Telma Regina do Nascimento Cortes
PROPRIEDADES
ASSINTÓTICAS DE POLINÔMIOS
QUE SATISFAZEM A UMA
RELAÇÃO DE RECORRÊNCIA
DE TRÊS TERMOS
Dissertação apresentada ao Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas da
Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Câmpus de São José
do Rio Preto, para a obtenção do tı́tulo de Mestre em Matemática Aplicada.
Orientadora: Profa. Dra. Eliana X. L. de Andrade
São José do Rio Preto
2000
Aos meus pais, Célia e Vildo,
à minha irmã, Flávia
e ao meu noivo, Roberto.
Agradecimentos
A Deus, por ter me dado a vida e a oportunidade de viver sempre ao
lado de pessoas maravilhosas.
Aos meus pais, que sempre me apóiam em todas as decisões que tenho
que tomar, que enchem minha vida de muito amor e bons exemplos.
Ao Roberto, a quem pude confiar todas as minhas preocupações, pela
atenção, paciência, carinho e compreensão que me dispensou durante este e todos
os outros perı́odos da minha vida.
A todos os meus familiares e amigos de infância por compreenderem
minha ausência e pelo incentivo constante. Em especial à minha irmã Flávia,
aos meus amigos Danglei, Gercina, Janeci, Jerry e Fabiana que sempre me acompanharam e desejaram o melhor para mim.
À professora Eliana, que tornou possı́vel a realização deste e de outros
trabalhos e que sempre esteve disposta a me atender com muita paciência e
dedicação, durante todo o perı́odo da iniciação cientı́fica e do mestrado, pela
amizade, pela consideração e por tudo que as palavras não foram capazes de
expressar.
Ao professor Ranga que me recebeu com todo carinho e apoio desde o
meu começo na iniciação cientı́fica. Em especial à professora Cleonice, pelo apoio
constante.
A todos os meus amigos da Pós-Graduação: Carina, Claudinéia, Clinton,
Elisa, Graziela, Liberto, Lisandra, Marcelo, Patrı́cia, Paulo, Romildo, Rose, pelo
apoio, companheirismo e alegria constante que não deixaram de me proporcionar.
A todos os professores e funcionários que de alguma forma colaboraram
para a realização deste trabalho.
À FAPESP, pelo auxı́lio financeiro.
“ Não se ensina aquilo que se quer;
ensina-se e só se pode ensinar
aquilo que se é.”
Jean Jaurès
Resumo
O principal objetivo deste trabalho é realizar um estudo sobre as propriedades de polinômios que satisfazem a relações de recorrência de três termos,
cujos coeficientes possuem propriedades assintóticas de periodicidade dois. Os
polinômios ortogonais Qn (x) e similares aos ortogonais B̃n (t) são exemplos disso.
Buscamos informações sobre as propriedades dos polinômios Qn (x) e sua medida
φ(x), para os casos em que os coeficientes da relação de recorrência são limitados
e ilimitados. Baseando-nos nesses resultados, apresentamos como eles podem ser
transferidos para os polinômios similares B̃n (t) com relação à sua respectiva medida ψ(t), para o caso onde os coeficientes da relação de recorrência são limitados.
Finalmente, discutimos alguns resultados que encontramos para o caso ilimitado
associado aos polinômios B̃n (t).
Abstract
The main purpose of this work is to study the properties of polynomials that
satisfy three term recurrence relations whose coefficients satisfy asymptotic properties with periodicits two. The orthogonal polynomials Qn (x) and orthogonal
L-polynomials B̃n (t) are considered examples as these. We looked for information
about the properties of the polynomials Qn (x) and its measure φ(x) when the
coefficients of the recurrence relation are bounded or unbounded. We present
how those results, obtained for the bounded case, can be transfered to study the
polynomials B̃n (t) and the associated measure. Finally, we discuss some results
that we have obtained for the unbounded case associated with the polynomials
B̃n (t).
Índice
1 Introdução
1
2
5
Resultados Preliminares
2.1
2.2
Resultados Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1.1
Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue . . . . . . . . . . .
6
2.1.2
Convergência Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.1.3
Segundo Teorema de Helly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.1.4
Integral de Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.1.5
Transformada de Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.1.6
Teorema de Stieltjes-Vitali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.1.7
Lema de Cesàro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.1.8
Teorema Fundamental de Grommer-Hamburger . . . . . . . . . . . .
9
2.1.9
Frações Contı́nuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.1.10 Seqüências Encadeadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Polinômios Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.2.1
17
Seqüências Encadeadas e Polinômios Ortogonais . . . . . . . . . . . .
i
ii
3
Frações Contı́nuas e Polinômios Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.2.3
SPO cujos zeros são densos em intervalos . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.2.4
Comportamento Regular dos Polinômios Ortogonais . . . . . . . . . .
22
Propriedades Assintóticas dos Polinômios Ortogonais
3.1
3.2
4
2.2.2
Coeficientes da Relação de Recorrência Limitados . . . . . . . . . . . . . . .
24
3.1.1
Propriedades Assintóticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.1.2
Fórmulas de Quadratura Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3.1.3
Casos Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
3.1.4
Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
Coeficientes da Relação de Recorrência Ilimitados . . . . . . . . . . . . . . .
44
3.2.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
3.2.2
Resultados Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
3.2.3
Propriedades Assintóticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
3.2.4
Casos Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
3.2.5
Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
Propriedades Assintóticas dos Polinômios Similares
4.1
24
Coeficientes da Relação de Recorrência Limitados . . . . . . . . . . . . . . .
59
59
4.1.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
4.1.2
Casos Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
4.1.3
Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
iii
4.2
5
Coeficientes da Relação de Recorrência Ilimitados . . . . . . . . . . . . . . .
65
4.2.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
4.2.2
Propriedades Assintóticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
4.2.3
Representação Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
4.2.4
Casos Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
4.2.5
Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
Considerações Finais
76
Referências Bibliográficas
79
Capı́tulo 1
Introdução
Seja φ : IR −→ IR uma função não-decrescente, com infinitos pontos de aumento em
(a, b), −∞ ≤ a < b ≤ ∞ e tal que os momentos
µn =
Z b
a
xn dφ(x),
n = 0, 1, · · · ,
(1.1)
existem, são finitos e µ0 = 1.1
Então, dφ(x) é chamada distribuição em (a, b) e, se dφ(x) = w(x)dx, w(x) é uma
função peso.
O suporte de dφ (supp(dφ)) é o conjunto dos pontos de aumento de φ, ou seja,
supp(dφ) = {x ∈ IR : φ(x + ²) − φ(x − ²) > 0, para todo ² > 0}.
(1.2)
dφ(t) é que uma distribuição forte em (a, b) se os momentos existem para todos os
valores de n inteiros (positivos e negativos) e, se o intervalo (a, b) é tal que 0 ≤ a < b ≤ ∞,
dizemos que dφ(t) é uma distribuição forte de Stieltjes em (a, b).
Seja IPn o espaço de todos os polinômios algébricos de grau menor ou igual a n.
Os polinômios Pn (x) ∈ IPn , n ≥ 0, pertencem a um sistema de polinômios ortogonais (SPO), {Pn (x)}∞
n=0 , com relação a uma distribuição (medida positiva) dφ(x) sobre um
1
Geralmente, φ é chamada de função peso se é absolutamente contı́nua. Caso contrário, φ é uma função
distribuição, medida ou função peso integral. Usaremos a mesma terminologia para ambos os casos. Quando
o peso for denotado por uma letra grega a mesma refere-se a uma distribuição, no uso de letras latinas
trata-se de pesos absolutamente contı́nuos.
1
2
intervalo real (c, d), −∞ ≤ c < d ≤ ∞, se são definidos por:
(i)
n
X
Pn (x) =
an,k xk é de grau exatamente n, isto é, an,n 6= 0,
k=0
(ii) hPn (x), Pm (x)i =
Z d
c
Pn (x)Pm (x)dφ(x) = 0,
(1.3)
m 6= n.
Na forma mônica, isto é, an,n = 1, satisfazem à uma relação de recorrência de três
termos da seguinte forma:
Pn (x) = (x − βn−1 )Pn−1 (x) − αn−1 Pn−2 (x),
P−1 (x) ≡ 0,
βn−1 ∈ IR,
n ≥ 1,
P0 (x) ≡ 1,
αn−1 > 0,
(1.4)
n = 1, 2, · · · .
Definição 1.1 Uma seqüência de polinômios mônicos {B̃n (z)}∞
n=0 de grau igual a n, são
chamados de polinômios similares aos ortogonais com relação a uma distribuição forte de
Stieltjes dψ(t) no intervalo (a, b), 0 ≤ a < b ≤ ∞, se são definidos por:
Z b
a
t−n+s B̃n (t)dψ(t) =


 0,
se 0 ≤ s ≤ n − 1,

 ρ > 0, se
n
s = n.
(1.5)
Uma das propriedades envolvendo os polinômios similares é que eles também satisfazem a uma relação de recorrência de três termos do tipo
B̃n+1 (z) = (z − β̃n+1 )B̃n (z) − α̃n+1 z B̃n−1 (z),
n = 1, 2, · · · ,
(1.6)
onde B̃0 (z) = 1, B̃1 (z) = z − β̃1 .
Para os polinômios ortogonais mônicos Pn (x) e similares B̃n (t), sabe-se que os coe∞
ficientes {βn , αn }∞
n=0 e {β̃n , α̃n }n=1 que aparecem nas relações de recorrência de três termos,
armazenam informações sobre as propriedades desses polinômios e as medidas φ(x) e ψ(t)
associadas. Além disso, os estudos relacionados à obtenção dessas informações revelaram-se
bastante gratificantes, contribuindo para uma série de trabalhos (veja, por exemplo, [25, 51])
que tornaram-se clássicos. Um aspecto importante desses artigos está relacionado aos problemas em que os coeficientes da relação de recorrência possuem propriedades assintóticas.
Formalmente, podemos descrever esses problemas da seguinte forma.
3
Dadas as relações de recorrência (1.4) e (1.6), consideremos os coeficientes {βn , αn }∞
n=0
e {β̃n , α̃n }∞
n=1 satisfazendo dois casos. Primeiramente, suponhamos que sejam limitados, ou
seja, satisfaçam às condições
lim α2n = a21 ,
lim β2n = b1 ,
n→∞
n→∞
(1.7)
lim β2n+1 = b2
n→∞
e
lim α2n+1 = a22 ,
n→∞
para os polinômios ortogonais mônicos e
lim β̃2n = β (0) ,
lim α̃2n = α(0)
n→∞
n→∞
(1.8)
lim β̃2n+1 = β (1)
n→∞
e
lim α̃2n+1 = α(1) ,
n→∞
para os similares.
O outro caso que abordaremos é quando os coeficientes da relação de recorrência de
ambos os polinômios , Pn (x) e B̃n (t), são ilimitados, mas satisfazem
1/2
lim α /λ2n
n→∞ 2n
lim β2n /λ2n = b̃1 ,
n→∞
= ã1 ,
(1.9)
lim β2n+1 /λ2n = b̃2
n→∞
e
1/2
/λ2n
lim α
n→∞ 2n+1
= ã2
e
lim β̃2n /λ2n = β̃ (0) ,
lim α̃2n /λ2n = α̃(0) ,
n→∞
n→∞
(1.10)
lim β̃2n+1 /λ2n = β̃ (1)
n→∞
e
lim α̃2n+1 /λ2n = α̃(1) ,
n→∞
respectivamente, onde {λn }∞
n=0 é uma seqüência que varia regularmente (definição 3.2.2).
Nosso objetivo, neste trabalho, é estudar as propriedades dos polinômios ortogonais
e similares quando os coeficientes das relações de recorrência satisfazem às condições acima.
As razões entre dois polinômios cujos ı́ndices diferem de uma ou duas unidades e as funções
distribuições limites serão discutidas. Daremos, também, algumas aplicações em fórmulas
de quadratura.
Assim, procurando elaborar um trabalho contendo informações claras sobre o assunto de forma a servir de referência aos que possam vir a se interessar pelo mesmo, organizamos esta dissertação da seguinte forma.
4
No Capı́tulo 2, fizemos um breve levantamento do estudo de polinômios ortogonais
e similares aos ortogonais que serão de grande importância para o desenvolvimento deste
trabalho. Além disso, abordamos alguns resultados de teorias gerais nas quais nos baseamos
para darmos continuidade a este estudo.
De forma detalhada estudamos, no Capı́tulo 3, tanto o caso em que os coeficientes
da relação de recorrência (1.4) são limitados, ou seja, satisfazem (1.7), quanto ilimitados,
mas que variam regularmente, satisfazendo (1.9). Este último caso foi considerado por Van
Assche em [6].
Baseando-nos nesses resultados, apresentamos, no Capı́tulo 4, como eles (ou parte
deles) podem ser transferidos para a relação de recorrência (1.6) através da transformação
obtida em Sri Ranga [48] e aqueles que não podem ser obtidos através desta transformação.
O caso em que os coeficientes da relação de recorrência (1.6) satisfazem (1.8) foi tratado
em [3], artigo, este, que tomamos como referência para o estudo deste caso. Para nosso
conhecimento, sobre o problema (1.6) com condições (1.10), não há nenhum trabalho similar
publicado até hoje. Mas, tomando como referência o que foi feito para os polinômios ortogonais, na Seção 4.2, apresentamos, alguns resultados que conseguimos encontrar para esse
caso.
No Capı́tulo 5, apresentamos as observações finais sobre o trabalho.
Finalmente, relacionamos, nas Referências Bibliográficas, os livros e artigos por nós
consultados e/ou citados.
Capı́tulo 2
Resultados Preliminares
Neste capı́tulo, apresentamos alguns conceitos e propriedades básicos ao estudo que
abordaremos nos capı́tulos posteriores. Muitos resultados serão considerados sem demonstração, mas podem ser encontrados nos textos clássicos sobre o assunto.
2.1
Resultados Gerais
Sejam C
I o espaço linear dos números complexos, C0 (IR) o conjunto das funções reais
contı́nuas definidas na reta e que se anulam fora de um intervalo finito (que varia com cada
função) e ψA a função caracterı́stica do conjunto aberto A, isto é,
ψA :=


 1, x ∈ A,

 0, x ∈
/ A.
Diremos que a medida de um conjunto aberto A é dada por
Z
m(A) := sup{
IR
f (x)dx; f ∈ C0 (IR), f ≤ ψA }
e que um conjunto N tem medida nula se, para cada ² > 0, existe um aberto A² ⊃ N tal
que
m(A² ) ≤ ².
5
6
São exemplos de conjuntos de medida nula: quaisquer conjuntos enumeráveis, a
união enumerável de conjuntos de medida nula.
Quando uma certa propriedade P é válida no complementar de um conjunto de
medida nula, dizemos que P é válida em quase toda parte, e abreviaremos por q.t.p..
2.1.1
Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue
Teorema 2.1.1 (Zygmund [57]) Seja {fk }∞
k=0 uma seqüência de funções mensuráveis em
E tal que fk → f q.t.p. de E. Se existe ψ e L(E) tal que, para todo k, |fk | < ψ para quase
Z
Z
todo ponto de E, então
2.1.2
E
fk →
E
f.
Convergência Uniforme
Definição 2.1.1 (Rudin [42]) Dizemos que uma seqüência de funções {fj }∞
j=0 em Ω converge uniformemente para f num subconjunto compacto de Ω se, para um dado compacto
K ⊂ Ω e todo ² > 0, existe N = N (K, ²) tal que, para j > N ,
|fj (z) − f (z)| < ², ∀ z ∈ K.
Definição 2.1.2 (Funções Analı́ticas, Churchill [14], p.40) Uma função f de variável
0
complexa z é analı́tica em um ponto z0 se sua derivada f (z) existe não somente em z0 , mas
em todo ponto z em alguma vizinhança de z0 . f é analı́tica em um domı́nio do plano z se é
analı́tica em todo ponto desse domı́nio.
Teorema 2.1.2 (Teorema 10.28, Rudin [42]) Seja H(Ω) a classe de todas as funções
analı́ticas em Ω. Suponha que fj ∈ H(Ω), para j = 1, 2, · · · , e fj → f uniformemente
0
0
em subconjuntos compactos de Ω. Então, f ∈ H(Ω) e fj → f uniformemente em todo
subconjunto compacto de Ω.
7
2.1.3
Segundo Teorema de Helly
Teorema 2.1.3 (Teorema 2.3, p.54, Chihara [12]) Seja {φn } uma seqüência uniformemente limitada de funções não-decrescentes definidas em um intervalo compacto [a, b] e que
converge em [a, b] para uma função limite φ. Então, para toda função real f, contı́nua em
[a, b],
lim
Z b
n→∞ a
2.1.4
f dφn =
Z b
a
f dφ.
Integral de Stieltjes
Definição 2.1.3 (Rudin [41], p.120) Seja φ uma função monótona crescente em [a, b]
(como os números φ(a) e φ(b) são finitos, segue-se que φ é limitada em [a, b]). Para cada
subdivisão P de [a, b], escrevemos
∆φi = φ(xi ) − φ(xi−1 ).
É claro que ∆φi ≥ 0. Qualquer que seja a função real f , limitada em [a, b], consideremos
U (P, f, φ) = ∆φi sup{f (x)}
(xi−1 ≤ x ≤ xi ),
i = 1, 2, · · · , n,
L(P, f, φ) = ∆φi inf {f (x)}
(xi−1 ≤ x ≤ xi ),
i = 1, 2, · · · , n.
Por definição
Z b
Z
a
b
f dφ = inf {U (P, f, φ)},
(2.1.1)
f dφ = sup{L(P, f, φ)},
(2.1.2)
a
sendo, novamente, o ı́nfimo e o supremo relativos a todas as subdivisões.
Se os primeiros membros de (2.1.1) e de (2.1.2) são iguais, designamos o seu valor
comum por
Z b
f dφ
(2.1.3)
f (x)dφ(x).
(2.1.4)
a
ou, às vezes, por
Z b
a
Esta é a integral de Riemann-Stieltjes (ou simplesmente a integral de Stieltjes) de f
relativamente a φ em [a, b].
8
2.1.5
Transformada de Stieltjes
Uma transformada muito usada na teoria de polinômios ortogonais é a transformada
de Stieltjes.
Definição 2.1.4 Seja F (x) uma função distribuição, isto é, uma função real, não-decrescente
com F (−∞) = 0 e F (∞) = 1. A transformada de Stieltjes de F (x) é definida por
S(F (x); z) =
Z ∞
dF (x)
−∞
z−x
,
z∈C
I \ IR.
(2.1.5)
Essa função é analı́tica tanto no conjunto {z : Im(z) > 0} quanto no conjunto
{z : Im(z) < 0} e determina a função F (x) unicamente se F (x) for normalizada de modo a
ser contı́nua à direita.
Para termos ao alcance todos os pré-requisitos necessários, precisaremos, também,
do seguinte teorema clássico da teoria de funções complexas.
2.1.6
Teorema de Stieltjes-Vitali
Teorema 2.1.4 Seja {fn }∞
n=0 uma seqüência de funções analı́ticas numa região aberta G do
plano complexo. Se {fn }∞
n=0 é uniformemente limitada em G e converge num subconjunto E
de G, onde E tem um ponto limite em G, então {fn }∞
n=0 converge uniformemente em G.
Vamos considerar o teorema de Stieltjes-Vitali sem demonstração. Para a demonstração, bem como para observações históricas interessantes, ver Hille [26]. É importante
observar que a forma inicial deste teorema foi provada por Stieltjes na mesma biografia
clássica [51] onde ele resolveu o problema de momento e introduziu a integral de Stieltjes.
2.1.7
Lema de Cesàro
Este lema tem papel fundamental na demonstração de uma das propriedades aqui
estudadas, que é a que envolve a razão entre o polinômio e sua derivada no caso em que os
coeficientes da relação de recorrência são limitados.
9
Lema 2.1.5 (Média de Cesàro) Se xn −→ x, então n−1
n
X
xk −→ x, onde n−1
k=1
conhecida como soma de Cesàro.
n
X
xk é
k=1
Demonstração: Seja M limite de |xk | e, dado ², seja k0 tal que |x − xk | < ²/2 para k ≥ k0 .
Se n > k0 e n > 4k0 M/², então
¯
¯
n
n
0 −1
¯
¯
1X
1 kX
1X
²
¯
¯
xk ¯ ≤
2M +
< ².
¯x −
¯
n k=1 ¯ n k=1
n k=k0 2
2.1.8
Teorema Fundamental de Grommer-Hamburger
Teorema 2.1.6 (Arnold [4], Apêndice) Seja {Fn }∞
n=0 uma seqüência de distribuições que
converge fracamente para F , isto é,
R
f dFn ⇒
R
f dF para toda função contı́nua f com
suporte compacto e seja suppn (Fn (IR)) < ∞. Então, a transformada de Stieltjes de Fn ,
S(Fn (z)), para z ∈ C
I, converge para a transformada de Stieltjes de F, S(F (z)), uniformemente em conjuntos compactos do semi-plano superior. Reciprocamente, para uma seqüência
∞
de medidas {Fn }∞
n=0 com suppn (Fn (IR)) < ∞ tal que {S(Fn (z))}n=0 converge em um con-
junto z com ponto limite no semi-plano superior, então, a convergência vale uniformemente
em conjuntos compactos z, o limite é a transformada de Stieltjes S(F ) de uma medida finita
F e Fn ⇒ F (fracamente).
2.1.9
Frações Contı́nuas
Frações contı́nuas têm um papel fundamental no estudo de problemas clássicos de
momento. Polinômios ortogonais aparecem de maneira natural na análise de certos tipos de
frações contı́nuas associadas a problemas de momento e este fato pode ser usado como base
no desenvolvimento da teoria de polinômios ortogonais.
Consideraremos apenas o suficiente de frações contı́nuas para indicar sua relação
com os polinômios ortogonais e obter certos resultados que utilizaremos no estudo das propriedades dos polinômios ortogonais e similares aos ortogonais. Um bom estudo sobre o
assunto pode ser encontrado em [56, 29].
∞
Sejam {an }∞
n=1 e {bn }n=0 seqüências arbitrárias de números complexos e
10
C0 = b0
C1 = b0 +
C2 = b0 +
..
.
a1
b1
a1
b1 +
..
.
C n = b0 +
(2.1.6)
a2
b2
a1
b1 +
b2 +
a2
...
a3
an−1
bn−1 +
an
bn
onde Cn é chamado de n−ésimo convergente (ou aproximante) da fração contı́nua (infinita)
b0 +
a1
b1 +
b2 +
..
a2
.
(2.1.7)
a3
an−1
bn−1 +
an
.
bn + . .
Definição 2.1.5 A fração contı́nua (2.1.7) converge para um valor K (finito) desde que
apenas um número finito de Cn não é definido e
lim Cn = K.
n→∞
Caso contrário, dizemos que a fração contı́nua diverge.
Referindo-nos a (2.1.6), podemos escrever
Cn =
An
,
Bn
n = 0, 1, 2, · · · ,
onde
A0 = b0 ,
B0 = 1,
A1 = b0 b1 + a1 ,
B1 = b1 ,
A2 = b0 b1 b2 + b0 a2 + a1 b2 ,
B2 = b1 b2 + a2
11
e, em geral, An e Bn são polinômios em ai , bj .
Agora, podemos escrever
A1 = b1 A0 + a1 A−1
onde A−1 = 1,
B1 = b1 B0 + a1 B−1
onde B−1 = 0.
Logo, para algum n ≥ 1,
An = bn An−1 + an An−2 ,
A−1 = 1,
Bn = bn Bn−1 + an Bn−2
B−1 = 0,
(2.1.8)
conhecidas como Fórmulas de Wallis.
An e Bn são chamados de n−ésimo numerador parcial e n−ésimo denominador
parcial da fração contı́nua, respectivamente.
2.1.10
Seqüências Encadeadas
Abordaremos, agora, algumas definições e teoremas envolvendo seqüências encadeadas,
fazendo isso de forma breve, apenas com conceitos que são básicos para o estudo dos
polinômios ortogonais. Para maiores detalhes veja [12, p.91].
Definição 2.1.6 Uma seqüência {an }∞
n=1 é chamada uma seqüência encadeada se existe uma
seqüência {gk }∞
k=0 tal que
(i)
0 ≤ g0 < 1, 0 < gn < 1, n ≥ 1;
(ii) an = (1 − gn−1 )gn , n = 1, 2, · · · .
∞
{gk }∞
k=0 é chamada de seqüência de parâmetros para {an }n=1 e g0 é o parâmetro inicial.
Definição 2.1.7 Seja {an }∞
n=1 uma seqüência encadeada. Uma seqüência de parâmetros
∞
{mk }∞
k=0 é uma seqüência minimal de parâmetros para {an }n=1 se m0 = 0.
Se a seqüência minimal de parâmetros é a única seqüência de parâmetros para
∞
{an }∞
n=1 então dizemos que {an }n=1 determina seus parâmetros unicamente.
12
Definição 2.1.8 Seja {an }∞
n=1 uma seqüência encadeada. Uma seqüência de parâmetros
{Mk }∞
k=0 é uma seqüência maximal de parâmetros se Mk > gk
(k ≥ 0) para qualquer
∞
seqüência de parâmetros {gk }∞
k=0 para {an }n=1 .
∞
Se {gn }∞
n=1 é uma seqüência de parâmetros para {an }n=1 e gn → g, então, an →
(1 − g)g ≤ 1/4 (n → ∞). O teorema abaixo mostra que a recı́proca é válida.
Teorema 2.1.7 Seja
lim an = a.
n→∞
Então, 0 ≤ a ≤ 1/4 e
√
1
lim
M
1 − 4a].
n = [1 +
n→∞
2
Além disso, se M0 > 0 (isto é, se mn 6= Mn ), então,
√
1
lim
m
1 − 4a].
n = [1 −
n→∞
2
Demonstração: Veja Chihara [12, p.102].
13
2.2
Polinômios Ortogonais
Daremos, agora, algumas propriedades dos polinômios ortogonais Pn (x) definidos
em (1.3), isto é,
(i)
Pn (x) =
n
X
ãn,k xk = ãn,n
k=0
(ii)
n
Y
(x − xn,k ) é de grau exatamente n, isto é, ãn,n 6= 0,
k=1
hPn (x), Pm (x)i =
Z d
c
Pn (x)Pm (x)dφ(x) =



