Pró-Reitoria de Graduação
Curso de Licenciatura em Matemática
Trabalho de Conclusão de Curso
O DESENVOLVIMENTO DO CAMPO CONCEITUAL DAS
ESTRUTURAS ADITIVAS NO 6º ANO DO ENSINO
FUNDAMENTAL – ESTUDO DE CASO
Autor: Rawlinson Naylor Oliveira Teixeira
Orientadora: Erondina Barbosa Silva
Brasília - DF
2012
RAWLINSON NAYLOR OLIVEIRA TEIXEIRA
O DESENVOLVIMENTO DO CAMPO CONCEITUAL DAS ESTRUTURAS
ADITIVAS NO 6º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL - UM ESTUDO DE CASO
Artigo apresentado ao curso de graduação em
Matemática da Universidade Católica de Brasília, como
requisito parcial para obtenção do Título de Licenciado
em Matemática.
Orientadora: Erondina Barbosa da Silva
Brasília
2012
Artigo
de
autoria
de
Rawlinson
Naylor
Oliveira
Teixeira
intitulado
“O
DESENVOLVIMENTO DO CAMPO CONCEITUAL DAS ESTRUTURAS ADITIVAS NO
6º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL - UM ESTUDO DE CASO”, apresentado como
requisito parcial para obtenção do grau de Licenciado em Matemática da Universidade
Católica de Brasília, em 15 de junho de 2012, defendido e aprovado pela banca examinadora
abaixo assinada:
_____________________________________________________
Prof.ª MSc. Erondina Barbosa da Silva
Orientadora
Matemática – UCB
_____________________________________________________
Prof. MSc. Vilmondes Rocha
Avaliador
Matemática - UCB
_____________________________________________________
Prof. Esp. Demosthenes Bittencourt Junior
Avaliador
Matemática – UCB
Brasília
2012
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O DESENVOLVIMENTO DO CAMPO CONCEITUAL DAS ESTRUTURAS
ADITIVAS NO 6º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL - UM ESTUDO DE CASO
RAWLINSON NAYLOR OLIVEIRA TEIXEIRA
Resumo
O presente trabalho está inserido na área de Educação matemática e se baseia na Teoria de
Campos Conceituais de Gerard Vergnaud. A pesquisa se relaciona à resolução de problemas
do campo conceitual aditivo por alunos do 6º ano ensino fundamental de uma escola pública
do DF, onde foram coletados os dados no 1º bimestre do ano de 2012. Além da Teoria dos
Campos Conceituais, utilizou-se como referencial teórico os Parâmetros Curriculares
Nacionais para a área de Matemática para os anos iniciais e anos finais, que abordam os
significas das operações de adição e subtração. Para analisar como alunos do 6º ano do ensino
fundamental progridem no desenvolvimento e na aprendizagem dos conceitos relativos ao
campo conceitual aditivo, objetivo central da pesquisa, foi desenvolvido um trabalho de
campo em três etapas, na primeira procurou trabalhar a estrutura do sistema de numeração
decimal, utilizando jogo no tapetinho que é um QVL (quadro valor de lugar); na segunda foi
realizado um circuito de problemas do campo aditivo, com o objetivo e diagnosticar as
principais dificuldades dos alunos; na terceira etapa, atividades lúdicas e de resolução de
problemas buscaram superar os obstáculos observados na segunda etapa; na quarta e última
etapa foi feito um exercício avaliativo com itens da Prova Brasil, que mostrou o progresso dos
alunos na resolução de problemas do campo aditivo.
Palavras-chave: Campos Conceituais; Estruturas Aditivas; Educação Matemática
1. INTRODUÇÃO
Os Parâmetros curriculares Nacionais (PCN) de Matemática para os anos iniciais
(BRASIL, 1998a) apresentam exemplos dos vários significados das operações de adição e
subtração. Dentre esses significados um está relacionado à ideia de comparar, como mostra o
exemplo a seguir:
Paulo tem 24 figurinhas e Carlos tem 19. Quantas figurinhas Paulo tem a mais que Carlos?
Historicamente, em situações como essa, os alunos têm muita dificuldade em
encontrar a estratégia adequada para chegar à resposta correta. É comum que eles perguntem:
“é de mais ou é de menos?”
Uma outra situação que os alunos também têm muita dificuldade diz respeito a ideia
de comparar, mas nesse caso está implícita a ideia de completar uma quantidade como no
exemplo, a seguir:
Comprei um álbum que cabem 30 fotografias. Já coloquei 19. Quantas fotografias faltam
para completar o álbum?
Essas situações discutidas nos PCN de Matemática estão presentes nos livros didáticos
do 4º, 5º e 6º anos. Mas a questão é: porque os alunos erram tanto na resolução desses
problemas? Por que o aluno não consegue associar o que aprendeu com aquilo que é
perguntado no problema? E mais: por que os alunos chegam ao 6º ano ainda errando
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problemas simples que envolvem essas ideias? Será possível construir essas ideias com os
alunos de forma mais significativa?.
As duas situações abordadas anteriormente, além de outras que serão tratadas nesse
trabalho, têm como pano de fundo o que tem sido chamado de campo conceitual aditivo
(VERGNAUD, 2009) que envolve as operações de adição e subtração. A primeira situação
envolve a ideia de comparação e, tradicionalmente, os alunos erram porque a expressão “a
mais” os levam a deduzir que se trata de um problema que se resolve por meio da adição. A
segunda situação envolve a ideia de completar e tradicionalmente a escola exige que o aluno
resolva por meio de uma subtração, mas o raciocínio muitas vezes é aditivo. Ele pensa: ”para
completar trinta fotografias falta uma, para trinta faltam dez, logo, faltam onze fotografias”.
Outra solução bastante comum também é o aluno contar nos dedos a partir do dezenove:
vinte,vinte um, vinte e dois, vinte e três... vinte e nove, trinta, encontrando também onze. Os
que fazem isso chegam a registrar como solução a seguinte operação:
19
+11
30
Essas duas situações são apenas ilustrativas dos conflitos cognitivos pelos quais
passam os alunos ao tentar resolver problemas do campo aditivo. Muitas vezes, a escola,
desconsiderando o alto teor de dificuldade, os induz a resolverem de forma algorítmica, sem
uma análise mais profunda da situação. Ainda há a crença de que é possível treinar os alunos
para resolver esse tipo de situação. O pior ainda é que nem todas as ideias da adição e
subtração são corretamente trabalhadas em sala de aula e, muitas vezes, os alunos são
exigidos a dar respostas às situações para as quais ainda não possuem conhecimento
construído. A maioria das situações aditivas trabalhadas em sala de aula diz respeito a ideia de
juntar/retirar e de transformação positiva e negativa, presentes nos Parâmetros Curriculares
Nacionais (BRASIL,1998, p. 70).
