Capítulo 3
AS CÔNICAS
As cônicas (ou seções cônicas), são curvas planas obtidas pela interseção de um cone circular
reto com um plano. As curvas obtidas são ditas cônicas não degeneradas e recebem o nome de
círculos, parábolas, elipses e hipérboles.
Definição 3.1. Sejam F um ponto e L uma reta, no plano, tais que F ∈
/ L. Chama-se cônica o seguinte
subconjunto do plano:
C = {P / d(P, F ) = e · d(P, L)},
onde e > 0.
Equivalentemente:
Uma cônica é formada pelos pontos P (lugar geométrico), do plano que satisfazem:
d(P, F ) = e · d(P, L).
O ponto F é dito foco, a reta L é dita diretriz e o número e é dito excentricidade da cônica.
Definição 3.2. Dada uma cônica C :
1. Se e = 1, a cônica é chamada parábola.
2. Se e < 1, a cônica é chamada elipse.
3. Se e > 1, a cônica é chamada hipérbole.
77
CAPÍTULO 3. AS CÔNICAS
78
3.1 A Parábola
Figura 3.1: A parábola.
Por simplicidade, suponhamos que o foco da parábola está sobre o eixo dos y. Isto é, o foco é
F = (0, p), p 6= 0 e a diretriz L é a reta horizontal y = −p.
Pela definição, o ponto P = (x, y) pertence à parábola se, e somente se:
d(P, F ) = d(P, L) ⇐⇒
p
x2 + (y − p)2 =
p
(y + p)2
⇐⇒ x2 + y 2 − 2 p y + p2 = y 2 + 2 p y + p2
⇐⇒ x2 = 4 p y.
Se p > 0, a equação da parábola é:
y=
x2
.
4p
3.1. A PARÁBOLA
79
F
P
V
L
Figura 3.2: Parábola para F = (0, p) e y = −p.
Se p < 0; o foco é F = (0, −p), a diretriz é y = p e a equação é:
y=−
x2
.
4p
L
V
P
F
Figura 3.3: Parábola para F = (0, −p) e y = p.
3.1.1 Elementos da Parábola
1. O eixo focal é reta que passa pelo foco e é perpendicular a diretriz.
2. O ponto V da parábola mais próximo da reta diretriz é chamado vértice da parábola, ou
equivalentemente, o ponto de interseção da parábola com seu eixo.
CAPÍTULO 3. AS CÔNICAS
80
3. A reta que liga o vértice ao foco e que é perpendicular à diretriz é dita eixo de simetria.
4. Se mudamos na equação da parábola x por −x a equação não muda; logo, a parábola é
simétrica em relação ao eixo dos y.
5. O segmento ou corda que passa pelo foco e é paralela à diretriz é dita latus rectum (lado
reto) da parábola. Note que o comprimento do lado reto é |4 p|, isto é 4 vezes a distância
do foco ao vértice. Este comprimento indica a abertura da parábola.
Analogamente, se o foco da parábola está sobre o eixo dos x; isto é, o foco é F = (p, 0), p 6= 0 e
L, a diretriz é a reta vertical x = p. Neste caso, a equação da parábola é:
y 2 = ±4 p x.
Se mudamos na equação da parábola y por −y a equação não muda; logo, a parábola é simétrica
em relação ao eixo dos x.
P
L
V
F
Figura 3.4: Parábola y 2 = ±4 p x.
Em resumo:
Equação
Vértice
Eixo
Foco
Diretriz
Abertura
x2 = 4 p y
(0, 0)
x=0
(0, p)
y = −p
p > 0 acima, p < 0 abaixo
y2 = 4 p x
(0, 0)
y=0
(p, 0)
x = −p
p > 0 direita, p < 0 esquerda
Em geral, a equação da parábola com foco em F = (x0 + p, y0 ) e diretriz x = x0 − p é
3.1. A PARÁBOLA
81
(y − y0 )2 = 4 p(x − x0 ).
O ponto V = (x0 , y0 ) é o vértice da parábola e o eixo é paralelo ao eixo dos y.
Analogamente, a equação da parábola com foco em F = (x0 , y0 + p) e diretriz y = y0 − p é
(x − x0 )2 = 4 p(y − y0 ).
O ponto V = (x0 , y0 ) é o vértice da parábola e o eixo é paralelo ao eixo dos y.
Em resumo:
Equação
Vértice
Eixo
Foco
Diretriz
Abertura
(x − x0 )2 = 4 p (y − y0 )
(x0 , y0 )
x = x0
(x0 , y0 + p)
y = y0 − p
p > 0 acima, p < 0 abaixo
(y − y0 )2 = 4 p (x − x0 )
(x0 , y0 )
y = y0
(x0 + p, y0 )
x = x0 − p
p > 0 direita, p < 0 esquerda
Exemplo 3.1.
[1] Determine a equação da parábola com vértice na origem e diretriz y = −2.
Note que o eixo de simetria é o eixo dos y e a distância do vértice ao foco é p = 2, logo a equação
é:
y=
x2
.
8
[2] Determine a equação da parábola com foco (0, −3) e diretriz y = 3.
A equação é x2 = 4 p y, como p = −3, logo a equação é:
x2 = −12 y.
Note que V = (0, 0).
CAPÍTULO 3. AS CÔNICAS
82
3
2
1
-6
-4
-2
2
4
6
-1
-2
-3
Figura 3.5: Parábola de [2]
[3] Determine k tal que a parábola x = k y 2 tenha o foco em (3, 0).
Como o foco da parábola é (3, 0), temos:
y 2 = 4 p x =⇒ y 2 = 12 x.
Comparando as equações, temos que k =
1
e a equação é:
12
x=
y2
.
12
5
2
4
6
-5
Figura 3.6: Parábola de [3]
[4] Determinar o foco e a diretriz da parábola x2 − 16 y = 0.
Escrevemos x2 = 16 y; logo, p = 4, F = (0, 4) e y = −4.
8
3.1. A PARÁBOLA
83
8
6
4
2
- 10
-5
5
10
-2
-4
Figura 3.7: Parábola de [4]
[5] Determine a equação da parábola com vértice na origem e que passa pelo ponto (−2, 4) e
tem diretriz paralela ao eixo dos y.
A equação é do tipo y 2 = 4 p x, então 16 = −8 p e p = −2 e:
y 2 = −8 x.
4
2
-3
-2
1
-1
2
-2
-4
Figura 3.8: Parábola de [5]
[6] Determine o foco, o vértice e a diretriz da parábola y 2 + 6 y − 8 x + 1 = 0.
Completando os quadrados:
y 2 + 6 y − 8 x + 1 = 0 ⇐⇒ (y + 3)2 − 9 − 8 x + 1 = 0
⇐⇒ (y + 3)2 = 8 x + 8
⇐⇒ (y + 3)2 = 8 (x + 1).
CAPÍTULO 3. AS CÔNICAS
84
Logo, V = (−1, −3) é o vértice, o foco F = (1, −3) e a diretriz x = −3.
4
2
-2
2
4
-2
-4
-6
-8
-10
Figura 3.9: Parábola de [6]
3.2 A Elipse
Figura 3.10: A elipse.
Por simplicidade, suponhamos que o foco está sobre o eixo dos x. Isto é, o foco é F = (p, 0) e a
diretriz é a reta vertical x = d tal que p 6= d.
Pela definição, o ponto P = (x, y) pertence à elipse se, e somente se:
3.2. A ELIPSE
85
d(P, F ) = e · d(P, L) ⇐⇒
p
(x − p)2 + y 2 = e ·
p
(x − d)2
⇐⇒ x2 − 2 p x + p2 + y 2 = e2 · (x2 − 2 d x + d2 )
⇐⇒ (1 − e2 ) x2 + 2 (e2 d − p) x + y 2 = e2 d2 − p2 .