0,
(2.2.9)
para m 6= n,

 δ > 0, para
n
m = n.
Se ãn,n = 1, denotaremos os polinômios ortogonais mônicos por Qn (x) e, se δn = 1,
dizemos que eles são ortonormais e os denotaremos por pn (x) =
n
X
an,k xk = an,n
k=0
n
Y
(x−xn,k ).
k=1
Se os polinômios ortogonais Pn (x) são definidos em um intervalo simétrico com
relação à origem, ou seja, (−d, d) e a distribuição dφ(x) satisfaz dφ(x) = −dφ(−x), não é
difı́cil demonstrar que Pn (x) = (−1)n Pn (−x), n ≥ 0.
Também podemos demonstrar que (2.2.9) (ii) é equivalente a
Z d
c
xs Pn (x)dφ(x) = 0,
0 ≤ s ≤ n − 1.
(2.2.10)
Daremos, agora, algumas propriedades dos polinômios ortogonais Pn (x) definidos
em (1.3). Um estudo detalhado sobre eles pode ser encontrado em [12] e [52]. Sabemos que
satisfazem a uma relação de recorrência de três termos.
Teorema 2.2.1 {Pn (x)}∞
n=0 satisfaz à seguinte relação de recorrência de três termos:
Pn+1 (x) = (γn x − ²n )Pn (x) − λn Pn−1 (x),
n ≥ 0,
com P0 (x) = 1, P−1 (x) = 0 e
γn =
an+1,n+1
6= 0,
an,n
² n = γn
hxPn , Pn i
,
hPn , Pn i
Demonstração: Temos que Pn (x) =
n
X
λn =
γn
hPn , Pn i
6= 0.
γn−1 hPn−1 , Pn−1 i
an,i xi . Logo, xPn (x) =
i=0
n+1
X
(2.2.11)
bi Pi (x).
i=0
Igualando os coeficientes dos termos de maior grau em ambos os membros da igualan,n
dade acima e isolando o coeficiente bn+1 , encontramos bn+1 =
.
an+1,n+1
Porém, de (2.2.10),
hxPn (x), Pj (x)i =
Z b
a
Pn (x)xPj (x)ω(x)dx = 0,
para j + 1 < n,
ou seja,
j ≤ n − 2.
14
Mas, para j ≤ n − 2, de (2.2.9), obtemos
hxPn (x), Pj (x)i =
n+1
X
bi hPi (x), Pj (x)i = bj hPj (x), Pj (x)i = 0.
i=0
Logo, bj = 0, j ≤ n − 2.
Assim,
xPn (x) = bn+1 Pn+1 (x) + bn Pn (x) + bn−1 Pn−1 (x),
1
bn
bn−1
de onde concluı́mos que γn =
, ²n =
e λn =
.
bn+1
bn+1
bn+1
an+1,n+1
an,n
, temos que γn+1 =
.
Como bn+1 =
an+1,n+1
an,n
Calculando os produtos internos hPn+1 (x), Pn (x)i e hPn+1 (x), Pn−1 (x)i chegamos,
hxPn , Pn i
γn
hPn , Pn i
respectivamente que ²n = γn
e λn =
.
hPn , Pn i
γn−1 hPn−1 , Pn−1 i
Como conseqüência imediata desse teorema, temos os seguintes resultados.
Corolário 2.2.2 {pn (x)}∞
n=0 satisfaz à seguinte relação de recorrência de três termos:
xpn (x) =
an,n
an+1,n+1
pn+1 (x) + βn pn (x) +
com p0 (x) = a0,0 , p−1 (x) = 0 e βn =
Z d
c
an−1,n−1
pn−1 (x),
an,n
n ≥ 0,
tp2n (t)dφ(t).
Corolário 2.2.3 {Qn (x)}∞
n=0 satisfaz à seguinte relação de recorrência de três termos:
Qn+1 (x) = (x − βn )Qn (x) − αn Qn−1 (x),
n ≥ 0,
(2.2.12)
a2n−1,n−1
hQn , Qn i
com Q0 (x) = 1, Q−1 (x) = 0 e αn =
=
> 0.
a2n,n
hQn−1 , Qn−1 i
Um resultado muito conhecido sobre seus zeros é dado por
Teorema 2.2.4 Para n ≥ 1, os zeros de Pn (x), xn,k , k = 1, · · · , n, são reais, distintos e
pertencem ao intervalo (c, d).
Outro importante teorema da teoria de polinômios ortogonais é o seguinte.
15
Teorema 2.2.5 (Teorema da Separação dos Zeros) Os zeros de Pn (x) e de Pn+1 (x) se
entrelaçam, isto é,
xn+1,i < xn,i < xn+1,i+1 ,
i = 1, 2, · · · , n.
Teorema 2.2.6 (Identidade de Christoffel-Darboux) Seja {Qn (x)}∞
n=1 uma seqüência
de polinômios ortogonais mônicos satisfazendo (2.2.12) com αn−1 6= 0 (n ≥ 1). Então,
n−1
X
Qn (x)Qn−1 (y) − Qn−1 (x)Qn (y)
Qk (x)Qk (y)
= (α0 α1 · · · αn−1 )−1
.
x−y
k=0 α0 α1 · · · αk
(2.2.13)
Para os polinômios ortonormais, pn (x), temos
n−1
X
an−1,n−1 pn (x)pn−1 (y) − pn−1 (x)pn (y)
.
an,n
x−y
pk (x)pk (y) =
k=0
(2.2.14)
Das duas últimas propriedades, podemos obter a seguinte decomposição em frações
parciais:
n+1
X γn+1,k
Qn (x)
=
,
Qn+1 (x) k=1 x − xn+1,k
(2.2.15)
Qn (xn+1,k )
> 0.
0
Qn+1 (xn+1,k )
0
Como Qn (x) é um polinômio de grau n − 1, pelo polinômio de interpolação de
onde γn+1,k =
Lagrange (2.2.19),
0
Qn (x) =
n
X
Qn (x)
0
Qn (xn,k ),
0
k=1 (x − xn,k )Qn (xn,k )
de onde concluı́mos que
0
n
Qn (x) X
1
=
.
Qn (x) k=1 x − xn,k
(2.2.16)
Do corolário 2.2.2, mostra-se facilmente que os zeros de Pn (x) são os auto-valores
da matriz de Jacobi














β0
√
α1
√

α1
0
..
.
β1
√
α2
...
0
···
0
√
α2
..
.
...
0
0
0
..
···
.
βn−2
√
αn−2



··· 



0



√
αn−2 


βn−1
Um famoso resultado de J. Favard é o seguinte:
(2.2.17)
16
Teorema 2.2.7 (J. Favard, Chihara [12]) Se um sistema de polinômios {πn (x)}∞
n=0 satisfaz a uma relação de recorrência do tipo
xπn (x) =
ân,n
ân+1,n+1
πn+1 (x) + β̂n πn (x) +
ân−1,n−1
πn−1 (x),
ân,n
n = 0, 1, 2, · · · , com π−1 (x) = 0, â−1,−1 = 0, π0 (x) = â0,0 , ân,n > 0 e β̂n ∈ IR, então
{πn (x)}∞
n=0 é ortogonal com relação a alguma função distribuição φ (que pode não ser unicamente determinada) e
β̂n =
Z d
c
tπn2 (t)dφ(t).
Em muitos exemplos, φ é unicamente determinada pela relação de recorrência. Este
ân−1,n−1
é o caso quando ambos {
} e {|β̂n |} são seqüências limitadas ou, em outras palavras,
ân,n
quando o suporte de dφ é compacto. Lembremos que supp(dφ) é sempre fechado, portanto
compacto é equivalente a limitado.
Definição 2.2.1 A função de Christoffel λn correspondente a uma função distribuição φ é
definida por
λn (z) =
Z d
min
π(z)∈IPn−1 c
|πn−1 (t)|2 dφ(t),
com πn−1 (z) = 1 para z ∈ C
I, n = 1, 2, · · · .
Os números λn (xn,k ) são chamados números de Christoffel e são geralmente denotados por λn,k .
Existem importantes resultados envolvendo os números de Christoffel, dentre eles,
a fórmula de quadratura mecânica de Gauss-Jacobi e os conhecidos núcleos de Dirichlet.
Teorema 2.2.8 (Fórmula de Quadratura de Gauss-Jacobi) Para
π(x) ∈ IP2n−1 ,
Z d
c
π(t)dφ(t) =
n
X
π(xn,k )λn,k .
todo
polinômio
(2.2.18)
k=1
Demonstração: Seja π(x) um polinômio arbitrário cujo grau não excede 2n − 1. Construindo o polinômio de interpolação de Lagrange de π(x) sobre os nós xn,k , obtemos
Ln (x) =
n
X
π(xn,k )ln,k (x),
k=1
(2.2.19)
17
onde
pn (x)
.
(x − xn,k )p0n (xn,k )
ln,k (x) =
Agora, Q(x) = π(x) − Ln (x) é um polinômio de grau no máximo 2n − 1 que se anula em
xn,k , k = 1, 2, · · · , n. Logo,
Q(x) = R(x)pn (x)
onde R(x) é um polinômio de grau no máximo n − 1. Assim, como R(x) é ortogonal a pn (x),
Z d
c
π(t)dφ(t) =
=
=
=
=
Z d
c
Z d
c
Q(t)dφ(t) +
Z d
c
Ln (t)dφ(t)
R(t)pn (t)dφ(t) +
Z dX
n
Z d
c
Ln (t)dφ(t)
π(xn,k )ln,k (t)dφ(t)
c k=1
n
X
Z d
π(xn,k )
k=1
n
X
c
ln,k (t)dφ(t)
π(xn,k )λn,k
k=1
Definição 2.2.2 (Núcleo de Dirichlet) O núcleo de Dirichlet é definido por
Kn (x, t) =
n−1
X
pk (x)pk (t),
k=0
ou, pela soma de Christoffel-Darboux (2.2.14), isto é,
Kn (x, t) =
2.2.1
an−1,n−1 pn (x)pn−1 (t) − pn−1 (x)pn (t)
.
an,n
x−t
(2.2.20)
Seqüências Encadeadas e Polinômios Ortogonais
Sejam
ξi = n−→∞
lim xn,i ,
ηj = n−→∞
lim xn,n−j+1
(2.2.21)
σ = lim ξi
i−→∞
e
τ = lim ηj .
j−→∞
Definição 2.2.3 O intervalo [ξ1 , η1 ] é chamado verdadeiro intervalo de ortogonalidade.
18
Usando a teoria de seqüências encadeadas, obtemos a relação entre o verdadeiro
intervalo de ortogonalidade [ξ1 , η1 ] e as seqüências de coeficientes {βn } e {αn } da relação de
recorrência, como veremos a seguir.
Teorema 2.2.9 (Chihara [12], p.108) Seja ∆ = [ξ1 , η1 ] o verdadeiro intervalo de ortogonalidade dos polinômios mônicos {Qn (x)}∞
n=0 definidos
)
( por (2.2.12). Então,
αn+1
(i) ξ1 é o maior valor de c para o qual βn > c e
é uma seqüência
(βn − c)(βn+1 − c)
encadeada e
(
)
αn+1
(ii) η1 é o menor valor de d para o qual d > βn e
é uma seqüência
(d − βn )(d − βn+1 )
encadeada.
Se tal ξ1 (ou η1 ) não existe, então ξ1 (η1 ) é escolhido como −∞ (∞).
2.2.2
Frações Contı́nuas e Polinômios Ortogonais
As fórmulas de Wallis (2.1.8) levam a uma conexão direta entre polinômios ortogo-
nais e frações contı́nuas pois, se em (2.1.7) tomarmos
b0 = 0,
a1 = α0 6= 0,
an+1 = −αn
e bn = x − βn−1 ,
n ≥ 1,
obteremos a fração contı́nua
α0
x − β0 +
−α1
x − β1 +
(2.2.22)
−α2
.
x − β2 + . .
cujo n−ésimo denominador parcial, Bn = Qn (x), satisfaz à relação de recorrência (2.2.12).
Assim, pelo Teorema de Favard 2.2.7, segue que os denominadores parciais de
(2.2.22) formam um SPO com relação a alguma φ se βn , n = 0, 1, · · · , são reais e αn ,
n = 0, 1, · · · , são positivos. A fração contı́nua (2.2.22) é chamada de fração contı́nua de
Jacobi ou, simplesmente, de J-fração devido à sua relação com as conhecidas matrizes de
Jacobi (2.2.17).
Retornando às fórmulas de Wallis, note que os numeradores parciais, An = An (x),
satisfazem à relação de recorrência
An (x) = (x − βn−1 )An−1 (x) − αn−1 An−2 (x), n = 2, 3, · · ·
19
A−1 (x) = 1,
A0 (x) = 0,
A1 (x) = α0 .
Verifica-se facilmente por indução que α0−1 An (x) é uma polinômio mônico de grau
n − 1 que é independente de α0 . Assim,
−1
Q(0)
n (x) = α0 An+1 (x),
n ≥ −1,
é um polinômio mônico de grau n independente de α0 que satisfaz à fórmula de recorrência
(0)
(0)
Q(0)
n (x) = (x − βn )Qn−1 (x) − αn Qn−2 (x), n = 1, 2, 3, · · ·
(0)
Q−1 (x) = 0,
(0)
Q0 (x) = 1.
∞
Logo, {Q(0)
n (x)}n=0 é um SPO se βn , n = 1, 2, · · · , são reais e αn são positivos para
n ≥ 1.
Definição 2.2.4 Os polinômios mônicos Q(0)
n (x) são chamados de polinômios numeradores
correspondentes a Qn (x), n ≥ 0.
O nome polinômios associados é freqüentemente usado na literatura ao invés de
polinômios numeradores.
Um outro resultado importante sobre a decomposição dos convergentes da J-fração
(2.2.22) é o seguinte.
Teorema 2.2.10 (Teorema 4.3, p.88, Chihara [12]) Se βn são reais e αn > 0, n ≥ 1,
temos
Z d
n
α0 Qn−1 (x) X
λn,k
dφn (t)
=
=
Qn (x)
c x−t
k=1 x − xn,k
(0)
onde λn,k são os coeficientes da fórmula de quadratura de Gauss correspondentes aos zeros
xn,k e φn é a correspondente função distribuição com salto λn,k no ponto xn,k .
Se o verdadeiro intervalo de ortogonalidade [ξ1 , η1 ] é limitado, usando [12, IITeorema 3.1], do segundo Teorema de Helly 2.1.3, podemos concluir, então, que
α0 Qnk −1 (x) Z η1 dφ(x)
=
,
k→∞
Qnk (x)
ξ1 z − x
(0)
lim
para z ∈
/ [ξ1 , η1 ].
(2.2.23)
20
Assim, segue que se [ξ1 , η1 ] é limitado, existe uma subseqüência de convergentes da
J-fração (2.2.22) que converge para
F C(z) =
Z η1
dφ(x)
ξ1
z−x
,
para z ∈
/ [ξ1 , η1 ].
(2.2.24)
A. Markov, em 1896, foi o primeiro a demonstrar que de fato a J-fração converge
uniformemente para F C(z) em todo subconjunto compacto do plano complexo que não
intercepta o intervalo [ξ1 , η1 ].
2.2.3
SPO cujos zeros são densos em intervalos
Em 1898, O. Blumenthal provou que o conjunto X de todos os zeros de todos os
polinômios Qn (x) é denso no intervalo [σ, τ ]. Algumas extensões foram obtidas a partir do
Teorema de Blumenthal, dentre elas, o seguinte teorema.
Teorema 2.2.11 (Blumenthal generalizado, Chihara [12]) Sejam os polinômios Qn (x)
dados por (2.2.12) e suponhamos que lim βn = β e lim αn = α > 0, onde β e α são finitos.
n→∞
n→∞
Seja, ainda, X = {xn,k : 1 ≤ k ≤ n, n = 1, 2, · · ·}. Então, X é denso no intervalo [σ, τ ],
√
σ =β−2 α
e
√
τ = β + 2 α.
Como conseqüência desse teorema e de (2.2.15), temos o seguinte resultado.
Teorema 2.2.12 Sejam Qn (x) polinômios satisfazendo (2.2.12). Então, para ² > 0 suficientemente grande,
¯
¯
¯Q
¯
1
¯ n−2 (z) ¯
¯
¯ ≤ 2,
¯ Qn (z) ¯
²
para todo z ∈ C
I \ [−A, A], onde [−A, A] é o verdadeiro intervalo de ortogonalidade dos
polinômios Qn (x).
Demonstração: Sabemos, do Teorema 2.2.11, que os zeros dos polinômios Qn (x) são densos
em um intervalo compacto, suponhamos [−A, A]. Temos, de (2.2.15), que
¯
¯
¯¯
¯
¯
¯Q
¯
¯¯
¯
¯Q
¯ n−2 (z) ¯
¯ n−2 (z) ¯ ¯ Qn−1 (z) ¯
¯
¯=¯
¯¯
¯
¯ Qn (z) ¯
¯ Qn−1 (z) ¯ ¯ Qn (z) ¯
≤
n−1
X
n
γn−1,j X
γn,k
j=1 |z − xn−1,j | k=1 |z − xn,k |
(2.2.25)
21
n
X
X
1 n−1
≤ 2 γn−1,j γn,k ,
² j=1
k=1
(2.2.26)
para ² suficientemente grande tal que z ∈ C
I \ [−A, A], com
Qn−2 (xn−1,j )
0
Qn−1 (xn−1,j )
γn−1,j =
e γn,k =
Qn−1 (xn,k )
.
Q0n (xn,k )
Em Szegö [52, p.48] encontramos que λn,k , k = 1, · · · , n, podem ser dados por
λn,k =
an,n
1
.
an−1,n−1 pn (xn,k )pn−1 (xn,k )
0
Esse resultado segue facilmente da quadratura gaussiana e da Identidade de ChristoffelDarboux. Mas, Qn (x) = pn (x)/an,n .
Daı́,
n
X
γn,k =
k=1
=
n
X
λn,k p2n−1 (xn,k )
k=1
Z d
c
p2n−1 (x)dφ(x) = 1.
Uma outra propriedade que freqüentemente faremos uso é a do limitante para os
zeros dos polinômios Qn (x).
Do núcleo de Dirichlet (2.2.20), podemos notar que
xKn2 (x, xn,k )
a2n−1,n−1 p2n (x)p2n−1 (xn,k )
.
=x
a2n,n
(x − xn,k )2
Assim, pela fórmula de quadratura de Gauss-Jacobi,
Z d
c
xKn2 (x, xn,k )dφ(x) =
n
X
a2n−1,n−1 2
p2n (xn,j )
xn,j
p
(x
)
λ
n,j
n−1 n,k
a2n,n
(xn,j − xn,k )2
j=1
a2n−1,n−1 2
0
pn−1 (xn,k )[pn (xn,k )]2 xn,k
= λn,k
2
an,n
xn,k
=
.
λn,k
Portanto,
xn,k = λn,k
Por outro lado,
Z d
c
xKn2 (x, xn,k )dφ(x).
22
xn,k = λn,k
= λn,k
Z d
c
xKn2 (x, xn,k )dφ(x) = λn,k