Não obstante as dificuldades próprias das situações de adição e da subtração, no
contexto da resolução de problemas’, quando esses algoritmos precisam ser utilizados como
ferramentas, muitas vezes se faz opção por aquilo se considera mais fácil, ou seja, por receitas
prontas, mas essas receitas nem sempre funcionam para todas as classes de situações. Isso tem
sido questionado por muitos pesquisadores, como por exemplo, o francês Gérard Vergnaud,
criador da Teoria dos Campos Conceituais, principal referencial teórico desse artigo. O
trabalho desse pesquisador almeja proporcionar um quadro coerente e alguns princípios para o
estudo da progressão de crescimento e aprendizagem de habilidades complexas, como as que
envolvem a resolução de situações que envolvem a adição e a subtração, chamado por ele de
campo conceitual aditivo (VERGNAUD, 2009, p.18).
Este trabalho está inserido na área de Educação matemática, e se relaciona a resolução
de problemas do campo conceitual aditivo por alunos do 6º ano do Ensino Fundamental.
Nesta etapa, os alunos estão começando a caminhar de forma mais independente, mas ainda
estão na fase das operações concretas, quando são capazes de realizar operações complexas,
mas a partir da realidade concreta.
O objeto de estudo é a resolução de problemas de adição e subtração e a possibilidade
de mediação do professor para a aprendizagem significativa de crianças do 6º ano do ensino
fundamental.
A Necessidade de tal iniciativa de estudo é a preocupação com os alunos que alcançam
e até concluem a etapa final do Ensino Fundamental sem uma base mínima e crítica sobre as
operações elementares da matemática, tornando assim um bolsão de estudantes com pouca
compreensão de situações cotidianas que exigem a ação desses. Muitos alunos carregam essas
dificuldades ao longo de toda vida, não construindo conhecimentos básicos necessários para
cursar o ensino médio ou ingressar no ensino superior.
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Como as orientações curriculares brasileiras de maneira geral e do Distrito Federal de
maneira específica indicam uma organização não linear dos conteúdos, trazendo a ideia de
currículo em espiral e currículo em rede, em que todos os temas estão relacionados e não se
esgotam em uma única série, estamos considerando que os resultados dessa pesquisa podem
gerar contribuições tanto para o Pedagogo, como para o Professor de Matemática, pois ambos,
em geral, desconhecem a ideia de que as operações matemáticas só adquirem sentido dentro
das situações e que essas operações têm diferentes significados.
O que essa pesquisa se propõe é investigar como os alunos constroem os diferentes
significados das operações de adição e subtração e como o professor pode mediar essa
construção, ou seja, que situações o professor pode propor para tornar significativos esses
conceitos para os alunos. Assim, se questiona: é possível levar o aluno a interpretar e resolver
questões de níveis diferentes sem que necessite utilizar uma mesma regra de operação? Ou,
ainda, é possível organizar o trabalho pedagógico de tal forma que o professor tenha espaço,
tempo e oportunidade clara de expor para o aluno a relação conjunta da adição e subtração
sem separar em regras para operações “de mais” e operações de “menos”?
Assim, a questão central que norteia o presente trabalho é: Como os alunos progridem
no desenvolvimento e na aprendizagem dos conceitos relativos ao campo conceitual aditivo?
Baseados na teoria dos campos conceituais de Gerárd Vergnaud estamos considerando
que abordagem integrada da adição e subtração em contextos significativos para as crianças
pode elevar a competência delas na resolução de problemas e, portanto, possibilitar o
desenvolvimento de habilidades e competências matemáticas necessárias à vida cotidiana e ao
prosseguimento dos estudos.
1.1 OBJETIVOS
O objetivo central do presente estudo é analisar como alunos do 6º ano do ensino
fundamental progridem no desenvolvimento e na aprendizagem dos conceitos relativos ao
campo conceitual aditivo.
São objetivos específicos
1. Identificar que situações podem tornar significativa a aprendizagem dos conceitos
de adição e subtração.
2. Analisar que tipo de mediação pode ser feita pelo professor para a aprendizagem
conjunta das operações de adição e subtração.
1.2 PERCURSO METODOLÓGICO
O presente trabalho foi realizado segundo uma abordagem qualitativa por meio de uma
pesquisa de campo participante e colaborativa que segundo Fiorentini e Lorenzato (2006, p.
112) é aquela “em que o pesquisador se introduz no ambiente a ser estudado não só para
observá-lo, mas, sobretudo para mudá-lo em direções que permitam a melhoria das práticas e
maior liberdade de ação e de aprendizagem dos participantes.”.
Os dados da pesquisa foram coletados no âmbito do projeto de extensão “Matemática
– nenhum a menos”1, que tem por objetivo elevar a competência matemática de estudantes
dos anos finais do ensino fundamental, por meio do acompanhamento pedagógico da
1
Projeto de extensão da Universidade Católica de Brasília-UnB, realizado no CEF 01 da Estrutural e
Coordenado pela Professora Erondina Barbosa da Silva.
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interação entre estudantes em situação de sucesso escolar e estudantes em situação de
fracasso, em turno contrário ao turno regular dos estudos. Em última instância o que se deseja
no projeto é a superação dos obstáculos (IGLIORI, 2002) que impedem os alunos a
avançarem em suas aprendizagens matemáticas.
Este projeto acontece no Centro de Ensino Fundamental 01 da Estrutural e os dados
foram coletados no 1º bimestre do ano de 2012, pelo pesquisador que atua no projeto na
condição de estagiário.
Os sujeitos da pesquisa são 18 alunos regularmente matriculados no 6º ano do ensino
fundamental e que participam do projeto por indicação dos seus respectivos professores. Esses
alunos tem em média 12 anos de idade.
É importante salientar que em conversa inicial com o grupo de professores de
Matemática do 6º ano, esses indicaram que a estrutura do sistema de numeração decimal e as
operações básicas com números naturais são os principais obstáculos a serem atacados pelo
projeto.