L
P
F
Figura 3.11:
Se escolhemos p = e2 d, obtemos:
(1 − e2 ) x2 + y 2 = e2 d2 (1 − e2 ) ⇐⇒
⇐⇒
onde a = e d e b = e d
√
x2
e2 d2
+
y2
e2 d2 (1
x2 y 2
+ 2 = 1,
a2
b
− e2 )
=1
a
, por outro lado:
e
√
b p
a 2 − b2
= 1 − e2 =⇒ e =
.
a
a
1 − e2 . Note que p = a e e d =
a
A equação da elipse com foco F = (a e, 0), diretriz x = e excentricidade e =
e
x2 y 2
+ 2 = 1,
a2
b
Considere o seguinte desenho:
a>b
√
a 2 − b2
é:
a
CAPÍTULO 3. AS CÔNICAS
86
L
L1
P
1
P
F1
F
Figura 3.12:
Com as notações do desenho, seja F1 = (−p, 0) e L1 a reta x = −d, então temos que:
d(P1 , F1 ) = d(P, F )
e
d(P, L) = d(P1 , L1 ).
Logo, F1 também é foco e L1 é diretriz da elipse. Note que d(P, P1 ) = 2 p.
Proposição 3.1. A elipse é o lugar geométrico dos pontos P tais que:
d(P, F ) + d(P, F1 ) = 2 a.
3.2.1 Elementos da Elipse
Os elementos da elipse são:
1. Os focos F = (p, 0) e F1 = (−p, 0).
2. O eixo focal é a reta que passa pelos focos.
3. O centro é ponto médio entre F1 e F2 , isto é o ponto (0, 0).
4. A distância focal é d(P, P1 ) = 2 p.
5. A excentricidade é:
e=
como b < a temos que: 0 < e < 1.
√
a 2 − b2
;
a
3.2. A ELIPSE
87
6. O eixo normal é a reta perpendicular ao eixo focal passando pelo centro
7. Os vértices A e A1 : pontos de interseção da elipse com o eixo focal e os vértices B e B1 :
pontos de interseção da elipse com o eixo normal.
8. O eixo maior é o segmento de reta que une os vértices A e A1 e o eixo menor é o segmento
de reta que une os vértices B e B1 .
e
d(A, A1 ) = 2 a
d(B, B1 ) = 2 b.
L
L1
B
A
1
F1
F
A
B1
Figura 3.13:
9. Se substituimos na equação da elipse x por −x e/ou y por −y a equação da elipse não
muda; logo, é simétrica em relação à origem.
10. Em qualquer elipse vale:
a 2 = b2 + p 2 ,
isto é o Teorema de Pitǵoras para o triângulo BOF . Analogamente, para o triângulo
BOF1 .
CAPÍTULO 3. AS CÔNICAS
88
B
a
b
O
A
p
F
Figura 3.14: Teorema de Pitǵoras.
De forma análoga, a equação da elipse com focos em (0, ±p) tal que b =
x2 y 2
+ 2 = 1,
b2
a
p
a2 − p2 é:
a>b
F
F1
Figura 3.15:
Em resumo:
Equação
Centro
Foco
Eixo Maior
Vértices - eixo maior
Vértices - eixo menor
x2 y 2
+ 2 =1
a2
b
(0, 0)
(±p, 0)
eixo dos x
(±a, 0)
(0, ±b)
x2 y 2
+ 2 =1
b2
a
(0, 0)
(0, ±p)
eixo dos y
(0, ±a)
(±b, 0)
Se os pontos P da elipse que tem focos nos pontos F = (x0 − c, y0 ) e F1 = (x0 + c, y0 ) satisfazem
3.2. A ELIPSE
89
d(P, F ) + d(P, F1 ) = 2 a,
a > c,
a elipse tem equação:
(x − x0 )2 (y − y0 )2
+
=1
a2
b2
onde b2 = a2 − c2 . Os focos são F = (x0 − c, y0 ) e F1 = (x0 + c, y0 ), a reta focal é y = y0 e
os vértices sobre a reta focal são A = (x0 − a, y0 ) e A1 = (x0 + a, y0 ). Os vértices sobre a reta
x = x0 , são B1 = (x0 , y0 − b) e B = (x0 , y0 + b).
B
y
0
A1
F
F1
A
B1
x0
Figura 3.16: A elipse.
A excentricidade é uma medida do “alongamento” da elipse. Por exemplo, se o eixo maior é
c
c
paralelo ao eixo dos x, e = e para uma elipse de eixo maior paralelo ao eixo dos y, e = .
a
b
Como 0 ≤ e < 1, quando e está mais perto de zero a elipse é mais circular e quando está perto
de 1 é mais alongada.
Em geral:
Equação
Centro
Foco
Eixo Maior
(x − x0 )2 (y − y0 )2
+
=1
a2
b2
(x0 , y0 )
(x0 ± c, y0 )
paralelo ao eixo dos x
(x − x0 )2 (y − y0 )2
+
=1
b2
a2
(x0 , y0 )
(x0 , y0 ± c)
paralelo ao eixo dos y
CAPÍTULO 3. AS CÔNICAS
90
3.2.2 O Círculo
Figura 3.17: O círculo.
O círculo é um caso particular da elipse. No caso em que F = F1 , isto é a = b, a equação:
x2 y 2
+ 2 = 1 ⇐⇒ x2 + y 2 = a2 ,
a2
b
representa um círculo de raio a centrado na origem. Em geral, o círculo de raio a centrado em
(x0 , y0 ) tem equação:
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = a2 .
A excentricidade do círculo é e = 0.
1. O segmento de reta que liga dois pontos qualquer de um círculo é chamado de corda do
círculo.
2. A corda que passa pelo centro do círculo é chamada diâmetro do círculo. O comprimento
do diâmetro é igual a duas vezes o comprimento do raio.
Exemplo 3.2.
√
1
[1] Se os focos de uma elipse são (0, ± 3) e a excentricidade é , ache a equação.
2
√
√
3
1
p
, logo a = 2 3. Por outro lado:
Como e = , temos que =
a
2
a
a2 = b2 + p2 ⇐⇒ b2 = 9.
3.2. A ELIPSE
91
Logo a equação é:
y2
x2
+
= 1.
9
12
3
2
1
-3
-2
-1
1
2
3
-1
-2
-3
Figura 3.18: Exemplo [1].
[2] Determine os focos e a excentricidade da elipse 9 x2 + 25 y 2 = 225.
Dividamos a equação por 225:
225
x2 y 2
9 x2 25 y 2
+
=
⇐⇒
+
= 1.
225
225
225
25
9
Como 9 < 25, então a2 = 25 e a = 5 e b = 3, a excentricidade:
√
4
a 2 − b2
e=
= = 0.8.
a
5
Por outro lado, p = a e = 4 e os focos são F = (4, 0) e F1 = (−4, 0).
3
2
1
-4
-2
2
4
-1
-2
-3
Figura 3.19: e = 0.8 no exemplo [2].
[3] Se uma elipse está centrada na origem, tem un foco em (3, 0) e a medida do eixo maior é 8,
determine a equação.
CAPÍTULO 3. AS CÔNICAS
92
Como d(A, A1 ) = 2 a, então 2 a = 8 e a = 4, como F = (3, 0) temos p = 3, logo:
b2 = a2 − p2 = 16 − 9 = 7.
Logo, a equação é:
x2 y 2
+
= 1.
16
7
[4] Determine o centro, os vértices e os focos da elipse 9 x2 + 4 y 2 − 36 x + 8 y + 31 = 0.
Completando os quadrados:
9 x2 + 4 y 2 − 36 x + 8 y + 31 = 9 (x − 2)2 + 4 (y + 1)2 − 9.
