Probabilidade I
Lista 6 - Variáveis Aleatórias Contínuas
Exercício 1. Certa liga é formada pela mistura de dois metais. A liga resultante contém certa porcentagem
f (x) = (0, 6) · 10−5 x(100 − x)I[0,100] (x).
Suponha que L, o lucro obtido na venda dessa liga (por unidade de peso), seja dado por L = c1 + c2 X , onde
c1 e c2 são constantes. Esboce o gráco de f . Calcule o lucro esperado por unidade. Resposta: c1 + 50c2 .
de chumbo X, que pode ser considerada uma v.a. com densidade
Exercício 2. A demanda diária de arroz num supermercado, em centenas de quilos, é uma v.a.
com
densidade


2x/3, 0 ≤ x < 1
f (x) = −x/3 + 1, 1 ≤ x < 3


0, x < 0 ou x > 3
Esboce o gráco de
f.
Qual a probabilidade de se vender mais do que 150kg num dia escolhido ao acaso?
Em 30 dias, quanto o gerente do supermercado espera vender?
Qual a quantidade de arroz que deve ser
3
deixada à disposição dos clientes diariamente para que não falte arroz em 95% dos dias? Respostas: 8 , 4.000
kg; 245 kg.
Exercício 3. A temperatura T (em graus Celcius) de destilação do petróleo é crucial na determinação da
qualidade nal do produto. Suponha que T seja considerada uma v.a. com distribuição uniforme no intervalo
(150, 300).
Suponha que o custo para produzir uma galão de petróleo seja c1 reais. Se o óleo for destilado
◦
a uma temperatura inferior a 200 C , o produto obtido é vendido a c2 reais; se a temperatura for superior a
200◦ C , o produto é vendido a c3 reais. Esboce o gráco da densidade de T. Qual o lucro médio por galão?
2
1
Resposta: 3 c3 + 3 c2 − c1 .
Exercício 4. As alturas de 10.000 alunos de um colégio têm distribuição aproximadamente normal, com
média 170cm e devio padrão 5cm.
Qual o número esperado de alunos com altura superior a 165cm?
Qual o intervalo simétrico em torno da média que conterá 75% das alturas dos alunos? Respostas: 8413,
(164, 35 cm; 175, 65 cm).
Exercício 5. As notas de Culinária I dos alunos de uma universidade distribuem-se de acordo com uma
distribuição normal, com média 6,4 e desvio padrão 0,8. O professor atribui menções A, B e C da seguinte
forma:
Nota
Menção
x<5
5 ≤ x < 7, 5
7, 5 ≤ x ≤ 10
C
B
A
Numa classe de 80 alunos, qual ao número esperado de alunos com menção A? E com menção B? E C?
Respostas: 7, 70 e 3, respectivamente.
Exercício 6. Uma enchedora automática de garrafas de refrigerantes está regulada para que o volume médio
3 e o desvio padrão de 10cm3 . Pode-se admitir que a variável
3
volume seja normal. Qual é a porcentagem de garrafas em que o volume é menor que 990 cm ? Qual é a
de líquido em cada garrafa seja de 1000cm
porcentagem das garrafas em que o volume não se desvia da média em mais que dois desvios padrões? O
que acontecerá coma porcentagem da pergunta anterior se a máquina for regulada de forma que a média seja
3
3
1200cm e o desvio padrão 20cm ? Se três garrafas forem sorteadas ao acaso, qual a probabilidade de que
3
todas as três tenham, pelo menos, volume de 980 cm ? Respostas: 15,87%; 95,44%; 95,44% e 0,9331.
1
Exercício 7. A v.a. contínua X, assumindo valores positivos, tem uma distribuição
α > 0 e β > 0,
se sua densidade for dada por
(
f (x) =
onde
α > 0.
gama com parâmetros
1
α−1 e−x/β ,
Γ(α)β α x
x>0
0, x < 0,
Γ(α) é a função gama, importante em muitas áreas da Matemática, dada por Γ(α) =
Z
∞
e−x xα−1 dx,
0
A distribuição gama dá origem a outras importantes distribuições, quando particularizamos seus pa-
râmetros; por exemplo, se
distribuição Qui-quadrado
a) Prove que se
α > 0,
b) Prove que se
α
α = 1, obtemos a distribuição
com ν graus de liberdade.
então
∞
c) Sabendo-se que
2
α = ν/2
e
β = 2,
obtemos a
Γ(α + 1) = αΓ(α).
for um inteiro positivo, então
Z
exponencial; se
e−y dy =
√
π,
Γ(α) = (α − 1)!.
mostre que
Γ(1/2) =
√
π.
−∞
d) Prove que a média e a variância de uma v.a. X com distribuição gama são, respectivamente,
Exercício 8. Uma variável
X ∼ N (µ, σ 2 )
αβ
representa o desempenho de um certo equipamento.
considerado fora de controle caso se afaste da média por mais de dois desvios padrões.
e
αβ 2 .
Ele será
Todo os dias, o
equipamento é avaliado e, caso esteja fora de controle, será desligado e enviado para manutenção. Admita
independência entre as avaliações diárias. Calcule a probabilidade de que (a) no primeiro dia o equipamento
seja desligado (b) a primeira manutenção seja no décimo dia. Respostas: (a) 0,0456 (b) 0,0299.
Exercício 9. Uma v.a. X possui a seguinte densidade:


