 1/2.
(ii) Mostre que se λ é autovalor de uma isometria parcial então |λ| ≤ 1.
(ii) Mostre que A é isometria parcial se e somente se A∗ A é uma projeção ortogonal.
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Álgebra Linear
Setembro de 1996
1a Questão:
Sejam A e B matrizes diagonalizáveis complexas n × n tais que AB = BA. Mostre que
existe uma base de Cn que diagonaliza simultaneamente A e B.
Exames de Álgebra Linear —
11
2a Questão:
Mostre que toda matriz complexa n × n A se escreve da forma:
A = QRQh ,
onde Q é unitária e R é triangular superior. Essa fatoração é chamada de forma normal
de Schurr.
Deduza o teorema espectral para matrizes hermitianas.
Existe alguma decomposição análoga para matrizes reias (com R real)?
3a Questão:
Seja B = (bij ) uma matriz 20 × 20 real tal que bii = 0, 1 ≤ i ≤ 20 e bij ∈ {−1, 1} se
i 6= j. Mostre que B é não-singular.
4a Questão:
Ache a forma de Jordan de

−1
 −9

1
9
9
6
−9
−6
−1
−9
−1
−9

9
6

9
6
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Álgebra Linear
Março de 1997
1a Questão:
Enuncie e demonstre o Teorema Espectral para transformações lineares em espaços
vetoriais de dimensão 2.
2a Questão:
Seja N um número natural e Ij = {[(j − 1)/N, j/N ) ; j = 1, 2, . . . , N }.
Seja E = {f : [0, 1) → R ; f |Ij é linear } e W = {f : [0, 1) → R ; f |Ij é constante }.
i) Determine uma base de E.
ii) Determine uma base de W .
iii) Determine uma base para o espaço quociente E/W .
Exames de Álgebra Linear —
12
3a Questão:
Seja A uma matriz n × n de coeficientes ai,j dados por
(
1
2
0
Determine a forma canônica de Jordan de
ai,j =
se i = j
se i = j − 1
senão
A.
4a Questão:
Seja Z o conjunto dos inteiros e Zn = {(a1 , a2 , . . . , an ; ai ∈ Z, i = 1, . . . , n}. Se u = (ai )
e v = (bi ), definimos a soma u + v tal que (u + v)i = ai + bi , ∀i = 1, . . . , n. Além disso,
se λ ∈ Z, definimos o produto por escalar λu ∈ Zn tal que (λu)i = λai , ∀i = 1, . . . , n.
Seja β = {u1 , u2 , . . . , uk } ⊂ Zn . Dizemos que β é um conjunto linearmente independente
(l.i.) se ∀λ1 , λ2 , . . . , λk ∈ Z,
k
X
λi ui = 0
⇒
λ1 = λ2 = . . . = λk = 0.
i=1
Dizemos que β ⊂ W ⊂ Zn gera W se
∀w ∈ W, ∃λ1 , λ2 , . . . , λk ∈ Z tais que w =
k
X
λi ui
i=1
β ⊂ W é dito uma base de W se β é um conjunto l.i. que gera W .
(a) Determine uma base para Zn .
(b) Mostre que duas bases de Zn têm a mesma cardinalidade n
(Sugestão: Mostre que, se β é uma base de Zn então β é base do espaço vetorial
Qn ).
(c) Determine um conjunto de n elementos l.i. de Zn que não gera Zn .
(d) Determine condições necessárias e suficientes para que um conjunto de elements
l.i. seja uma base de Zn .
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Álgebra Linear
Setembro de 1997
1a Questão:
Seja V um espaço vetorial de dimensão finita e A uma transformação linear em V .
Mostre que se todo subespaço M de V é invariante por A, então A é um múltiplo
escalar do operador identidade.
Exames de Álgebra Linear —
13
2a Questão:
Seja A uma transformação linear em um espaço vetorial V de dimensão finita. Suponha
que o posto de A2 seja igual ao posto de A. Prove que Im A ∩ Ker A = {0}.
3a Questão:
Seja A: Cn → Cn , n ∈ N, uma transformação linear e suponha que seu polinômio mı́nimo
tenha somente raı́zes simples. Mostre que A é diagonalizável.
4a Questão:
Considere a matriz

3/4 1/4

A = 1/4 3/4
c
d

a
b 
1/2
(a) Sabendo que a matriz A representa uma rotação em torno de um eixo, encontre
os valores de a, b, c e d.
(b) Determine o ângulo e o eixo de rotação.
(c) É possı́vel encontrar valores para as constantes a, b, c, e d de forma que a matriz
A represente uma reflexão? Justifique sua resposta.
5a Questão:
Seja V um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno.
(a) Seja T : V → V linear. Mostre que T é um operador normal se e somente se existem
operadores lineares A, B: V → V auto-adjuntos que comutam entre si e tais que
T = A + iB.
(b) Sejam A e B operadores auto-adjuntos que comutam entre si. Mostre que todo
auto-espaço de A é invariante por B (e vice-versa).
(c) Assumindo o Teorema Espectral para operadores auto-adjuntos, demonstre, usando (a) e (b) o Teorema Espectral para operadores normais em V .
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Álgebra Linear
Março de 1998
1a Questão:
Sejam v1 e v2 dois vetores de R3 . Determine condições necessárias e suficientes para
que exista uma transformação linear ortogonal T de R3 tal que T v1 = v2 .
Exames de Álgebra Linear —
14
2a Questão:
Seja v ∈ Rn . Mostre como construir uma transformação linear simétrica T 6= I de Rn
tal que T v = v.
3a Questão:
Seja V um espaço vetorial e T ∈ L(V ). Suponha V = W1 ⊕ W2 , onde Wi é T -invariante,
i = 1, 2. Seja Ti = T |Wi , i = 1, 2. Mostre que:
(a) o polinômio caracterı́stico de T é o produto dos polinômios caracterı́sticos de T1 e
T2 .
(b) o polinômio mı́nimo de T é o mı́nimo múltiplo comum entre os polinômios mı́nimos
de T1 e T2 .
4a Questão:
Uma bandeira em um espaço vetorial V de dimensão n é uma coleção de subespaços
V1 ⊂ V2 ⊂ · · · ⊂ Vn , com dim Vj = j. Se T é uma transformação linear de V , uma
bandeira é dita T -invariante se cada subespaço Vj é T -invariante. Mostre que se T é
um operador diagonalizável então existe uma bandeira T -invariante em V . Mostre que
a recı́proca não é verdadeira.
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Álgebra Linear
Setembro de 1998
1a Questão:
Seja A ∈ R7×7 tal que
(i) dim N (A) = 1, onde N (A) é o núcleo de A;
(ii) A2 − 2A + 2I é singular;
(iii) o polinômio p(z) = (z − 2)2 divide o polinômio mı́nimo de A;
(iv) o polinômio q(z) = (z − 3) divide o polinômio caracterı́stico de A.
Quais são as possı́veis formas canônicas reais de Jordan de A?
2a Questão:
Seja

