Evento
Salão UFRGS 2014: SIC - XXVI SALÃO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA
DA UFRGS
Ano
2014
Local
Porto Alegre
Título
Generalizações sobre Anéis que satisfazem x³=x
Autor
SAMANTA STEIN DA SILVA
Orientador
EDUARDO HENRIQUE DE MATTOS BRIETZKE
O artigo intitulado “Variações sobre um Tema: Anéis satisfazendo
são comutativos”, dos autores Stephe n M. Buckley e Desmond
MacHale, publicado na revista The American Mathematical M onthly,
apresenta quatro seções que abordam diferentes provas e resultados de anéis
que satisfazem
. As duas últimas seções, apresentadas nesse trabalho,
mostram generalizações e contra -exemplos relativos ao tema que é o objeto
do nosso trabalho .
O fato de que um anel sati sfazendo
(sendo um elemento do anel)
implica que esse anel é comutativo, é demonstrado de várias maneiras no
artigo, o que possibilita algumas generalizações, estas apresentadas neste
trabalho. Entre essas generalizações pode-se citar:
Teorema 1: Seja
comutativo.
um anel tal que
para todos
Então
é
Teorema 2: Um anel
é comutativo se e somente se
para todo
Teorema 3: Um anel
é comutativo se e somente se
para todo
Para a demonstração do Teorema 3, outros dois resultados são
apresentados e demonstrados anteriormente.
Além de generalizações, há a apresentação de contra -exemplos de
variações sobre condições de comutatividade que não implicam em
comutatividade. Assim, conclui-se o trabalho com a apresentação da prova
dos seguintes contra -exemplos:
Teorema 4: Há anéis
para todos
Teorema 5: Há anéis
não-comutativos, que satisfazem a equação
não-comutativos, tais que
para todos
.