2. A TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS
O presente trabalho se baseia na Teoria de Campos Conceituais de Gerard Vergnaud.
Trata-se de uma teoria cognitivista neo-piagetiana que propicia uma estrutura coerente e
alguns princípios básicos ao estudo do desenvolvimento cognitivo e da aprendizagem das
competências complexas, sobretudo as que dependem da ciência e da técnica (SANTANA,
2006), sendo, portanto, particularmente importante ao estudo do desenvolvimento de
conceitos matemáticos, no processo de ensino e aprendizagem.
De acordo com Moreira (2002, p. 9), Vergnaud define o campo conceitual como “um
conjunto de problemas e situações cujo tratamento requer conceitos, procedimentos e
representações de tipos diferentes, mas intimamente relacionados.”.
Na resolução de um problema os alunos mobilizam essas diferentes representações, de
acordo com a situação dada. Mas é importante pensar que ao propor uma situação para o
aluno o professor age de modo diverso que o matemático profissional. Para Vergnaud (2009),
a noção de complexidade de compreensão de um conceito não está para o matemático assim
como para o professor, pois o matemático caça os “axiomas” mais significativos, mas o
professor procura as noções simplificadas para o estudante, no qual mesmo o estudante não
compreende instantaneamente.
Mas o ponto chave é que os conceitos só se tornam claros e objetivos por meio das
situações propostas. E aqui temos o cerne da teoria, o campo conceitual é, antes de tudo, um
conjunto de situações (FÁVERO, 2005), ou seja, o conceito só adquire sentido dentro da
situação.
2.1 MAS O QUE É UM CONCEITO?
Um conceito matemático não se reduz à definição de um objeto e tampouco pode estar
preso apenas ao seu significado geral, mas ao seu desenvolvimento em diferentes momentos e
situações. Como afirma Vergnaud (1993), é por meio das situações e questionamentos a
serem encarados e solucionados que um conceito ganha sentido para a criança. Para Fávero
(2005) tanto como um novo conceito quanto um novo esquema são gerados pela pessoa e
caminha para a resposta de novas situações as quais ela se adapta. O sentido é individual e
8
não está dado a priori, não está na situação. O sentido é uma produção do sujeito e é por isso
que algumas situações podem fazer sentido para uma pessoa e não fazer para outra.
Segundo Vergnaud (2009) a ordem de complexidade progressiva das relações que o
aluno estabelece não é uma ordem total ou linear. Pois o normal seria pensar que o aluno parte
de um aprendizado para o seu seguinte aprendizado e depois para o posterior a este, como
mostra o esquema a seguir:
A
D
B
C
E
F...
Figura 1. Esquema – Vergnaud (2009, p. 16)
Vergnaud (2009) argumenta que o que ocorre é uma ordem parcial ou com vários
ramos, como mostra o esquema a seguir. A ordem pode partir de dois aprendizados
subordinados a outros aprendizados que nem mesmo são pré-requisitos desses dois
aprendizados. Por exemplo, para uma noção C o aluno necessariamente não precisaria ter
aprendido a noção B, mas sim uma noção A e depois partir para uma noção D. Pois um
conceito não é gerado apenas por si só, mas pela ligação com outros conceitos e ao conjuntos
de relações. (FAVERO, 2005).
A
B
C
D
E
I
F
G
H
J
Figura 2. Esquema – Vergnaud (2009, p. 16)
O que as ideias desse autor, presentes no esquema acima, nos mostram é que a
construção de um conceito não segue uma ordem linear. No caso da nossa pesquisa, a
construção das diversas ideias que envolvem a adição e a subtração devem ter em conta não
apenas essa não linearidade, mas, sobretudo as situações que vão dar sentido a esses
conceitos. Por isso é necessário uma análise profunda das tarefas que são propostas aos
alunos.
Paralelamente à análise das tarefas é preciso fazer a análise dos acertos e erros dos
alunos. A partir da análise de acertos é possível observar quais passos foram utilizados pelo
aluno para alcançar o objetivo da tarefa proposta a ele e isso deve acontecer na resolução dos
problemas mais simples até os mais complexos (VERGNAUD, 2009). Com relação aos erros,
Vergnaud (2009) argumenta que a atenção a esses é essencial, pois fornece a percepção das
dificuldades que o aluno enfrentou, e assim é possível intervir para fazer o aluno superar o
obstáculo encontrado.
Segundo Vergnaud (2009) o conceito gira em torno de uma tríade: conjunto de
situações que justifiquem o conceito; conjunto de invariantes (objetos, propriedades e
relações) e o conjunto de suas representações. Para analisar a construção de um conceito é
necessário analisar essa tríade.
Vergnaud (2003) utiliza a seguinte representação para mostrar a relação entre esses
três conjuntos:
Conceito = (Situações, Invariantes, Representações).
C = (S, I, R).
De acordo com Moreira (2002), as situações (S) que dão sentido ao conceito, vinculam
se ao real ou ao contexto sociocultural que tomamos emprestado para propor as tarefas aos
alunos. As invariantes operacionais (I) dizem respeito aos objetos, propriedades e relações
reconhecidas e utilizadas pelos sujeitos na resolução da tarefa. Já as representações simbólicas
9
(R) são a linguagem natural, os signos, os símbolos, gráficos, sentenças utilizados para
representar as invariantes operacionais.
É central na teoria dos campos conceituais o conceito de esquema, herdado da teoria
de Piaget. De acordo com Vergnaud (1990, apud MOREIRA, 2002, p. 12) um esquema é a
“organização invariante do comportamento para uma classe de situações.” Esse autor vai
adiante e afirma que os algoritmos são exemplos de esquemas, mas nem todo esquema é
algorítmico. Assim, podemos concluir que há um conjunto de esquemas associados à classe
de situações que dão sentido aos conceitos de adição e subtração e que estão vinculados ao
campo conceitual aditivo.
Segundo Vergnaud (2009) o sentido psicológico referente ao conceito de situação está
intimamente ligado ao processo cognitivo e as resposta da pessoa às situações a que ela é
confrontada. No que se refere ao campo aditivo, existe uma heterogeneidade de situações e os
conhecimentos dos alunos são lapidados pelas situações presentes ao seu questionamento e
aprendizado, seja partindo de um esquema já conhecido por ele próprio ou construído em
meio a outros esquemas que vão tomando conta desse desenvolvimento e, principalmente, em
conceitos a serem descobertos e trabalhados para a construção de uma possível solução
(MOREIRA, 2002).