1

A = −1
1
1
−1
1

1
−2 
2
Ache a forma canônica de Jordan de A e calcule A99 .
Exames de Álgebra Linear —
15
3a Questão:
Sejam A1 , . . . , Am matrizes hermitianas em Cn , n ∈ N. Suponha que
m
X
A2k = 0.
k=1
Mostre que A1 = · · · = Am = 0.
4a Questão:
Seja V um espaço vetorial complexo de dimensão finita com produto interno. Mostre
que A: V → V é um operador normal se e somente se kAxk = kA∗ xk, ∀x ∈ V , onde
k · k é a norma associada ao produto interno de V .
5a Questão:
Seja A um operador linear em um espaço vetorial complexo de dimensão finita com
produto interno. Defina N 2 = A∗ A. Mostre que existe um operador unitário U tal que
A = U N.
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Álgebra Linear
Setembro de 1999
1a Questão:
Se a > 0, que tipo de cônica representa a equação x2 + 8xy + 17y 2 = a?
2a Questão:
Dê um exemplo de uma matriz ortogonal real A, 5 × 5, que tenha apenas um autovalor
real de multiplicidade algébrica igual a 1.
3a Questão:
a) Considere B uma matriz complexa n × n. Mostre que B = 0 se e somente o traço
de BB ∗ é igual a zero.
b) Mostre que A é hermitiana se e somente se AA∗ = A2 .
Sugestão: Considere B = A − A∗ e use o item (a).
Exames de Álgebra Linear —
16
4a Questão:
Considere a matriz A 10 × 10 dada por

1 2
 11 12
A=
..
 ...
.
91 92
···
···
···
···

10
20 
.. 
. 
100
a) Mostre que o posto de A é igual a 2 e dê uma base para a imagem de A.
b) Mostre que a nulidade de A é 8 e dê uma base para o núcleo de A.
5a Questão:
Considere a matriz tridiagonal A n × n dada por

2
 −1

 0
A=
 ...

 0
0
−1
2
−1
..
.
0
−1
2
..
.
0
0
···
0
0
0
−1
..
.
···
···
···
···
−1 2
· · · −1
a) Seja ~uk ∈ Rn tal que
uik = sen
0
0
0
..
.







−1 
2
ikπ
.
n+1
Mostre que ~uk é autovetor de A ∀k ∈ N.
b) Mostre que {~u1 , ~u2 , . . . , ~un } forma uma base ortogonal de autovetores de A.
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Álgebra Linear
Março de 2000
1a Questão:
a) Seja B matriz n × n simétrica e u ∈ Rn tal que B 2 u = 0. Mostre que Ker(B 2 ) =
Ker(B), onde Ker(B) denota o núcleo de B.
b) Dê exemplo de uma matriz B não simétrica tal que Ker(B 2 ) 6= Ker(B).
2a Questão:
Mostre que uma transformação linear ortogonal de R2 é uma reflexão ou uma rotação.
Exames de Álgebra Linear —
17
3a Questão:
Determine todas as transformações lineares ortogonais T : R2 → R2 tais que T (1, 2) =
(2, 1).
Sugestão: Use a Questão 2.
4a Questão:
Considere a seqüência de números inteiros {an } gerada pela lei de recorrência:
(
an+2 = 6an + an+1 , n ≥ 1,
a1 = 1, a2 = 2.
Determine a100 .
Sugestão: Existe uma matriz B 2 × 2 tal que ~xn+1 = B~xn , onde ~xn = (an , an+1 ).
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Álgebra Linear
Setembro de 2000
1a Questão:
Considere a matriz A =
que:
µ
¶
a b
. Dê condições sobre os coeficientes a, b, c, d ∈ R para
c d
1) A seja inversı́vel;
2) A tenha posto igual a 1;
3) A seja simétrica e positiva definida;
4) A seja uma projeção ortogonal;
5) A preserve área (isto é, se P é um paralelogramo de R2 de área a e f (x) = Ax,
então f (P ) tem área a.)
2a Questão:
Sejam L: R25 → R5 e M : R125 → R25 transformações lineares tais que L◦M é sobrejetiva.
Determine todos os possı́veis valores para a dimensão do núcleo de M .
3a Questão:
Mostre que se A é uma matriz n × n tal que a soma dos elementos de cada linha é 1,
então λ = 1 é autovalor de A.
Exames de Álgebra Linear —
18
4a Questão:
Demonstre se a afirmativa é verdadeira, ou dê um contra-exemplo caso seja falsa:
1) Não existe uma matriz n × n unitária A tal que 2A − A3 = 0.
2) A única matriz 3 × 3 real A que satisfaz a equação 2A − A3 = I é a matriz
identidade.
5a Questão:
Seja V um espaço vetorial real de dimensão finita e T : V → V uma transformação linear.
Sejam α, β ∈ R tais que T 2 + αT + βI = 0. Prove que T tem um autovalor se e somente
se α2 ≥ 4β.
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Álgebra Linear
Fevereiro de 2001
1a Questão:
Considere a matriz