Logo, temos a elipse:
(x − 2)2 +
(y + 1)2
9
4
= 1.
3
, temos que os vértices são:
2
1
5
A = (1, −1), A1 = (3, −1), B = (2, ) e B1 = (2, − ).
2
2
√
√
5
5
Os focos são F = (2, −1 +
) e F1 = (2, −1 −
).
2
2
Logo, o centro é (2, −1); como a = 1 e b =
0.5
1
2
3
-1
-2
Figura 3.20: Exemplo [4].
[5] Verifique que a equação 9 x2 + 9 y 2 − 12 x + 36 y − 104 = 0 representa um círculo. Quais são
o centro e o raio do círculo.
Completando os quadrados:
3.2. A ELIPSE
93
9 x2 + 9 y 2 − 12 x + 36 y − 104 = 0 ⇐⇒ x −
Logo, o centro é
2
, −2 e o raio é 4.
3
2 2
+ (y + 2)2 = 16.
3
6
4
2
-4
-2
2
4
-2
-4
-6
Figura 3.21: Exemplo [5].
[6] Determine a equação do círculo que passa pelo ponto (1, 0) e é concêntrico ao círculo de
equação: x2 + y 2 − 2 x − 8 y + 13 = 0 .
Completando os quadrados:
x2 + y 2 − 2 x − 8 y + 13 = 0 ⇐⇒ (x − 1)2 + (y − 4)2 = 4.
Logo, a equação procurada é do tipo:
(x − 1)2 + (y − 4)2 = a2 ,
Como passa pelo ponto (1, 0), temos que a2 = 16 e:
(x − 1)2 + (y − 4)2 = 16.
8
6
4
2
-4
-2
2
Figura 3.22: Exemplo [6].
4
CAPÍTULO 3. AS CÔNICAS
94
[7] Determine a equação do círculo que passa pelos pontos (5, 4), (1, 2) e (2, −5).
A equação geral de um círculo é (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = a2 , como os pontos dados pertencem
ao círculo, devem satifazer à equação; logo, temos:


(1)
(2)


(3)
(5 − x0 )2 + (4 − y0 )2 = a2
(1 − x0 )2 + (2 − y0 )2 = a2
(2 − x0 )2 + (−5 − y0 )2 = a2 .
Fazendo (1) = (3) e (2) = (3), após simplificações temos:
(
x0 + 3 y 0 = 2
x0 − 7 y0 = 12,
logo, x0 = 5 e y0 = −1; utilizando (1), temos que a2 = 25, e a equação é:
(x − 5)2 + (y + 1)2 = 25.
6
4
2
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
Figura 3.23: Exemplo [7].
[8] Determine os pontos do plano tais que a soma de suas distâncias a A = (−3, 0) e a B = (3, 0)
seja 10.
Deve ser uma elipse; de fato, seja P = (x, y):
p
p
(x + 3)2 + y 2 +
p
(x − 3)2 + y 2 = 10
p
⇐⇒ (x + 3)2 + y 2 = 10 − (x − 3)2 + y 2
p
⇐⇒ (x + 3)2 + y 2 = (10 − (x − 3)2 + y 2 )2
d(P, A) + d(P, B) = 10 ⇐⇒
⇐⇒ (x + 3)2 + y 2 = 100 − 6 x + x2 + y 2 − 20
p
⇐⇒ (−25 + 3 x)2 = (−5 (x − 3)2 + y 2 )2
⇐⇒ 16 x2 + 25 y 2 − 400 = 0.
Finalmente, temos a elipse:
p
(x − 3)2 + y 2
3.3. A HIPÉRBOLE
95
y2
x2
+
= 1.
25 16
6
4
2
-4
-2
2
4
-2
-4
-6
Figura 3.24:
3.3 A Hipérbole
Figura 3.25: A hipérbole.
Por simplicidade, suponhamos que o foco está sobre o eixo dos x. Isto é, o foco é F = (p, 0) e a
diretriz é a reta vertical x = d tal que p 6= d.
Pela definição, o ponto P = (x, y) pertence à hipérbole se, e somente se:
CAPÍTULO 3. AS CÔNICAS
96
d(P, F ) = e · d(P, L) ⇐⇒
p
(x − p)2 + y 2 = e ·
p
(x − d)2
⇐⇒ x2 − 2 p x + p2 + y 2 = e2 · (x2 − 2 d x + d2 )
⇐⇒ −(e2 − 1) x2 + 2 (e2 d − p) x + y 2 = e2 d2 − p2 .
Se escolhemos p = e2 d, obtemos:
y2
x2
−
=1
e2 d2 e2 d2 (e2 − 1)
x2 y 2
⇐⇒ 2 − 2 = 1,
a
b
−(e2 − 1) x2 + y 2 = −e2 d2 (e2 − 1) ⇐⇒
√
a
onde a = e d e b = e d e2 − 1. Note que p = a e e d = ; por outro lado:
e
b p 2
= e − 1 =⇒ e =
a
√
a 2 + b2
.
a
a
A equação da hipérbole com foco F = (a e, 0), diretriz x = e excentricidade: e =
e
x2 y 2
− 2 =1
a2
b
De forma análoga da elipse: Se F1 = (−p, 0) e L1 a reta x = −d, então temos que:
d(P1 , F1 ) = d(P, F )
e
d(P, L) = d(P1 , L1 ).
Logo, F1 também é foco e L1 é diretriz da hipérbole. Note que d(F, F1 ) = 2 p.
Proposição 3.2. A hipérbole é o lugar geométrico dos pontos P tais que:
d(P, F ) − d(P, F1 ) = ±2 a.
√
a 2 + b2
é:
a
3.3. A HIPÉRBOLE
97
L1
F1
A
L
A
1
F
Figura 3.26: A hipérbole
3.3.1 Elementos da Hipérbole
Os elementos da hipérbole são:
1. Os focos F = (p, 0) e F1 = (−p, 0).
2. O eixo focal é a reta que passa por F e F1 .
3. O centro é ponto médio entre F1 e F2 , isto é o ponto (0, 0).
4. A distância focal é d(F, F1 ) = 2 p.
5. O eixo normal é a reta perpendicular ao eixo focal passando pelo centro
6. Os vértices A e A1 são os pontos de interseção da hipérbole com o eixo focal.
7. O eixo real é o segmento de reta que une os vértices A e A1 .
8. O eixo imaginário é a reta perpendicular ao eixo real passando pelo centro da hipérbole.
9. A excentricidade é:
e=
como b > a, temos que e > 1.
√
a2 + b2
;
a
CAPÍTULO 3. AS CÔNICAS
98
10. A hipérbole também possui a propriedade Pitagórica: p2 = a2 + b2 .
p
b
a
Figura 3.27:
11. Se√a = b a hipérbole é dita equilátera. A excentricidade de qualquer hipérbole equilátera
é 2.
12. São denominadas assíntotas da hipérbole as retas:
y=±
bx
⇐⇒ b x − a y = 0 e
a
Figura 3.28: A hipérbole
x2
a2
−
b x + a y = 0.
y2
b2
Note que a equação da hipérbole pode ser escrita:
[b x − a y] [b x + a y] = a2 b2 .
Analogamente, a hipérbole de equação:
= 1.
3.3. A HIPÉRBOLE
99
y 2 x2
− 2 = 1,
a2
b
a>b
Figura 3.29: A hipérbole
y2
a2
−
x2
b2
= 1.
Se a excentricidade da hipérbole se aproxima de 1, p se aproxima de a e os ramos da hipérbole
se “fecham“. Se a excentricidade da hipérbole cresce, os ramos da hipérbole se “ abrem”.