3. CAMPOS CONCEITUAIS: ESTRUTURAS ADITIVAS.
O campo conceitual das estruturas aditivas é concomitantemente um agregado de
situações que exigem o uso de uma ou mais adições e subtrações, de invariantes operacionais
(teoremas e conceitos) e de representações simbólicas que possibilitam analisar essas
situações como tarefas matemáticas (SANTANA, 2007).
De acordo com Santana (2007) ao campo conceitual aditivo estão associados diversos
conceitos como os de número, numeral, antecessor, sucessor. E também diversas ações como:
seriar, ordenar, reunir, juntar, somar, acrescentar, subtrair, separar, afastar, transformar,
comparar.
Para Vergnaud (2003) são componentes das estruturas aditivas, por exemplo, os
conceitos de cardinal e de medida, de transformação temporal por aumento ou diminuição
(perder ou ganhar certa quantia), de relação de comparação (ter bombons a mais que), de
composição binária de medidas (quanto no total?), de composição de transformações e
relações, de inversão, de deslocamento, etc.
Para Vergnaud (2009) as relações aditivas são relações ternárias que se abrem em um
leque de diferentes caminhos e possibilita resultados variados de transformações aditivas.
Esse teórico apresenta “seis esquemas ternários fundamentais” dos problemas aditivos,
apresentados a seguir:
− Primeira Categoria: dois números naturais se compõem para resultar em um terceiro
numero natural.
− Segunda categoria: Uma transformação opera sobre um número natural resultando
em outro número natural.
− Terceira categoria: Uma relação liga dois números naturais.
− Quarta categoria: Duas transformações se entrelaçam para resultar em uma
transformação
− Quinta categoria: Uma transformação opera numa relação relativa para resultar num
relação relativa.
− Sexta categoria: duas relações relativas se entrelaçam para resultar em uma relação
relativa.
10
4. AS SITUAÇÕES ADITIVAS NOS PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS
PARA A ÁREA DE MATEMÁTICA
Os parâmetros curriculares nacionais para a área de Matemática para os anos iniciais –
PCN (BRASIL, 1998a, p. 69), apresentam quatro classes de situações relativas ao campo
conceitual aditivo. Muito embora não façam referência à Teoria dos Campos Conceituais de
Gerárd Vergnaud, o texto indica a necessidade de um tratamento conjunto para as operações
de adição e subtração como sugere a teoria:
O desenvolvimento da investigação na área da Didática da Matemática traz novas
referências para o tratamento das operações. Entre elas, encontram-se as que
apontam os problemas aditivos e subtrativos como aspecto inicial a ser trabalhado na
escola, concomitantemente ao trabalho de construção do significado dos números
naturais.
A justificativa para o trabalho conjunto dos problemas aditivos e subtrativos baseiase no fato de que eles compõem uma mesma família, ou seja, há estreitas conexões
entre situações aditivas e subtrativas.
A mesma justificativa é encontrada também nos PCN de Matemática para os anos
finais (BRASIL, 1998b) que argumentam que muitos alunos chegam ao final do ensino
fundamental sem uma compreensão adequada dos números e das operações numéricas.
Acrescentam ainda que muitos até operam com os números, mas não sabem interpretar os
resultados ou relacionar a situação com a operação correspondente que possibilita encontrar a
resposta correta.
Os PCN (BRASIL, 1998a) argumentam que a construção dos significados da adição e
subtração levam tempo e que é necessária a descoberta de diferentes procedimentos de
solução das situações. A seguir apresentamos os quatro grupos de situações, bem como os
exemplos que os PCN apresentam para cada situação:
GRUPO 1: situações associadas à ideia de combinar dois estados para obter um terceiro, mais
comumente identificada como ação de “juntar”. Nesse grupo estão as situações vinculadas à
primeira categoria apontada por Vergnaud (2009) em que dois números naturais se compõem
para resultar em um terceiro numero natural. Os exemplos a seguir, retirados dos PCN (2009,
p. 70), mostram os problemas que envolvem as ideias de juntar e separar correspondentes à
categoria:
Ex. 1: Em uma classe há 15 meninos e 13 meninas. Quantas crianças há nessa
classe?
Ex. 2: Em uma classe há alguns meninos e 13 meninas, no total são 28 alunos.
Quantos meninos há nessa classe?
Ex. 3: Em uma classe de 28 alunos, 15 são meninos. Quantas são as meninas?
GRUPO 2: situações ligadas à ideia de transformação, ou seja, alteração de um estado inicial,
que pode ser positiva ou negativa. Nesse grupo estão as situações vinculadas à segunda
categoria apontada por Vergnaud (2009), ou seja, uma transformação opera sobre um numero
natural resultando em outro numero natural. Os exemplos a seguir, retirados dos PCN (2009,
p. 70), mostram as ideias de ganhar ou acrescentar e perder, ou retirar correspondentes à
categoria:
Ex: 1: Paulo tinha 20 figurinhas. Ele ganhou 15 figurinhas num jogo. Quantas
figurinhas ele tem agora? (transformação positiva).
Ex: 2: Pedro tinha 37 figurinhas. Ele perdeu 12 num jogo. Quantas figurinhas ele
tem agora? (transformação negativa).
Ex. 3: Paulo tinha algumas figurinhas, ganhou 12 no jogo e ficou com 20. Quantas
figurinhas ele possuía?
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Ex. 4: Paulo tinha 20 figurinhas, ganhou algumas e ficou com 27. Quantas
figurinhas ele ganhou?
Ex. 5: No início de um jogo, Pedro tinha algumas figurinhas. No decorrer do jogo
ele perdeu 20 e terminou o jogo com 7 figurinhas. Quantas figurinhas ele possuía no
início do jogo?
Ex. 6: No início de um jogo Pedro tinha 20 figurinhas. Ele terminou o jogo com 8
figurinhas. Oque aconteceu no decorrer do jogo?
