Análise Estatística de Ensaios de Palheta para Determinação da
Resistência Não-Drenada para Projetos de Reforços de Aterros
Gregório Luís Silva Araújo
Universidade de Brasília, Brasília, DF, Brasil, [email protected]
André Pacheco de Assis
Universidade de Brasília, Brasília, DF, Brasil, [email protected]
Ennio Marques Palmeira
Universidade de Brasília, Brasília, DF, Brasil, [email protected].
RESUMO A utilização de métodos estatísticos para um melhor tratamento de dados provenientes
de laboratório ou de ensaios de campo tem sido utilizada nos últimos anos. No caso de aterros sobre
solos moles, as metodologias de dimensionamentos analíticos utilizam, dentre outros parâmetros, a
resistência não-drenada do solo de fundação. Devido à variabilidade existente nos resultados
obtidos neste ensaio, o projetista que está utilizando esses dados pode se questionar sobre qual
conjunto utilizar. Este trabalho tem como objetivo fazer uma análise estatística de resultados do
referido ensaio, realizados na duplicação da BR-101, no estado de Santa Catarina, para determinar a
resistência não drenada de projeto para três encontros de ponte. Para dois encontros de ponte, as
análises mostraram que as amostras realmente pertencem a uma mesma população, concluindo-se
assim que os mesmos podem ser utilizados para determinação de resistência não-drenada de projeto.
PALAVRAS-CHAVE: Análise Estatística, Aterros Reforçados, Análise de Variância.
1
INTRODUCÃO
Quando se deseja realizar o dimensionamento
de reforços para melhoria da estabilidade de
aterros sobre solos moles, alguns métodos
analíticos utilizam a resistência não-drenada do
solo de fundação como parâmetro. Devido à
grande dispersão normalmente encontrada nos
resultados do ensaio de vane test, utilizado na
determinação de tal parâmetro, torna-se
complexo decidir qual conjunto de dados
utilizar, quando se têm resultados de várias
estacas para um mesmo aterro. Pode-se, por
exemplo, utilizar os valores de Su encontrados
em todas as estacas e fazer uma regressão
linear desses dados. Uma outra maneia de se
determinar Su de projeto é utilizando apenas o
resultado encontrado para a estaca mais
próxima à localização do aterro. Ou ainda,
pode-se determinar a variação da resistência
não-drenada para cada estaca com a
profundidade e utilizar a média entre os valores
de Su para cada profundidade. Nota-se assim,
que o valor da resistência não drenada de
projeto pode variar de acordo com o critério
adotado pelo projetista.
Este trabalho tem o objetivo de mostrar um
critério que pode ser utilizado na determinação
de tal parâmetro para dimensionamento,
utilizando conceitos de estatística e resultados
encontrados em ensaios de campo. Os resultados
aqui apresentados dos ensaios foram relatados
por Fahel (2003) e faziam parte da duplicação da
BR-101, no estado de Santa Catarina. O método
consiste, basicamente, em verificar, para cada
um dos aterros, se os dados obtidos pertencem a
uma mesma população, utilizando para isso uma
Análise de Variância. Caso os dados pertençam
a uma mesma população, podem ser utilizados
para determinação da resistência não-drenada de
projeto.
2
LOCALIZAÇÃO DOS ATERROS
Os três aterros dos quais os resultados foram
utilizados no estudo pertenciam à duplicação da
BR-101, no estado de Santa Catarina. Todos eles
precisaram da presença de reforços para garantia
da estabilidade dos mesmos. Isso se deve ao fato
de o solo de fundação ter baixa capacidade de
suporte. Para o dimensionamento dos reforços,
em cada um dos aterros foram realizados
ensaios de palheta em mais de uma estaca.
As metodologias para dimensionamento de
reforços de aterros sobre solos moles
necessitam geralmente da variação da
resistência não-drenada com a profundidade.
No próximo item ver-se-á como se pode
determinar a resistência não-drenada de projeto
do solo de fundação.
3
RESISTÊNCIA
NÃO-DRENADA
PARA DIMENSIONAMENTO
Araújo (2004) estudou três métodos analíticos,
aplicando os mesmos em dois do três encontros de
que tratam este trabalho: o método de Low et al.
(1990), o método de Kaniraj (1994) e o método de
Jewell (1996).