Em resumo:
Equação
Centro
Foco
Vértices
Assíntotas
x2 y 2
− 2 =1
a2
b
(0, 0)
(±p, 0)
(±a, 0)
y=±
bx
a
y 2 x2
− 2 =1
a2
b
(0, 0)
(0, ±p)
(0, ±a)
y=±
ax
b
Se os pontos P da hipérbole que tem focos nos pontos F = (x0 − c, y0 ) e F1 = (x0 + c, y0 )
satisfazem
|d(P, F ) − d(P, F1 )| = 2 a,
c > a,
a hipérbole tem equação:
(x − x0 )2 (y − y0 )2
−
=1
a2
b2
onde b =
√
c2 − a2 . As assíntotas são:
CAPÍTULO 3. AS CÔNICAS
100
b
y − y0 = ± (x − x0 )
a
Em geral:
Equação
Centro
Foco
Eixo Maior
(x − x0 )2 (y − y0 )2
−
=1
a2
b2
(x0 , y0 )
(x0 ± c, y0 )
paralelo ao eixo dos x
y − y0 = ±
b
(x − x0 )
a
(x0 , y0 )
(x0 , y0 ± c)
paralelo ao eixo dos y
y − y0 = ±
a
(x − x0 )
b
−
(x − x0 )2 (y − y0 )2
+
=1
b2
a2
Assíntotas
Exemplo 3.3.
[1] Considere a equação da hipérbole 9 x2 − 16 y 2 = 144. Determine os vértices, os focos e as
assíntotas.
Dividamos a equação por 144:
16 y 2
144
x2 y 2
9 x2
−
=
⇐⇒
−
= 1.
144
144
144
16
9
Como 3 < 4, temos que os vértices são (4, 0) e (−4, 0); por outro lado:
p2 = a2 + b2 = 16 + 9 = 25
e p = ±5, os focos são (5, 0) e (−5, 0) As assíntotas são:
y=±
3x
.
4
3
2
1
-4
-2
2
-1
-2
-3
Figura 3.30: Exemplo [1].
4
3.3. A HIPÉRBOLE
101
[2] Determine a equação e os focos da hipérbole de vértices (0, ±2) e assíntotas y = ±2 x.
a
Como os vértices estão sobre o eixo dos y, temos que a = 2; da assíntota temos que = 2 e
b
b = 1, logo a equação é:
y2
− x2 = 1.
4
√
Como p2 = a2 + b2 = 5, os focos são (0, ± 5).
6
4
2
-3
-2
1
-1
2
3
-2
-4
-6
Figura 3.31: Exemplo [2].
[3] Determine os vértices, a excentricidade e as assíntotas da hipérbole:
16 x2 − 160 x + 175 − 9 y 2 − 54 y = 0.
Completando os quadrados:
16 x2 − 160 x + 175 − 9 y 2 − 54 y = 0 ⇐⇒
(x − 5)2 (y + 3)2
−
= 1.
9
16
35
5
Logo,os vértices são ( , 0) e ( , 0), a excentricidade:
4
4
√
√
a 2 + b2
25
5
e=
=
= .
a
3
3
As assíntotas são:
y=
4 x 29
−
3
3
e y=−
4 x 11
+ .
3
3
CAPÍTULO 3. AS CÔNICAS
102
4
2
5
10
-2
-4
-6
Figura 3.32: Exemplo [3].
[4] Determine a equação da hipérbole cujos focos estão sobre o eixo dos y e são simétricos em
5
relação à origem, sabendo que a distância entre os focos é 10 e a excentricidade é .
3
A equação da hipérbole deve ser:
y 2 x2
− 2 = 1,
a2
b
como d(F, F1 ) = 2 p, temos que p = 5 e p = e a, logo a = 3, como b2 = p2 − a2 = 16 e a equação
é:
y 2 x2
−
= 1.
9
16
5
- 10
-5
5
10
-5
Figura 3.33: Exemplo [4].
[5] Determine os pontos do plano tais que a diferença de suas distâncias a A = (−5, 0) e a
B = (5, 0) seja 4.
3.3. A HIPÉRBOLE
103
Deve se uma hipérbole, de fato, seja P = (x, y):
p
p
(x + 5)2 + y 2 −
p
(x − 5)2 + y 2 = 4
p
⇐⇒ (x + 5)2 + y 2 = 4 + (x − 5)2 + y 2
p
⇐⇒ (x + 5)2 + y 2 = (4 + (x − 5)2 + y 2 )2
p
⇐⇒ 4 − 5 x = −2 (x − 5)2 + y 2
d(P, A) − d(P, B) = 4 ⇐⇒
⇐⇒ 21 x2 − 4 y 2 − 84 = 0.
Finalmente, temos a hipérbole:
x2
y2
−
= 1.
4
21
6
4
2
-4
-2
2
4
-2
-4
-6
Figura 3.34: Exemplo [5]
[6] Se as assíntotas de uma hipérbole são 2 x − 3 y = 0 e 2 x + 3 y = 0, determine a equação da
hipérbole.
Sabemos que:
[2 x − 3 y] [2 x + 3 y] = 22 32 ⇐⇒
x2 y 2
−
= 1.
9
4
CAPÍTULO 3. AS CÔNICAS
104
3
2
1
-6
-4
-2
2
4
6
-1
-2
-3
Figura 3.35: Exemplo [6]
[7] Os vértices da base de um triângulo são A = (0, 0) e B = (3, 0). Determine o lugar geometrico do vértice C que se move segundo o ângulo da base CBA, que é igual ao dôbro do angulo
CAB
Considere o desenho:
C
y
A
α
2α B
x
Figura 3.36: Exemplo [7]
Note que tg(α) =
y
y
e tg(2 α) =
. Por outro lado:
x
3−x
tg(2 α) =
2 tg(α)
y
⇐⇒
=
2
1 − tg (α)
3−x
2y
y2 x 1− 2
x
⇐⇒ (x − 1)2 −
y2
= 1.
3
3.4. A EQUAÇÃO GERAL DO SEGUNDO GRAU
105
4
2
-2
-1
1
2
3
4
-2
-4
Figura 3.37: Exemplo [7]
3.4 A Equação Geral do Segundo Grau
A equação do segundo grau em duas variáveis:
A x2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0
sendo A e C não simultanemente nulos representa, em geral, uma cônica, cuja natureza depende dos coeficientes. Denotemos o discriminante da equação por:
∆ = B 2 − 4 A C,
temos:
Se B = 0 e A = C, a equação representa um círculo.
Se ∆ < 0, a equação representa uma elipse ou uma circunferência.
Se ∆ = 0, a equação representa uma parábola ou uma reunião de duas retas paralelas.
Se ∆ > 0, a equação representa uma hipérbole ou uma reunião de duas retas concorrentes.
Se A = C = D = E = 0, B 6= 0 e F 6= 0, temos que:
x y = k,
é uma hipérbole.
Os outros casos são degenerados, os quais incluem pontos e retas.
3.4.1 Caso 1
B = 0, A C > 0.
Completando quadrados dos binômios nas variáveis x e y, a equação acima pode ser escrita
como:
CAPÍTULO 3. AS CÔNICAS
106
A (x + h)2 + C (y + k)2 = L
onde:
h=
.
D
,
2A
k=
E
2C
e
L = A h2 + C k2 − F.
1. Se L = 0, o lugar geométrico é um ponto.
2. Se L e C ou A tem sinais opostos, não existe lugar geométrico.
3. Se L 6= 0, a equação pode ser escrita como:
(x + h)2 (y + k)2
+
= 1.
L
L
A
C
(1)
Se A C > 0 (A e C tem o mesmo sinal) e L tem o mesmo sinal de A ou C, a equação (1) pode
ser escrita como:
(x + h)2 (y + k)2
+
= 1,
a2
b2
onde a2 =
(2)
L
L
e b2 = .