Z d n−1
X
x
c
+2λn,k
j=0


x
c
x[
n−1
X
pj (x)pj (xn,k )]2 dφ(x)
j=0
p2j (x)p2j (xn,k ) dφ(x)






Z d 
 n−2
X
c
Z d



(pi (x)pi (xn,k ))pj (x)pj (xn,k ) dφ(x)



i=0
j=i+1
= λn,k
n−1
X
βj p2j (xn,k )
+ λn,k
j=0
n−1
X
2
j=1
aj−1,j−1
pj−1 (xn,k )pj (xn,k ).
aj,j
Assim,
|xn,k | ≤ λn,k max |βj |
0≤j≤n−1
n−1
X
p2j (xn,k )
j=0
X
aj−1,j−1 n−1
|pj−1 (xn,k )pj (xn,k )|
1≤j≤n−1
aj,j j=1
+2λn,k max
≤
max |βj |
0≤j≤n−1
v
u
v
u
n−1
X
X
un−1
aj−1,j−1 u
t
p2i (xn,k )t p2j (xn,k )
+2λn,k max
1≤j≤n−1
aj,j
i=0
j=0
aj−1,j−1
= max |βj | + 2 max
,
0≤j≤n−1
1≤j≤n−1
aj,j
Portanto,
1/2
|xn,k | ≤ max |βj | + 2 max αj .
0≤j≤n−1
2.2.4
1≤j≤n−1
(2.2.27)
Comportamento Regular dos Polinômios Ortogonais
Denotemos por Nn (t) o número de inteiros k para os quais
xn,n − xn,k ≥ t|xn,1 − xn,n |,
0 ≤ t ≤ 1.
Definição 2.2.5 A função distribuição dos zeros, quando existe, é definida por
β(t) = n→∞
lim
Nn (t)
,
n
0 ≤ t ≤ 1.
(2.2.28)
23
Em [53] e [20] mostrou-se que para uma grande classe de medidas dφ(t), β(t) existe
e, além disso, é dado por
β0 (t) =
1 1
− arcsen(2t − 1).
2 π
(2.2.29)
Neste caso, a medida dφ(t) é chamada medida arco-seno e os polinômios pn (x)
têm comportamento zero regular.
Em [21], Erdös e Turán consideraram polinômios ortogonais em [−1, 1] e mostraram
que se dφ(x) = w(x)dx, onde w(x) é uma função integrável não-negativa em [−1, 1], ou
seja, w(x) > 0 exceto para um conjunto de medida de Lebesgue nula, então dφ(x) é uma
medida arco-seno. Em [53], Ullman faz uma discussão bastante completa da medida arcoseno absolutamente contı́nua e, em [20], Erdös e Freud estabeleceram resultados nos casos
em que dφ(x) não é absolutamente contı́nua. Peso arco-seno com suporte não compacto foi
introduzido por Erdös em [19].
O caso em que o suporte da medida dφ(x) está contido em [−1, 1] e os dois pont@HZbH@@HbH
Capı́tulo 3
Propriedades Assintóticas dos
Polinômios Ortogonais
3.1
Coeficientes da Relação de Recorrência Limitados
Nesta seção, baseados no artigo de Van Assche [5], vamos estudar, o comportamento
assintótico de polinômios ortogonais quando os coeficientes da relação de recorrência de três
termos, tanto os de ı́ndice par quanto os de ı́ndice ı́mpar, tendem a limites finitos. A razão
entre dois polinômios cujos ı́ndices diferem de uma ou duas unidades e a função distribuição
limite serão discutidas. Daremos, também, algumas aplicações dos resultados obtidos em
fórmulas de quadratura.
∞
Sejam, então, as seqüências {βn }∞
n=0 e {αn }n=0 da relação de recorrência (2.2.12)
satisfazendo:
lim α2n = a21 ,
lim β2n = b1 ,
n→∞
n→∞
(3.1.1)
lim β2n+1 = b2
n→∞
e
lim α2n+1 = a22 .
n→∞
Usando a estimativa (2.2.27) podemos concluir que os zeros dos polinômios ortogonais mônicos {Qn (x)}∞
n=0 estão sempre no interior de um intervalo compacto, suponhamos
[−A, A].
24
25
3.1.1
Propriedades Assintóticas
Da fórmula de recorrência (2.2.12) facilmente obtemos que
Q2n+1 (x) = (x − β2n )Q2n (x) − α2n Q2n−1 (x)
(3.1.2)
Q2n+2 (x) = (x − β2n+1 )Q2n+1 (x) − α2n+1 Q2n (x).
(3.1.3)
e
Resolvendo a segunda equação para Q2n+1 (x), obtemos
Q2n+1 (x) =
Q2n+2 (x) + α2n+1 Q2n (x)
.
x − β2n+1
Substituindo esta expressão em (3.1.2), temos a seguinte fórmula de recorrência
envolvendo somente os polinômios de grau par
"
#
x − β2n+1
Q2n+2 (x) = (x − β2n )(x − β2n+1 ) − α2n+1 − α2n
Q2n (x)
x − β2n−1
x − β2n+1
−α2n α2n−1
Q2n−2 (x)
x − β2n−1
= b2n (x)Q2n (x) − a2n (x)Q2n−2 (x).
(3.1.4)
De modo análogo, obtemos a fórmula de recorrência que envolve apenas os polinômios
de grau ı́mpar
"
#
x − β2n+2
Q2n+3 (x) = (x − β2n+1 )(x − β2n+2 ) − α2n+2 − α2n+1
Q2n+1 (x)
x − β2n
x − β2n+2
−α2n+1 α2n
Q2n−1 (x)
x − β2n
= b2n+1 (x)Q2n+1 (x) − a2n+1 (x)Q2n−1 (x).
(3.1.5)
Essas fórmulas de recorrência modificadas serão muito úteis no estudo do comportamento assintótico dos polinômios {Qn (x)}∞
n=0 quando n tende para infinito.
Sejam X1 o conjunto dos pontos de acumulação de
{xn,i : i = 1, 2, · · · , n; n = 1, 2, · · ·}
e
X2 := {x ∈ IR : Qn (x) = 0 para infinitos valores de n}.
26
Um elemento de X2 não é necessariamente um ponto de acumulação do conjunto
{xn,i }. Se tomarmos uma função peso em [−β, −α] ∪ [α, β] (0 < α < β) que é simétrica com
relação à origem, este ponto pertencerá a X2 , pois todo polinômio ortogonal de grau ı́mpar
com relação a uma distribuição simétrica se anula na origem. Mas, não se pode encontrar
uma seqüência de zeros (exceto para a seqüência constante zero) que converge para zero. Já
os polinômios de grau par não se anulam em (−α, α) pois, se existir um zero neste intervalo,
pela simetria, existirá também um segundo zero, o que é impossı́vel (polinômios ortogonais
podem ter no máximo um zero num intervalo onde a função distribuição é constante). Pela
mesma razão, a origem será o único zero em (−α, α) para os polinômios de grau ı́mpar.
Assim, se a distribuição dφ(x) for simétrica, zero é raiz de infinitos polinômios de grau
ı́mpar, ou seja, 0 ∈ X2 .
Deste fato, podemos concluir que supp(dφ) ⊂ X1 ∪ X2 , onde o suporte de dφ, como
definido em (1.2), é o espectro da função distribuição φ(x) e o espectro não é necessariamente
X1 ∪X2 , como se pode ver da observação anterior, pois se 0 ∈ X2 , 0 ∈
/ supp(dφ) nas condições
citadas anteriormente.
Denotaremos por fn (x) ∼ g(x), quando a razão fn (x)/g(x) tende para um. A esfera
I e consideremos
de Riemann, C
I ∪ {∞}, será denotada por C
ZN := {xn,i : i = 1, 2, · · · , n; n ≥ N }.
Teorema 3.1.1 Se os coeficientes da fórmula de recorrência (2.2.12) satisfazem (3.1.1),
então, quando n → ∞,
Qn (z)
1n
∼ Q(z) =
(z − b1 )(z − b2 ) − (a21 + a22 )
Qn−2 (z)
2
q
+ [(z − b1 )(z − b2 ) −
(a21
+
a22 )]2
¾
−
4a21 a22
(3.1.6)
uniformemente em todo subconjunto compacto de C
I \ X1 ∪ X2 .
Demonstração: Sabemos que os zeros de {Qn (x)}∞
n=0 estão todos no interior do intervalo
compacto [−A, A]. Assim, a razão Qn (z)/Qn−2 (z) é analı́tica em C
I \[−A, A] para todo n ≥ 2.
Se K é um conjunto compacto em C
I \ X1 ∪ X2 , então K pode ter no máximo um número
finito de zeros de {Qn (x)}∞
n=0 e cada um deles é zero de um número finito de polinômios.
27
Isto significa que existe um inteiro N tal que, para n ≥ N, as razões Qn (z)/Qn−2 (z) são
analı́ticas em K.
Seja
² = inf {|z − x| : z ∈ K, x ∈ (X1 ∪ X2 ) ∩ ZN }
que é uma quantidade estritamente positiva, pois K (que é um conjunto compacto) e o
conjunto ( X1 ∪ X2 ) ∩ ZN são disjuntos.
Pelo Teorema 2.2.12, para z ∈ K e n ≥ N
¯
¯
¯Q
¯
1
¯ n−2 (z) ¯
¯
¯ ≤ 2.
¯ Qn (z) ¯
²
Assim, a razão Qn−2 (z)/Qn (z) é uniformemente limitada em todo subconjunto compacto de C
I \ (X1 ∪ X2 ).
O próximo passo é mostrar que esta razão converge quando z ∈ [A, ∞) e, como
este conjunto tem um ponto limite, podemos usar o Teorema de Stieltjes-Vitaly 2.1.4 para
I \ (X1 ∪ X2 ).
concluir a convergência uniforme em todo subconjunto compacto de C
Tomemos, então, z ∈ [A, ∞) (ou seja, z real). Por hipótese, os coeficientes das
fórmulas de recorrência (3.1.4) e (3.1.5) convergem quando n → ∞. A convergência das
razões Q2n+2 (z)/Q2n (z) e Q2n+1 (z)/Q2n−1 (z) segue do fato de que a seqüência
fn (z) = α2n α2n−1
(
z − β2n+1
z − β2n−1
z − β2n
× (z − β2n )(z − β2n+1 ) − α2n+1 − α2n
z − β2n+1
(
)−1
z − β2n−1
× (z − β2n−2 )(z − β2n−1 ) − α2n−1 − α2n−2
z − β2n−3
)−1
é uma seqüência encadeada com seqüência de parâmetros (minimal) dada por
(
z − β2n+1
Q2n+2 (z)
(z − β2n )(z − β2n+1 ) − α2n+1 − α2n
gn (z) = 1 −
Q2n (z)
z − α2n−1
)−1
.
Isto significa que fn (z) = gn (z)[1−gn−1 (z)] e como, para z ∈ [A, ∞), fn (z) converge,
pelo Teorema 2.1.7, gn (z) também convergirá.
Para determinar este limite dividimos a equação (3.1.4) por Q2n (z) e a equação
(3.1.5) por Q2n+1 (z). Daı́,
Q2n+2 (z)
=
Q2n (z)
"
#
x − β2n+1
z − β2n+1 Q2n−2 (z)
(z − β2n )(z − β2n+1 ) − α2n+1 − α2n
− α2n α2n−1
x − β2n−1
z − β2n−1 Q2n (z)
28
e
Q2n+3 (z)
=
Q2n+1 (z)
"
z − β2n+2
(z − β2n+1 )(z − β2n+2 ) − α2n+2 − α2n+1
z − β2n
z − β2n+2 Q2n−1 (z)
−α2n+1 α2n
.
z − β2n Q2n+1 (z)
#
Fazendo n → ∞, obtemos
Q(z) = {(z − b1 )(z − b2 ) − (a21 + a22 )} −
a21 a22
.
Q(z)
Resolvendo esta equação, chegamos que
Q(z) =
1n
(z − b1 )(z − b2 ) − (a21 + a22 )
2
q
± [(z − b1 )(z − b2 ) −
(a21
+
a22 )]2
¾
−
4a21 a22
.
Como, para todo n, Qn (z)/Qn−2 (z) → ∞ quando z → ∞, devemos escolher o sinal
positivo. Assim, Q(z) → ∞ quando z → ∞.
A relação assintótica (3.1.6) não vale em X1 ∪ X2 pois, neste conjunto, a razão
Qn (z)
não é limitada. Em particular, a relação assintótica não vale sobre o espectro
Qn−2 (z)
supp(dφ). Portanto, em X2 podemos encontrar uma subseqüência para a qual o resultado
assintótico vale.
Corolário 3.1.2 Suponhamos que as condições (3.1.1) sejam satisfeitas. Então, quando
n → ∞,
(i)
Q2n (z)
Q(z) + a21
∼
,
Q2n−1 (z)
z − b1
(3.1.7)
e
Q2n+1 (z)
Q(z) + a22
∼
Q2n (z)
z − b2
uniformemente em todo subconjunto compacto de C
I \ (X1 ∪ X2 ).
(ii)
(3.1.8)
Demonstração: Da fórmula de recorrência (2.2.12) obtemos facilmente que
Q2n (z)
Q2n+1 (z)
= (z − β2n )
− α2n .
Q2n−1 (z)
Q2n−1 (z)
Como, do teorema anterior, o lado esquerdo converge uniformemente em todo subconjunto compacto de C
I \ (X1 ∪ X2 ), (3.1.7) segue imediatamente fazendo n → ∞. Analogamente, demonstramos (3.1.8).
29
Teorema 3.1.3 Sob as condições (3.1.1) temos que, para n → ∞,
0
1 Qn (z)
z − (b1 + b2 )/2
∼q
n Qn (z)
[(z − b1 )(z − b2 ) − (a21 + a22 )]2 − 4a21 a22
(3.1.9)
uniformemente em todo subconjunto compacto de C
I \ (X1 ∪ X2 ).
Demonstração: Como a seqüência Qn (z)/Qn−2 (z) converge para Q(z) uniformemente em
todo subconjunto compacto de C
I \ (X1 ∪ X2 ), pelo Teorema 2.1.2, a seqüência de derivadas
0
0
(Qn (z)/Qn−2 (z)) convergirá para Q (z) uniformemente em subconjuntos compactos de
C
I \ (X1 ∪ X2 ). Tomando-se, então, a derivada de (3.1.6), temos que
0
0
0
0
(Qn (z)/Qn−2 (z))
Q (z) Qn−2 (z)
Q (z)
= n
−
∼
(Qn (z)/Qn−2 (z))
Qn (z) Qn−2 (z)
Q(z)
uniformemente em todo subconjunto compacto de C
I \ (X1 ∪ X2 ).
Agora, seja K um conjunto compacto em C
I \ (X1 ∪ X2 ) e N tal que Qn (z) não tem
zeros em K para n ≥ 2N − 2. Podemos, então, escrever
0
Ã
0
0
!
Ã
0
0
!
Ã
0
0
−1
n
Q2j (z) Q2j−2 (z)
Q2j (z) Q2j−2 (z)
1 Q2n (z)
1 NX
1 X
=
−
+
−
2n Q2n (z)
2n j=1 Q2j (z) Q2j−2 (z)
2n j=N Q2j (z) Q2j−2 (z)
n
Q2j (z) Q2j−2 (z)
1 X
1
=
−
+
2n j=N Q2j (z) Q2j−2 (z)
2n
Ã
0
!
!
Q2N −2 (z)
.
Q2N −2 (z)
(3.1.10)
Pelo Lema de Cesàro 2.1.5, concluı́mos que
0
0
1 Q2n (z)
1 Q (z)
∼
2n Q2n (z)
2 Q(z)
uniformemente em todo subconjunto compacto de C
I \ (X1 ∪ X2 ).
Um raciocı́nio análogo garante o resultado para os ı́ndices ı́mpares. Calculando,
0
Q (z)
, chegamos ao resultado desejado.
então, explicitamente
Q(z)
Observe que ambos os comportamentos assintóticos das razões Qn (z)/Qn−1 (z) e
0
∞
Qn (z)/Qn (z) dependem somente dos limites das seqüências {βn }∞
n=0 e {αn }n=0 e não delas
mesmas. Assim, diz-se que essas funções têm comportamentos assintóticos invariantes.
3.1.2
Fórmulas de Quadratura Invariantes
Daremos, agora, algumas aplicações de resultados da seção anterior. Usaremos o
conceito de convergência fraca para este objetivo.
30
Definição 3.1.1 Uma seqüência de funções distribuições Fn (x) converge fracamente para
uma função distribuição F (x) (Fn (x) ⇒ F (x)) se, para toda função f (x) contı́nua e limitada,
Z ∞
−∞
f (x)dFn (x) →
Z ∞
−∞
f (x)dF (x).
(3.1.11)
O Teorema de Grommer-Hamburger 2.1.6 nos garante que para (3.1.11) ser válido,
basta mostrarmos que S(Fn (x); z) converge para S(F (x); z), uniformemente em todo subconjunto compacto de C
I \ IR.
Para o objetivo aqui proposto, que é o de se obter a fórmula de quadratura, necessitaremos do uso das transformadas de Stieltjes das seguintes funções distribuições:
1Z x
|t|
√
F (x; δ, β) =
IB (t)dt.
√ 2
π −∞ β − t2 t2 − δ 2
2 [(δ 2 − γ 2 )1/2 + (β 2 − γ 2 )1/2 ]2
G(x; δ, β, γ) =
×
π
(β 2 − δ 2 )2
√
Z x √ 2
β − t2 t2 − δ 2
IB (t)dt,
×
|t − γ|
−∞
(3.1.12)
(3.1.13)
onde |γ| ≤ δ < β e IB (t) é a função indicadora do conjunto B = [−β, −δ] ∪ [δ, β], isto é,
IB (t) =