−2 a
2 d
c 5

5
1
A = b
6
1
Sabendo que A representa uma projeção ortogonal sobre um plano de R3 , determine:
(a) os valores dos coeficientes a, b, c e d;
(b) a equação do plano sobre o qual é feita a projeção.
(c) É possı́vel encontrar valores para a, b, c e d ∈ R de forma que a matriz A represente
uma rotação? E uma reflexão?
2a Questão:
Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita e T : V → V uma transormação linear.
Prove que:
(a) T é normal se e somente se kT vk = kT ∗ vk, ∀v ∈ V ;
(b) T é normal ⇒ Ker T = Ker T ∗ ;
(c) Suponha dim V = 2. Se T é normal e não é auto-adjunta, então a matriz de T
com respeito a qualquer base ortonormal de V tem a forma
µ
a −b
b a
¶
,
b 6= 0.
Exames de Álgebra Linear —
19
3a Questão:
(a) Mostre que todas as matrizes (com n > 1) do tipo

1
2
3
···

n+1
n+2
n + 3 ···

 2n + 1
2n + 2
2n + 3 · · ·

..
..
..
..

.
.
.
.
(n − 1)n + 1 (n − 1)n + 2
···
···
possuem posto igual a 2.
(b) Encontre uma base para a imagem

1
 5

9
13

n
2n 

3n 
.. 
. 
n2
da matriz
2
6
10
14
3
7
11
15

4
8 

12
16
4a Questão:
Demonstre se a afirmativa é verdadeira, ou dê um contra-exemplo se for falsa.
(a) Se o polinômio mı́nimo de uma transformação linear T em um espaço vetorial de
dimensão n tem grau n, então A é diagonalizável.
(b) Se A é nilpotente, então λ = 0 é o único autovalor de A.
(c) Se A é uma matriz 3 × 3 e possui 3 autovetores linearmente independentes, então
A é inversı́vel.
5a Questão:
Sejam T e S duas transformações lineares em um espaço vetorial complexo V de dimensão finita tais que T S = ST .
(a) Prove que se λ é um autovalor de T , então W = {v ∈ V ; T v = λv} é um subespaço
invariante por S.
(b) Prove que T e S possuem ao menos um autovetor em comum.
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Álgebra Linear
Dezembro de 2001
1a Questão:
Qual o grau do polinômio mı́nimo da matriz B abaixo? E da matriz (n × n) C abaixo?


2
0
·
·
·
0
1


2 0 0 1
1 2 ··· 0 0


.. ..
1 2 0 0


.
.
B=
C=


0 1 2 0


.
.
..
.. 0 

0 0 1 2
0 0 ··· 1 2
Exames de Álgebra Linear —
20
2a Questão:
(a) Caracterize a classe das matrizes Q reais n × n com a seguinte propriedade: para
toda matriz n × n real A, kQAkF = kAkF .
(b) Mostre que kABkF ≤ kAkF kBkF , para todas A e B.
(c) Mostre que kAk1 = kAT k∞ .
3a Questão:
Seja A : Rn → Rn uma transformação linear. S k denota sempre a esfera de raio 1 em
Rk+1 . Descreva geometricamente, distinguindo os casos que forem necessários:
(a) A(S m−1 );
(b) A−1 (S m−1 ).
4a Questão:
Seja a : (Rn )k → Rn uma forma k-linear alternada não-nula em Rn . A norma de a pode
ser definida assim:
kak2 =
sup
|a(u1 , . . . , uk )|.
ku1 k2 =···=kuk k2 =1
Mostre que se a norma de a é atingida para um certo valor de u1 , . . . , uk acima, então
a matriz U de colunas u1 , . . . , uk é ortogonal.
5a Questão:
Seja An o subespaço de L(n) gerado pelas matrizes de permutação. Mostre que
dim An = n2 − 2n + 2.
Sugestão: mostre primeiro que An = (An ∩ Simn ) ⊕ (An ∩ Antin ), onde Simn e Antin
são, respectivamente, os espaços das matrizes simétricas e anti-simétricas.
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Álgebra Linear
Dezembro 2002
1a Questão:
a) S é uma raiz cúbica de T se S 3 = T . Um operador auto-adjunto T tem sempre
uma raiz cúbica? Prove ou dê um contra-exemplo.
b) Uma involução é uma transformação linear U tal que U 2 = I. Mostre que a
equação U = 2T − I estabelece uma correspondência biunı́voca entre o conjunto
das projeções T no conjunto das involuções U .
c) Uma projeção é uma transformação linear T tal que T 2 = T . Mostre que se T é
uma projeção então seu traço é igual à dimensão de Im(T ).
d) Sejam A, B : Rn → Rn transformações lineares com Ker(A) = Ker(B). Mostre
que existe C : Rn → Rn linear e invertı́vel tal que A = CB.
Exames de Álgebra Linear —
21
2a Questão:
Seja A : Rn → Rn uma transformação linear simétrica tal que lim kAk k = 0. Prove
k→∞
que todo autovalor λ de A satisfaz |λ| < 1.
3a Questão:
Seja A uma matriz n × n real. Suponha que existam matrizes ortogonais U e V tais
que A = U CV T , onde


c1 0 · · · 0
.
..

. .. 

 0 c2
C= . .
.
.
 ..
..
.. 0 
0 · · · 0 cn
Mostre que as colunas de U são autovetores de AAT e que c21 , . . . , c2n são os autovalores
associados. Mostre também que as colunas de V são autovetores de AT A.
4a Questão:
Considere a matriz