A
C
A equação (2) representa uma elipse centrada em (−h, −k) e eixos paralelos aos eixos coordenados; no caso particular A = C, a equação representa um círculo de raio a, centrado em
(−h, −k):
(x + h)2 + (y + k)2 = a2 .
Em resumo:
Proposição 3.3. Com as notações anteriores, seja:
então:
A x2 + C y 2 + D x + E y + F = 0 ⇐⇒ A (x + h)2 + C (y + k)2 = L
1. Se L = 0, o lugar geométrico é um ponto.
2. Se L e C ou L e A tem sinais opostos, não existe lugar geométrico.
3. Se L 6= 0, a equação representa uma elipse com eixos paralelos aos eixos coordenados.
3.4. A EQUAÇÃO GERAL DO SEGUNDO GRAU
107
3.4.2 Caso 2
B = 0, A C < 0.
Com as mesmas notações do Caso 1:
Se L > 0 e A > 0 (ou L < 0 e C > 0), a equação (1) pode ser escrita como:
(x + h)2 (y + k)2
−
= 1,
a2
b2
onde
a2
(3)
L
L
2
= e b = .
A
C
Se L < 0 e C < 0 (ou L > 0 e A < 0), a equação (1) pode ser escrita como:
(y + k)2 (x + h)2
−
= 1,
b2
a2
onde
a2
(4)
L
L
= e b2 = .
A
C
As equações (3) e (4) representam uma hipérbole de eixos paralelos aos eixos coordenados.
Se L = 0, a equação pode ser escrita como: A (x + h)2 − C (y + k)2 = 0, que representa duas
retas que se intersectam.
Em resumo:
Proposição 3.4. Com as notações anteriores, seja:
A x2 + C y 2 + D x + E y + F = 0 ⇐⇒ A (x + h)2 − C (y + k)2 = L
então:
1. Se L = 0, o lugar geométrico é um par de retas concorrentes.
2. Se L 6= 0, A e C com sinais opostos, a equação representa uma hipérbole com eixos
paralelos aos eixos coordenados.
CAPÍTULO 3. AS CÔNICAS
108
3.4.3 Caso 3
B = 0, A C = 0.
Com as mesmas notações do Caso 1:
Se A = 0 e C 6= 0 a equação é:
C y 2 + D x + E y + F = 0,
que representa uma parábola de eixo paralelo ao eixo dos x.
Se A 6= 0 e C = 0 a equação é:
A x2 + D x + E y + F = 0,
que é a equação de uma parábola de eixo paralelo ao eixo dos y.
Se A = C = 0, a equação representa uma reta.
Em resumo:
Proposição 3.5. Seja:
A x2 + C y 2 + D x + E y + F = 0,
então:
1. Se A = 0 e C 6= 0, a equação representa uma parábola de eixo paralelo ao eixo dos x.
2. Se A 6= 0 e C = 0, a equação representa uma parábola de eixo paralelo ao eixo dos y.
3. Se A = C = 0, a equação representa uma reta.
3.5 Forma Normal das Cônicas
Utilizando completamento dos quadrados é possível obter, de forma analítica, as chamadas
equações normais das cônicas. Para mais detalhes, veja o parágrafo sobre rotações.
3.6 Elipses
Forma normal da elipse centrada no ponto (h, k):
(x − h)2 (y − k)2
+
=1.
a2
b2
3.7. PARÁBOLAS
109
Figura 3.38: Elipses com a > b e a < b, respectivamente.
Em particular, se a = b a equação representa um círculo centrado em (h, k) de raio a:
(x − h)2 + (y − k)2 = a2
3.7 Parábolas
Forma normal das parábolas. As parábolas de eixo paralelo ao eixo dos x:
y2 = p x + q
De eixo paralelo ao eixo dos y:
x2 = p y + q
p 6= 0.
Figura 3.39: Parábolas.
3.7.1 Vértice da Parábola
O vértice da parábola y = a x2 + b x + c é o ponto onde a parábola intersecta seu eixo e é dado
por:
b2 − 4 a c
b
).
v = (− , −
2a
4a
CAPÍTULO 3. AS CÔNICAS
110
Se a > 0, então v é o ponto da parábola de menor altura, pois o ponto mais próximo da diretriz
é o vértice.
Se a < 0, então v é o ponto da parábola de maior altura. Não é difícil ver que se v1 é a abscissa
do vértice da parábola, então:
a (v1 + x)2 + b (v1 + x) = a (v1 − x)2 + b (v1 − x)
para todo x ∈ R; usando completamento dos quadrados:
y = a (x − v1 )2 + q,
onde q = a v12 + b v1 + c.
Toda parábola pode ser determinada por três pontos não colineares.
Exemplo 3.4.
[1] Determine a parábola que passa pelos pontos (−1, 2), (1, −2) e (3, 4).
Devemos ter:


 a−b+c=2
a + b + c = −2


9a + 3b + c = 4
5
5
Resolvendo o sistema, temos a = , b = −2 e c = − ; logo:
4
4
y=
5
5 x2
− 2x − .
4
4
6
4
2
-2
-1
1
2
-2
Figura 3.40: Exemplo [1].
3
4
3.8. HIPÉRBOLES
111
3.8 Hipérboles
Forma normal da hipérbole centrada no ponto (h, k):
(x − h)2 (y − k)2
−
=1
a2
b2
ou
−
(x − h)2 (y − k)2
+
=1
a2
b2
Figura 3.41: Hipérboles.
Considre a hipérbole centrada na origem:
x2 y 2
− 2 = 1.
a2
b
As retas:
bx
a
são ditas assíntotas da hipérbole. Analogamente, na hipérbole:
y=±
y 2 x2
− 2 = 1,
b2
a
as assíntotas são:
y=±
ax
b
Em geral, as assíntotas de:
(x − h)2 (y − k)2
−
=1
a2
b2
são as retas:
b (x − h) − a (y − k) = 0 e
b (x − h) + a (y − k) = 0.
CAPÍTULO 3. AS CÔNICAS
112
Exemplo 3.5.
[1] Determine as assíntotas da hipérbole x2 − y 2 = 1.
As assíntotas são: y = x e y = −x.
2
1
-2
-1
1
2
-1
-2
Figura 3.42: A hipérbole e suas assíntotas.
(x − 1)2 (y + 2)2
−
= 1.
4
9
3x 1
3x 7
− ey=−
− .
As assíntotas são: y =
2
2
2
2
[2] Determine as assíntotas da hipérbole
4
2
-4
-2
2
4
6
-2
-4
-6
Figura 3.43: A hipérbole e suas assíntotas.
3.9 Exemplos Diversos
Exemplo 3.6.
Diga o que representam as seguintes equações:
[1] 4 x2 + y 2 − 32 x − 12 y + 84 = 0.
[2] x2 + y 2 − 2 x = 3.
[3] 9 y 2 − 4 x2 = 36.
3.9. EXEMPLOS DIVERSOS
113
[4] 9 x2 − 4 y 2 − 18 x + 8 y − 31 = 0.
[5] x2 − y 2 − 2 x − 4 y − 3 = 0.
[6] y 2 − x − 1 = 0.
[7] x2 − 4 y − 3 = 0.
Soluções:
[1] A = 4, B = 0 e C = 1, então ∆ < 0. A equação representa uma elipse, pois A 6= C. De fato,
completando os quadrados:
4 x2 + y 2 − 32 x − 12 y + 84 = 4 (x − 4)2 + (y − 6)2 − 16 = 0,
que é a equação de uma elipse centrada no ponto (4, 6):
(x − 4)2 (y − 6)2
+
= 1.