GRUPO 3: situações ligadas à ideia de comparação. Nesse grupo estão as situações
vinculadas. Nesse grupo estão as situações vinculadas à terceira categoria apontada por
Vergnaud (2009), ou seja, uma relação liga dois números naturais, por comparação. Os
exemplos a seguir, retirados dos PCN (2009, p. 70), mostram as ideias de comparar:
Ex. 1: No final de um jogo, Paulo e Carlos conferiram suas figurinhas. Paulo tinha
20 e Carlos tinha 10 a mais que Paulo. Quantas eram as figurinhas de Carlos?
Ex. 2: Paulo e Carlos conferiram suas figurinhas. Paulo tem 12 e Carlos, 7. Quantas
figurinhas Carlos deve ganhar para ter o mesmo número que Paulo?
Ex. 3: Paulo tem 20 figurinhas. Carlos tem 7 figurinhas a menos que Paulo. Quantas
figurinhas tem Carlos?
GRUPO 4 : estão as situações que supõem a compreensão de mais de uma transformação
(positiva ou negativa). Nesse grupo estão as situações vinculadas às quarta categoria
categoria apontada por Vergnaud (2009), ou seja, duas transformações se entrelaçam para
resultar em uma transformação, conforme mostram os exemplos a seguir, retirados dos PCN
(2009, p. 107):
Ex. 1: — No início de uma partida, Ricardo tinha um certo número de pontos. No
decorrer do jogo ele ganhou 10 pontos e, em seguida, ganhou 25 pontos. O que
aconteceu com seus pontos no final do jogo?
Ex. 2: No início de uma partida, Ricardo tinha um certo número de pontos. No
decorrer do jogo ele perdeu 20 pontos e ganhou 7 pontos. O que aconteceu com seus
pontos no final do jogo?
Ex. 3: Ricardo iniciou uma partida com 15 pontos de desvantagem. Ele terminou o
jogo com 30 pontos de vantagem. O que aconteceu durante o jogo?
É importante observar que em cada grupo as ideias exploradas relacionam tanto à
adição quanto à subtração, reforçando a orientação de que essas precisam ser trabalhadas
conjuntamente, como integrantes de um campo conceitual que possuem um conjunto de
situações, de invariantes operacionais (esquemas, algoritmos) e de símbolos e signos
matemáticos utilizados com a função representativa. Assim, o desenvolvimento das
habilidades relativas à resolução de problemas do campo aditivo, requer a compreensão de
todas essas ideias, motivo pelo qual se infere que o trabalho leva tempo e não pode ser
reduzido apenas à etapa inicial do ensino fundamental. É importante também que na etapa
final tais ideias sejam trabalhadas.
Esses mesmos significados são explorados nos PCN de Matemática para os anos finais
(BRASIL, 1998b, p. 108), incorporando as operações também com números racionais e
inteiros e as demais categorias apontadas por Vergnaud (2009).
5. RESULTADOS E DISCUSSÃO
A fim de possibilitar uma melhor análise dos resultados da pesquisa de campo, a
discussão será feita em quatro etapas correspondentes às atividades que foram propostas aos
alunos, no âmbito do Projeto de Extensão “Matemática – nenhum a menos”, com o objetivo
de fazê-los avançar na compreensão das situações aditivas.
12
1ª ETAPA: O TAPETINHO E A COMPREENSÃO DA ESTRUTURA DO SISTEMA DE
NUMERAÇÃO DECIMAL
Conforme já foi dito, os professores indicaram que os alunos tinham dificuldade na
compreensão da estrutura do sistema de numeração decimal. Isso se confirmou no
acompanhamento dos cadernos dos alunos e das atividades propostas por seus professores.
Muitos deles apresentavam erros tanto nos exercícios como nos problemas, principalmente
nas operações que implicava o agrupamento, comumente chamado de “vai um”, na adição e o
desagrupamento, comumente chamado de “pedir emprestado” na subtração.
Consideramos que essa incompreensão poderia ser um obstáculo à resolução de
problemas do campo conceitual aditivo. Em razão disso, a primeira atividade proposta foi o
“Tapetinho” que na verdade é um tabuleiro em forma de QVL (Quadro Valor de Lugar) que
possibilita aos alunos fazerem agrupamentos e desagrupamentos de palitos o para
compreensão da composição de da decomposição do número. Com o tapetinho, foi jogado o
“Nunca 10” (ANEXO A), usando palitos inicialmente e, posteriormente, com material
dourado. As figuras 3 e 4, a seguir, mostram o tapetinho.
Figura 3. Tapetinho
Figura 4. Alunos jogando o Nunca 10
com material dourado
O jogo foi realizado em grupos de 5 ou 6 alunos. Cada aluno na sua vez lançava um
dado e pegava a quantidade correspondente, que era então colocada na coluna das unidades.
Toda vez que formava uma dezena tinham que agrupar a quantidade amarrando com elásticos,
que era então colocada na coluna das dezenas. Ganhava o jogo o primeiro aluno que
agrupando palitos formasse uma centena. Nesse processo os alunos de maneira lúdica e
intuitiva iam agrupando, compondo quantidades e consequente realizando as operações
mentais de juntar, acrescentar e comparar, que estão na base do campo conceitual aditivo
(VERGNAUD, 2009). Quando o primeiro aluno completava uma centena era a hora de
desmanchar os agrupamentos de palitos até não restar mais nenhum no tapetinho. Nesse
momento, os alunos também de forma intuitiva iam desagrupando, decompondo quantidades
e, consequentemente, realizando as operações mentais de separar, retirar, diminuir e comparar
que estão também na base do campo conceitual aditivo.
O fragmento abaixo mostra o diálogo entre o pesquisador e o aluno Eliandro que
acumulou em seu tapetinho nove amarrações com dez palitos na coluna das dezenas e seis
palitos ficaram sobrando na coluna das unidades. Ele jogou dois dados e obteve a quantidade
8 que deveria ser acrescida ao que já tinha. Nesse momento ele diz
Eliandro:
Pesquisador:
Eliandro:
— eu passei da casa de dezena, eu ganhei”.
— E “porque ele você ganhou? .
— “Eu cheguei a cem”.
13
Pesquisador:
Ele orgulhoso dizia:
Eliandro:
— Certo, mas se não é mais dezena ou unidade era o que então. “Então o
que é uma centena?
— é uma centena, porque aqui cem palitos com mais quatro aqui.
E continuava a explicação :
Eliandro: — Oxe, professor, olha aqui são dez dezenas. Ah, professor, eu já posso
amarrar essas dez também.