3/4 1/4

A = 1/4 3/4
c
d

a
b .
1/2
a) Sabendo que a matriz A representa uma rotação em torno de um eixo, encontre
os valores de a, b, c e d.
b) Determine o ângulo e o eixo de rotação.
c) É possı́vel encontrar valores para as constantes a, b, c e d de forma que a matriz A
represente uma reflexão? Justifique sua resposta.
Exames de Álgebra Linear —
22
EXAMES DE
VARIÁVEIS COMPLEXAS
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Variáveis Complexas
Setembro de 1989
1a Questão:
Suponha que a função f (z) é holomorfa para |z| > R, e que f (z) é limitada quando
|z| → ∞. Demonstre que f (z) pode ser expandida como uma série da forma
∞
X
an z −n ,
n=0
que é convergente quando |z| > R.
2a Questão:
Calcule
Z
0
∞ a−1
t
dt,
1+t
onde 0 < a < 1.
3a Questão:
Mostre que se f (z) é uma função contı́nua em γ, onde γ: [a, b] −→ C é C 1 por partes,
então a função
Z
1
f (z)
˜
f (ξ) =
dz
2πi γ z − ξ
está bem definida e é analı́tica em E = C \ γ([a, b]). Sua derivada f˜0 é dada por
1
f˜0 (ξ) =
2πi
Z
f (z)
dz
2
γ (z − ξ)
para todo ξ ∈ E. Observe que γ não precisa ser fechada. O que acontece quando γ é
fechada?
4a Questão:
Demonstre que se f : U −→ C é analı́tica e injetiva, então f 0 (z) 6= 0, para todo z ∈ U .
5a Questão:
Seja f : U −→ C uma função analı́tica que não se anula no domı́nio aberto e simplesmente
conexo U . Mostre que existe um ramo de log(f ) definido em U .
Exames de Variáveis Complexas —
1
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Variáveis Complexas
Março de 1990
1a Questão:
©
ª
Sejam f função inteira não constante, a > 0 e S = z ∈ C; |f (z)| ≤ a . Demonstre que
©
ª
∂S = z ∈ C; |z| = a .
2a Questão:
Sejam f e g duas funções holomorfas definidas em um subconjunto D aberto e conexo
do plano C que não possuem zeros em D. Existe uma sequência (an )n≤1 de pontos de
D tais que
lim an = a, a ∈ D e an 6= a ∀n.
n→∞
e também vale para todo n:
f 0 (an )
g 0 (an )
=
.
f (an )
g(an )
Prove que existe uma constante complexa c tal que f (z) = cg(z) ∀z ∈ C.
3a Questão:
Calcule
Z
+∞
0
1
dx.
1 + x4
4a Questão:
a) Sejam U ⊂ C aberto conexo e f : U −→ C uma função holomorfa não constante
tal que ∀z ∈ U , f (z) 6= 0. Prove que existe uma função holomorfa g: U −→ C tal
que eg(z) = f (z), ∀z ∈ U , se, e somente se, para todo caminho fechado e contı́nuo
γ: I −→ U vale
Z 0
f (z)
dz = 0.
γ f (z)
b) Seja f : C −→ C uma função holomorfa que possui um número finito de zeros.
Prove que existem uma função holomorfa g: C −→ C e um polinômio p(z) tais
que f (z) = p(z)eg(z) , ∀z ∈ C.
5a Questão:
i
a) Mostre que f (z) = zz −
entre o semi-plano superior
+ i ªé uma equivalência conforme
©
©
ª
aberto z ∈ C | Im z > 0 e o disco unitário z ∈ C | |z| < 1 .
b) Calcule G equivalência conforme que leva o disco unitário aberto no semi-plano
©
ª
z ∈ C | <z > 0 . Esta equivalência é única? Justifique sua resposta.
Exames de Variáveis Complexas —
2
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Variáveis Complexas
Setembro de 1990
1a Questão:
Seja f uma função inteira tal que |f (z)| > 1/3 se |z| > M . Prove que f é um polinômio.
2a Questão:
Calcule
Z
0
+∞
cos ax
dx,
(1 + x2 )2
a > 0.
3a Questão:
Seja f holomorfa em 0 ∈ C tal que f (0) = f 0 (0) = . . . = f (k−1) (0) = 0, f (k) (0) 6= 0.
¡
¢k
Mostre que existe g holomorfa em 0 ∈ C tal que g(0) = 0, g 0 (0) 6= 0 e f (z) = g(z)
para z numa vizinhança de 0 ∈ C.
4a Questão:
Usando o Teorema de Rouché mostre que se
z2
zm
pm (z) = 1 + z +
+ ... +
m!
© 2
ª
am = min |z|; pm (z) = 0 ,
e
então lim am = ∞.
m→∞
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Variáveis Complexas
Fevereiro de 1991
1a Questão:
Considere a função f : D −→ C definida por
Z
∞
f (z) =
0
ezt
dt,
t+1
©
ª
onde D = z ∈ C | <z < 0 . Prove que f está bem definida e é analı́tica.
Sugestão: Use Morera.
Exames de Variáveis Complexas —
3
2a Questão:
Mostre que
Z
2π
0
dθ
5π
=
.
2
(5 − 3 sen θ)
32
Sugestão: Escreva sen θ como função de z = eiθ .
3a Questão:
Mostre que uma aplicação inteira f injetiva é um polinômio de grau 1.
Sugestão: Estude a singularidade de F (z) = f (1/z).
4a Questão:
Seja f : U −→ R uma função harmônica. Prove que f não tem máximos locais a menos
que f seja constante.
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Variáveis Complexas
Setembro de 1991
1a Questão:
Calcule, pelo método dos resı́duos, a seguinte integral imprópria:
Z
+∞
−∞
x2 − x + 2
dx.
x4 + 10x2 + 9
2a Questão:
Seja f uma função inteira não constante. Mostre que a função g definida por g(z) = f ( z1 )
tem uma singularidade não removı́vel em z = 0.
3a Questão:
Considere a equação diferencial complexa
zy 0 = z 2 y 2 + my,
onde m ∈ Z+ . Prove que toda solução não trivial y = f (z) holomorfa no disco unitário