 0,
t∈
/B

 1, t ∈ B.
Então,
dF (x; δ, β) =
|x|
1
√
dx
√ 2
π β − x2 x2 − δ 2
e
2 [(δ 2 − γ 2 )1/2 + (β 2 − γ 2 )1/2 ]2
dG(x; δ, β, γ) =
π
(β 2 − δ 2 )2
√
√
β 2 − x2 x2 − δ 2
dx,
|x − γ|
para x ∈ B.
Lema 3.1.4 Seja z ∈ C
I \ [−β, −δ] ∪ [δ, β]. Então,
(i) S(F (x; δ, β); z) = √
z2 − δ
z
√
2
z2 − β2
e
(3.1.14)
2(z + γ)
√
.
√
(3.1.15)
− −
−
− γ 2 )]1/2 + z 2 − δ 2 z 2 − β 2
√
√
√
√
As raı́zes quadradas z 2 − δ 2 e z 2 − β 2 são escolhidas de modo que z 2 /( z 2 − δ 2 z 2 − β 2 )
(ii) S(G(x; δ, β, γ); z) =
z2
γ2
[(δ 2
γ 2 )(β 2
é analı́tica em C
I \ [−β, −δ] ∪ [δ, β] e tende para um quando z tende para infinito.
31
Demonstração: A partir da definição de transformada de Stieltjes, temos que
S(F (x; δ, β); z) =
1 Z −δ 1
|x|
√
dx
√ 2
π −β z − x β − x2 x2 − δ 2
1Z β 1
|x|
√
dx.
+
√ 2
π δ z − x β − x2 x2 − δ 2
Fazendo x = −t na primeira integral e, em seguida, t = x, obtemos
S(F (x; δ, β); z) =
1Z β 1
|x|
√
dx
√ 2
π δ z + x β − x2 x2 − δ 2
|x|
1Z β 1
√
dx.
+
√ 2
π δ z − x β − x2 x2 − δ 2
Usando a mudança de variáveis y = x2 e, em seguida, y =
(β 2 − δ 2 )
(β 2 + δ 2 )
t+
,
2
2
chegamos que
Z 1
1
dt
2z
√
S(F (x; δ, β); z) = 2
.
2
2
2
2
(β − δ )π −1 2z − β − δ
1 − t2
−t
β 2 − δ2
De (2.2.23) e (2.2.24) sabemos que
Z 1
1
dφ(t) = F C(u),
−1 u − t
onde F C(u) é o limite da fração contı́nua
α1
u − β1 −
u − β2 −
α2
u − β3 −
,
α3
α4
.
u − β4 − . .
e αi , βi , i = 1, 2, · · · , são os coeficientes da relação de recorrência de três termos dos
polinômios ortogonais com relação a dφ(x).
Mas, da fórmula de recorrência para os polinômios de Tchebyshev de primeira espécie
mônicos, sabemos que α1 = π, α2 = 1/2, α3 = α4 = · · · = 1/4 e βi = 0 para i = 1, 2, · · · .
dt
π
1/4
Assim, para dφ(t) = √
.
, F C(u) =
, onde L(u) = u −
2
1/2
L(u)
1−t
u−
L(u)
Logo, [L(u)]2 − uL(u) + 1/4 = 0. Daı́,
√
u ± u2 − 1
π
L(u) =
e F C(u) = √ 2
,
2
u −1
32
u→∞
pois F C(u) −→ 0.
Portanto, para u =
2z 2 − β 2 − δ 2
,
β 2 − δ2
π(β 2 − δ 2 )/2
F C(u) = q
(u2 − β 2 )(u2 − δ 2 )
.
Daı́,
S(F (x; δ, β); z) = √
z
√
z2 − β 2 z2 − δ2
.
Para a distribuição G(x; δ, β, γ), consideremos dois casos:
• Seja γ = 0.
De maneira análoga à feita para a distribuição F (x; δ, β),
S(G(x; δ, β, 0); z) =





2
2
2 
√
2 (δ + β) (β − δ ) Z 1
1
1 − t2 dt
2
2
2

π (β 2 − δ 2 )2
2z
 −1 2z − β − δ


−t

β 2 − δ2





Z 1

√
1
−
−1
β 2 + δ2
−t
δ2 − β 2
1 − t2 dt .





Como, neste caso, a função peso é a de Tchebyshev de segunda espécie, a fração
√
contı́nua F C(u) é dada por F C(u) = π(u − u2 − 1).
Assim, a primeira integral entre as chaves é igual a
√
"
#
√
2z 2 − (β 2 + δ 2 ) − 2 z 2 − β 2 z 2 − δ 2
π
β 2 − δ2
e, a segunda, igual a
"
#
β 2 + δ 2 − 2δβ
−π
.
β 2 − δ2
Logo, substituindo os resultados acima na transformada de Stieltjes da distribuição
√
√
G(x; δ, β, 0) obtida anteriormente e multiplicando-a e dividindo-a por z 2 −δβ+ z 2 − β 2 z 2 − δ 2 ,
chegamos ao resultado desejado para γ = 0.
• Para γ 6= 0, de maneira análoga à feita anteriormente, chegamos que
33
2 [(δ 2 − γ 2 )1/2 + (β 2 − γ 1/2 )]2 (z + γ)(β 2 − δ 2 )
π
(β 2 − δ 2 )2
2(z 2 − γ 2 )
S(G(x; δ, β, γ); z) =
×
−





Z 1





√
1
1 − t2 dt
2
−1 2z − β − δ
−t
β 2 − δ2
2
2






Z 1
√
1
1 − t2 dt .
2

−1 β + δ − 2γ



−t

2
2
δ −β
2
2
Logo, por (2.2.23) e (2.2.24), o valor da primeira integral é
π(u −
e, o da segunda, é
π(v −
√
√
u2 − 1),
v2
− 1),
2z 2 − β 2 − δ 2
β 2 − δ2
com u =
β 2 + δ 2 − 2γ 2
onde v =
.
δ2 − β 2
Daı́,
S(G(x; δ, β, γ); z) =
2 [(δ 2 − γ 2 )1/2 + (β 2 − γ 1/2 )]2 (z + γ)(β 2 − δ 2 )
π
(β 2 − δ 2 )2
2(z 2 − γ 2 )
·
¸
q
q
q
√
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
×π z − γ − δ − γ β − γ − z − β z − δ
Multiplicando-se e dividindo-se esta expressão por z 2 − γ 2 −
√
√ 2
z − β 2 z 2 − δ 2 , obtemos o resultado desejado.
√
√
δ2 − γ 2 β 2 − γ 2 +
Tomemos, agora,
b(1) = min{b1 , b2 },
b(2) = max{b1 , b2 }
a(1) = min{a1 , a2 } e
a(2) = max{a1 , a2 }.
Teorema 3.1.5 Sejam {pn (x)}∞
n=0 um sistema de polinômios ortonormais que satisfazem
(3.1.1) e {λn,j }nj=1 seus números de Christoffel. Então, para toda função contı́nua f (x),
(i)
2n
X
λ2n,j p22n−1 (x2n,j )f (x2n,j )
j=1
Ã
a2(1) Z ∞
b1 + b2
→
f (x)dG x −
; δ, β, −γ
2
a1 −∞
2
a21 − a2(1)
+
f (b2 ),
a21
!
34
(ii)
Ã
2n+1
X
λ2n,j p22n (x2n+1,j )f (x2n+1,j )
j=1
a2(1) Z ∞
b1 + b2
→
f (x)dG x −
; δ, β, γ
2
a2 −∞
2
a22 − a2(1)
+
f (b1 )
a22
!
e
!
Ã
Z ∞
n
1X
b1 + b2
(iii)
f (xn,j ) →
; δ, β ,
f (x)dF x −
n j=1
2
−∞
onde
Ã
2
δ =
b1 − b2
2
!2
Ã
2
+ (a1 − a2 ) ,
2
β =
b1 − b2
2
!2
+ (a1 + a2 )2 ,
γ=
b1 − b2
(3.1.16)
2
e as funções F (x; δ, β) e G(x; δ, β, γ) são as definidas em (3.1.12) e (3.1.13), respectivamente.
Demonstração: (i) Sabemos, de (2.2.15) e de
λn,k =
que
an,n
1
,
an−1,n−1 pn (xn,k )pn−1 (xn,k )
0
n
λn,j p2n−1 (xn,j )
Qn−1 (z) X
=
.
Qn (z)
z − xn,j
j=1
(3.1.17)
Seja Gn (x) uma distribuição discreta que dá saltos nos zeros xn,j , j = 1, · · · , n, de
pn (x) definida por
Gn (x) =
n
X
λn,j p2n−1 (xn,j )U (x − xn,j ),
(3.1.18)
j=1
onde
U (x) =


 1, x ≥ 0,

 0,
x < 0.
(3.1.19)
Assim, de (3.1.17), a transformada de Stieltjes de Gn (x) é dada por
S(Gn (x); z) =
Z ∞
n
X
λn,j p2n−1 (xn,j )
Qn−1 (z)
1
dGn (x) =
=
.
z − xn,j
Qn (z)
−∞ z − x
j=1
(3.1.20)
Pelo corolário 3.1.2,
S(G2n (x); z) =
z − b1
Q2n−1 (z)
→ 2
,
Q2n (z)
a1 + Q(z)
(3.1.21)
35
uniformemente em todo subconjunto compacto de C
I \ IR quando n → ∞. Mas, de (3.1.6),
A=
z − b1
2(z − b1 )
q
=
.
+ Q(z)
(z − b1 )(z − b2 ) − (a22 − a21 ) + [(z − b1 )(z − b2 ) − (a22 + a21 )]2 − 4a21 a22
a21
Multiplicando-se e dividindo-se essa última razão por 2a21 (z − b2 ), obtemos
A =
q
(z − b1 )(z − b2 ) + (−a22 + a21 ) −
[(z − b1 )(z − b2 ) − (a22 + a21 )]2 − 4a21 a22
2a21 (z − b2 )
.
Assim,
• se a1 ≥ a2
A =
(z − b1 )(z − b2 ) − |a21 − a22 | −
q
[(z − b1 )(z − b2 ) − (a22 + a21 )]2 − 4a21 a22
2a21 (z − b2 )
+
|a21 − a22 | − (a22 − a21 )
2a21 (z − b2 )
Multiplicando-se e dividindo-se a primeira expressão do segundo membro pelo conjugado do numerador, isto é, por
(z − b1 )(z − b2 ) − |a21 − a22 | +
q
[(z − b1 )(z − b2 ) − (a22 + a21 )]2 − 4a21 a22 ,
obtemos
A =
a22
2(z − b1 )
q
2
a1 (z − b1 )(z − b2 ) − |a21 − a22 | + [(z − b1 )(z − b2 ) − (a22 + a21 )]2 − 4a21 a22
+
|a21 − a22 | − (a22 − a21 )
.
2a21 (z − b2 )
• se a1 < a2
A =
=
=
q
(z − b1 )(z − b2 ) + (−a22 + a21 ) −
[(z − b1 )(z − b2 ) − (a22 + a21 )]2 − 4a21 a22
2a21 (z − b2 )
(z − b1 )(z − b2 ) − |a21 − a22 | −
q
[(z − b1 )(z − b2 ) − (a22 + a21 )]2 − 4a21 a22
2a21 (z − b2 )
2(z − b1 )
a21
q
,
a21 (z − b1 )(z − b2 ) − |a21 − a22 | + [(z − b1 )(z − b2 ) − (a22 + a21 )]2 − 4a21 a22
após multiplicar e dividir a segunda razão pelo conjugado do numerador. Como a1 < a2
|a21 − a22 | − (a22 − a21 )
= 0.
2a21 (z − b2 )
36
Logo, podemos somar este termo nulo à igualdade acima.
Portanto,
Ã
Ã
!
!
a2(1)
a21 − a2(1)
b1 + b2
S(G2n (x); z) → 2 S G x −
; δ, β, −γ ; z +
S (U (x − b2 ); z) ,
a1
2
a21
o que conclui parte do teorema.
Como convergência fraca é equivalente a (3.1.11) temos o resultado dado em (i).
O resultado em (ii) segue ao substituirmos (b1 , a1 ) por (b2 , a2 ).
(iii) Sabemos, de (2.2.16), que
0
n
1
Qn (z) X
=
.
Qn (z) j=1 z − xn,j
Agora, consideremos a função distribuição discreta
n
1X
Fn (x) =
U (x − xn,j ).
n j=1
(3.1.22)
Logo, nFn (x) é igual ao número de zeros de Qn (x) que são menores ou iguais a x.
A transformada de Stieltjes é, então, dada por
0
S(Fn (x); z) =
n
1
1 Qn (z)
1X
=
.
n j=1 z − xn,j
n Qn (z)
Assim, de (3.1.9) e (3.1.14), podemos concluir que
z − (b1 + b2 )/2
S(Fn (x); z) → q
[(z − b1 )(z − b2 ) − (a21 + a22 )]2 − 4a21 a22
Ã
Ã
!
(3.1.23)
!
(b1 + b2 )
= S F x−
; δ, β ; z ,
2
uniformemente em todo subconjunto compacto de C
I \ IR.
Portanto, Fn (x) ⇒ F (x − (b1 + b2 )/2; δ, β) e, de (3.1.11), obtemos o item (iii).
3.1.3
Casos Especiais
Consideremos, agora, alguns casos especiais dos teoremas precedentes. O caso mais
importante é quando b1 = b2 = b e a1 = a2 = a > 0. Neste caso, as funções F e G do
Teorema 3.1.5 têm a forma
1Z x
1
q
F (x − b; 0, 2a) =
I[b−2a,b+2a] (t)dt,
π −∞ 4a2 − (t − b)2
37
1 Zx q 2
G(x − b; 0, 2a, 0) = 2
4a − (t − b)2 I[b−2a,b+2a] (t)dt,
2a π −∞
que podem ser obtidas simplesmente substituindo-se os valores dados acima e usando-se a
transformação t = z − b e, em seguida, fazendo-se z = t.
Os resultados anteriores podem, então, ser dados da seguinte forma: do Teorema
3.1.5, concluı́mos que
Teorema 3.1.6 Suponha que as condições (3.1.1) sejam válidas com b1 = b2 = b e a1 =
a2 = a > 0. Então, para toda função contı́nua f (x),
(i)
≡
(ii)
n
X
λn,j p2n−1 (xn,j )f (xn,j ) →
j=1
q
1 Z b+2a
f
(x)
4a2 − (x − b)2 dx
2πa2 b−2a
e
(iii)
n
1X
1 Z b+2a
1
f (xn,j ) →
f (x) q
dx.
n j=1
π b−2a
4a2 − (t − b)2
Uma conseqüência imediata do Corolário 3.1.2 é o seguinte
Teorema 3.1.7 Supondo que as restrições (3.1.1) sejam válidas com b1 = b2 = b e a1 =
I \ X1 ∪ X2 . Então,
a2 = a > 0, seja z ∈ C
lim
Qn (z)
2
q
=
.
n+1 (z)
(z − b) + (z − b)2 − 4a2
n→∞ Q
Já, do Teorema 3.1.3, obtemos o seguinte resultado
Teorema 3.1.8 Sob as mesmas condições iniciais do teorema anterior, temos que
0
1
Qn (z)
q
=
.
lim
n→∞ nQ (z)
n
(z − b)2 − 4a2
Outro caso importante é quando apenas a1 = a2 = a > 0. Para este caso, Chihara
[9, 12] demonstrou que os zeros são densos no conjunto

 
Ã
1/2
Ã
1/2 
!2
!2




b1 + b2
b1 − b2
b1 − b2
 b1 + b2
 

−
+ 4a2
, b(1)  ∪ b(2) ,
+
+ 4a2






2
2
2
2
38
que é justamente o conjunto sobre o qual a função distribuição limite F (x−(b1 +b2 )/2; 21 |b1 −
b2 |, {(b1 − b2 )/2 + 4b2 }1/2 ) está concentrada. O resultado do Teorema 3.1.5 − (iii), portanto,
é mais forte do que o resultado de Chihara, pois indica como a densidade dos zeros está
distribuida no conjunto mencionado acima.
Daremos especial atenção ao caso em que a1 ou a2 é igual a zero, formulado no
teorema abaixo.
Teorema 3.1.9 Suponhamos que as condições (3.1.1) sejam satisfeitas e que a(1) = 0.
Então, para toda função contı́nua f (x),
2n
X
(i)
λ2n,j p22n−1 (x2n,j )f (x2n,j ) →
j=1



f (b2 ),


(Ã



b2 − b1
 1








!
Ã
!
Ã
!
se a2 = 0,
b1 + b2
+β
(3.1.24)
2βÃ
2
2
! Ã
!)
b1 − b2
b1 + b2
+
+β f
−β
, se a1 = 0,
2
2
+β f
2n+1
X
λ2n+1,j p22n (x2n+1,j )f (x2n+1,j )
(ii)
j=1
→
( Ã
n
1X
1
(iii)
f (xn,j ) →
f
n j=1
2



f (b1 ),


(Ã



b1 − b2
 1








!
se a1 = 0,
(3.1.25)
b1 + b2
+β
2βÃ
2
2
! Ã
!)
b2 − b1
b1 + b2
+
+β f
−β
, se a2 = 0,
2
2
!
b1 + b2
+β +f
2
Ã
+β f
b1 + b2
−β
2
!)
,
(3.1.26)
onde β 2 = ((b1 − b2 )/2)2 + a2(2) .
Demonstração: Como a1 = 0 ou a2 = 0, as relações (3.1.7) e (3.1.8), neste caso, são dadas
por



 z − b2 −
Q2n (z)
→

Q2n−1 (z)


z − b2 ,



 z − b1 −
Q2n+1 (z)
→

Q2n (z)


z − b1 ,
a22
, se a1 = 0,
z − b1
se a2 = 0,
(3.1.27)
a21
z − b2
, se a2 = 0,
se a1 = 0,
39
respectivamente, enquanto que (3.1.9) torna-se
Ã
!
0
i
1 Qn (z)
b1 + b2 .h
→ z−
(z − b1 )(z − b2 ) − a2(2) .
n Qn (z)
2
(3.1.28)
De (3.1.20), temos que a transformada de Stieltjes da função Gn (x) em (3.1.18)
satisfaz, uniformemente em todo subconjunto compacto de C
I \ IR,
S(Gn (x); z) =
Qn−1 (z)
.
Qn (z)
Logo, de (3.1.27), obtemos





1
,
se a2 = 0,
z −(b2
)
S(G2n (x); z) →
1
(b2 − b1 )/2 + β
(b1 − b2 )/2 + β



+
, se a1 = 0.

2β z − (b1 + b2 )/2 − β z − (b1 + b2 )/2 + β
Substituindo (b1 , a1 ) por (b2 , a2 ) obtemos um resultado análogo para S(G2n+1 (x); z),
isto é,