O método de Low et al. (1990) admite a
superfície de ruptura circular e que a mesma
intercepta a plataforma do aterro. São calculadas
superfícies circulares tangentes a uma linha
horizontal a cada profundidade z em que é feito o
cálculo. Para o dimensionamento, o método admite
o cálculo de uma resistência não-drenada
equivalente, quando a mesma varia com a
profundidade. No caso da mesma ser constante com
a profundidade, essa resistência equivalente será
igual a esse valor. O valor da resistência nãodrenada equivalente será dado pela Equação 1:
determinação da resistência não-drenada equivalente,
pode-se utilizar o cálculo da resistência equivalente
utilizada no método de Low et al. (1990).
O método de Jewell (1996) consiste,
basicamente, em determinar o FS para o caso do
aterro sem reforço e, em seguida, determinar a
força requerida no reforço atribuindo-se um
valor de FS desejado para a obra. Trata-se de
uma solução analítica para investigações
preliminares. A grande vantagem deste tipo de
solução, assim como das demais apresentadas
anteriormente, é que pode ser aplicada
rapidamente e não precisa de ferramenta
computacional. A determinação do FS para o
caso sem reforço é feita admitindo-se uma das
seguintes hipóteses: (a) a análise é feita com o
valor da resistência não-drenada constante ao
longo da profundidade ou (b) o valor da
resistência não-drenada aumenta com a
profundidade, conforme a Figura 2.
Su0
z
Suz
(1)
Onde:
Su0: Interseção, na superfície do solo
de fundação, do prolongamento
do trecho linear de variação de
Su com a profundidade.
Suz: Resistência não-drenada do solo
de fundação na profundidade z
de tangência do círculo.
∆S’u0, zc e z: Como apresentados na Figura 1.
O método de Kaniraj (1994) é uma metodologia
de cálculo que consiste na utilização de um
conjunto de equações e determina o fator de
segurança do aterro sem reforço e do aterro
reforçado, bem como a força de tração
necessária no reforço. Nesse método, para
Su (kPa)
Zc
1,1
z 
S ueq = 0,35S u 0 + 0,65S uz + 0,35 c  ∆S u 0
 z 
∆Su0
z (m)
Figura 1. Variação da resistência não-drenada do solo de
fundação com a profundidade (Low et al., 1990).
4
UTILIZAÇÃO DE MÉTODOS ESTATÍSCOS
A utilização da estatística na determinação de
parâmetros geotécnicos tem se tornado cada vez
mais usual. Nesse trabalho procura-se agora
determinar quais valores da resistência não-drenada
utilizar, uma vez que as amostras podem ser obtidas
em estacas diferentes, conforme aconteceu na obra
de duplicação da BR-101 aqui citada. Para o caso
desse trabalho, serão estudados os três encontros de
pontes para os quais foram feitos ensaios com
amostras indeformadas relatadas em Fahel (2003): O
encontro do rio Inferninho, o do canal DNOS e do
rio Santa Luzia. Para cada encontro de ponte, os
ensaios foram realizados em estacas diferentes
próximas ao aterro.
Conforme já foi comentado anteriormente, os
valores de resistência não-drenada que serão
utilizados no dimensionamento dos reforços podem
variar dependendo do critério adotado pelo
projetista. Uma maneira de se oferecer um critério
para escolha de que valores utilizar é por meio de
uma análise de variância. A análise de variância
consiste em comparar duas ou mais populações,
utilizando a distribuição de Fischer, para saber se
pertencem a uma mesma população. Para isso, é
necessário que as amostras sejam aleatórias e
independentes, que sejam extraídas de populações
que possuam distribuições normais e que as
populações normais possuam a mesma variância.
Su
Su
(kPa)
Profundidade
(m)
Figura 2. Hipóteses da variação da resistência nãodrenada com a profundidade pelo método de Jewell
(1996).