Esse fragmento mostra a compreensão do aluno da estrutura do sistema de numeração
decimal. Mostra que ele compreende o que é unidade, dezena e centena. O jogo “Nunca dez”
possibilitou o alargamento dessa compreensão. Isso se manifestou nas atividades propostas a
seguir, bem como nos exercícios deixados pelos professores e que implicavam no uso dessa
estrutura.
Após várias edições do jogo “Nunca 10” com palitos, foi introduzido o material
dourado, que apresenta uma dificuldade adicional, pois implica não apenas em amarrar os
palitos, mas na troca de 10 cubinhos por uma barra que representa a dezena. No entanto, não
se observou dificuldade nesse processo.
O PCN (BRASIL 1998a) fala da importância do aluno utilizar o número como
instrumento ou ferramenta para representar e resolver situações-problema. Nesse sentido, o
jogo “Nunca dez”, representou uma situação lúdica e significativa para os alunos utilizarem
quantidades e suas representações em um contexto de situações aditivas. “Esse jogo
contribuiu efetivamente para que os alunos compreendessem o desagrupamento nas operações
de adição e subtração que implicava na composição (vai um) e na decomposição pegar
emprestado”).
2º ETAPA: CIRCUITO DE PROBLEMAS DO CAMPO CONCEITUAL ADITIVO.
Para analisar o desempenho dos alunos na resolução de problemas do campo aditivo,
foi montado um circuito de problemas (ANEXO B). Esse circuito teve um caráter diagnóstico
e era constituído de dezesseis problemas que foram impressos em tamanho grande e
colocados de quatro em quatro sobre as bancadas do laboratório onde o projeto de extensão é
desenvolvido. Os alunos foram orientados a escolher oito dos dezesseis problemas para
resolverem, mas ao final, retornaram resolvendo os problemas deixados de lado.
A figura 5, a seguir, mostra alunos resolvendo os problemas do circuito.
Figura 5. Circuito de problemas
Uma primeira análise revela que o formato de circuito atraiu bastante os alunos.
Podemos inferir que a motivação foi alta pelo simples fato de eles poderem se movimentar em
volta da mesa e fazer escolhas.
14
Os alunos foram orientados a resolver os problemas do jeito que quisessem, ou seja,
não foi cobrado que eles utilizassem algoritmos padronizados.
Os problemas do circuito relacionavam-se às situações dos grupos 1, 2, 3 e 4, descritos
nos PCN e já mencionados nesse artigo. Essas situações, por sua vez, relacionavam-se às
ideias de juntar, separar, completar, comparar, ganhar, perder e havia também problemas
envolvendo mais de uma dessas ideias.
A partir do circuito foi possível elaborar um plano de ação para o desenvolvimento das
habilidades relacionadas ao campo conceitual aditivo, intervindo nos obstáculos observados
nos registros escritos dos alunos e que os impediam, em menor ou maior grau, terem sucesso
e segurança na resolução dos problemas.
Na construção dos problemas procuramos contextos que pudessem ser significativos
para os alunos, como por exemplo os relacionados à esportes, jogos, brinquedos, animais,
carros, etc, pois Segundo Vergnaud (2003, p. 85) “as tarefas escolares não são, em sua
natureza, diferentes das tarefas que uma criança pode enfrentar na sua vida cotidiana”.
No circuito aconteceu algo curioso. Como eles tinham que escolher apenas 8 dos 16,
simplesmente não liam o problema, escolheram baseados no critério “tamanho do texto” e não
na dificuldade. Muito embora não fosse um jogo a situação foi lúdica e mesmo sem a nossa
orientação, eles disputaram para ver quem terminava primeiro. Ao final, solicitamos que
retornassem para ler os problemas que haviam deixado e eles, então, chegaram a conclusão
que os maiores não eram os mais difíceis.
5.1 ANÁLISE DOS PROBLEMAS DO GRUPO 1
Para análise das situações do GRUPO 1 foram escolhidos os problemas de números 1,
10 e 15 do circuito. Nesse grupo estão as situações ligadas a ideia descrita na primeira
categoria de Vergnaud (2009), em que “dois números naturais se compõem para resultar em
um terceiro numero natural.”
O problema 10 envolve a ideia de juntar duas quantidades para compor em uma
quantidade total.
Problema 10
No estacionamento do restaurante comunitário há 12 gols e 17 pálios. Quantos carros
há nesse estacionamento?
Trata-se de um problema bem simples e com quantidades pequenas, sem necessidade
de agrupamento. Todos os alunos resolveram por meio de uma adição e acertaram o resultado.
O problema 1, do mesmo grupo, envolve a ideia de obter uma quantidade a partir da
composição de outras duas. Esse era um pouco mais difícil, pois envolvia quantidades
maiores e exigia o desagrupamento.
Problema 1
Em uma escola havia 548 alunos. Desse total, 389 eram meninas. Quantos meninos
havia na escola?
Observamos que 8 alunos compreenderam a ideia, escolhendo a operação de subtração
para resolver o problema. Esses 8 alunos erraram no desagrupamento, como mostra a figura 6
a seguir com a resolução da aluna Thais.
15
Figura 6: resolução do problema 1 – Thais (12 anos)
Do grupo de 18, apenas 3 alunos obtiveram acerto total tanto na operação quanto do
procedimento correto para atingir a resposta. Os demais não conseguiram resolver
adequadamente o problema e apenas somaram as quantidades, demonstrando incompreensão
na leitura/interpretação do problema.
O problema 14 também envolve a ideia de se obter uma quantidade pela composição
de outras duas, mas nesse caso a linguagem é uma dificuldade visto que fala em “algumas
tartarugas”, uma quantidade ausente que acrescida a quantidade presente de coelhos forma o
total de animais.
Problema 14
Na casa de Raimundo há algumas tartarugas e 18 coelhos, sendo o total de 29 animais.
Quantas tartarugas há na casa de Raimundo?”
É importante observar que embora o raciocínio seja aditivo, pois a quantidade de
tartarugas mais a quantidade de coelhos dá o total de animais, a escola, em geral, exige que os
alunos resolvam por meio de uma subtração.
Metade dos alunos não conseguir resolver adequadamente e a maioria dos alunos
procederam como a aluna Bianca que apenas somou as quantidades, como mostra a figura 7, a
seguir.
Figura 7. Resolução do problema 14 – Bianca (13 anos)
A análise dos resultados indica a necessidade de dar continuidade ao trabalho com a
estrutura do sistema de numeração decimal e também com a leitura/interpretação das
situações.