©
ª
D = z ∈ C | |z| ≤ 1 é da forma f (z) = z m f (z), onde g é holomorfa e diferente de
zero em D.
Sugestão: Conte o número de zeros de f num pequeno disco centrado na origem.
Exames de Variáveis Complexas —
4
4a Questão:
Resolva um dos dois problemas abaixo.
4.1 Seja f holomorfa num disco D e f 6= 0 em ∂D. Sejam a1 , . . . , al os zeros de f em
D contados com suas respectivas multiplicidades. Prove que
1
2πi
Z
l
X
z n f 0 (z)
dz =
anj ,
f
(z)
∂D
j=1
∀n ∈ N.
4.2 Sejam a e b números complexos distintos e considere a função R(z) = (z−a)/(z−b).
(1) Mostre que a imagem por R de C − [a, b] (complementar do intervalo fechado
[a, b] ⊂ C) está contida no complementar Ω do eixo real não positivo (i.e.
Ω = C − (R− ∪ {0}).
(2) Conclua que existe um ramo de log R(z) bem definido em Ω.
(3) Mostre que para qualquer curva fechada γ, que não intersepta o segmento [a, b],
tem-se:
Z
Z
dz
dz
=
.
γz−a
γz−b
Sugestão: Tome a derivada de log R(z).
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Variáveis Complexas
Setembro de 1992
1a Questão:
©
Prove que a equação z 5 + 15z + 1 = 0 tem exatamente 4 soluções no anel z | 3/2 <
ª
|z| < 2 .
2a Questão:
Mostre que
Z
0
∞
sen2 x
π
dx = .
2
x
2
3a Questão:
Seja f (z) uma função inteira. Suponhamos que exista um número inteiro n > 0 e dois
números reais positvos R e M tais que |f (z)| ≥ M |z|n , para qualquer z fora de um
cı́rculo de raio R. Mostre que f (z) é um polinômio de grau maior ou igual a n.
Exames de Variáveis Complexas —
5
4a Questão:
Encontre o desenvolvimento em séries de potências (Laurent) de
1
(z − a)(z − b)
no anel 0 < |a| < |z| < |b|.
5a Questão:
Seja f : R −→ R uma função analı́tica tal que para cada x0 ∈ R, a série de Taylor de
f de centro x0 converge no intervalo |x − x0 | < ex0 . Mostre que f se estende a uma
função inteira em C.
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Variáveis Complexas
Setembro de 1993
1a Questão:
Seja Ω = (0, 1) × (0, 1) e u: Ω → R harmônica. Mostre que existe f : Ω → C analı́tica
com <f = u. Mostre que f é única a menos de uma adição por um imaginário puro.
2a Questão:
Mostre que existe um aberto Ω ⊂ R2 e u harmônica em Ω para os quais não vale a
conclusão da questão anterior.
3a Questão:
Seja f uma função inteira satisfazendo |f (z)| ≤ k|z|m , onde k > 0 e m ∈ N. Suponha
que existe z0 ∈ C, z0 6= 0 com f (z0 ) = kz0m . Mostre que f (z) = kz m ∀z ∈ C.
4a Questão:
Mostre que z0 é singularidade essencial de f se e somente se z0 é singularidade essencial
de 1/f .
5a Questão:
Calcule
Z
0
∞
cos x
dx.
1 + x2
Exames de Variáveis Complexas —
6
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Variáveis Complexas
Março 1994
1a Questão:
Prove o Teorema Fundamental da Álgebra.
2a Questão:
Ache um aberto conexo U de C tal que, se H for o conjunto das funções analı́ticas em
U , então a aplicação
∂ : H → H
∂z
f 7→ f 0
não é sobre.
3a Questão:
©
ª
Seja f analı́tica e limitada em D = z ∈ C | Im z > 0 , contı́nua em D̄ e limitada em
©
ª
∂D = z | Im z = 0
Prove que :
|f (z)| ≤ sup |f (ξ)|
ξ∈∂D
Sugestão: Fixe z0 , Im z0 > 1, R > |z0 |, e n natural e considere a função z 7→
onde |z| < R, Im z > 1.
f n (z − i)
,
z
4a Questão:
Sejam Ωn , Ω regiões tais que para todo z ∈ Ω, ∃n0 : ∀n ≥ n0 , z ∈ Ωn . Prove o :
Teorema de Weierstrass:
Assuma que fn (z) é analı́tica na região Ωn , e que fn (z) → f (z) em Ω,
uniformemente em compactos.
Então f 0 é analı́tica em Ω, e fn0 (z) → f 0 (z) uniformemente em compactos
de Ω.
5a Questão:
Calcule
Z
0
∞
xc−1
dx
(x + 1)(x + 2)
onde 1 < c < 2
Sugestão : Integre em torno de um disco suficientemente grande em torno da origem,
menos uma vizinhança do semi-eixo dos reais positivos.
Exames de Variáveis Complexas —
7
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Variáveis Complexas
Setembro de 1994
1a Questão:
∞
X
zn
1) Mostre que a série
converge uniformemente em D = {z ∈ C | |z| ≤ 1}.
n2
n=1
2) A série obtida derivando-se termo-a-termo a série acima converge uniformemente
em D = {z ∈ C | |z| < 1}? Justifique.
2a Questão:
1) Exiba uma aplicação bijetiva e analı́tica definida no disco unitário aberto {z ∈
C | |z| < 1} com valores no semiplano {z ∈ C | Im z > 0}.
2) Existe uma aplicação analı́tica e bijetiva do plano complexo C no disco unitário?
Justifique.
3a Questão:
Z ∞
sen x
Calcule
dx.
x
−∞
4a Questão:
Assisinale se verdadeira ou falsa justificando sua resposta:
1) Se {fn }n∈N é uma sequência de funções holomorfas definidas no disco unitário
D = {z ∈ C | |z| < 1} que converge uniformemente para f nas partes compactas
de D, então f é holomorfa em D.
2) Existe f holomorfa e não-constante em um domı́nio U tal que
F (U ) ⊂ {z ∈ C | Im z = 0}.