Em função disso, admitiu-se que as estacas em
que foram coletadas as amostras foram escolhidas
aleatoriamente, segundo escolha aleatória dos
projetistas. Admitindo-se isso, fez-se um teste de
aderência de distribuição normal utilizando os
valores de Su para todas as estacas em que se
tinham amostras, para cada encontro de ponte. No
teste de aderência, os valores utilizados nas classes
foram obtidos a partir da normalização dos valores
de Su, para cada encontro de ponte, determinada
pela equação 2:
x−µ
σ
(2)
Onde:
Z:
µ:
x:
σ:
Classe
ni
fi
Fe
Fo
( Fe − Fo ) 2
Fe
<-0,5
-0,5 - 0
0 – 0,5
> 0,5
8
6
5
8
30%
22%
18%
30%
8,33
5,17
5,17
8,33
8
6
5
8
Σ
0,013
0,133
0,006
0,013
0,15
Admitindo-se um risco, de 0,05, obtém-se, pela
tabela de χ2, para dois graus de liberdade, que χ2tab =
5,991. Assim, como para os três casos, χ2cal< χ2tab
pode-se concluir que as resistências não-drenadas,
para cada encontro de ponte, seguem uma
distribuição normal. Pode-se agora efetuar a análise
de variância para encontro de ponte, para saber se as
amostras pertencem a uma mesma população, em
cada caso.
ρ
Z=
Tabela 1. Teste de aderência de distribuição normal para o
rio Inferninho.
Su (kPa)
Su0
1
Profundidade
(m)
é o número de observações por classe, fi é a
freqüência relativa da classe, Fe é a freqüência
esperada, função da probabilidade do valor
ocorrer dentro do intervalo da classe, e Fo a
freqüência ocorrida, cujo valor é igual a fi.
Valor normalizado de Su
Média dos valores de Su
Valor de Su
Desvio-padrão dos valores de Su
Nas tabelas que apresentam os resultados do
teste de aderência (Tab. 1, Tab. 2 e Tab. 3), ni
Tabela 2. Teste de aderência de distribuição normal para o
canal DNOS.
Classe
ni
fi
Fe
Fo
( Fe − Fo ) 2
Fe
<-0,5
-0,5 - 0
0 – 0,5
> 0,5
12
11
5
8
33%
31%
14%
22%
11,11
6,89
6,89
11,11
12
11
5
8
Σ
0,072
2,445
0,520
0,869
3,04
Tabela 3. Teste de aderência de distribuição normal para o
rio Santa Luzia.
Classe
ni
fi
Fe
Fo
( Fe − Fo ) 2
Fe
<-0,7
-0,7 - 0
0 – 0,7
> 0,7
10
8
5
8
32%
26%
16%
26%
7,50
8,00
8,00
7,50
10
8
5
8
Σ
0,013
0,133
0,006
0,013
1,96
Assim, fez-se a análise de variância (ANOVA)
utilizando todos os ensaios realizados para todas as
estacas com ensaios realizados, para cada encontro.
As Tabelas 4, 5 e 6 mostram os resultados obtidos.
Nota-se que para o rio Santa Luzia a análise
mostrou que as amostras não fazem parte da mesma
população, pois Fcal > Fcrit. O valor de Fcrit é
determinado por meio da distribuição de Fischer, e
pode ser obtido em tabelas.
Tabela 4. ANOVA para todas as amostras do rio
Inferninho.
Fonte de
Variação
Entre
Dentro
SQ
MQ
Fcal
Fcrit
571,7
1654,5
190,6
75,2
2,53
3,05
Tabela 8. Médias e desvios-padrão das amostras do canal
DNOS.
Posteriormente, foram feitas análises de variâncias
retirando-se as amostras com médias relativamente
distantes da média global. Entenda-se aqui por
média global a média de todas as amostras de cada
encontro.
Tabela 5. ANOVA para todas as amostras do canal
DNOS.
Fonte de
Variação
Entre
Dentro
SQ
MQ
Fcal
Fcrit
242,96
1061,68
60,7
34,2
1,77
2,68
Tabela 6. ANOVA para todas as amostras do rio Santa
Luzia.
Fonte de
Variação
Entre
Dentro
SQ
MQ
Fcal
Fcrit
338,5
1053,8
169,3
37,6
4,5
3,34
Média
Desv.
Padrão
N° de
Elementos
Amostra 1
11,89
3,43
Amostra 2
8,18
2,69
Amostra 3
11,39
3,34
Amostra 4
15,92
2,32
Amostra 5
11,33
11,98
7
8
6
8
7
Tabela 9. Médias e desvios-padrão das amostras do rio
Santa Luzia.
Média
Desv.