5.2 ANÁLISE DOS PROBLEMAS DO GRUPO 2
Para análise das situações do GRUPO 2 foram escolhidos os problemas de números 11
e 13 do circuito. Nesse grupo estão as situações ligadas à ideia descrita na segunda categoria
de Vergnaud (2009), em que “uma transformação opera sobre um numero natural resultando
em outro numero natural.” Essa transformação tanto pode ser positiva, quanto negativa.
16
O problema 11 envolve uma transformação positiva, associada à ideia de ganhar.
Trata-se de um problema fácil, em que não há necessidade de fazer agrupamento na adição.
Problema 11
Amanda ganhou de sua mãe 12 canetinhas. E do seu pai ganhou 16 canetinhas. Quantas
canetinhas ela tem agora?
Dos 18 alunos, apena um não interpretou corretamente e resolveu por meio de uma
subtração. Os demais resolveram corretamente.
O problema 13 envolve uma transformação negativa, associada à ideia de perder. É
também um problema de fácil, em que não há a necessidade de fazer desagrupamento na
subtração.
Problema 13
Eduardo tinha 26 bolinhas de gude. Jogando com Carlos perdeu 11. Quantas bolinhas
de gude Eduardo tem agora?
O problema 13 apresentou um equilíbrio de acertos e erros. Dos 18 alunos, 10
somaram as quantidades ao invés de subtrair, demonstrando dificuldade na interpretação da
situação.
A análise indica a necessidade de aprofundar o trabalho de leitura/interpretação das
situações que envolvem transformações positivas e negativas. Muito embora as ideias de
ganhar e perder sejam bastante comuns, o índice de erros, superior a 50% do total de alunos,
mostra que tais ideias no contexto educacional não são triviais.
5.3 ANÁLISE DOS PROBLEMAS DO GRUPO 3
Para análise das situações do GRUPO 3 foram escolhidos os problemas de números 7
e 8 do circuito. Nesse grupo estão as situações ligadas à ideia descrita na terceira categoria de
Vergnaud (2009), em que “uma relação liga dois números naturais” por comparação.
O problema 7 é um típico problema do terceiro grupo que envolve a ideia de
comparar e completar quantidades. Para saber quantas páginas o livro de Alexandre tem a
mais que o livro de Rita, o aluno deve comparar as quantidades. Para saber quantas páginas
faltam para ambos terminar de ler, eles precisam utilizar a ideia de completar quantidade que
também é uma ideia comparativa.
Problema 7
Rita e Alexandre gostam muito de ler. O livro que Rita está lendo tem 120 páginas e
ela leu 40 páginas. Alexandre está lendo um que tem 228 páginas e ele já leu 57
páginas.
a)Quantas páginas o livro de Alexandre tem a mais que o livro de Rita ?
b)Quantas páginas faltam para Rita terminar de ler o livro?
c)Quantas páginas faltam para Alexandre terminar de ler o livro?
No item “a”, a expressão “a mais” não indica a operação de adição. Nesse tipo de
problema, os alunos, em geral, têm mais dificuldade. Entretanto, isso não ocorreu muito
provavelmente em virtude de um aluno ter feito a mediação necessária para a compreensão do
problema, como descrevemos a seguir.
17
O aluno Eliardo pegou o seu caderno de 20 matérias e seu livro didático de
Matemática e emparelhando os dois disse: “não é para fazer conta de mais.” Ele ainda
justificou: “se fizer conta de mais, a gente está juntando todas as páginas.” Isso foi suficiente
para que todos compreendessem que a operação necessária era a de subtração. Como todos
podiam circular livremente pelas bancadas, eles se aglomeraram em torno da bancada do
problema 7 para o resolverem. A figura 8, a seguir, mostra o registro do aluno Eliardo para o
problema.
Figura 8. Resolução do problema 7, item a – Eliandro (11 anos)
Os itens “b” e “c” do problema 7 questiona quantas paginas faltam para Rita e
Alexandre terminarem de ler o livro, respectivamente. A maioria dos estudantes deixaram os
itens sem resposta. Apenas três alunos obtiveram êxito e respondendo quase da mesma forma
que a aluna Bia, cujo registro é mostrado na figura 9, a seguir. Esses alunos utilizaram a
operação de subtração para resolver o problema.
Figura 9. Resolução do problema 7, itens a, b e c – Bia (12 anos)
As análises indicam que a necessidade de ampliar a compreensão dos alunos de
situações problemas que envolvem as ideias de comparar e completar. O baixo número de
alunos que conseguiram resolver corretamente os problemas indica que esse é o grupo de
situações com apresenta maior dificuldade. Por outro lado, indica também a possibilidade dos
estudantes ajudarem uns aos outros, conforme prevê o projeto de extensão “Matemática –
nenhum a menos.”
5.4 ANÁLISE DOS PROBLEMAS DO GRUPO 4
Para análise das situações do GRUPO 4 foi escolhidos o problema de números 16
circuito. Nesse grupo estão as situações ligadas à ideia descrita na quarta categoria de
Vergnaud (2009), em que “duas transformações se entrelaçam para resultar em uma
transformação”o, ou, em outras palavras situações que possuem mais de uma transformação.
O problema 16 possui uma transformação positiva, pois Julina ganha 16 bonecas, mas
a quantidade de bonecas que ela tem antes de ganhar é um dado desconhecido, o que resulta
em uma dificuldade adicional, pois embora seja uma transformação positiva, para ter acesso a
essa quantidade, o aluno tem que fazer uma subtração. Além disso, o problema tem um dado
desnecessário, ou seja, para saber quantas bonecas Juliana tinha antes do natal, não é
necessário saber que ela doou 6 bonecas para o bazar. Muito embora o problema traga
quantidades pequenas, estas peculiaridades tornam o problema mais difícil.
18
Problema 16
Juliana tinha algumas bonecas antes do natal, ganhou16 dos seus parentes no dia de
Natal e ficou com 30 bonecas, mas doou para o bazar 6 bonecas. Quantas bonecas ela
tinha antes do natal?”
Dos 18 alunos, apenas a aluna Bia acertou o problema, conforme registro mostrado na
figura 10, a seguir. Isso mostra que a situação se revelou mesmo muito difícil para os alunos.