4
16
[2] A = C = 1 e B = 0, logo, ∆ < 0. A equação representa um círculo. Completando os
quadrados:
x2 + y 2 − 2 x − 3 = (x − 1)2 + y 2 − 4 = 0
logo:
(x − 1)2 + y 2 = 4,
a equação de um círculo centrado no ponto (1, 0) e de raio 2.
y
2
y
10
1
8
6
1
-1
2
3
x
4
-1
2
1
2
3
4
5
6
x
-2
Figura 3.44: Desenhos dos exemplos [1] e [2], respectivamente.
[3] Como A = −4, B = 0 e C = 9, então ∆ > 0; logo, temos a equação de uma hipérbole ou de
duas retas concorrentes:
9 y 2 − 4 x2 = 36 ⇐⇒
y 2 x2
−
= 1,
4
9
que é a equação de uma hipérbole.
[4] Como A = 9, B = 0 e C = −4, então ∆ > 0; logo, temos a equação de uma hipérbole ou de
duas retas concorrentes.Completando os quadrados:
CAPÍTULO 3. AS CÔNICAS
114
9 x2 − 4 y 2 − 18 x + 8 y − 31 = 9 (x − 1)2 − 4 (y − 1)2 − 36 = 0
logo, a equação representa uma hipérbole:
(x − 1)2 (y − 1)2
−
= 1.
4
9
y
y
4
3
2
2
1
-4
2
-2
4
x
2
-2
4
x
-1
-2
-2
-3
-4
Figura 3.45: Desenhos dos exemplos [3] e [4], respectivamente.
[5] Como A = 1, B = 0 e C = −1, então ∆ > 0; logo, temos a equação de uma hipérbole ou de
duas retas concorrentes.Completando os quadrados:
x2 − y 2 − 2 x − 4 y − 3 = (x − 1)2 − (y + 2)2 = 0.
Logo, (x − 1)2 = (y + 2)2 ; então, y = x − 3 ou y = −x − 1, que representam duas retas
concorrentes.
y
3
2
1
-4
2
-2
4
x
-1
-2
-3
-4
Figura 3.46: Desenho do exemplo [5].
[6] Como A = B = 0 e C = 1, então ∆ = 0; a equação representa uma parábola de eixo paralelo
ao eixo dos x.
3.9. EXEMPLOS DIVERSOS
115
y
2
1
1
-1
2
3
4
5
x
-1
-2
Figura 3.47: Desenho do exemplo [6].
[7] Como A = 1 e B = C = 0, então ∆ = 0; a equação representa uma parábola de eixo paralelo
ao eixo dos y.
y
2.0
1.5
1.0
0.5
-3
-2
1
-1
2
3
x
-0.5
-1.0
Figura 3.48: Desenho do exemplo [7].
[8] Determine os pontos do plano que estão duas vezes mais afastados do ponto (2, 0) que do
ponto (5, 0).
Seja (x, y) um ponto arbitrário que satisfaz a hipótese do exemplo. Denotemos por:
d1 = d((x, y), (2, 0)) =
p
(x − 2)2 + y 2
e
d2 = d((x, y), (5, 0)) =
p
(x − 5)2 + y 2 .
Logo, devemos ter d1 = 2 d2 , isto é:
p
(x − 2)2 + y 2 = 2
p
(x − 5)2 + y 2 =⇒ (x − 6)2 + y 2 = 4.
Os pontos estão sobre uma circunferência de centro (6, 0) e raio 2.
CAPÍTULO 3. AS CÔNICAS
116
2
1
2
4
6
8
-1
-2
Figura 3.49: Desenho do exemplo [8].
[9] Determine os pontos do plano equidistantes do ponto (3, 2) e do eixo dos y.
Seja (x, y) um ponto arbitrário que satisfaz a hipótese do exemplo. Denotemos por:
d1 = d((x, y), (3, 2)) =
p
d2 = d((x, y), (0, y)) = x.
(x − 3)2 + (y − 2)2
e
Logo, devemos ter d1 = d2 :
y 2 − 4 y − 6 x + 13 = 0,
isto é, os pontos estão sobre uma parábola
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
-1
-2
Figura 3.50: Desenho do exemplo [9].
[10] Determine a equação dos círculos que passam pela origem e cujos centros estão na reta
2 y − x − 1 = 0.
A equações devem ser do tipo:
3.10. FAMÍLIA DE CÍRCULOS
117
x2 + y 2 + A x + B y = 0,
pois (0, 0) pertence aos círculos. Por outro lado:
x2 + y 2 + A x + B y = (x +
logo, os centros são −
Logo, a equação:
B
A2 + B 2
A 2
) + (y + )2 −
,
2
2
4
A B
,−
e pertecem à reta 2 y − x − 1 = 0, então:
2
2
A
B A
+ − 1 = 0 =⇒ B = − 1.
2 −
2
2
2
x2 + y 2 + A x +
A
− 1 y = 0,
2
A ∈ R,
representa todos os círculos que satisfazem às condições pedidas.
1.5
1.0
0.5
-1.0
- 0.5
0.5
1.0
Figura 3.51: Desenho do exemplo [10], para diferentes valores de A.
3.10 Família de Círculos
A equação:
x2 + y 2 + D1 x + E1 y + F1 + k (x2 + y 2 + D2 x + E2 y + F2 ) = 0,
D1 6= D2 , E1 6= E2 ,
com k 6= −1, representa uma família de círculos. Completando os quadrados, obtemos:
(x + M )2 + (y + N )2 + L = 0,
onde
CAPÍTULO 3. AS CÔNICAS
118
M=
D1 + k D2
,
2 (k + 1)
N=
E1 + k E2
2 (k + 1)
e
L=
F1 + k F2
− M2 − N2
(k + 1)
O centro da família de círculos é:
−
D1 + k D2 E1 + k E2 ,−
.
2 (k + 1)
2 (k + 1)
No caso em que k = −1, obtemos a reta formada pelos centros da família de círculos:
(E1 − E2 ) y + (D1 − D2 ) x + F1 − F2 = 0.
1. Se os círculos são concêntricos, então a família é formada por círculos concêntricos.
2. Se os círculos não são concêntricos, então os círculos da família tem uma reta comum
formada pelos centros dos círculos.
3. Se os círculos se intersectam em dois pontos P1 e P2 , a família de círculos é formada por
todos os círculos, exceto x2 + y 2 + D2 x + E2 y + F2 = 0, que passam por P1 e P2 .
4. Se os círculos se intersectam em um único pontoP1 , a família de círculos é formada por
todos os círculos, exceto x2 + y 2 + D2 x + E2 y + F2 = 0, que se intersectam em P1 .
5. Se os círculos não se intersectam, qualquer par de círculos da família não se intersectam.
Utilizamos a família de círculos para obter a equação de um círculo que passa pela intersecção
dos elementos da família, sendo desnecessário determinar os pontos de interseção.
Exemplo 3.7.
[1] Determine o círculo que passa pelo ponto de intersecção dos círculos:
x2 + y 2 + 10 x − 10 y + 37 = 0 e x2 + y 2 − 10 x − 6 y − 31 = 0
e pelo ponto (3, 5).
A equação da família é:
x2 + y 2 + 10 x − 10 y + 37 + k (x2 + y 2 − 10 x − 6 y − 31) = 0.
Como o ponto (3, 5) pertence à família, deve satisfazer, para k 6= −1:
32 + 52 + 10 (3) − 10 (5) + 37 + k (32 + 52 − 10 (3) − 6 (5) − 31) = 0 =⇒ k =
Substituindo o valor de k na equação da família, obtemos:
9 x2 + 9 y 2 + 5 x − 73 y + 44 = 0.
17
.