1
,
se a1 = 0,
z −(b1
)
S(G2n+1 (x); z) →  1
(b1 − b2 )/2 + β
(b2 − b1 )/2 + β


, se a2 = 0.
+

2β z − (b1 + b2 )/2 − β z − (b1 + b2 )/2 + β
Desses assintóticos, (i) e (ii) são imediatos. As transformadas de Stieltjes das funções
Fn (x) em (3.1.22) têm o seguinte comportamento
1
S(Fn (x); z) →
2
(
)
1
1
,
+
z − (b1 + b2 )/2 − β z − (b1 + b2 )/2 + β
uniformemente em todo subconjunto compacto de C
I \ IR. Portanto, (iii) segue.
Assim, quando a1 ou a2 é zero, as funções Gn (x) e Fn (x) convergem fracamente
para funções distribuições que dão no máximo dois saltos. Isto significa que para n grande
a maioria dos zeros está concentrada em torno daqueles pontos onde a função distribuição
limite dá um salto.
3.1.4
Exemplos
Daremos, agora, alguns exemplos de polinômios ortogonais para os quais os resulta-
dos anteriores se aplicam. Com eles, será possı́vel um melhor entendimento dos resultados
40
das seções precedentes.
Exemplo 1− Os coeficientes da relação de recorrência dos polinômios de Jacobi mônicos,
Pn(α,β) (x), satisfazem (2.2.12) com
βn =
β 2 − α2
(2n + α + β)(2n + α + β + 2)
e
αn =
4n(n + α)(n + α)(n + α + β)
,
(2n + α + β − 1)(2n + α + β)2 (2n + α + β + 1)
α > −1 e β > −1.
É fácil ver que βn → 0 e αn → 1/4. Assim, pelos Teoremas 3.1.7 e 3.1.8, vemos que
√
z + z2 − 1
Pn(α,β) (z)
∼
,
(α,β)
2
Pn−1 (z)
(3.1.29)
0
(α,β)
1 [Pn (z)]
1
∼ √ 2
,
(α,β)
n Pn (z)
z −1
uniformemente em todo subconjunto compacto de C
I \ [−1, 1], pois b = 0 e a = 1/2. Pelo
Teorema 3.1.6, para toda função contı́nua f (x),
n
X
(α,β)
λn,j [pn−1 (xn,j )]2 f (xn,j )
j=1
√
2Z 1
f (x) 1 − x2 dx
→
π −1
e
n
1X
f (xn,j ) →
n j=1
1Z 1
(3.1.30)
f (x)
√
dx,
π −1 1 − x2
uniformemente em todo subconjunto compacto de C
I \ [−1, 1].
Esses resultados são bem conhecidos.
Exemplo 2− Os polinômios mônicos de Pollaczek (para mais detalhes, veja Chihara [12])
satisfazem (2.2.12) com
βn =
−b
n+λ+a+c
e αn =
(n + c)(n + 2λ + c − 1)
,
4(n + λ + a + c − 1)(n + λ + a + c)
onde a ≥ |b| juntamente com 2λ + c > 0 e c ≥ 0 ou 2λ + c ≥ 1 e c > −1. Como βn → 0 e
αn → 1/4 quando n tende para infinito, obtemos os mesmos assintóticos que em (3.1.29) e
(3.1.30).
41
Exemplo 3− Os coeficientes da relação de recorrência dos polinômios mônicos de Lommel modificados, L(α)
n (z), são dados por
1
,
4(n + α)(n + α − 1)
βn = 0 e α n =
com α > 0. Assim, αn → 0. Logo, temos um limite degenerado, uniformemente em todo
subconjunto compacto de C
I \ ({0} ∪ {pontos de massa de φ}). De (3.1.27) e (3.1.28), temos
que
L(α)
n (z)
(α)
Ln−1 (z)
0
∼ z,
1 [L(α)
1
n (z)]
∼ ,
(α)
n Ln (z)
z
(3.1.31)
e, para toda função contı́nua f (x), o Teorema 3.1.9 nos fornece
n
X
(α)
λn,j [ln−1 (xn,j )]2 f (xn,j ) → f (0),
j=1
(3.1.32)
n
X
1
f (xn,j ) → f (0).
n j=1
Esses limites degenerados no zero talvez possam ser entendidos pelo fato de os
polinômios de Lommel modificados serem ortogonais com relação à função distribuição discreta φ(x) que dá saltos nos pontos
−1
{jv−1,k
; k = 0, ±1, ±2, · · ·},
onde · · · < jv,−1 < jv,0 < 0 < jv,1 < · · · denotam os zeros da função de Bessel Jv (x), e este
conjunto tem o zero como seu ponto limite (veja Szegö [52]).
Exemplo 4− Consideremos os polinômios mônicos de Tricomi-Carlitz. Então,
βn = 0 e αn =
n
,
(n + α)(n + α − 1)
com α > 0. Novamente αn → 0 e temos os mesmos assintóticos que em (3.1.31) e (3.1.32).
Note que, também neste caso, os polinômios são ortogonais com relação à uma
√
função distribuição discreta e os saltos agora são em {±1/ k + α; k = 0, 1, 2, · · ·}. Este conjunto também tem o zero como ponto limite.
42
Exemplo 5− Os q-polinômios de Al-Salam e Carlitz satisfazem (2.2.12) com
βn = (1 + α)q n
e αn = −αq n−1 (1 − q n ),
onde α < 0 e 0 < q < 1. Portanto, ambos, αn e βn , convergem para zero quando n tende para
o infinito. Logo, as relações (3.1.31) e (3.1.32) são válidas. Novamente, esses polinômios são
ortogonais com relação a uma função distribuição discreta e os saltos ocorrem nos pontos
{q k , αq k ; k = 0, 1, 2, · · ·} que novamente têm o zero como ponto limite.
∞
Agora, daremos um exemplo onde as seqüências {αn }∞
n=0 e {βn }n=0 têm dois pontos
limites.
Exemplo 6− Considere a seqüência de polinômios {Qn (x)}∞
n=0 que satisfazem (2.2.12) com
α2n = a21 ,
β2n = b1 ,
(3.1.33)
β2n+1 = b2
e α2n+1 = a22 .
Obviamente esses polinômios satisfazem às condições (3.1.1), de modo que os Teoremas 3.1.1 − 3.1.5 são válidos. Portanto, podemos obter explicitamente a função distribuição
φ(x) com relação à qual esses polinômios são ortogonais.
Teorema 3.1.10 Os polinômios {Qn (x)}∞
n=0 com coeficientes dados por (3.1.33) são ortogonais com relação a
Ã
!
a21 − a2(1)
a2(1)
b1 + b2
φ(x) = 2 G x −
; δ, β, −γ +
U (x − b1 ),
a1
2
a21
onde δ, β e γ são dados por (3.1.16) e G(x; δ, β, γ) por (3.1.13).
Demonstração: Considere os polinômios {Q∗n (x)}∞
n=0 com coeficientes dados por (3.1.33),
mas com a1 e a2 trocados, isto é, α2n = a22 e α2n+1 = a21 .
De (2.2.12), facilmente obtemos
∗
Q∗2n+1 (z)
2 Q2n−1 (z)
=
(z
−
b
)
−
a
1
2
Q∗2n (z)
Q∗2n (z)
e
∗
Q∗2n+2 (z)
2 Q2n (z)
=
(z
−
b
)
−
a
.
2
1 ∗
Q∗2n+1 (z)
Q2n+1 (z)
43
Do corolário 3.1.2, sabemos que os limites das funções nessas duas equações existem.
Suponhamos, então, que
Q∗2n+1 (z)
0
→ Q (z) e
∗
Q2n (z)
Q∗2n+2 (z)
00
→ Q (z).
∗
Q2n+1 (z)
Fazendo n tender para o infinito, obtemos:
0
Q (z) = (z − b1 ) − a22
1
Q (z)
00
e Q (z) = (z − b2 ) − a21
00
1
.
Q (z)
0
Assim, combinando continuamente essas equações, encontramos a fração contı́nua
de Jacobi,
1
=
Q (z)
1
= S(φ(x); z),
a22
0
z − b1 −
a21
z − b2 −
a22
z − b1 −
z − b2 −
a21
..
.
que segue de (2.2.23) e (2.2.24) (veja [56, 12]), onde φ(x) é a função distribuição com relação
à qual os polinômios {Qn (x)}∞
n=0 , com coeficientes dados por (3.1.33), são ortogonais.
Como na demonstração do Teorema 3.1.5, temos que
Ã
Ã
!
!
a2(1)
a21 − a2(1)
1
b1 + b2
=
S
G
x
−
;
δ,
β,
γ
;
z
+
S(U (x − b1 ); z).
Q0 (z)
a21
2
a21
Daqui, o resultado do teorema segue.
Casos especiais desses polinômios já foram estudados por Chihara. Quando b1 =
b2 = b e a1 = a2 = a, os polinômios Qn (x) são iguais a Un ((x − b)/2a), onde Un (x) é o
polinômio de Tchebyshev de segunda espécie de grau n. Para b1 = −c, b2 = c e αn = 1/4,
Chihara [10] obteve a função peso
w(x) =
 Ã
!1/2


|x
+
c|


|x − c|



 0,
(1 + c2 − x2 )1/2 , c2 ≤ x2 ≤ 1 + c2 ,
caso contrário
e, para b1 = b2 = 0, a1 = a e a2 = b, a função peso encontrada é dada por
w(x) =

Ã
Ã
!!2 1/2

2
2
2


x
−
b
−
a
1

 1−


, x ∈ [−(a + b), −|b − a|] ∪ [|b − a|, a + b],
|x|




 0,
2ab
caso contrário.
Observe que existe um salto no ponto zero (veja [12, p.91]).
44
3.2
Coeficientes da Relação de Recorrência Ilimitados
Nesta seção, vamos supor que os coeficientes da relação de recorrência para os
polinômios ortogonais são ilimitados, mas variam regularmente e, têm comportamento diferente para ı́ndices pares e ı́mpares. O comportamento assintótico para a razão entre dois
polinômios cujos ı́ndices diferem de uma ou duas unidades será discutido e usado para a
obtenção da distribuição limitante desses polinômios. Os resultados serão, então, aplicados
a polinômios ortogonais relacionados a funções elı́pticas. O artigo de Van Assche [6] foi a
principal fonte de pesquisa para este estudo.
3.2.1
Introdução
Vamos supor, então, que os coeficientes da relação de recorrência convergem de uma
maneira particular. Esta convergência será descrita por meio da definição de variação regular
(veja [7, 45] para mais detalhes).
Definição 3.2.1 Uma função mensurável, não-decrescente, f : IR+ → IR+ , varia regularmente (para o infinito) se, para algum α e todo t > 0,
lim f (xt)/f (x) = tα ,
x→∞
e α é o coeficiente de variação regular.
É fácil ver que uma função que varia regularmente com expoente α pode ser escrita
como xα L(x), onde L : IR+ → IR+ é uma função de variação lenta, isto é, para todo t > 0,
lim L(xt)/L(x) = 1.
x→∞
Exemplos simples de funções de variação lenta são | log x|a , | log log x|b , etc.
Definição 3.2.2 Se f (x) é uma função que varia regularmente (com expoente α), então
λn = f (n) é uma seqüência que varia regularmente com expoente α.
45
Suponhamos, então, que exista uma seqüência que varia regularmente, {λ2n }∞
n=1 ,
com expoente α > 0 tal que os coeficientes da relação de recorrência satisfazem
1/2
lim α /λ2n
n→∞ 2n
lim β2n /λ2n = b̃1 ,
n→∞
= ã1 ,
(3.2.34)
lim β2n+1 /λ2n = b̃2
n→∞
e
1/2
lim α
/λ2n
n→∞ 2n+1
= ã2 .
Daremos, aqui, algumas propriedades assintóticas dos polinômios ortogonais relacionados e também discutiremos os casos em que b̃1 = b̃2 e ã1 = ã2 e o caso especial onde
ã1 ou ã2 é igual a zero. Esses resultados serão aplicados a algumas famı́lias de polinômios
ortogonais relacionados a funções elı́pticas.
3.2.2
Resultados Preliminares
O lema seguinte é uma importante e útil observação feita por Dombrowski [16, 17,
18]:
Lema 3.2.1 Se {un }∞
n=0 satisfaz à relação de recorrência
un+1 + bn un + an un−1 = 0,
n ≥ 0,
(3.2.35)
com u−1 = 0, então
Ã
!
k
X
u2k − uk+1 uk−1
bj − bj−1
aj − aj−1
2
= u0 +
uj uj−1 +
uj uj−2 .
a1 a2 · · · ak
a1 a2 · · · aj
j=1 a1 a2 · · · aj
(3.2.36)
Demonstração: Seja Dk = u2k − uk+1 uk−1 . Da fórmula de recorrência (3.2.35) para uk+1 ,
temos que uk+1 = −bk uk − ak uk−1 .
Multiplicando-se ambos os membros por −uk−1 e somando-se u2k , obtemos
Dk = u2k − uk−1 (−bk uk − ak uk−1 )
= ak Dk−1 + uk (uk + bk uk−1 + ak uk−2 ).
Usando novamente a relação (3.2.35) para uk , chegamos a
Dk = ak Dk−1 + uk [(bk − bk−1 )uk−1 + (ak − ak−1 )uk−2 ].
46
Logo,
Dk = ak {ak−1 Dk−2 + uk−1 [(bk−1 − bk−2 )uk−2 + (ak−1 − ak−2 )uk−3 ]}
+uk [(bk − bk−1 )uk−1 + (ak − ak−1 )uk−2 ]
= ak−1 ak Dk−2 + [(bk−1 − bk−2 )uk−2 uk−1 + (bk − bk−1 )uk−1 uk ]
+[(ak−1 − ak−2 )uk−3 uk−1 + (ak − ak−1 )uk−2 uk ]
O resultado (3.2.36) segue imediatamente da última expressão .
Lema 3.2.2 Seja {Rn (x)}∞
n=0 uma seqüência de polinômios. Então,
Ã
0
k
X
R2k (x)
R2j−2 (x)
=−
R2k (x)
R2j (x)
j=1
e
Ã
0
!0 ,Ã
k
X
R2k+1 (x)
R2j−1 (x)
=−
R2k+1 (x)
j=0 R2j+1 (x)
R2j−2 (x)
R2j (x)
!0 ,Ã
!
R2j−1 (x)
R2j+1 (x)
(3.2.37)
!
.
(3.2.38)
Demonstração: A equação (3.2.37) segue imediatamente de
Ã
0
0
0
k
R2j (x) R2j−2 (x)
R2k (x) X
=
−
R2k (x) j=1 R2j (x) R2j−2 (x)
e da fórmula
0
Ã
0
R2j (x) R2j−2 (x)
R2j−2 (x)
−
=−
R2j (x) R2j−2 (x)
R2j (x)
!0 ,Ã
!
R2j−2 (x)
R2j (x)
!
De modo análogo, demonstramos (3.2.38).
Também utilizaremos o seguinte teorema abeliano:
Teorema 3.2.3 Suponhamos que o conjunto {²n,j : j ≤ n, n = 1, 2, · · ·} forma uma matriz
triangular limitada de números complexos tal que ²n,j → 0 quando n → ∞ e j/n → t ∈ [0, 1].
Então, para qualquer z ∈ C
I com |z| < 1,
zk
k
X
²n,j z −j → 0
j=0
quando n → ∞ e k/n → t ∈ [0, 1].
47
Demonstração: Consideremos uma seqüência {kn }∞
n=1 tal que kn /n tende para um número
fixo t ∈ [0, 1] quando n tende para o infinito. Observe que
z kn
kn
X
²n,j z −j =
j=0
kn
X
²n,kn −i z i .
i=0
Para i fixo, temos, por hipótese, que ²n,kn −i → 0 quando n tende para o infinito e,
como
|²n,kn −i z i | ≤ M |z|i ,
onde M é uma constante positiva,
|z
kn
kn
X
−j
²n,j z | = |
i=0
kn
X
i
²n,kn −i z | ≤
i=0
kn
X
i
|²n,kn −i z | ≤ M
i=0
kn
X
|z|i .
i=0
Podemos, agora, usar o Teorema da convergência dominada de Lebesgue 2.1.1 para
obter o resultado desejado.
3.2.3
Propriedades Assintóticas
Teorema 3.2.4 Suponhamos que os coeficientes da relação de recorrência (2.2.12) satisfaçam (3.2.34), onde {λn }∞
n=1 é uma seqüência que varia regularmente com expoente α > 0.
Seja A uma constante positiva tal que |xn,j |/λ2n < A para todo n (o que é possı́vel por
(2.2.27)). Então, para n → ∞ e k/n → t ∈ [0, 1],
1n
1 Qk (λ2n z)
∼
Q̃(z,
t)
=
(z − b̃1 tα )(z − b̃2 tα ) − (ã21 + ã22 )t2α
2
λ2n Qk−2 (λ2n z)
2
(3.2.39)
¾
q
+
[(z − b̃1 tα )(z − b̃2 tα ) − (ã21 + ã22 )t2α ]2 − 4ã21 ã22 t4α ,
uniformemente em todo subconjunto compacto de C
I \ [−A, A].
Demonstração: Para d suficientemente grande, se z ∈ [A + d, ∞), então, de (2.2.15) e do
Teorema 2.2.12,
¯
¯
k
¯Q
¯
X
λk,j p2k−1 (xk,j )
1
¯ k−1 (λ2n z) ¯
λ2n ¯
< .
¯≤
¯ Qk (λ2n z) ¯
d
j=1 z − xk,j /λ2n
Conseqüentemente, como z − xk,j /λ2n > z − xn,n /λ2n > d (se k ≤ n),
¯
¯
¯Q
¯
(λ
z)
1
k−2
2n
¯
¯
λ22n ¯¯
¯ < 2.
¯
Qk (λ2n z)
d
(3.2.40)
48
Seja {kn }∞
n=1 uma seqüência de inteiros tal que kn /n → t quando n → ∞ e
Q̃kn ,n (z) = λ22n
Q2kn −2 (λ2n z)
.
Q2kn (λ2n z)
Primeiramente, provaremos que esta razão converge para 1/Q̃(z, t). Mas, de (3.2.40),
1
.
d2
|Q̃kn ,n (z)| <
(3.2.41)
Logo, existe uma subseqüência, {Q̃kñ ,ñ (z)}∞
ñ=1 , que converge. Mostraremos que
∞
{Q̃kñ ,ñ (z)}∞
ñ=1 e {Q̃kñ +1,ñ (z)}ñ=1 têm o mesmo limite, que é o limite de Q̃kn ,n (z).
Fazendo uk = Q2kñ (λ2ñ z), pelo Lema 3.2.1 e por (3.1.4) e (3.1.5),
¯
¯ Q (λ z)
2ñ
2kñ
λ22ñ ¯¯
¯ Q2k +2 (λ2ñ z)
¯
¯
¯
−
¯ a (λ z) · · · a (λ z) ¯
Q2kñ −2 (λ2ñ z) ¯¯
2ñ
2kñ
¯ 2 2ñ
¯
¯ ≤ λ22ñ ¯
¯
¯
¯
Q2kñ (λ2ñ z)
Q2kñ +2 (λ2ñ z)Q2kñ (λ2ñ z) ¯
+
λ22ñ
ñ
kñ
X
|a2j+2 (λ2ñ z) · · · a2kñ (λ2ñ z)|
¯
¯
(3.2.42)
¯ Q (λ z)Q
¯
2j
2ñ
2j−2 (λ2ñ z) ¯
¯
|b2j (λ2ñ z) − b2j−2 (λ2ñ z)| ¯¯
¯
¯
¯ Q2kñ (λ2ñ z)Q2kñ +2 (λ2ñ z)¯)
¯ Q (λ z)Q
¯
2j
2ñ
2j−4 (λ2ñ z) ¯
¯
|a2j (λ2ñ z) − a2j−2 (λ2ñ z)| ¯¯
¯ .
Q2k (λ2ñ z)Q2k +2 (λ2ñ z) ¯
( j=0
×
+
ñ
ñ
Agora, de (3.2.41), obtemos facilmente que, para j ≤ kñ ,
¯
¯
¯
¯
¶
µ
kñ ¯
¯
¯ Q (λ z) ¯
Y
1 2kñ −2j
¯
¯ Q2j−2 (λ2ñ z) ¯
¯ 2j 2ñ
.
¯<
¯=
¯
¯
¯
¯
¯ Q2k (λ2ñ z) ¯
λ2ñ d
ñ
i=j+1 Q2j (λ2ñ z)
Observe que λ2kñ /λ2ñ = f (2kñ )/f (2ñ). Assim,
f (2ñkñ /ñ)
lim
=
n→∞
f (2ñ)
Ã
kñ
ñ
!α
ñ→∞ α
−→ t .
Logo, das condições (3.2.34), se ñ → ∞ e kñ /ñ → t,
1/2
1/2
α2kñ
α λ2kñ
= 2kñ
−→ ã1 tα
λ2ñ
λ2kñ λ2ñ
1/2
1/2
e
α2kñ +1
α
λ2kñ
= 2kñ +1
−→ ã2 tα .
λ2ñ
λ2kñ λ2ñ
e
β2kñ +1
β2kñ +1 λ2kñ
=
−→ b̃2 tα ,
λ2ñ
λ2kñ λ2ñ
De maneira análoga,
β2kñ
β2kñ λ2kñ
=
−→ b̃1 tα
λ2ñ
λ2kñ λ2ñ
o que significa que, para nossa seqüência {kñ }, a matriz {a2j (λ2ñ z)/λ42ñ ; j ≤ kñ , ñ = 1, 2, · · ·}
é limitada por uma constante C. Com isto, (3.2.42) torna-se
λ22ñ
¯
¯
¯ Q (λ z)
Q2kñ −2 (λ2ñ z) ¯¯
2ñ
2kñ
¯
¯
−
¯
¯ Q2k +2 (λ2ñ z)
Q2kñ (λ2ñ z) ¯
ñ
µ
≤
C
d4
¶kñ
µ
C
+ 4
d
(
¶kñ X
kñ
|b2j (λ2ñ z) − b2j−2 (λ2ñ z)|
j=1
|a2j (λ2ñ z) − a2j−2 (λ2ñ z)|
+
λ42ñ d6
)µ
λ22ñ d4
C
d4
¶−j
.
49
Podemos, agora, escolher d suficientemente grande tal que C < d4 e, pelo Teorema
3.2.3, segue que
Q̃kñ +1,ñ (z) − Q̃kñ ,ñ (z) −→ 0,
quando ñ → ∞ e kñ /ñ → t.
Assim, como {Q̃kñ ,ñ (z)} é uma subseqüência convergente, então {Q̃kñ +1,ñ (z)}∞
ñ=1
também converge e tem o mesmo limite. Seja 1/Q̃(z, t) este limite. De (3.1.4) e (3.1.5),
temos que
1
=
Q̃kñ +1,ñ (z)
Fazendo ñ −→ ∞, obtemos
a2kñ (λ2ñ z) b2kñ (λ2ñ z)
−
Q̃kñ ,ñ (z).
λ22ñ
λ42ñ
Q̃(z, t) = a(z, t) − b(z, t)/Q̃(z, t),
onde
a(z, t) = (z − b̃1 tα )(z − b̃2 tα ) − (ã21 + ã22 )t2α
e b(z, t) = ã21 ã22 t4α .
Daı́, segue que
q
1
Q̃(z, t) = {a(z, t) ± a2 (z, t) − 4b(z, t)}.
2
Devemos escolher o sinal positivo uma vez que Q̃(z, t) tende para o infinito quando
z vai para infinito. Toda subseqüência de {Q̃kn ,n (z)}∞
n=1 , portanto, tem o mesmo limite, de
onde o resultado segue para z ∈ [A + d, ∞).
Como {Q̃kn ,n (z)}∞
I \[−A, A], se tomarn=1 é uma seqüência de funções analı́ticas em C
mos um conjunto compacto K em C
I \ [−A, A], a distância ² deste conjunto ao intervalo
[−A, A] é estritamente positiva e, para z ∈ K, obtemos o limite superior
|Q̃kn ,n (z)| ≤
1
.
²2
Além disso, sabemos que Q̃kn ,n (z) converge em todo subconjunto de C
I \ [−A, A] com
um ponto de acumulação. Então, pelo Teorema de Stieltjes-Vitali 2.1.4, Q̃kn ,n (z) converge
uniformemente em todo subconjunto compacto de C
I \ [−A, A].
Repetindo o mesmo argumento para a subseqüência
Q∗kn ,n (z) = λ22n
Q2kn −1 (λ2n z)
,
Q2kn +1 (λ2n z)
encontramos que esta seqüência também converge para 1/Q̃(z, t), o que demonstra o teorema.
50
Teorema 3.2.5 Sob as mesmas condições do teorema anterior, temos
1 Q2k (λ2n z)
Q̃(z, t) + ã21 t2α
∼
,
λ2n Q2k−1 (λ2n z)
z − b̃1 tα
(i)
(3.2.43)
1 Q2k+1 (λ2n z)
Q̃(z, t) + ã22 t2α
∼
,
λ2n Q2k (λ2n z)
z − b̃2 tα
uniformemente em todo subconjunto compacto de C
I \ [−A, A].
(3.2.44)
(ii)
Demonstração: Da fórmula de recorrência (2.2.12), obtemos facilmente que
Ã
1 Q2k+1 (λ2n z)
β2k
= z−
2
λ2n Q2k−1 (λ2n z)
λ2n
!Ã
!
1 Q2k (λ2n z)
α2k
− 2 .
λ2n Q2k−1 (λ2n z)
λ2n
Fazendo n → ∞, k/n → t e usando o Teorema 3.2.4, (3.2.43) segue imediatamente.
Analogamente, demonstramos (3.2.44).
Teorema 3.2.6 Sob as mesmas hipóteses do Teorema 3.2.4, quando n → ∞ temos que
1 Z 1 (∂/∂z)Q̃(z, t)
dt
2 0
Q̃(z, t)
1 (d/dz)Qn (λ2n z)
−→
n
Qn (λ2n z)
=
(3.2.45)
Z 1
0
rh
(z − b̃1
z − (b̃1 + b̃2 )tα /2
tα )(z
− b̃2
tα )
−
(ã21
+
ã22 )t2α
i2
dt,
−
4ã21 ã22 t4α
uniformemente em todo subconjunto compacto de C
I \ [−A, A].
Demonstração: Primeiramente, vamos mostrar o resultado para z ∈ [A + d, ∞). Consideremos, então, a função
d
gn (t) = −
dz
Ã
Q2[[nt]] (λ2n z)
Q2[[nt]]+2 (λ2n z)
! ,Ã
Q2[[nt]] (λ2n z)
Q2[[nt]]+2 (λ2n z)
onde [[a]] é a parte inteira do número real a. Assim,
!
, 0 ≤ t ≤ 1,
51
(
)
Z 1
Z 2/n
1 Z 1/n
1Z 1
gn (t)dt + · · · +
gn (t)dt
gn (t)dt =
gn (t)dt +
2 0
2 0
1/n
(n−1)/n