5a Questão:
Seja U ⊂ C um domı́nio e suponha que u: U → R satisfaz a seguinte propriedade:
Z 2π
1
u(z0 ) =
u(z0 + reiθ ) dθ
2π 0
para todo r > 0 tal que Br (z0 ) ⊂ U .
Mostre que se existe z0 ∈ U tal que u(z0 ) ≥ u(z) ∀z ∈ U , então u é constante.
Exames de Variáveis Complexas —
8
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Variáveis Complexas
Março de 1995
1a Questão:
Seja f analı́tica num domı́nio D. Prove que f é constante em D se u = <f ou v = Im f
ou |f | ou Arg f é constante em D.
Prove também que f é constante em D se
h(u, v) = a0 u2 + a1 uv + a2 v 2 + a3 u + a4 v
é constante em D, onde ai ∈ C.
2a Questão:
Prove que se f é uma função inteira e |f (z)| ≥ 1, ∀z ∈ C, então f é constante.
3a Questão:
Prove que as funções que são regulares em C e têm um pólo no ∞ são os polinômios de
grau n ≥ 1.
4a Questão:
Calcule
Z
∞
0
x2
dx
x6 + 1
5a Questão:
Prove o Teorema Fundamental da Álgebra.
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Variáveis Complexas
Setembro de 1995
1a Questão:
Calcule
Z
+∞
−∞
2a
1
dx
1 + x4
Questão:
Seja D ⊂ C um domı́nio e {fn }n≥0 uma sequência de funções analı́ticas tal que fn (z) −→
f (z) uniformemente nos compactos de D.
(i) Mostre que f é analı́tica.
(ii) Mostre que f 0 (z) = limn→+∞ fn0 (z), ∀z ∈ D.
Exames de Variáveis Complexas —
9
3a Questão:
Uma função f : C → C é dita coerciva se |f (z)| −→ +∞ quando |z| −→ +∞. Seja f
inteira e coerciva. Mostre que f é sobrejetiva.
(Sugestão: Mostre que 0 ∈ Im f ).
4a Questão:
Seja D ∈ C um domı́nio e f analı́tica em D. Mostre que f satisfaz o princı́pio da média,
isto é, se Br (z0 ) ∈ D, então
1
f (z0 ) =
2π
Z
2π
f (z0 + reiθ ) dθ
0
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Variáveis Complexas
Março de 1996
1a Questão:
Integre
Z
+∞
0
sen x
dx
x
2a Questão:
Ache uma transformação conforme levando o disco unitário na região y < x2 .
3a Questão:
Seja g uma função analı́tica com a singularidade essencial em x. Seja U uma vizinhança
de x. Mostre que todo y ∈ C é ponto de acamulação de g(U ).
4a Questão:
Sejam ω1 , ω2 ∈ C∗ tais que ω1 /ω2 ∈
/ R. Seja f uma função meromorfa com perı́odos ω1
e ω2 :
f (z) = f (z + ω1 ) = f (z + ω2 ), ∀z ∈ C.
Mostre que a soma dos resı́duos de f é zero. Conclua que toda função meromorfa
não constante com perı́odos ω1 e ω2 tem tantos pólos quanto zeros (contando com
multiplicidade).
Exames de Variáveis Complexas —
10
5a Questão:
Seja f (z) analı́tica na região anular Ω = {1 < |z| < 2}. Assuma que f (z) 6= 0 para todo
z ∈ Ω. Mostre que existe um inteiro n e uma função analı́tica g em Ω tal que, para todo
z ∈ Ω, f (z) = z n eg(z) .
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Variáveis Complexas
Setembro de 1996
1a Questão:
Prove o Teorema Fundamental da Álgebra.
2a Questão:
Z +∞
Calcule
−∞
1
dx.
1 + x4
3a Questão:
Pn
k
Seja fn (z) = k=1 zk , z ∈ U , onde U é o disco aberto unitário. Prove que (fn ) converge
uniformemente sobre os compactos de U , mas não converge uniformemente sobre U .
4a Questão:
Seja D um disco aberto e A o conjunto das funções f : D → C tais que f |D é holomorfa
e f |∂D é contı́nua. Prove que A é completo sob a métrica
du (f, g): = sup |f − h|,
f, g ∈ A.
5a Questão:
Seja E o espaçovetorial das funções f : C → C holomorfas e S o espaço vetorial das
sequências (cn )n≥0 em C tais que |cn |1/n −→ 0.
Prove que existe um isomorfismo (linear e bijetor) T : E → S.
Exames de Variáveis Complexas —
11
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Variáveis Complexas
Setembro de 1997
1a Questão:
Sejam f e g analı́ticas em um aberto conexo Ω de C contendo o disco unitário centrado
na origem. Suponha que
f 0 (an ) = f (an )g 0 (an ),
∀n ∈ N,
onde an = exp(iπn/4)/n. Prove que existe uma constante complexa c tal que
f (z) = ceg(z) ,
∀z ∈ Ω.
2a Questão:
Seja Ω um aberto conexo limitado de C e sejam f e g funções analı́ticas em Ω e contı́nuas
em Ω. Suponha que f e g não se anulam em Ω e são tais que |f (z)| = |g(z)| para todo
z ∈ ∂Ω. Mostre que existe uma constante complexa λ com |λ| = 1 tal que f (z) = λg(z)
em Ω.
3a Questão:
(a) Seja f (z) uma função analı́tica em 0 < |z| < 1 tal que
c1
c2
≤ |f (z)| ≤ m ,
k
|z|
|z|
∀z, 0 < |z| < ε,
onde 0 < ε ≤ 1, 0 < c1 < c2 e k ≤ m, k, m ∈ N. Mostre que a origem é um pólo
de ordem n ∈ N de f onde k ≤ n ≤ m.
(b) Seja f (z) uma função analı́tica em 0 < |z − z0 | < 1, onde |z0 | < 1, tal que
¯
¯
¯
¯
2
¯ f (z) ¯
¯ f (z) ¯
¯
¯
¯
¯ < ∞, onde g(z) = z + z(1 − z0 ) − z0 .
0 < lim inf ¯
≤
lim
sup
¯ g(z) ¯
z→z0
g(z) ¯
(z − z0 )4 (z − 1)
z→z0
Mostre que z0 é um pólo de f e ache a ordem desse pólo.
4a Questão:
Seja {fn }n uma sequência de funções analı́ticas em um aberto Ω de C tal que a série
P∞