−x/2, −1 ≤ x ≤ 0



x/2, 0 < x ≤ 1
f (x) =

1/2, 1 < x ≤ 2



0, c.c.
Obtenha a função de distribuição F de X. Esboce os grácos de f e F. Resposta:


0, x ≤ −1



1
x2


− 4 + 4 , −1 < x ≤ 0
2
F (x) = x4 + 14 , 0 < x ≤ 1


x



2, 1 < x ≤ 2


1, x ≥ 2
Exercício 10. Seja X uma v.a. contínua com função de distribuição dada por:


0, x ≤ 0



x2 /2, 0 < x ≤ 1/2
F (x) =
x3 , 1/2 < x ≤ 1



1, x > 1
Verique que F satisfaz as propriedades de uma função de distribuição. Obtenha a densidade de X. Esboce
os grácos de f e F. Resposta:


x, 0 < x ≤ 1/2
f (x) = 3x2 , 1/2 < x ≤ 1


0, c.c.
2
Exercício 11. Uma v.a. contínua X tem densidade dada por:


c, −1 ≤ x < 0



2/3, 0 ≤ x < 1
f (x) =

2c, 1 ≤ x < 3/2



0, c.c.
Determine a função de distribuição de X. Calcule
Respostas:
P (X > −1/2|X ≤ 1/2) = 5/6
P (X > −1/2|X ≤ 1/2).
Esboce os grácos de f e F.
e


0, x ≤ −1



1


 6 (x + 1), −1 < x ≤ 0
F (x) = 16 (4x + 1), 0 < x ≤ 1


1



6 (2x + 3), 1 < x ≤ 3/2


1, x ≥ 3/2
Exercício 12. A
mediana de uma v.a. contínua com função de distribuição F é o número m tal que
Por outro lado, a moda de uma v.a. contínua com densidade f é o valor de x para o qual
2
f atinge seu máximo. Determine a mediana e a moda de X se (a) X ∼ U (a, b) (b) X ∼ N (µ, σ ) (c)
b+a
X ∼ Exp(λ). Respostas: (a) m = 2 e qualquer valor no intervalo [a, b] pode ser a moda de X . (b) A
ln(1/2)
e a moda vale 0.
mediana e a moda são iguais a µ. (c) m = −
λ
F (m) = 1/2.
Exercício 13. Segundo o artigo
Simulating a harvester-forwarder softwood thinning, o diâmetro de
certo tipo de árvore na altura do tronco, tem distribuição normal com média 8,8 polegadas e desvio padrão
2,8 polegadas. Qual é a probabilidade do diâmetro de uma árvore selecionada aleatoriamente estar entre 5
e 10 polegadas? Que valor c faz com que os intervalo
(8, 8 − c; 8, 8 + c)
inclua 98% de todos os valores de
diâmetro? Se quatro árvores forem selecionadas de forma independente, qual é a probabilidade de ao menos
uma ter diâmetro maior que 10 polegadas? Respostas: 0,5741;
c = 6, 524
e 0,8071.
Exercício 14. Suponha que o tempo de vida de um componente seja distribuído exponencialmente com
o parâmetro
λ.
Após o componente ser colocado em serviço, saímos por um período de
retornamos para encontrar o componente ainda funcionando.
t0
horas e então
Nesse caso, qual é a probabilidade de ele
durar ao menos t horas adicionais? Essa propriedade é chamada ausência de memória e tem o seguinte
signicado: se sabemos que o equipamento já durou t0 horas, a probabilidade dele durar mais t horas é igual a
de um equipamento novo durar as mesmas t horas. Resposta: mostre que
Exercício 15. Dizemos que a distribuição de X é
µ − x), ∀x ∈ R.
P (X > t0 +t|X > t0 ) = P (X > t).
simétrica em torno de
µ
se
P (X ≥ µ + x) = P (X ≤
Qual o ponto de simetria das distribuições das seguintes v.a's? Dê a esperança de cada v.a.,
se existir.
a)
X ∼ N (µ, σ 2 ).
b)
X ∼ Cauchy(M, b);
c)
X ∼ U [a, b].
Resposta:
X
isto é,
Resposta:
X
é simétrica em torno de
f (x) =
b
,
π[b2 +(x−M )2 ]
de
µ
e
E(X) = µ.
a+b
2 e
E(X) =
a+b
2 .
f (x) = λ2 e−λ|x−µ| , x ∈ R.
Resposta:
X
é simétrica em torno
E(X) = µ.
e) X tem distribuição logística; isto é
e
e
x ∈ R.
é simétrica em torno de
d) X tem distribuição de Laplace; isto é,
µ
f (x) =
e−x
,
(1+e−x )2
E(X) = 0.
3
x ∈ R.
Resposta:
X
é simétrica em torno de 0