Ã
1 Z 1/n
Q0 (λ2n z)
=
−
2 0
Q2 (λ2n z)
Z 2/n
+
1/n
Ã
Q2 (λ2n z)
−
Q4 (λ2n z)
Ã
Z 1
+
(n−1)/n
−
!0 ,Ã
!0 ,Ã
Q2n−2 (λ2n z)
Q2n (λ2n z)
Ã
n
Q2j−2 (λ2n z)
1 X
=
−
2n j=1
Q2j (λ2n z)
=
Q0 (λ2n z)
Q2 (λ2n z)
Q2 (λ2n z)
Q4 (λ2n z)
!0 ,Ã
!0 ,Ã
!
dt
(3.2.46)
!
dt + · · ·
Q2n−2 (λ2n z)
Q2n (λ2n z)
Q2j−2 (λ2n z)
Q2j (λ2n z)
!


dt
!
1 (d/dz)Q2n (λ2n z)
2n
Q2n (λ2n z)
(3.2.47)
pelo Lema 3.2.2.
Se fixarmos t, pelo Teorema 3.2.4,
gn (t) → −
∂
∂z
Ã
1
Q̃(z, t)
1
Q̃(z, t)
!
∂
Q̃(z, t)
= ∂z
,
Q̃(z, t)
que segue da convergência uniforme de funções analı́ticas (e de suas derivadas) em conjuntos
compactos. Também, para t ∈ [(j − 1)/n, j/n),
Ã
! ,Ã
Q2j−2 (λ2n z)
d Q2j−2 (λ2n z)
gn (t) = −
dz
Q2j (λ2n z)
Q2j (λ2n z)
Ã
!,
Q2j−2 (λ2n z)
d Q2j−2 (λ2n z)
= −
dz Q2j−1 (λ2n z)
Q2j−1 (λ2n z)
Ã
!,
Q2j−1 (λ2n z)
d Q2j−1 (λ2n z)
−
,
dz
Q2j (λ2n z)
Q2j (λ2n z)
!
(3.2.48)
onde a segunda igualdade é obtida ao multiplicarmos o numerador e o denominador por
Q2j−1 (λ2n z).
Então,
1
1
gn (t) < .
2
d
O Teorema da convergência dominada de Lebesgue nos dá (3.2.45) para
z ∈ [A + d, ∞). O resultado geral segue do Teorema de Stieltjes-Vitali 2.1.4. Usando o
52
mesmo argumento, demonstramos o resultado para os ı́ndices ı́mpares.
Os Teoremas 3.2.5 e 3.2.6 podem ser usados para construir fórmulas de quadratura
que usam os zeros dos polinômios ortogonais. Como na seção anterior, usaremos aqui o
conceito de convergência fraca. Para |γ̃| ≤ δ̃ ≤ β̃, consideremos as funções distribuições
(3.1.12) e (3.1.13) já definidas e
b̃(1) = min{b̃1 , b̃2 },
b̃(2) = max{b̃1 , b̃2 },
ã(1) = min{ã1 , ã2 } e
ã(2) = max{ã1 , ã2 }.
Teorema 3.2.7 Sob as condições do Teorema 3.2.4, para toda função contı́nua f, quando
n → ∞ e k/n → t ∈ [0, 1], temos que
Ã
ã2(1) Z ∞
b̃1 + b̃2 α α α
2
(i)
λ2k,j p2k−1 (x2k,j )f (x2k,j /λ2n ) −→
t ; δ̃t , β̃t , −γ̃tα
f (x)dG x −
2
ã
2
−∞
1
j=1
2k
X
+
(ii)
!
ã21 − ã2(1)
f (b̃2 tα ),
ã21
Ã
ã2(1) Z ∞
b̃1 + b̃2 α α α α
−→
f (x)dG x −
t ; δ̃t , β̃t , γ̃t
2
ã2 −∞
2
2k+1
X
λ2k,j p22k (x2k+1,j )f (x2k+1,j /λ2n )
j=1
+
!
ã22 − ã2(1)
f (b̃1 tα ),
ã22
Ã
!
Z 1Z ∞
n
1X
b̃1 + b̃2 α α α
(iii)
f (xn,j /λ2n ) −→
f (x)dF x −
t ; δ̃t , β̃t dt,
n j=1
2
0 −∞
onde
Ã
2
δ̃ =
b̃1 − b̃2
2
!2
Ã
2
+ (ã1 − ã2 ) ,
2
β̃ =
b̃1 − b̃2
2
!2
+ (ã1 + ã2 )2
e
γ̃ =
b̃1 − b̃2
. (3.2.49)
2
Demonstração: Sejam as funções distribuições discretas
Gn,k (x) =
k
X
λk,j p2k−1 (xk,j )U (x − xk,j /λ2n )
(3.2.50)
j=1
e
Fn (x) =
n
1X
U (x − xn,j /λ2n ),
n j=1
(3.2.51)
53
onde U (x) é a função indicadora dada por (3.1.19).
A transformada de Stieltjes dessas funções são dadas por:
S(Gn,k (x); z) =
Z ∞
dGn,k (x)
−∞
k
X
λk,j p2k−1 (xk,j )
Qk−1 (λ2n z)
,
Qk (λ2n z)
(3.2.52)
n
1
1 (d/dz)Qn (λ2n z)
1X
=
,
n j=1 z − xn,j /λ2n
n
Qn (λ2n z)
(3.2.53)
z−x
=
j=1
z − xk,j /λ2n
= λ2n
que podemos obter de (2.2.15), e
S(Fn (x); z) =
Z ∞
dFn (x)
−∞
=
z−x
que segue diretamente de (2.2.16).
O comportamento assintótico dessas transformadas é dado pelos Teoremas 3.2.5 e
3.2.6. Pelo Teorema de Grommer-Hamburger 2.1.6, seus limites devem ser as transformadas
de Stieltjes dos limites fracos das funções distribuições Gn,k (x) e Fn (x) (seção 3.1). A identificação dos limites de (3.2.52) pode ser feita usando-se o Teorema 3.2.5, ou seja, para n e
k pares,
S(G2n,2k (x); z) −→
z − b̃1 tα
,
Q̃(z, t) + ã21 t2α
enquanto que para n par e k ı́mpar,
S(G2n,2k+1 (x); z) −→
z − b̃2 tα
.
Q̃(z, t) + ã22 t2α
Seguindo o mesmo procedimento da demonstração do Teorema 3.1.5 da seção anterior, temos que
S(G2n,2k (x); z)
=
−→
2k
X
λ2k,j p22k−1 (x2k,j )
1
(x − x2k,j /λ2n )
j=1
Ã
Ã
! !
ã2(1)
b̃1 + b̃2 α α α
α
S G x−
t ; δ̃t , β̃t , −γ̃t ; z
ã21
2
´
ã21 − ã2(1) ³
α
+
S
U
(x
−
b̃
t
);
z
.
2
ã21
(3.2.54)
Assim, podemos concluir o item (i).
De maneira análoga, demonstramos o item (ii) simplesmente substituindo-se o par
(b̃1 , ã1 ) por (ã2 , b̃2 ).
Para identificar o limite de (3.2.53), observe que o integrando de (3.2.45) é a transformada de Stieltjes da função distribuição F (x − (b̃1 + b̃2 )tα /2; δ̃tα , β̃tα ) de onde o resultado
segue.
54
A distribuição assintótica dos zeros dos polinômios ortogonais cujos coeficientes
da relação de recorrência variam regularmente é, portanto, igual à versão integral da distribuição assintótica dos zeros dos polinômios ortogonais com coeficientes de recorrência
limitados (como vimos na seção anterior).
3.2.4
Casos Especiais
Consideraremos, agora, alguns casos especiais dos teoremas anteriores desta seção.
O caso mais importante é quando b̃1 = b̃2 = b̃ e ã1 = ã2 = ã > 0. Neste caso,
k
X
λk,j p2k−1 (xk,j )f (xk,j /λ2n )
j=1
−→
Z ∞
−∞
f (x)dG(x − b̃tα ; 0, 2ãtα , 0)dt.
Fazendo z = xtα e, em seguida, x = z, obtemos
k
X
λk,j p2k−1 (xk,j )f (xk,j /λ2n )
j=1
−→
Z ∞
−∞
f (xtα )dG((x − b̃)tα ; 0, 2ãtα , 0)dt.
Mas,
1 Z (x−b̃)tα √ 2 2α
G((x − b̃)t ; 0, 2ãt , 0) =
4ã t − u2 I[−2ãtα ,2ãtα ] (u)du.
2b̃2 πtα −∞
α
α
Utilizando a mudança de variáveis u = (z − b̃)tα e, em seguida, u = z, obtemos
G((x − b̃)tα ; 0, 2ãtα , 0) =
1 Zx q 2
4ã − (u − b̃)2 I[b̃−2ã,b̃+2ã] (u)du.
2
−∞
2b̃ π
Portanto, o resultado do Teorema 3.2.7 torna-se
k
X
λk,j p2k−1 (xk,j )f (xk,j /λ2n )
j=1
1 Z b̃+2ã q 2
−→ 2
4ã − (x − b̃)2 f (xtα )dx,
2ã π b̃−2ã
enquanto que, usando as mesmas mudanças de variáveis anteriores,
n
dx
1X
1 Z 1 Z b̃+2ã
f (xtα ) q
dt.
f (xn,j /λ2n ) −→
n j=1
π 0 b̃−2ã
4ã2 − (x − b̃)2
Se fizermos f (x) = xM nesta última expressão, então,
µ
n
1X
xn,j
n j=1 λ2n
¶M
Z b̃+2ã
1
1
y M dy
q
→
dt.
π M α + 1 b̃−2ã 4ã2 − (y − b̃)2
55
Um importante caso a ser considerado é quando ã1 ou ã2 é igual a zero. Neste caso,
vemos que δ̃ = β̃ no Teorema 3.2.7 e as funções distribuições F e G tornam-se degeneradas
em dois pontos.
De fato, do Teorema 3.2.7, temos que
S(Fn (x); z) −→ S(F (x − (b̃1 + b̃1 )tα /2; β̃tα , β̃tα ); z).
Logo, de (3.2.55), obtemos que
1
1
F (x − (b̃1 + b̃1 )tα /2; β̃tα , β̃tα ) = U (x − (b̃1 + b̃1 )tα /2 − β̃tα ) + U (x − (b̃1 + b̃1 )tα /2 + β̃tα ).
2
2
Portanto,
1
1
F (x; β̃, β̃) = U (x − β̃) + U (x + β̃).
2
2
De (3.1.15), temos que
(
)
β̃ − γ̃
1
β̃ + γ̃
+
S(G(x; β̃t , β̃t , γ̃t ); z) =
α
2β̃ z − β̃t
z + β̃tα
β̃ + γ̃
β̃ − γ̃
=
S(U (x − β̃tα ); z) +
S(U (x + β̃tα ); z).
2β̃
2β̃
α
α
α
Daı́,
G(x; β̃, β̃, γ̃) =
β̃ − γ̃
β̃ + γ̃
U (x − β̃) +
U (x + β̃).
2β̃
2β̃
O resultado do Teorema 3.2.7 pode, então, ser dado como




f (b̃2 tα ),


(Ã



b̃2 − b̃1
 1
!
ÃÃ
!
!
se ã2 = 0,
b̃1 + b̃2
+ β̃ f
+ β̃ tα
λ2k,j p22k−1 (x2k,j )f (x2k,j /λ2n ) −→  2β̃
2
2

Ã
! ÃÃ
! !)
j=1



b̃
−
b̃
b̃
+
b̃
2
1
1
2



+ β̃ f
− β̃ tα
, se ã1 = 0.
 +
2
2
2k
X
Sabemos que
S(G2n,2k (x); z) −→
1
z − b̃1 tα
=
2 2α
Q̃(z, t) + ã1 t
z − b̃2 tα
= S(U (x − b̃2 tα ); z),
se ã2 = 0, de onde concluı́mos a primeira parte do resultado acima.
Se ã1 = 0,
56
z − b̃1 tα
=
Q̃(z, t) + ã21 t2α
z − b̃1 tα
b̃1 + b̃2 α
b̃1 + b̃2 α
t − β̃tα ][z −
t + β̃tα ]
2
2
(
Ã
Ã
!
!
1
b̃1 + b̃2
=
(β̃ − γ̃)S U (x −
+ β̃ tα ); z
2
2β̃
Ã
Ã
!
!)
b̃1 + b̃2
α
+ (β̃ + γ̃)S U (x −
− β̃ t ); z
,
2
[z −
o que conclui o resultado. De maneira análoga,
2k+1
X
λ2k+1,j p22k (x2k+1,j )f (x2k+1,j /λ2n )
j=1
−→




f (b̃1 tα ),


(Ã



b̃1 − b̃2
 1









!
ÃÃ
!
!
se ã1 = 0,
b̃1 + b̃2
+ β̃ tα
2
2
2β̃Ã
! ÃÃ
! !)
b̃2 − b̃1
b̃1 + b̃2
+
+ β̃ f
− β̃ tα
, se ã2 = 0
2
2
+ β̃ f
Já, de (3.2.45), temos que
S(Fn (x); z) −→
Z 1
z − (b̃1 + b̃2 )tα /2
q
0
[(z − b̃1 tα )(z − b̃2 tα ) − a2(2) t2α ]2