n=1 fn (z) converge uniformemente em Ω para uma função f (z). Mostre que f (z) é
analı́tica em Ω e que
∞
X
df
dfn
=
em Ω.
dz n=1 dz
Exames de Variáveis Complexas —
12
5a Questão:
Calcule
Z
∞
−∞
eiax
dx,
x2 + 1
onde a > 0.
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Variáveis Complexas
Setembro de 1998
1a Questão:
Seja f : C → C uma transformação conforme que leva circunferências em circunferências, preservando o raio. Mostre que f é da forma f (z) = f (0) + eiθ z, para algum
θ ∈ [0, 2π).
2a Questão:
Sejam m ∈ N e M, R > 0.
(a) Se f (z) é uma função inteira tal que |f (z)| ≤ M |z|m para todo z tal que |z| ≥ R,
mostre que f é um polinômio.
(b) Se f (z) uma função meromorfa em C tal que |f (z)| ≤ M |z|m para todo z que não
seja um pólo de f e tal que |z| ≥ R, mostre que f é uma função racional.
3a Questão:
Seja Ω um aberto simplesmente conexo de C e seja (fn )n uma seqüência de funções
analı́ticas tais que fn0 converge para uma função g em Ω, uniformemente nas partes
compactas de Ω. Suponha, ainda, que para um certo z0 ∈ C, exista w0 ∈ C tal que
fn (z0 ) → w0 , quando n → ∞. Mostre que (fn )n converge para uma função analı́tica f
em Ω, uniformemente nas partes compactas de Ω.
4a Questão:
Seja u: D → R contı́nua, onde D = {z ∈ C ; |z| ≤ 1} . Mostre que se u é subharmônica,
i.e.,
Z 2π
1
u(z) ≤
u(z + reiθ ) dθ,
∀z, |z| < 1, ∀r, 0 < r < 1 − |z|,
2π 0
então u satisfaz o princı́pio do máximo.
Exames de Variáveis Complexas —
13
5a Questão:
Calcule
Z
(z 2 + 2z) cossec2 (z) dz.
|z|=1
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Variáveis Complexas
Março de 1999
1a Questão:
Sejam m um inteiro, M e R reais positivos e f (z) uma função inteira tal que |f (z)| ≤
M |z|m para todo z ∈ C tal que |z| ≥ R.
(a) Mostre que f (z) é um polinômino.
(b) Mostre que se |f (z0 )| = M |z0 |m para algum z0 ∈ C com |z0 | > R, então f (z) é
um monômio.
2a Questão:
Seja Ω um aberto simplesmente conexo de C e seja (fn )n uma seqüência de funções
analı́ticas tais que fn0 converge para uma função g em Ω, uniformemente nas partes
compactas de Ω. Suponha, ainda, que para um certo z0 ∈ C, exista w0 ∈ C tal que
fn (z0 ) → w0 , quando n → ∞. Mostre que (fn )n converge para uma função analı́tica f
em Ω, uniformemente nas partes compactas de Ω.
3a Questão:
Seja u: D → R contı́nua, onde D = {z ∈ C ; |z| ≤ 1} . Mostre que se é u subharmônica,
i.e.,
Z 2π
1
u(z) ≤
u(z + reiθ ) dθ,
∀z, |z| < 1, ∀r, 0 < r < 1 − |z|,
2π 0
então u satisfaz o princı́pio do máximo.
4a Questão:
Calcule
Z
(z 2 + 2z) cossec2 (z) dz.
|z|=1
Exames de Variáveis Complexas —
14
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Variáveis Complexas
Setembro de 1999
1a Questão:
Seja z = 2 + 2i. Determine a parte real e a parte imaginária das raı́zes sêxtuplas de z.
2a Questão:
Analise as singularidades de f no plano complexo estendido, onde
sen z
f (z) =
exp
z(z − 5)2 sen(iz + 3)
µ
1
z−1
¶
.
3a Questão:
Mostre que
Z
0
∞
π
x1/2
dx = √ .
2
1+x
2
4a Questão:
Considere f uma função analı́tica em um domı́nio U e tal que z0 ∈ U é o único zero da
função f . Suponha que z0 é zero de ordem 1 e que Br (z0 ) ⊂ U .
Mostre que
1
z0 =
2πi
Z
|z−z0 |=r
zf 0 (z)
dx.
f (z)
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Variáveis Complexas
Março de 2000
1a Questão:
Enuncie e demonstre o Teorema Fundamental da Álgebra.
2a Questão:
Seja f = u + iv uma função inteira tal que u(z) ≤ 0, ∀z ∈ C. Mostre que f é uma
função constante.
Exames de Variáveis Complexas —
15
3a Questão:
Seja D ⊂ C um domı́nio e {fn }n≥0 uma seqüência de funções analı́ticas tal que fn → f
uniformemente nos compactos de D.
a) Mostre que f é analı́tica.
b) Mostre que f 0 (z) = limn→∞ fn0 (z), ∀z ∈ D.
4a Questão:
Classifique as singularidades de f no plano complexo estendido, onde:
f (z) =
Calcule
e1/z
.
1−z
Z
f (z) dz,
σ
onde
½
σ(t) =
2eit
−1
it
2 +e
se 0 ≤ t < 2π,
se 2π ≤ t ≤ 4π.
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Variáveis Complexas
Setembro de 2000
1a Questão:
Calcule a seguinte integral:
Z
∞
−∞
(x2
1
dx.
+ 1) (x2 + 4)
2a Questão:
Determine as singularidades no plano complexo estendido de
f (z) =
sen z sen(1/z)
.
cos z 3 − 1
Diga se elas são removı́veis, polos (indicando, neste caso, a ordem), ou essenciais.
3a Questão:
Seja f uma função não-constante, holomorfa no disco fechado |z − z0 | < r, tal que a
parte real <f (z0 ) = 0. Mostre que <f assume valores positivos e negativos no conjunto
|z − z0 | = r.
Exames de Variáveis Complexas —
16
4a Questão:
Mostre que a série
∞
X
nk e−nz
n=0
define uma função holomorfa no semiplano <z > 0.
5a Questão:
Sejam U ⊂ C um aberto conexo e f : U → C uma função holomorfa não constante tal
que para todo z ∈ U, f (z) 6= 0.