Padrão
N° de
Elementos
Amostra
1
13,72
4,99
Amostra
2
19,87
6,46
Amostra
3
12,48
6,61
9
11
11
Tabela 10. ANOVA para o rio Inferninho retirando-se a
amostra 2.
As médias e os desvios-padrão das amostras,
para cada encontro de ponte, estão ilustradas nas
Tabelas 7, 8 e 9.
Tabela 7. Médias e desvios-padrão das amostras do rio
Inferninho.
Média
Desv.
Padrão
N° de
Elementos
Essa análise teve como objetivo verificar apenas
o que aconteceria na ANOVA caso o projetista
tivesse tomado a decisão de retirar tais valores. Para
mostrar que isso pode ser um erro a ser cometido,
foram feitas as ANOVAS apenas com as amostras
com as médias mais próximas, ou seja, eliminaramse as médias mais afastadas. O resultado pode ser
visto nas Tabelas 10, 11 e 12.
Amostra
1
18,32
12,67
Amostra
2
31,02
14,45
Amostra
3
20,45
7,82
Amostra
4
18,98
6,57
6
5
7
8
Por essas tabelas, nota-se que algumas amostras
de cada encontro apresentam médias um pouco
distantes das demais: a amostra 2 para o caso do rio
Inferninho, a amostra 4 do canal DNOS e a amostra
2 do rio Santa Luzia.
Fonte de
Variação
Entre
Dentro
SQ
MQ
F
Fcrit
15,8
1411,97
7,92
78,44
0,10
3,55
Tabela 11. ANOVA para o canal DNOS retirando-se a
amostra 4.
Fonte de
Variação
Entre
Dentro
SQ
MQ
F
Fcrit
65,9
1023,92
21,97
42,66
0,51
3,00
Tabela 12. ANOVA para o rio Santa Luzia retirando-se a
amostra 2.
Fonte de
Variação
Entre
Dentro
SQ
MQ
F
Fcrit
187,1
616,5
187,1
34,2
5,46
4,41
A partir dessas tabelas, nota-se que, para o rio
Inferninho, a retirada das amostras com a média um
pouco mais afastada das demais reduziu o valor de F
para um valor muito próximo de zero, indicando um
resultado pior que o anteriormente obtido, uma vez
que um valor muito próximo de zero pode indicar
algum tipo de tendenciosidade das amostras. Já
para o canal DNOS, o valor obtido de F foi menor
que um e não tão próximo de zero, indicando que as
amostras são de populações iguais. Finalmente,
para o caso do rio Santa Luzia, não houve nenhum
tipo de melhoria nos resultados obtidos, uma vez
que o valor de F calculado continua acima do valor
crítico.
REGRESSÕES LINEARES
A partir dos resultados obtidos pelas análises de
variância, pode-se fazer uso de regressões lineares a
fim de se verificar a taxa de crescimento da
resistência não drenada com a profundidade, para o
caso em que as amostras pertenciam às mesmas
populações (Rio Inferninho e Canal DNOS).
Para o caso do rio Inferninho, verificou-se que
se deve trabalhar com todas as amostras obtidas.
Sendo assim, o crescimento de Su com a
profundidade para o rio Inferninho, é dado pela
Figura 3.
Su (kPa)
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0
1
y = 0,0667x + 2,8614
R2 = 0,2222
2
Profundidade (m)
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0
y = 0,1557x - 0,7678
R2 = 0,5954
1
2
3
4
5
6
7
8
Figura 4. Aumento da resistência não-drenada com a
profundidade para o rio Inferninho, utilizando valores
médios de Su.
Tal simplificação fez aumentar o valor de r2
em 2,67 vezes, dando assim mais confiabilidade
na inclinação obtida da reta.
O mesmo princípio pode ser aplicado ao
Canal DNOS, obtendo como resultado o que
está ilustrado pela Figura 5. Pode-se observar
que o valor de r2, para o caso do Canal DNOS
indica uma dispersão maior do que a encontrada
para o rio Inferninho.
Variação de Su com a profundidade
0
Su (kPa)
0
Profundidade (m)
5
Variação de Su com a profundidade
3
4
Variação de Su com a profundidade
5
Su (kPa)
6
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0
7
y = 0,1187x + 1,4591
R2 = 0,1917
8
2
Como se pode notar, obteve-se um r baixo,
devido exatamente à grande dispersão dos dados.