1Z 1 


2 0 
dt,


1
1

+
 dt

b̃1 + b̃2
b̃
+
b̃
1
2
z−(
− β̃)tα z − (
+ β̃)tα
2
( Ã
!2
b̃1 + b̃2
1Z 1
α
S U (x − (
=
− β̃)t ); z
2 Ã0
2
!)
b̃1 + b̃2
α
+S U (x − (
dt.
+ β̃)t ); z
2
=
(3.2.55)
Daı́,
( ÃÃ
! !
ÃÃ
! !)
n
1X
1Z 1
b̃1 + b̃2
b̃1 + b̃2
α
f (xn,j /λ2n ) −→
f
+ β̃ t + f
− β̃ tα
dt,
n j=1
2 0
2
2
onde f é uma função contı́nua, n → ∞, k/n → t e
β̃ 2 = ((b̃1 − b̃2 )/2)2 + a2(2) .
3.2.5
Exemplos
Importantes famı́lias de polinômios ortogonais satisfazem a uma relação de recorrência
com coeficientes que variam regularmente, tais como os polinômios de Laguerre, Hermite,
57
Meixner (de primeira de segunda espécies), Poisson-Charlier e Carlitz. Para todas essas
famı́lias pode-se aplicar os resultados obtidos nesta seção. Esses polinômios já foram tratados por Nevai e Dehesa [38]. Veremos rapidamente polinômios com limites diferentes para
ı́ndices pares e ı́mpares.
Stieltjes [51], Carlitz [8]e Al-Salam [2] estudaram dois sistemas de polinômios orto∞
gonais {Cn (x)}∞
n=0 e {Dn (x)}n=0 cujas fórmulas de recorrência satisfazem
Cn+1 (x) = xCn (x) − αn Cn−1 (x)
(3.2.56)
Dn+1 (x) = xDn (x) − βn Dn−1 (x),
(3.2.57)
e
com
α2n = (2n)2 κ2 ,
α2n+1 = (2n + 1)2 ,
β2n = (2n)2 ,
β2n+1 = (2n + 1)2 κ2
e κ é um número real (ver [12, p.193]). Esses polinômios ortogonais estão relacionados a
funções elı́pticas da seguinte maneira. Sejam
K(κ2 ) =
Z π/2
0
√
dθ
1 − κ2 sen2 θ
K(1 − κ2 )
−π
K(κ2 ) .
e q=e
Se 0 < κ < 1, então 0 < q < 1 e as funções distribuições W (x) para os polinômios
∞
{Cn (x)}∞
n=0 e {Dn (x)}n=0 são, respectivamente,
W
(C)
Ã
2j + 1
(x) =
U x−
π
2j+1
2K(κ2 )
j=−∞ 1 + q
e
W
∞
X
q (2j+1)/2
(D)
∞
X
Ã
!
!
j
qj
(x) =
U x−
π ,
2j
K(κ2 )
j=−∞ 1 + q
onde U (x) é a função definida em (3.1.19) (veja [12, p.194]). Isto significa que os polinômios
∞
2
{Cn (x)}∞
n=0 e {Dn (x)}n=0 são ortogonais no espaço gerado por π/K(κ ).
É óbvio que as condições (3.2.34) são válidas com λ2n = n (α = 1). Para os
polinômios definidos em (3.2.56), encontramos b̃1 = b̃2 = 0, ã1 = κ e ã2 = 1. Para os
polinômios dados por (3.2.57) temos que b̃1 = b̃2 = 0, ã1 = 1 e ã2 = κ. Se usarmos o
Teorema 3.2.4, obtemos
58
lim
n→∞
1 Ck (nz)
n2 Ck−2 (nz)
=
=
lim
n→∞
1 Dk (nz)
n2 Dk−2 (nz)
q
1 2
{z − (κ2 + 1)2 + [z 2 − (κ − 1)2 t2 ][z 2 − (κ + 1)2 t2 ]},
2
uniformemente para z em conjuntos compactos de C
I \ [−A, A]. Do limite superior (2.2.27),
segue que podemos tomar A = 2 se 0 < κ < 1, n → ∞ e k/n → t ∈ [0, 1]. O valor 2
para A certamente não é o melhor possı́vel e, provavelmente, o comportamento assintótico
vale uniformemente para z num subconjunto compacto de C
I \ ([−(1 + κ)t, −(1 − κ)t] ∪ [(1 −
κ)t, (1 + κ)t]). Entretanto, não é fácil provar esta última afirmação.
(C)
(D)
Sejam {xn,j }nj=1 e {xn,j }nj=1 os zeros de Cn (x) e Dn (x), respectivamente. Então,
pelo Teorema 3.2.7, temos que, para toda função contı́nua f e 0 < κ < 1,
2k
2k+1
X
X (D)
(C) 2
(C)
(C)
(D)
(D)
lim λ2k,j c2k−1 (x2k,j )f (x2k,j /2n) = lim
λ2k+1,j d22k (x2k+1,j )f (x2k+1,j /2n)
n→∞
j=1
j=1
=
lim
2k+1
X
n→∞
1 Z 1+κ f (tx) + f (−tx)
κ2 π
(C)
(C)
x
j=1
(C)
1 Z 1+κ f (tx) + f (−tx)
π
1−κ
dx
2k
X
(D)
(D)
2
λD
2k,j d2k−1 (x2k,j )f (x2k,j /2n)
n→∞
j=1
λ2k+1,j c22k (x2k+1,j )f (x2k+1,j /2n) = lim
=
q
(1 + κ)2 − x2 x2 − (1 − κ)2
2
1−κ
(C)
q
2
q
q
(1 + κ)2 + x2 x2 − (1 − κ)2
x
dx,
(D)
∞
onde o significado de λn,j e λn,j é óbvio e {cn (x)}∞
n=0 e {dn (x)}n=0 são os polinômios orto-
normais.
Finalmente,
n
1X
(C)
f (xn,j /n) =
n→∞ n
j=1
lim
n
1X
(D)
f (xn,j /n)
n→∞ n
j=1
lim
x
1 Z 1 Z 1+κ
q
(f (tx) + f (−tx)) q
=
dxdt.
π 0 1−κ
(1 + κ)2 − x2 (1 − κ)2 − x2
Capı́tulo 4
Propriedades Assintóticas dos
Polinômios Similares
Neste capı́tulo, faremos um estudo semelhante ao que foi feito no capı́tulo anterior
para os polinômios ortogonais mas, agora, para os polinômios similares aos ortogonais, B̃n (z).
Na seção 4.1, usamos principalmente o trabalho de Andrade, Sri Ranga e
Van Assche [3] e na seção 4.2, apresentamos os resultados obtidos por nós para o caso
em que os coeficientes da relação de recorrência são ilimitados.
4.1
Coeficientes da Relação de Recorrência Limitados
4.1.1
Introdução
ˇ d]
ˆ e Z̃ = C
ˇ d].
ˆ Quando (??) e/ou (??) valem, então X̃ é
Sejam X̃ = (0, ∞) \ [d,
I \ [d,
não vazio.
Vamos supor, a partir de agora, que (??) sempre vale e consideremos o comportamento dos polinômios
B̃
1
V (t; d1 , d2 , d0 , β, δ)dt = L(z; d1 , d2 , d0 , β, δ).
z−t
59
60
Logo, analisando os casos α(1) ≥ α(0) e α(1) < α(0) ,
{(α(1) + α(0) ) − |α(1) − α(0) |}
1 Z
1
(0)
L(z;
γ
,
γ
,
λ,
β,
β
)
=
V (t; γ0 , γ1 , λ, β, β (0) )dt.
0 1
(0)
(0)
2α
2πα
Bz −t
Assim, o primeiro resultado deste teorema segue do Teorema ??. De maneira análoga,
o outro resultado do teorema é obtido trocando-se (α(0) , β (0) ) por (α(1) , β (1) ) em (??).
O resultado desse último teorema e as equações (??) e (??) nos permitem concluir
que
Teorema 4.1.1 Para toda função contı́nua e limitada f em (0, ∞),
(i) lim
2n
X
Z
τ2n,r f (z2n,r ) =
n→∞
r=1
(ii) lim
E (1)
f (t)dφ(1) (t),
Z
2n+1
X
n→∞
τ2n+1,r f (z2n+1,r ) =
r=1
E (0)
f (t)dφ(0) (t)
e
Z
n
1X
f (zn,r ) = f (t)dF̃ (t; γ0 , γ1 , β),
n→∞ n
E
r=1
(iii) lim
onde φ(0) (x) e φ(1) (x) são as mesmas funções dadas no Teorema ??.
4.1.2
Casos Especiais
Vamos considerar, agora, alguns casos especiais. Note que, mesmo que os coefi-
cientes βn , αn+1 , n ≥ 1, sejam positivos, qualquer um de seus limites, isto é, qualquer um
dos valores β (0) , α(0) , β (1) e α(1) , pode assumir o valor zero.
Caso 1 : Vamos considerar o caso em que
α(0) = α(1) = α > 0 e β (0) = β (1) = β > 0.
Então, ã = b̃ = β, a = β + 2α −
q
(β + 2α)2 − β 2 e b = β + 2α +
q
(β + 2α)2 − β 2 .
Substituindo esses valores em (??) e no Teorema ??, obtemos
1
1
1Zb 1
z+β
1 + β/t
√
√
√
R4 (z) =
+
=
dt.
√
2z 2z z − a z − b
2π a z − t b − t t − a
(4.1.1)
61
(0)
(1)
Do Teorema ??, segue que R3 (z) = R3 (z) = R3 (z), onde
√
1 Zb 1
q
R3 (z) =
=
V (t; 0, 2 α, 0, β, β)dt,
2πα a z − t
z − β + (z − β)2 − 4αz
2
pois (z − a)(z − b) = (z − β)2 − 4αz.
Caso 2 : Agora, consideremos o caso onde α(0) ou α(1) assume o valor zero. Sejam (para ν
igual a 0 ou 1),
α(ν) = 0,
α(1−ν) = α ≥ 0,
β (ν) > 0 e β (1−ν) > 0.
Então, de (??), segue que a = ã e b = b̃. Com isto, podemos escrever
R4 (z) =
1 z 2 − β (0) β (1)
1/2
1/2
1
+
=
+
.
2z 2z (z − a)(z − b)
z−a z−b
Portanto, F̃ (t) = 12 U (t − a) + 12 U (t − b).
Note que se α = 0, então a = βmin = min{β (0) , β (1) } e b = βmax = max{β (0) , β (1) }.
De (??) e (??), podemos concluir que:
• se α(0) = α, então
(0)
R3 (z) =
1
z − β (1)
(1)
e R3 (z) =
z − β (1)
β (1) − a 1
b − β (1) 1
=
+
.
(z − a)(z − b)
b−a z−a
b−a z−b
• se α(1) = α, então
(0)
R3 (z) =
z − β (0)
β (0) − a 1
b − β (0) 1
=
+
(z − a)(z − b)
b−a z−a
b−a z−b
(1)
e R3 (z) =
1
.
z − β (0)
Caso 3 : Consideraremos, agora, o caso
α(ν) ≥ 0,
α(1−ν) ≥ 0,
β (ν) = 0 e β (1−ν) = β ≥ 0.
Segue que u2 = 0 e, assim,
a = ã = 0,
√
√
b̃ = β + ( α(0) − α(1) )2
√
√
e b = β + ( α(0) + α(1) )2 .
Substituindo esses valores em (??), temos que
1/2
1/2
1Zb 1
1/2
1
q
q
R4 (z) =
+
+
=
dt
√
z
z
2π b̃ z − t t − b̃√b − t
z − b̃ z − b
62
e
1
1 Z t U (x − b̃) − U (x − b)
q
F̃ (t) = U (t) +
dx.
2
2π −∞ √b − x x − b̃
Se α(0) = α(1) e β = 0, então b̃ também é zero.
Caso 4 : Finalmente, suponhamos que
α(ν) = 0,
α(1−ν) = α ≥ 0,
β (ν) = 0 e β (1−ν) = β ≥ 0.
Então, a = ã = 0, b = b̃ = β + α e
R4 (z) =
1/2
1/2
+
.
z
z−b
Isto significa que F̃ (t) = 12 U (t) + 12 U (t − b). Se α = β = 0, então F̃ (t) = U (t).
4.1.3
Exemplos
Daremos, agora, alguns exemplos de polinômios que satisfazem à relação de recorrên-
cia (??) para a qual os coeficientes satisfazem às propriedades (??) e (??).
Exemplo 1 : Para λ > 0 e 0 < a < b < ∞, os polinômios B̃n (z) definidos por
Z b
a
t−n+s B̃n (t)t−λ (b − t)λ−1/2 (t − a)λ−1/2 dt = 0,
0 ≤ s ≤ n − 1,
satisfazendo à relação de recorrência (??) com
βn = β,
onde β =
√
αn+1 =
n(n + 2λ − 1)
α,
(n + λ)(n + λ − 1)
n ≥ 1,
√ √
ab e α = ( b − a)2 /4. Este resultado também é válido para λ = 0 se tomarmos
α2 = 2α. Este caso foi trabalhado com mais detalhes por Cooper e Gustafson [15] e seus
polinômios R2n (x) estão relacionados aos polinômios B̃n (x) por B̃n (x2 ) = xn R2n (x).
Como β (0) = β (1) = β e α(0) = α(1) = α, estamos tratando do caso 1 da última seção.
Exemplo 2 : Para 0 < a < b < ∞, consideramos os polinômios B̃n (z) definidos por
√
Z b
1
+
ab/t
√
t−n+s B̃n (t) √
dt = 0, 0 ≤ s ≤ n − 1.
a
b−t t−a
63
A função distribuição neste caso é aquela que aparece no limite em (4.1.1). Em [47],
Sri Ranga e Bracciali demonstraram que esses polinômios satisfazem à relação de recorrência
(??) com
αn+1 = (ln2 − 1)βn , n ≥ 1,
q
√
√
√
(1 + l)n − (1 − l)n
onde ln =
l,
l
=
1
+
α/β,
β
=
ab, e α = ( b − a)2 /4.
n
n
(1 + l) + (1 − l)
Como β (0) = β (1) = β e α(0) = α(1) = α, estamos tratando novamente do caso 1 da
βn = βln−1 /ln ,
última seção.
Exemplo 3 : Para λ > 0, consideremos os polinômios B̃n (z) definidos por
Z ∞
0
t−n+s B̃n (t)dψ (λ) (t) = 0,
0 ≤ s ≤ n − 1,
onde
dψ (λ) (t) =
2t (k + λ)−1 e−k
t+β
k!
é uma função escada com saltos nos pontos
t = tk+1 =
1 + 2β(k + λ) +
q
1 + 4β(k + λ)
2(k + λ)
e t = t−k−1 = β 2 /tk+1 ,
para k = 0, 1, · · · . Esses polinômios estão relacionados aos polinômios de Tricomi-Carlitz
√
√
através da transformação t(x) = { ρx2 + β + ρx}2 , x ∈ (−∞, ∞). Os coeficientes da
relação de recorrência associada satisfazem
βn = β
e αn+1 =
n
,
(n + λ)(n + λ − 1)
n ≥ 1.
Como β (0) = β (1) = β e α(0) = α(1) = 0, estamos agora no caso 2 e
R4 (z) =
1
z−β
e R3 (z) =
1
.
z−β
Exemplo 4 : Como exemplo final consideremos os polinômios B̃n (z) satisfazendo à relação
de recorrência (??) com
α2n = α(0) ,
α2n+1 = α(1) ,
β2n = β (0)
para n ≥ 1 e β2n+1 = β (1)
para n ≥ 0,
64
onde 0 < β (0) β (1) < ∞ e 0 < α(0) α(1) < ∞. Assim, os resultados dos Teoremas ?? − ?? e ??
são válidos. Como An (z)/B̃n (z) −→ R1 (z) com
1
R1 (z) =
z−
β (1)
,
α(0) z
−
α(1) z
z − β (0) −
z − β (1) −
α(0) z
.
z − β (0) − . .
obtemos, da teoria de frações contı́nuas, que
R1 (z) =
2(z − β (0) )
(z − β)2 − λ2 z − (α(0) − α(1) )z +
q
q
(z − β)2 − γ02 z (z − β)2 − γ12 z
.
Assim, da mesma forma que no Teorema ??, obtemos que
Z
1
1 − αmin /α(1)
1 Z
1
R1 (z) =
dψ(t) =
+
V (t; γ0 , γ1 , λ, β, β (0) )dt,
(1)
(1)
z−β
2πα
Bz −t
Bz −t
onde B, γ1 , γ0 e λ são os mesmos que os do Teorema ??. Dessa forma, concluı́mos que, com
a função distribuição acima, os polinômios B̃n (z) satisfazem
Z
B
t−n+s B̃n (t)dψ(t) = 0,
0 ≤ s ≤ n − 1.
Observe que se α(0) = α(1) = α, então λ = γ0 e
dψ(t) =
1
2π
√
v
√
u
(0)
b − t t − au
t t − β dt,
t
t − β (1)
em B = [a, βmin ] ∪ [βmax , b], onde ab = β (0) β (1) e a + b = β (0) + β (1) + 4α.
65
4.2
Coeficientes da Relação de Recorrência Ilimitados
4.2.1
Introdução
Como no capı́tulo 3, seção 3.2, faremos uso da definição de função que varia regu-
larmente, 3.2.1, e vamos supor que existe uma seqüência que varia regularmente, λn , com
expoente α > 0. Sejam os coeficientes da relação de recorrência (??) satisfazendo
lim β2n /λ2n = β (0) ,
lim α2n /λ2n = α(0) ,
n→∞
n→∞
(4.2.2)
lim β2n+1 /λ2n = β (1)
n→∞
e
lim α2n+1 /λ2n = α(1) .
n→∞
Seguindo o mesmo raciocı́nio utilizado na seção e no capı́tulo anteriores e supondo
que (??) seja válido, faremos, aqui, um estudo sobre o caso ilimitado para os polinômios
similares as ortogonais, Bn (z).
4.2.2
Propriedades Assintóticas
De (??), podemos obter a seguinte relação de recorrência:
Bk+1 (λ2n z) = ak+1 (λ2n z)Bk−1 (λ2n z) − bk+1 (λ2n z)Bk−3 (λ2n z),
k ≥ 3,
(4.2.3)
λ2n z − βk+1
λ2n z − αk+1 λ2n z
λ2n z − βk−1
(4.2.4)
com
ak+1 (λ2n z) = (λ2n z − βk )(λ2n z − βk+1 ) − αk
e
bk+1 (λ2n z) = αk−1 αk
λ2n z − βk+1 2 2
λ z .
λ2n z − βk−1 2n
(4.2.5)
De (4.2.3),
ak+1 (λ2n z) =
Bk−3 (λ2n z)
Bk+1 (λ2n z)
+ bk+1 (λ2n z)
,
Bk−1 (λ2n z)
Bk−1 (λ2n z)
k ≥ 3.
(4.2.6)
Temos que a2 (λ2n z) = B2 (λ2n z) e a3 (λ2n z) = B3 (λ2n z)/B1 (λ2n z).
Logo, do mesmo modo que na seção ??, podemos mostrar que ak (λ2n z) > 0, k ≥ 2,
para λ2n z ∈ X.
66
Vamos estudar, agora, a convergência da razão
˘ d],
ˆ quando as condições (4.2.2) são satisfeitas.
C
I \ [d,
1 Bk+1 (λ2n z)
para todo z ∈ Z =
λ22n Bk−1 (λ2n z)
Teorema 4.2.1 Suponhamos que os coeficientes da fórmula de recorrência (??) satisfazem
(4.2.2), onde λn é uma seqüência que varia regularmente com expoente α > 0. Sejam dˇ e dˆ
constantes positiva tais que dˇ < zj,n /λ2n < dˆ para todo n (o que é possı́vel devido a (??)).
Então, para n → ∞ e k/n → t ∈ [0, 1],
1 Bk+1 (λ2n z)
→
λ22n Bk−1 (λ2n z)
R2 (z, t)
(4.2.7)
uniformemente em todo subconjunto compacto de Z, onde
R2 (z, t) =
1n
(z − β (0) tα )(z − β (1) tα ) − (α(0) + α(1) )tα z
2
¾
q
+ [(z − β(0) tα )(z − β (1) tα ) − (α(0) + α(1) )tα z]2 − 4α(0) α(1) t2α z 2 .
Demonstração: De (??), para k ≥ 3 temos que
(
Bk−1 (λ2n z)
Bk+1 (λ2n z)
1−
ak−1 (λ2n z)Bk−3 (λ2n z)
ak+1 (λ2n z)Bk−1 (λ2n z)
)
=
bk+1 (λ2n z)
, k ≥ 3,
ak−1 (λ2n z)ak+1 (λ2n z)
(4.2.8)
ˆ
que, para qualquer z ∈ [d+d,
∞), d > 0 suficientemente grande, nos fornece duas seqüências
(0)
(1)
encadeadas {gk (λ2n z)} e {gk (λ2n z)}, onde
(ν)
(ν)
(ν)
gk (λ2n z) = {1 − mk−1 (λ2n z)}mk (λ2n z),
k ≥ 1,
para ν = 0, 1,
com
(ν)
(ν)
hk (z) = gk (λ2n z) =
b2k+2+ν (λ2n z)
,
a2k+2+ν (λ2n z)a2k+ν (λ2n z)
k≥1
e
(ν)
(ν)
rk (z) = mk (λ2n z) = 1 −
(ν)
B2k+2+ν (λ2n z)
,
a2k+2+ν (λ2n z)B2k+ν (λ2n z)
k ≥ 0.
(ν)
Como r0 (z) = 0 para ν = 0 e ν = 1, a seqüência {rk (z)} é uma seqüência minimal
(ν)
de parâmetros para {hk (z)}.
Agora, sob as condições assintóticas (4.2.2), de (4.2.4) e (4.2.5), concluı́mos que
ak (λ2n z)
= (z − β (0) tα )(z − β (1) tα ) − (α(0) + α(1) )ztα ,
n→∞
λ22n
lim
67
lim
n→∞
bk (λ2n z)
= α(0) α(1) z 2 t2α ,
λ42n
e, portanto,
(ν)
lim h (z) =
n→∞ k
α(0) α(1) z 2 t2α
2 = h(z, t),
[(z − β (0) tα )(z − β (1) tα ) − (α(0) + α(1) )ztα ]
para qualquer z ∈ [dˆ + d, ∞). Assim, do Teorema 2.1.7, segue que 0 ≤ h(z, t) ≤ 1/4 e as
(ν)
correspondentes seqüências de parâmetros {rk (z)} convergem para limites que dependem
(0)
(1)
somente de h(z, t). Logo, {rk (z)} e {rk (z)} convergem para o mesmo limite e, conseqüenBk+1 (λ2n z)
converge para um limite R2 (z, t) para qualquer z ∈ [dˆ + d, ∞).
temente, 2
λ2n Bk−1 (λ2n z)
Fazendo n tender para infinito em (4.2.8), obtemos o limite
R2 (z, t) =
1
{(z − β (0) tα )(z − β (1) tα ) − (α(0) + α(1) )tα z
2q
+ [(z − β (0) tα )(z − β (1) tα ) − (α(0) + α(1) )tα z]2 − 4α(0) α(1) t2α z 2 }.
Agora, para z ∈ Z, como zk,j /λ2n são os zeros de Bk (λ2n z),
¯
¯¯
¯
¯
¯
¯¯
¯
¯
¯ k
¯ ¯k+1
¯
¯B
¯
¯
¯
¯
¯
X
X
¯
¯
¯
¯
τk,j
1
τk+1,j
2 ¯ k−1 (λ2n z) ¯
2 ¯ Bk−1 (λ2n z) ¯ ¯ Bk (λ2n z) ¯
¯
¯
¯=
¯
λ2n ¯
,
¯ = λ2n ¯
¯¯
¯≤¯
¯
¯
¯
¯ Bk+1 (λ2n z) ¯
¯ Bk (λ2n z) ¯ ¯ Bk+1 (λ2n z) ¯
²2
¯j=1 z − zk,j /λ2n ¯ ¯ j=1 z − zk+1,j /λ2n ¯
ˇ d]).
ˆ Isto significa que a seqüência
onde ² = dist(z, [d,
Bk−1 (λ2n z)
,
2
λ2n Bk+1 (λ2n z)
n ≥ 1, é uniformemente
limitada em todo subconjunto compacto de Z. Portanto, do Teorema de Stieltjes-Vitali 2.1.4,
obtemos o resultado do teorema.
De (??), obtemos facilmente que
Ã
1 Bk+1 (λ2n z)
βk
=
z
−
λ22n Bk−1 (λ2n z)
λ2n
!
1 Bk (λ2n z)
αk
− 2 z,
λ2n Bk−1 (λ2n z) λ2n
de onde concluimos que
Corolário 4.2.2 Suponha que (??) e (4.2.2) sejam válidos. Então,
lim λ2n
z − β (0) tα
B2k (λ2n z)
(0)
= R3 (z, t) =
,
B2k+1 (λ2n z)
R2 (z, t) + α(0) tα z
lim λ2n
B2k−1 (λ2n z)
z − β (1) tα
(1)
= R3 (z, t) =
,
B2k (λ2n z)
R2 (z, t) + α(1) tα z
n→∞
n→∞
uniformemente em todo subconjunto compacto de Z.
68
Teorema 4.2.3 Sob as mesmas condições do Teorema 4.2.1, temos que, quando n → ∞,
1 (d/dz)Bk (λ2n z)
n
Bk (λ2n z)
1 Z 1 (∂/∂z)R2 (z, t)
dt
2 0
R2 (z, t)
z 2 − u2 t2α
→ R4 (z, t) =
=
Z 1
0