(a) Suponha que para todo caminho fechado e contı́nuo γ ⊂ U vale
Z
γ
f 0 (z)
dz = 0.
f (z)
Prove que existe uma função holomorfa g tal que eg(z) = f (z) ∀z ∈ U ;
(b) Prove a recı́proca de (a);
(c) Seja f =
M
Y
mi
(z − zi )
, onde zi 6= zj se i 6= j e m0i s são inteiros não-nulos. Mostre
i=1
que existe um ramo de log f definido em U se, e somente se,
M
X
mi n (γ, zi ) = 0,
i=1
onde
1
n (γ, zi ) =
2πi
Z
γ
dz
,
z − zi
qualquer que seja o caminho fechado e contı́nuo γ em U ;
Sugestão: Use (a) e (b)
(d) Esboce um domı́nio U ⊂ C no qual existe uma função holomorfa g tal que eg(z) =
z+1
.
z−1
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Variáveis Complexas
Fevereiro de 2001
1a Questão:
Determine o máximo do valor absoluto da função z 7→ z 7 /(z 5 + 3) no disco |z| ≤ 1.
Exames de Variáveis Complexas —
17
2a Questão:
Prove, pelo método dos resı́duos, que
Z 2π
5π
(sen θ)6 dθ =
.
8
0
3a Questão:
Sejam f e g funções holomorfas na região Ω ⊂ C que têm o mesmo valor absoluto em
todos os pontos de Ω. Mostre que existe c ∈ C, com |c| = 1, tal que g(z) = cf (z)
∀z ∈ Ω.
4a Questão:
Considere a função meromorfa α(z) = π cotg πz.
(a) Determine os polos de α e suas respectivas multiplicidades.
(b) Calcule o resı́duo de α em cada um dos seus polos.
(c) Dado o inteiro positivo n, considere o quadrado Qn de vértices ±(n + 1/2) ± (n +
1/2)i. Mostre que
1
2πi
Z
n
∂Qn
X 1
1
α(z)
dz
=
2
+ Res
z2
k2
k=1
µ
¶
α(z)
,0 ,
z2
onde ∂Qn é o bordo do quadrado orientado no sentido anti-horário.
(d) Mostre que
µ
¶
α(z)
π2
Res
,
0
=
−
.
z2
3
(Sugestão: Use séries)
Comentário: Pode-se mostrar que a integral acima tende a zero, quando n → ∞, donde
P∞
se conclui que k=1 1/k 2 = π 2 /6. Este método se aplica ao cálculo de outras séries
numéricas.
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Variáveis Complexas
Dezembro de 2001
1a Questão:
Em cada item abaixo, indique se o resultado é falso ou verdadeiro e justifique.
(a) Se f é uma função meromorfa tal que a sua integral ao longo de qualquer curva
fechada que não passa por por nenhum pólo de f se anula, então f só tem singularidades removı́veis.
(b) Se Ω é um domı́nio obtido excluindo-se de C uma semireta partindo da origem,
então é possı́vel definir em Ω um ramo de z 1/3 .
Exames de Variáveis Complexas —
18
2a Questão:
Seja (fn )n uma seqüência de funções contı́nuas de C em C convergindo uniformemente
em subconjuntos compactos para uma função f . Suponha que para toda curva simples
parametrizada γ: [0, 1] → C, vale
¯Z
¯
¯
¯
¯
lim ¯ fn (ζ) dζ ¯¯ ≤ |γ(1) − γ(0)|.
n→∞
γ
Mostre que f é constante.
3a Questão:
Sejam f e g duas funções analı́ticas em um domı́nio complexo Ω. suponha que |f (z)g(z)|
assuma um máximo em Ω. Mostre que ou f e g se anulam em Ω ou pelo menos uma
dessas funções é identicamente nula.
4a Questão:
Seja f uma função analı́tica definida em um domı́nio complexo Ω e possuindo exatamente dois zeros, um de ordem 2 e outro de ordem 5. Seja γ uma curva fechada simples
em Ω que não passa por nenhum dos dois zeros de f . Determine os possı́veis valores
para o ı́ndice
Z
1
dz
Ind(f (γ), 0) =
,
2πi f (γ) z
onde g(γ) denota a curva obtida como imagem de γ por f .
5a Questão:
Seja f uma função meromorfa em C com exatamente um pólo de ordem 1 na origem.
Suponha que
Z
3
3
Resz=0 z f (z) = −8,
|z|=2
f (z)(z 2 + 3z + 2)
dz = 20πi.
z2 − 1
Determine os possı́veis valores de f (1). Justifique a sua resposta.
MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA
Exame de Variáveis Complexas
Dezembro de 2002
1a Questão:
a) Em quais dos seguintes domı́nios D é possı́vel definir um ramo de log(z)? Justifique
sua resposta.
Exames de Variáveis Complexas —
19
(i) D = {z ; 1 < |z| < e} \ {ti ; 1 < t < e};
(ii) D = {z = x + iy ; x + y < 0};
(iii) D = {z = x + iy ; 0 < |x| + |y| < 1}.
b) Considere o lugar geométrico dos pontos z do plano complexo satisfazendo uma
equação do tipo Az z̄ + Bz + B z̄ + C = 0, onde A e C são números reais e
|B|2 − AC > 0. Mostre que este lugar é um cı́rculo quando A 6= 0 e uma reta no
caso contrário.
2a Questão:
Mostre que
Z
0
∞
(x2
dx
π
= .
2
4
+ 1)
3a Questão:
Seja f uma função inteira com a propriedade que |f (z)| ≤ c|z|λ + d para todo z, onde
λ, c e d são constantes positivas. Prove que f é um polinômio em z cujo grau não excede
λ.
4a Questão:
Considere uma função inteira f : C → C satisfazendo |f (z)| → ∞ quando |z| → ∞.
Prove que f (C) = C.
5a Questão:
Suponha que D é um aberto, conexo e limitado do plano complexo e que f : D → C é
uma função contı́nua, não-constante e analı́tica em D, que satisfaz |f (z)| = 1 para todo
z ∈ ∂D. Prove que f (z0 ) = 0 para algum z0 ∈ D.
Exames de Variáveis Complexas —
20