19
3.10. FAMÍLIA DE CÍRCULOS
119
Completando os quadrados, obtemos:
x+
5 2
73 2 1885
,
+ y−
=
18
18
162
que é a equação de um círculo. Note que se k = −1, obtemos 20 x − 4 y + 68 = 0.
10
5
-5
-10
5
10
15
-5
Figura 3.52: Desenho do exemplo [1].
[2] Ache a equação do círculo que passa pela intersecção dos círculos x2 +y 2 +7 x−10 y +31 = 0
e x2 + y 2 − x − 6 y + 3 = 0 e tem seu centro na reta x − y − 2 = 0.
Procuramos um elemento da família:
x2 + y 2 + 7 x − 10 y + 31 + k (x2 + y 2 − x − 6 y + 3) = 0,
se k 6= −1. O centro dos círculos é
k − 7 3 k + 5
,
e pertecem a reta x − y − 2 = 0, logo:
2k + 2 k + 1
k−7
3k + 5
7
−
= 2 =⇒ k = − ,
2k + 2
k+1
3
substituindo o valor de k na equação da família e simplificando, obtemos:
3
65
7
(x − )2 + (y − )2 = .
2
2
2
Não é difícil verificar que os centros dos círculos são colineares.
CAPÍTULO 3. AS CÔNICAS
120
10
5
-5
5
10
-5
Figura 3.53: Desenho do exemplo [2].
3.11 Interseção de Curvas
Sejam as curvas f (x, y) = 0 e g(x, y) = 0 tais que seus gráficos se intersectam no ponto P ; então,
as coordenadas de P são a solução do sistema:
(
f (x, y) = 0
g(x, y) = 0.
Analogamente, para n curvas:


f1 (x, y) = 0





f2 (x, y) = 0




 f3 (x, y) = 0
..

.




..


.



 f (x, y) = 0.
n
Exemplo 3.8.
[1] Ache os pontos de interseção dos gráficos de y = x e y = x2 . Resolvemos o sistema:
(
y
y
=x
= x2 ,
donde x2 − x = x (x − 1), logo x (x − 1) = 0 e x = 0 ou x = 1. Os pontos são (0, 0) e (1, 1).
3.11. INTERSEÇÃO DE CURVAS
121
2.0
1.5
1.0
0.5
0.5
-0.5
1.0
1.5
2.0
-0.5
Figura 3.54: Exemplo [1]
[2] Ache os pontos de interseção dos gráficos de y = x3 −x e y = x4 +x3 . Resolvemos o sistema:
(
y = x3 − x
y = x4 + x3 ,
donde x4 + x3 = x3 − x, logo x4 + x = x (x3 + 1) = 0 e x = 0 ou x = −1. Os pontos são (0, 0) e
(−1, 0).
0.6
0.4
0.2
-1.0
0.5
-0.5
1.0
-0.2
-0.4
-0.6
Figura 3.55: Exemplo [2]
[3] Determine dois números cuja soma é 32 e seu produto é 255.
Sejam x e y os numeros, então:
(
x + y = 32
=⇒ y = 32 − x =⇒ x (32 − x) = 255 ⇐⇒ x2 − 32 x + 255 = 0.
x y = 255
Logo:
x1 = 17 e x2 = 15 =⇒ y1 = 15 e y2 = 17.
CAPÍTULO 3. AS CÔNICAS
122
40
30
20
10
0
5
10
15
20
25
30
Figura 3.56: Exemplo [3]
[4] Ache os pontos de interseção dos gráficos de 2 x2 − y 2 = 7 e 3 x2 + 2 y 2 = 14.
Consideremos o sistema:
(
(1)
(2)
2 x2 − y 2 = 7
3 x2 + 2 y 2 = 14.
Multipliquemos (1) por 2 e somemos com (2), logo:
7 x2 = 28 =⇒ x = ±2.
De (1), obtemos y = ±1. Os pontos são:
(2, 1),
(2, −1),
(−2, 1)
e (−2, −1).
4
2
-4
-2
2
4
-2
-4
Figura 3.57: Exemplo [4]
[5] Determine a área do quadrado inscrito na elipse 9 x2 + 16 y 2 = 625.
3.11. INTERSEÇÃO DE CURVAS
123
Como é uma elipse centrada na origem, resolvemos os seguintes sistemas:
(
(
9 x2 + 16 y 2 = 625
9 x2 + 16 y 2 = 625
(b)
(a)
x+y =0
x − y = 0,
Isto é, as intersecções com as diagonais. De (a) segue que x = ±5, como x = y, temos os pontos
e
(5, 5)
(−5, −5).
Analogamente do sistema (b) temos que x = ±5, como x = −y, temos os pontos
(5, −5)
e
(−5, 5).
Logo, a medida do lado do quadrado é 10:
A = 100 u.a.
6
4
2
-5
5
-2
-4
-6
Figura 3.58: Exemplo [5].
[6] Determine a área do retângulo cujos vértices são os pontos de intersecção das curvas:
2 x2 + 3 y 2 = 24 e x2 − y 2 = 5.
Resolvamos o sistema:
(
(1)
(2)
2 x2 + 3 y 2 = 24
x2 − y 2 = 5.
Multiplicamos por 3 a equação (2)( e obtemos:
r
r
39
14
x=±
=⇒ y = ±
.
5
5
Logo, a área é:
CAPÍTULO 3. AS CÔNICAS
124
A=4
r
39
5
r
√
4 546 ∼
14
=
= 18.69 u.a.
5
5
3
2
1
-3
-2
1
-1
2
3
-1
-2
-3
Figura 3.59: Exemplo [6].
3.12 Propriedades Reflexivas das Cônicas
Parábola
A parábola é utilizada no design de holofotes e antenas pelas propriedades refletoras da luz e
das ondas que possui.
De fato, os raios que se originam no foco da parábola são refletidos para fora dela paralelamente
ao eixo da parábola; além disso, o tempo que leva um raio do foco até uma reta paralela à
diretriz é o mesmo para todos os raios.
Assim um espelho parábolico reflete a luz num feixe de raios paralelos; reciprocamente, se a
luz se aproxima do espelho com raios paralelos a seu eixo de simetria a luz fica concentrada no
foco.
3.12. PROPRIEDADES REFLEXIVAS DAS CÔNICAS
125
Figura 3.60: Reflexos na parábola.
Elipse
Quando uma elipse é girada ao redor de seu eixo maior se obtem uma superfície chamada
elipsóide, a qual possui a seguinte propriedade: se o interior do elipsóide for espelhado, a luz
ou o som, emitido a partir de um dos focos da elipse é refletido diretamente no outro foco, isto
é se alguem fala num foco outra pessoa que esta no outro foco a escutará.
Este princípio é utilizado em tratamento de cálculos renais mediante ondas de choque; o paciente é colocado numa banheira com formato elítico de tal forma que o cálculo renal se localize
exatamente no foco; as ondas de choque geradas no outro foco serão refletidas no outro foco,
destruindo o cálculo, com dano mínimo.
Figura 3.61: Reflexos na elipse.
Em Mecánica Celeste, dependendo da velocidade, os cometas tem cônicas como órbitas, tendo
o Sol como foco.
CAPÍTULO 3. AS CÔNICAS
126
Figura 3.62: Cometa.
Hipérbole
A luz dirigida a um dos focos de um espelho em formato de hipérbole é refletido na direção do
outro foco.
Esta propriedade, junto às outras propriedades das cônicas, é utilizada na construção dos modernos telescópios.