Apesar disso, conforme se viu anteriormente, esses
dados pertencem a uma mesma população. Uma
maneira de se reduzir a dispersão dos pontos é
utilizar no gráfico a média dos valores de Su por
profundidade. A Figura 4 ilustra o resultado obtido
utilizando tal procedimento.
Profundidade (m)
1
Figura 3. Aumento da resistência não-drenada com a
profundidade para o rio Inferninho.
2
3
4
5
Figura 5. Aumento da resistência não-drenada com a
profundidade para o canal DNOS.
anteriormente, a dispersão desses resultados
implicou em regressões lineares com r2 baixos.
Variação de Su com a profundidade
Su (kPa)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
6
CONCLUSÕES
0
y = 0,4969x - 2,1506
R2 = 0,7781
Profundidade (m)
1
O trabalho aqui apresentado apresentou a utilização
de métodos estatísticos para determinação do
comportamento da resistência não-drenada e a
profundidade do solo de fundação. A partir dos
resultados obtidos pôde-se concluir que:
2
3
4
5
Figura 6. Aumento da resistência não-drenada com a
profundidade para o Canal DNOS, utilizando valores
médios de Su.
.
Para o caso do Canal DNOS, o aumento no
r2 foi de quatro vezes, o que pode ser visto no
gráfico pela grande diminuição da dispersão
entre os dados.
O aumento na inclinação da reta
comparando-se os resultados sem fazer a média
por profundidade (Fig. 3 e Fig. 5) e realizandose tal cálculo (Fig 4 e 6) indica um aumento na
resistência não drenada de projeto. Assim, o
número de reforços necessários por aterro é
menor para o caso em que são calculadas as
médias de Su para cada profundidade de ensaio
realizado.
O fato das inclinações das regressões
lineares terem aumentado de um caso para
outro, apesar de ter-se diminuído a dispersão
dos dados por estar-se trabalhando com valores
médios, é considerado contra a segurança.
Conforme se pode notar nas Figuras 3 e 5, os
valores para uma determinada profundidade
(por exemplo 3 m) são menores que os obtidos
com a regressão linear para valores médios de
Su, como se pode notar nas Figuras 4 e 6. O
que não se sabe é o quão conservativo se está
sendo quando se consideram os valores
menores de resistência não-drenada quando não
estão sendo utilizados os valores médios por
profundidade.
Conforme
comentado
ü Uma maneira de se oferecer um critério para
escolha de um conjunto de dados é por meio do
tratamento estatístico dos mesmos.
ü Os valores de resistência não-drenada
determinadas em campo para o encontro do rio
Inferninho pertenciam a uma mesma população, o
mesmo acontecendo para o canal DNOS. Já os
valores encontrados para o rio Santa Luzia não
pertencem a uma mesma população;
ü Os valores de r² foram baixos quando se fez a
regressão linear do valor de Su com a profundidade.
Esses valores de r2 aumentaram substancialmente
quando se calcularam a médias dos valores de Su
para cada profundidade.
ü Apesar de possuírem valores de r2 melhores, as
regressões lineares considerando-se os valores
médios de resistência não-drenada com a
profundidade podem estar sendo contra a segurança.
REFERÊNCIAS
ARAÚJO, G. L. (2004). Retroanálise de Encontros de
Pontes Reforçados sobre Solos Moles. Dissertação de
Mestrado, Publicação G.DM.-125/04, Departamento
de Engenharia Civil e Ambiental, Universidade de
Brasília, Brasília, DF, 134p.
FAHEL, A. R. S. (2003). Desempenho de Encontros de
Ponte Reforçados com Geogrelhas sobre Solos Moles.
Tese de Doutorado, Publicação G.TD-018/03,
Departamento de Engenharia Civil, Universidade de
Brasília, Brasília, DF, 247p.
JEWELL, R. A. (1996). Soil Reinforcement With
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KANIRAJ, S.R. (1994). Rotational stability of
unreinforced and reinforced embankments on soft
soils. Geotextiles and Geomembranes, 13(11): 707726.
LOW, B. K., WONK, K. S., LIM, C. & BROMS, B. B.
(1990). Slip circles analysis of reinforced
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Geomembranes, 9(2): 165-181.