1
1

q
+  dt
2z [z 2 − u1 tα z + u2 t2α ]2 − 4u3 t2α z 2 2z
(4.2.9)
uniformemente em todo subconjunto compacto de Z, onde u1 = β (0) + β (1) + α(0) + α(1) ,
u2 = β (0) β (1) e u3 = α(0) α(1) .
Demonstração: Como na demonstração do Teorema 3.2.6, mostraremos o resultado para
z ∈ [dˆ + d, ∞). Seja a função
d
gn (t) = −
dz
Ã
B2[[nt]] (λ2n z)
B2[[nt]]+2 (λ2n z)
! ,Ã
B2[[nt]] (λ2n z)
B2[[nt]]+2 (λ2n z)
!
, 0 ≤ t ≤ 1,
onde [[a]] é a parte inteira do número real a.
Desta forma, encontramos que
1 (d/dz)B2n (λ2n z)
1Z 1
=
gn (t)dt.
2n
B2n (λ2n z)
2 0
Se fixarmos t, então, pelo Teorema 4.2.1,
gn (t) → −
∂
∂z
Ã
1
R2 (z, t)
1
R2 (z, t)
!
∂
R2 (z, t)
= ∂z
R2 (z, t)
que segue da convergência uniforme de funções analı́ticas, e de suas derivadas, em conjuntos
compactos. Também, para t ∈ [(j − 1)/n, j/n),
Ã
!,
d B2j−2 (λ2n z)
B2j−2 (λ2n z)
gn (t) = −
dz B2j−1 (λ2n z)
B2j−1 (λ2n z)
Ã
!,
d B2j−1 (λ2n z)
B2j−1 (λ2n z)
−
.
dz
B2j (λ2n z)
B2j (λ2n z)
(4.2.10)
Então,
1
gn (t) < 1/d.
2
ˆ
O Teorema da convergência dominada de Lebesgue nos dá (4.2.9) para z ∈ [d+d,
∞).
O resultado geral segue do teorema de Stieltjes-Vitali 2.1.4. O mesmo argumento é usado
1 (∂/∂z)R2 (z, t)
para os ı́ndices ı́mpares. Calculando-se explicitamente
chega-se ao resultado
2
R2 (z, t)
desejado.
69
4.2.3
Representação Integral
Consideremos as funções distribuições F e G da seção anterior, ou seja,
F (u; γ0 , γ1 , β) =
1Zu
|x − β|(x + β)/x
q
q
IE (x)dx
2π −∞ γ12 x − (x − β)2 (x − β)2 − γ02 x
(4.2.11)
e
G(u; d1 , d2 , d0 , β, δ) =
2 [(d22 − d20 )1/2 + (d21 − d20 )1/2 ]2
π
(d22 − d21 )2
q
Z u
×
(4.2.12)
q
d22 x − (x − β)2 (x − β)2 − d21 x (x − β)(x − δ)
x[(x − β 2 )2 − d20 x]
−∞
|x − β|
IE (x)dx,
onde IE (x) é a função indicadora do conjunto E = [a, a] ∪ [b, b].
Daremos, agora, outras propriedades para o caso ilimitado. Primeiramente, analiBk−1 (λ2n z)
saremos a convergência da razão λ2n
.
Bk (λ2n z)
Teorema 4.2.4 Suponhamos que (??) e (4.2.2) sejam válidos e que 0 < β (0) β (1) e
0 < α(0) α(1) . Então,
Z
(0)
R3 (z, t) =
1
1 − αmin /α(0)
dψ (0) (x) =
z − β (1) tα
E (0) z − x
1
1 Z
+
V (x; γ0 tα/2 , γ1 tα/2 , λtα/2 , βtα , β (0) tα )dt,
(0)
2πα
Bz −x
e
(1)
R3 (z, t)
Z
=
1
1 − αmin /α(1)
dψ (1) (x) =
z − β (0) tα
E (1) z − x
1 Z
1
+
V (x; γ0 tα/2 , γ1 tα/2 , λtα/2 , βtα , β (1) tα )dt,
2πα(1) B z − x
onde B = [a, a] ∪ [b, b], αmin = min{α(0) , α(1) }
q
λ2 = ( β (0) −
q
q
q
β (1) )2 ,
q
β=
β (0) β (1) ,
√
√
√
√
β (1) )2 + ( α(0) + α(1) )2 = ( b − a)2 ,
q
q
√
√
√
√
2
(0)
γ0 = ( β − β (1) )2 + ( α(0) − α(1) )2 = ( b − a)2 .
γ12
=(
β (0)
−
70
Demonstração: De (4.2.7) e do corolário 4.2.2, obtemos
(0)
R3 (z, t)
=
2(z − β (0) tα )
h
× (z − β (0) tα )(z − β (1) tα ) − (α(1) − α(0) )tα z
(4.2.13)
q
+ [(z − β (0) tα )(z − β (1) tα ) − (α(1) + α(0) )tα z]2 − 4α(0) α(1) t2α z 2
¸−1
.
(0)
Com o mesmo raciocı́nio usado na demonstração do Teorema ??, R3 (z, t) pode ser
escrito como
|α(1) − α(0) | − (α(1) − α(0) ) {(α(1) + α(0) ) − |α(1) − α(0) |}
+
L(z; γ0 tα/2 , γ1 tα/2 , λtα/2 , βtα , β (0) tα ).
2α(0) (z − β (1) tα )
2α(0)
Lembremos que
Z
D
1
V (t; d1 , d2 , d0 , β, δ)dt = L(z; d1 , d2 , d0 , β, δ).
Bz −t
Logo, analisando os casos α(1) ≥ α(0) e α(1) < α(0) , chegamos que
{(α(1) + α(0) ) − |α(1) − α(0) |}
2α(0)
L(z; γtα/2 , γtα/2 , λtα/2 , βtα , β (0) tα )
1
1 Z
=
V (x; γtα/2 , γtα/2 , λtα/2 , βtα , β (0) tα )dt.
(0)
2πα
Bz −x
Assim, o primeiro resultado deste teorema segue de (??). De maneira análoga, como
(1)
R3 (z, t) =
2(z − β (1) tα )
h
× (z − βtα )2 − λ2 tα z − (α(0) − α(1) )tα z
q
q
+ (z − βtα )2 − γ02 tα z (z − βtα )2 − γ12 tα z
,
(4.2.14)
i−1
o outro resultado do teorema é obtido trocando-se (α(0) , β (0) ) por (α(1) , β (1) ).
Teorema 4.2.5 Sob as mesmas condições do Teorema 4.2.1, para toda função contı́nua f,
quando n → ∞ e k/n → t ∈ [0, 1], temos que
(i)
2k
X
τ2k,j f (z2k,j /λ2n ) →
j=1
³
´
αmin Z ∞
α/2
α/2
α/2
α
(1) α
f
(x)dG
x;
γ
t
,
γ
t
,
λt
,
βt
,
β
t
0
1
α(1) −∞
+
α(1) − αmin
f (β (0) tα ),
(1)
α
´
³
αmin Z ∞
α/2
α/2
α/2
α
(0) α
(ii)
τ2k+1,j f (z2k+1,j /λ2n ) →
f
(x)dG
x;
γ
t
,
γ
t
,
λt
,
βt
,
β
t
0
1
α(0) −∞
j=1
2k+1
X
+
α(0) − αmin
f (β (1) tα ),
α(0)
71
(iii)
Z 1Z ∞
n
³
´
1X
f (x)dF x; γ0 tα/2 , γ1 tα/2 , βtα dt,
f (zn,j /λ2n ) →
n j=1
0 −∞
onde
γ02
q
=(
β (0)
q
−
β (1) )2
+(
√
α(0)
−
√
α(1) )2 ,
q
λ2 = ( β (0) −
γ12
q
=(
q
β (0)
q
β (1) )2
−
√
√
β (1) )2 + ( α(0) + α(1) )2 ,
q
e
β (0) β (1) .
β=
Demonstração: Sejam as funções distribuições discretas
Gn,k (x) =
k
X
τk,j U (x − zk,j /λ2n )
(4.2.15)
j=1
e
Fn (x) =
n
1X
U (x − zn,j /λ2n ),
n j=1
(4.2.16)
onde U (x) é a função dada por (3.1.19). As transformadas de Stieltjes dessas funções distribuições são
S(Gn,k (x); z) =
e
S(Fn (x); z) =
Z ∞
dGn,k (x)
−∞
z−x
Z ∞
dFn (x)
−∞
z−x
=
Bk−1 (λ2n z)
Bk (λ2n z)
(4.2.17)
1 (d/dz)Bn (λ2n z)
.
n
Bn (λ2n z)
(4.2.18)
= λ2n
O comportamento assintótico dessas transformadas é dado pelo Corolário 4.2.2 e
pelo Teorema 4.2.3, e, pelo Teorema de Grommer-Hamburger 2.1.6, os limites devem ser as
transformadas de Stieltjes dos limites fracos das funções distribuições Gn,k (x) e Fn (x). A
identificação dos limites em (4.2.17) é feita de maneira análoga à demonstração do teorema
3.2.7 da seção 3.2. Para identificar o limite de (4.2.18), observe que o integrando de (4.2.9) é a
transformada de Stieltjes da função distribuição F (x; γ0 tα/2 , γ1 tα/2 , βtα ) de onde o resultado
segue.
4.2.4
Casos Especiais
Como fizemos para o caso onde os coeficientes da relação de recorrência são limi-
tados, analisaremos aqui, também os casos que chamam mais a atenção. Entre eles estão
aqueles em que os coeficientes da relação de recorrência têm limites nulos.
72
Caso 1 : Primeiramente, vamos considerar o seguinte caso:
α(0) = α(1) = α > 0 e β (0) = β (1) = β > 0.
Então, a = b = β, a = β + 2α −
q
(β + 2α)2 − β 2 e b = β + 2α +
q
(β + 2α)2 − β 2 .
Observe que podemos escrever R4 (z, t) da seguinte maneira
Ã
!
z 2 − β (0) β (1) t2α
1Z1
1
√
√
√
√
R4 (z, t) =
+
dt.
α
α
α
α
2z 0
2z
z − at z − at z − bt z − bt
(4.2.19)
Logo, substituindo esses valores em (4.2.19) e em (4.2.11), temos
1
1Z1
z + βtα
√
√
R4 (z, t) =
+
dt
2z 2z 0 z − atα z − btα
Z bZ 1
1
=
dF (x)dt
a 0 z−x
1 + βtα /x
1 Z bZ 1 1
√
√
dtdx.
=
2π a 0 z − x btα − x x − atα
(0)
(1)
Do Teorema 4.2.4, segue que R3 (z, t) = R3 (z, t) = R3 (z, t), onde
R3 (z, t) =
(z − βtα ) +
√
1 Zb 1
V (x; 0, 2 αtα , 0, βtα , βtα )dt,
=
2πα a z − x
(z − βtα )2 − 4αtα z
q
2
pois (z − atα )(z − btα ) = (z − βtα )2 − 4αtα z.
Caso 2 : Agora, consideremos o caso em que α(0) ou α(1) assumem o valor zero. Sejam
(para ν igual a 0 ou 1),
α(ν) = 0,
α(1−ν) = α ≥ 0,
β (ν) > 0 e β (1−ν) > 0.
Então, de (4.2.19), segue que a = a e b = b. Com isto, podemos escrever
R4 (z, t) =
Z 1"
1
0
#
"
#
Z 1
1 z 2 − β (0) β (1) t2α
1/2
1/2
+
dt
=
+
dt.
α
α
α
2z 2z (z − at )(z − bt )
z − at
z − btα
0
Portanto, F (x; γ0 tα/2 , γ1 tα/2 , βtα ) = 12 U (t − atα ) + 12 U (t − btα ).
Agora, se α = 0, então a = βmin = min{β (0) , β (1) } e b = βmax = max{β (0) , β (1) }.
De (4.2.13) e (4.2.14), a seguinte afirmação também vale:
• se α(0) = α, então
(0)
R3 (z, t) =
1
z − β (1) tα
73
e
(1)
R3 (z, t) =
z − β (1) tα
β (1) − a 1
b − β (1) 1
=
+
;
(z − atα )(z − btα )
b − a z − atα
b − a z − btα
• se α(1) = α, então
(0)
R3 (z, t) =
z − β (0) tα
β (0) − a 1
b − β (0) 1
=
+
(z − atα )(z − btα )
b − a z − atα
b − a z − btα
e
(1)
R3 (z, t) =
1
.
z − β (0) tα
Caso 3 : Sejam, agora,
α(ν) ≥ 0,
α(1−ν) ≥ 0,
β (ν) = 0 e β (1−ν) = β ≥ 0.
Segue que u2 = 0 e, assim,
a = a = 0,
√
√
b = β + ( α(0) − α(1) )2
√
√
e b = β + ( α(0) + α(1) )2 .
Substituindo esses valores em (4.2.19), temos que
1/2
1/2 Z 1
1/2
1 Z 1Z b 1
1
√
√
√
√
R4 (z, t) =
+
dt =
+
dxdt,
α
α
α
z
z
2π 0 b z − x x − bt btα − x
0
z − bt z − bt
e
1
1 Z 1 Z x U (u − b) − U (u − b)
√
√
dudt.
F (x) = U (x) +
2
2π 0 −∞ btα − u u − btα
Caso 4 : Finalmente, vamos supor que
α(ν) = 0,
α(1−ν) = α ≥ 0,
β (ν) = 0 e β (1−ν) = β ≥ 0.
Então, a = a = 0, b = b = β + α e
R4 (z, t) =
1/2 Z 1 1/2
+
dt.
z
0 z − btα
Isto significa que F (x) = 12 U (x) + 21 U (x − btα ). Se α = β = 0, então F (x) = U (x).
74
4.2.5
Exemplo
No artigo [48], Sri Ranga mostra a relação entre polinômios ortogonais e os polinômios
L-ortogonais associados quando as funções peso estão associadas de maneira especial, a partir
da transformação
q
t(x) = { ρx2 + β +
√
ρx}2 ,
x ∈ (−∞, ∞),
(4.2.20)
onde t(x) representa uma aplicação biunı́voca entre (−∞, ∞) e (0, ∞).
A inversa de t(x) é dada por
!
Ã
√
1
β
x(t) = √
t− √ ,
2 ρ
t
t ∈ (0, ∞).
(4.2.21)
Dois resultados importantes desse artigo são os seguintes.
Teorema 4.2.6 Sejam b e d tais que
√
b=
√
ρd2 + β +
√
ρd e
v(t) = At−1/2 w(x(t)).
Então, w(x) é uma função peso em (−d, d) tal que w(x) = w(−x) se, e somente se, v(t) é
q
√
uma função peso forte em (β 2 /b, b) tal que tv(t) = β 2 /tv(β 2 /t), onde A é um número
positivo.
Teorema 4.2.7 Sejam w(x) e v(x) um par de funções peso dadas pelo Teorema 4.2.6 e
Qn (x) e Bn (t) os polinômios ortogonais e similares associados a w(x) e v(t), respectivamente.
Então, para n ≥ 0,
√
Bn (t) = (2 ρt)n Qn (x(t)).
(4.2.22)
Sabemos que os polinômios mônicos de Hermite, Hn (x), são ortogonais no intervalo
2
(−∞, ∞), com relação à função peso w(x) = e−x e satisfazem à relação de recorrência
Hn+1 (x) = xHn (x) − αn Hn−1 (x), n ≥ 1,
(4.2.23)
onde αn = n/2. Logo, de (4.2.21), (4.2.22) e (4.2.23), os polinômios Hn (t), similares aos
ortogonais Hn (x), satisfazem à relação de recorrência (??), onde βn+1 = β e αn+1 = 2ρn, n ≥
1 e a função peso é, pelo Teorema 4.2.6,
v(t) = t−1/2 e−
t+β 2 /t
4α
em (0, ∞).
75
Daı́,
α2n = 2(2n − 1)ρ,
α2n+1 = 2(2n)ρ e β2n = β2n+1 = β.
Podemos observar que os coeficientes α2n e α2n+1 são ilimitados, mas variam regularmente. Dessa forma, podemos tomar uma seqüência que varia regularmente, {λn }, onde
λ2n = 2n. Assim, das condições (4.2.2) teremos que β (0) = β (1) = β e α(0) = α(1) = 2ρ.
Assim, estamos tratando do caso 1 da última seção, onde α = 2ρ e β = β.
Capı́tulo 5
Considerações Finais
Diversos trabalhos sobre propriedades assintóticas dos polinômios ortogonais Qn (z)
e seus zeros quando ocorre o caso (3.1.1) já foram publicados. Para citar alguns, Nevai em
[35, 36] fez uma cuidadosa investigação do caso onde b1 = b2 = b e a1 = a2 = a (em [36]
a foi considerado maior que zero). Um de seus resultados é que os zeros dos correspondentes polinômios ortogonais têm comportamento arco-seno. Este comportamento dos zeros
já foi verificado para uma grande classe de polinômios ortogonais (ver, por exemplo [21] e
[53]). Mas, na maioria dos casos, o resultado segue de um conhecimento a priori da função
distribuição φ com relação à qual os polinômios são ortogonais. Entretanto, podemos ter
acesso à relação de recorrência (2.2.12) sem qualquer conhecimento da função distribuição
φ. Chihara [9, 12] mostrou que, sob as condições (3.1.1) (com a1 = a2 = a), pode-se usar
seqüências encadeadas para mostrar que os zeros dos polinômios ortogonais são densos na
união de dois intervalos disjuntos. Essas seqüências encadeadas foram também usadas por
Maki [33] para provar o comportamento regular arco-seno para o caso em que b1 = b2 = b e
a1 = a2 = a, mas fez uma hipótese extra: αn ≤ a2 .
Akhiezer [1] estudou polinômios ortogonais com função peso concentrada na união de
dois intervalos disjuntos e com os coeficientes da relação de recorrência satisfazendo (3.1.1).
Os dois intervalos disjuntos desempenharam importante papel para se encontrar o comportamento assintótico dos coeficientes da relação de recorrência que foram estudadas aqui.
O caso em que os coeficientes da relação de recorrência para os polinômios ortogo76
77
nais têm limites finitos também foi tratado em Chihara [11], Nevai [37], Geronimo e Case
[23] e outros. Coeficientes de recorrência assintoticamente periódicos com finitos pontos de
acumulação foi estudado por Chihara [11], Geronimo e Van Assche [24, 5]. Já o caso em
que os coeficientes da relação de recorrência para os polinômios similares satisfazem (??) foi
tratado em [3]. Em geral, pode-se dizer que o suporte da função distribuição φ é limitada
se, e somente se, os coeficientes da relação de recorrência são limitados.
Se os coeficientes da relação de recorrência são ilimitados, então a propriedade de
ortogonalidade é estendida sobre um conjunto ilimitado, possivelmente todo o eixo real.
Alguns aspectos interessantes dos polinômios ortogonais com relação a uma função peso
0
w(x) = φ (x) em (−∞, ∞) e em (0, ∞) para a qual
lim |x|−α log w(x) = −1
x→∞
(α > 0)
foi dado por Rakhmanov [40], Mhaskar, Saff [34] e Ullman [54, 55] (ver também [43]). Uma
α
conjectura bem conhecida por Freud [22] diz que, para a função peso |x|ρ e−|x| , os coeficientes
αn da relação de recorrência satisfazem
"
lim n
n→∞
−1/α
αn1/2
Γ(α/2)Γ(α/2 + 1)
=
Γ(α + 1)
#1/α
(5.1)
(observe que βn = 0, pois w é uma função par). Freud provou esta conjectura para α = 2, 4
e 6 e a prova geral, para α um inteiro par positivo, foi dada por Magnus [32]. A conjectura
(5.1) indica que a seqüência αn cresce como n2/α . Assim, dizemos que esta seqüência varia
regularmente com expoente 2/α. A conjectura foi provada por Lubinsky, Mhaskar e Saff
[30, 31]. Ver também [38] para maiores informações sobre a conjectura de Freud.
Chihara [13] estudou o caso em que os coeficientes da relação de recorrência são ilimitados e fez um extenso uso de seqüências encadeadas para dar condições a esses coeficientes
sob as quais o conjunto dos zeros dos polinômios ortogonais tivesse um limitante superior
(ou inferior). Nevai e Dehesa [38] supuseram que os coeficientes da relação de recorrência
divergiam, mas de forma que existisse uma função crescente positiva Φ(t) satisfazendo
Φ(x + t)/Φ(t) → 1 para todo x > 0 e t → ∞, tal que βn /Φ(n) e αn1/2 /Φ(n) tivessem
limites finitos. Sob essas condições, Nevai e Dehesa obtiveram assintóticos para
n
X
Z n
xM
n,j /
j=1
0
ΦM (t)dt,
78
onde xn,1 < xn,2 < · · · < xn,n são os zeros de pn (x) (ou Qn (x)) e M é um inteiro fixo positivo.
De forma semelhante, Van Assche em [6] fez um estudo para o caso em que os coeficientes da relação de recorrência satisfazem (3.2.34), onde λn é uma seqüência que varia
regularmente (definição 3.2.2).
Em [3], Andrade, Sri Ranga e Van Assche estudaram o comportamento assintótico
dos polinômios similares quando os coeficientes da relação de recorrência satisfazem (??).
Com base nos trabalhos aqui apresentados, fizemos um estudo semelhante ao de Van
Assche [6] para o caso dos polinômios similares cujos coeficientes da relação de recorrência
satisfazem (4.2.2) que, para nosso conhecimento, ainda não há nenhum trabalho publicado.
Referências Bibliográficas
[1] Akhiezer, N.I. Uber line Eigenschafet der “elliptishen” Polynome, Comm. Soc.
Math. Kharkov, v.4 (1934), 3 − 8.
[2] Al-Salam, W.A. Characterization of certain classes of orthogonal polynomials related to elliptic function, Ann. Mat. Pura Appl., v.67 (1965), 75 − 94.
[3] Andrade, E.X.L. de, Ranga, A.Sri, Van Assche, W. Asymptotics for polynomials satisfying a certain twin asymptotic periodic recurrence relation, Meth. and
Appl. of Anal., (a ser publicado)
[4] Arnold, L. Deterministic version of Wigner’s semicircle law for the distribuction of
matrix eigenvalues, Linear Algebra Appl., v.13 (1976), 185 − 199.
[5] Assche, W.V. Asymptotic properties of orthogonal polynomials from their recurrence formula I, J. Aprox. Theory, v.44 (1985), 258 − 276.
[6] Assche, W.V. Asymptotic properties of orthogonal polynomials from their recurrence formula II, J. Aprox. Theory, v.52 (1988), 322 − 338.
[7] Bingham, N.H., Goldie, C.M., Teugels, J.L. “Regular Variation”, Cambridge
Univ. Press, London/New York, 1987.
[8] Carlitz, L. Some orthogonal polynomials related to elliptic functions I, II, Duke
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