3.13. EXERCÍCIOS
127
3.13 Exercícios
1. Determine o raio e o centro dos seguintes círculos:
(a) x2 + y 2 − 2 x − 2 y − 5 = 0
(b) 2 x2 + 2 y 2 − 2 x − 2 y = 0
(c) 2 x2 + 2 y 2 − 12 x − 16 y = 0
2. Determine k tal que x2 + y 2 + m x + 4 y + 4 = 0 seja um círculo de raio 1.
3. Determine a equação da parábola se o foco e a diretriz são:
(a) (4, 0), x = −4
(d) (0, 2), y = −2
(b) (0, −3), y = 3
(e) (−7, 0), x = 7
(c) (−1/2, 0), x = 1/2.
(f) (0, −1/4), y = 1/4.
4. Determine o foco, o vértice e a diretriz de cada parábola:
(a) x2 = 12 y
(d) (x + 4)2 = 16 (y + 2).
(b) 3 y 2 − 2 x = 0
(e) (y + 1)2 = −4 (x − 2)
(c) (y − 2)2 = 8 (x + 1)
(f) x2 + 6 x − 4 y + 1 = 0
5. Esboce os gráficos das parábolas dos dois ítens anteriores.
6. Determine a intersecção entre:
(a) y = x2 e x = y 2
(b) y = x2 + 1 e y = −x2 + 3
(c) y 2 = 4 x e x − 2 y + 3 = 0
(d) (x + 4)2 = 16 (y + 2) e y 2 − x = 0.
7. Determine a equação da elipse se:
CAPÍTULO 3. AS CÔNICAS
128
(a) Um foco é (2, 0) e a diretriz é x = 9
(b) Um foco é (0, 4) e a diretriz é y = 9
(c) Um foco é (−2, 0) e a excentricidade é 1/3
(d) Os focos são (±4, 0) e os vértice são (±5, 0)
(e) Os focos são é (0, ±2) e os vértice são (0, ±4)
(f) Os vértices são (±5, 0) e os eixos em (±1, 0)
8. Determine o centro, os focos e os vértices de cada elipse:
(a) 9 (x − 3)2 + (y + 2)2 = 18
(d) 2 x2 + 3 y 2 − 8 x + 6 y + 5 = 0
(b) x2 + 4 x + 4 y 2 − 8 y + 4 = 0
(e) x2 + 9 y 2 + 6 x − 18 y + 9 = 0
(c) 9 x2 + 4 y 2 − 18 x + 16 y − 11 = 0
(f) 4 x2 + y 2 + 4 y = 0
9. Esboce os gráficos das elipses dos dois ítens anteriores.
10. Determine a equação da hipérbole se:
(a) Centro (0, 0), um foco (3, 0) e um vértice em (1, 0)
(b) Centro (0, 0), um foco (0, 5) e um vértice em (0, 3)
(c) Centro (0, 0), um foco (0, −6) e um vértice em (0, 4)
(d) Focos (−5, 0) e (5, 0), vértice em (3, 0)
(e) Foco (0, 6), vértices (0, −2) e (0, 2)
(f) Focos (−4, 0) e (4, 0), assíntota y = −x
11. Determine o centro, os focos, os vértices e as assíntotas de cada hipérbole:
(a) 4 x2 − y 2 = 16
(d) (x + 4)2 − 9 (y − 3)2 = 9
(b) y 2 − 9 x2 = 9
(e) 4 x2 − y 2 − 24 x − 4 y + 16 = 0
(c) (y − 2)2 − 4 (x + 2)2 = 4
(f) 2 y 2 − x2 + 2 x + 8 y + 3 = 0
12. Esboce os gráficos das hipérbolas dos dois ítens anteriores.
13. Determine a natureza das seguintes curvas:
3.13. EXERCÍCIOS
129
(a) 3 y 2 − 2 x − 12 y + 12 = 0
(h) x2 + y 2 + 16 x + 16 y + 64 = 0.
(b) 16 x2 − 9 y 2 = −144
(i) 5 x2 + 25 x + 10 y 2 − 5 = 0
(c) x2 + y 2 − 2 x − 8 = 0
(j) x2 + 8 x − y 2 + 3 y = 0.
(d) 2 x2 + 4 x + 3 y − 4 = 0
(e) 9 x2 + 4 y 2 − 18 x − 16 y − 11 = 0
(f) 9 x2 − 16 y 2 − 36 x − 32 y − 124 = 0
(g) 9 x2 + 16 y 2 = 25
(k) x2 + y 2 − 4 x − 4 y = 0
(l) x2 + y 2 − 18 x − 14 y + 130 = 0.
(m) x2 + y 2 + 8 x + 10 y + 41 = 0
(n) 4 x2 + 4 y 2 + 12 x − 32 y = −37.
14. Determine o círculo sabendo que os extermos de seu diametro estão em (−4, 4) e (−3, 3).
15. Determine a parábola y = a x2 + b x + c que passa pelos pontos (0, −3), (−3, 0) e (2, 5).
16. Determine o círculo de diâmetro 14 unidades e centro em (2, 5).
17. Determine a equação da reta que contem o diâmetro do círculo x2 + y 2 + 4 x − 6 y − 17 = 0,
perpendicular a 5 x + 2 y − 13 = 0.
18. Determine a elipse de centro na origem sabendo que a distância entre os focos é 14 unidades e que passa por (−25, 0).
19. Determine a equação do círculo se os pontos que formam seu diâmetro são (−2, 3) e
(4, −1).
20. Determine a equação do círculo que passa pelos pontos (4, 0), (0, 3) e (−2, −2).
21. Dada a reta y = x + k e o círculo x2 + y 2 = 9, determine k tal que sejam secantes;
22. Determine a área do círculo 9 x2 + 9 y 2 + 72 x − 12 y + 103 = 0.
23. Para que valores de m a reta y = m x intersecta o círculo x2 + y 2 − 20 y + 36 = 0 em um
único ponto?
24. Para que valores de m a reta y = m x intersecta o círculo x2 + y 2 = r 2 em dois pontos?
25. Determine a equação do círculo que passa pelos pontos (2, 1) e (3, −3) e seu centro está
na reta x + y − 5 = 0.
26. Determine a equação da elipse que tem um de seus vértices em (5, 0) e que passa pelo
ponto (2, 3).
CAPÍTULO 3. AS CÔNICAS
130
27. Determine o lugar geométrico dos pontos cuja distância a (−6, 0) é o dôbro da distância
a (6, 0).
28. Determine o valor de k tal que y = k − x intersecte
29. Determine o valor de k tal que y =
x2 y 2
+
= 1.
20
5
5x
x2
y2
+ k intersecte
−
= 1.
2
9
36
30. A diretriz da parábola y 2 = 4 p x intersecta em um único ponto o círculo que tem o foco
da parábola como centro. Determine a equação do círculo.
31. Determine a equação do círculo tal que os pontos (1, 9) e (−3, 5) são diametralmente
opostos.
32. Uma hipérbole tem os mesmos focos que a elipse 51 x2 + 100 y 2 = 5100 e sua excentrici7
dade é . Determine a equação da hipérbole.
4
1
33. Um satélite de órbita elítica tem excentricidade e viaja ao redor de um planeta situado
3
num dos focos da elipse. Se a distância mais próxima do satélite ao planeta é de 400 km,
determine a maior distância.
34. Dada:
y2
x2
+
= 1,
a2 − ω b2 − ω
onde a, b > 0, a > b e ω ∈ R. Verifique:
(a) Se ω < b2 , a equação representa uma elipse.
(b) Se b2 < ω < a2 , a equação representa uma hipérbole.
(c) Quais são os respectivos focos?
(d) Se ω > a2 o que repressenta a equação?
35. Ache os pontos de interseção dos gráficos de:
(a) x2 − y = 1 e x2 − y 2 = 1
(b) 2 x2 − 3 y 2 = 6 e 3 x2 + 2 y 2 = 35