Figura 10. Resolução do problema 16 – Bia (12 anos)
Os demais não conseguiram interpretar a situação. Muitos até resolveram
corretamente, mas somavam ou subtraiam do resultado as 6 bonecas que foram doadas.
Outros, ainda, apenas subtraíram as 6 bonecas da quantidade 30. Isso revela que os alunos
pensam que todos os dados de um problema devem ser utilizados, independentemente da
leitura/interpretação.
A análise indica a necessidade de um planejamento que incorpore à organização do
trabalho pedagógico problemas com mais de uma transformação, com várias ideias e também
problemas com dados necessários.
De modo geral, o Circuito de problemas do campo conceitual aditivo revelou uma
grande fragilidade dos alunos na resolução dos problemas, sobretudo na leitura/interpretação
das situações. Foi observado que os alunos participantes, que ao se deparar com situações
desconhecidas, questionavam: “professor, é de mais ou de menos?” Muitas vezes faziam uma
leitura rápida e diziam: “professor, o que eu uso para achar o resultado?”. Em muitas
situações os alunos expressavam indignação ou desânimo dizendo: “eu não entendi nada!”.
Por meio dessa atividade diagnóstica, percebemos que haviam obstáculos a serem
superados para que os alunos do 6º ano, participantes do projeto de extensão, avançassem no
desenvolvimento das habilidades relativas à resolução de problemas do campo conceitual
aditivo. Nosso principal questionamento era: que situações podem tornar significativa a
aprendizagem dos conceitos de adição e subtração?
3º ETAPA. ANALISE DE TAREFAS E OFICINAS PARA SUPERAÇAO DOS POSSÍVEIS
OBSTÁCULOS
Após a realização do circuito de problemas, as folhas de respostas dos alunos foram
minuciosamente observadas e os erros foram categorizados. Observamos que haviam duas
categorias de erros. A primeira era resultado do baixo domínio da estrutura do sistema
decimal. Os alunos liam e interpretavam corretamente os problemas, mas erravam as
operações, sobretudo quando havia agrupamento e desagrupamento. O segundo estava à
leitura/interpretação da situação, sobretudo à noção mecânica de relacionar as expressões “ a
mais” ou “ a menos” dos problemas, com as operações de adição e subtração.
Para Vergnaud (2009) ao analisar acertos e erros o mediador tem a possibilidade de
compreender os procedimentos dos alunos e as dificuldades que ele enfrenta, para assim
poder fornecer meios de remediar essa situação.
19
Feito isso, cada aluno foi convidado a analisar seu próprio erro, momento em que
íamos realizando as mediações e intervenções necessárias para que ele compreendesse seu
próprio pensamento e pudesse avançar nas hipóteses que não resultaram em acerto.
Em seguida, planejamos uma série de atividades, que passamos a relatar:
6. CONSTRUÇÃO DE PROBLEMAS ADITIVOS E A VIVÊNCIA DE SITUAÇÕES
ENVOLVENDO O CAMPO CONCEITUAL ADITIVO
Consideramos que os alunos avançariam muito na superação dos obstáculos
apresentados se eles pudessem agir mais concretamente sobre as situações. Em razão disso
criamos várias situações em que eles podiam ser os protagonistas, resolvendo problemas
concretos, por meio de cálculos mentais e escritos. As atividades envolviam jogos, contagem
de objetos, comparação de pontos, comparação de objetos enfileirados, entre outros. As
figuras 11 e 12, a seguir mostra uma das atividades.
Figura 11. Pulando os obstáculos.
Figura 12. Comparando as tampinhas.
Também consideramos que era absolutamente necessário trabalhar as duas operações
de forma conjunta como aponta a teoria dos campos conceituais. Segundo Vergnaud (2009) a
subtração não precisa ser definida como uma operação inversa da adição, pois ela tem uma
significação própria. Ela afirma que a maior necessidade e de mostrar o caráter oposto e
recíproco da adição e da subtração.
Paralelamente ao trabalho de construção dos problemas, íamos discutindo os
problemas que tinham gerado dúvidas e erros no Circuito. Nesse processo solicitávamos aos
alunos que reconstruíssem suas respostas. Em um desses momentos percebemos que
Vergnaud (2009, 2003) realmente tinham razão quanto o caráter recíproco das operações de
adição e subtração. A figura 11, a seguir, mostra que o aluno Ricardo utiliza uma adição para
resolver o problema 07 e seu registro não o impede de dar a resposta correta.
20
Figura 13. Resolução do problema 7 – Ricardo (11 anos)
Como os alunos demostraram grandes dificuldades com os problemas do GRUPO 3,
associados aos esquemas relativos a “quantos faltam para”, “qual a diferença”, “quantos a
menos” e “quantos a menos”, decidimos priorizar tais situações.
Uma das atividades consistia na montagem de cenário que remetesse à ideia de
comparação. O cenário era constituído de duas representações físicas de carrinhos e
tampinhas emparelhados um a um. Solicitamos então que eles elaborassem perguntas sobre o
cenário. Essas perguntas na verdade eram problemas.
O resultado foi bastante satisfatório, pois todos os alunos construíram perguntas que se
relacionavam aos três grupos de situações (BRASIL, 1998) ou as três categorias
(VERGNAUD, 2009) de que temos falado. Depois de construídas as perguntas eram trocadas,
para que os colegas respondessem as perguntas uns dos outros. Nesse momento o colega
avaliava se a linguagem estava clara e, se não estivesse, devolvia ao autor para reformulação.
O processo de criação de problemas a partir do cenário de carrinhos e tampinhas
possibilitou aos alunos refletirem sobre as mais diversas situações do campo conceitual
aditivo.
A figura 11, a seguir, mostra o registro de Leandro para o cenário dos carrinhos. O
problema criado por eles refere-se ao Grupo 3 e traz a ideia de completar, de “quantos faltam
para”.
Figura 14. Problema criado por Leandro (12 anos)
A partir do cenário das tampinhas, a aluna Paula elaborou um problema do Grupo 1, como
mostra a figura 12.
Figura 15. Problema criado por Paula (11 anos)
21
4ºETAPA APLICAÇÃO DA PROVA BRASIL COM PROBLEMAS ADITIVOS
A 4ª etapa da pesquisa consistiu na aplicação de uma lista contendo 10 exercícios da
Prova Brasil2 (ANEXO C), que foram retirados do Caderno da Prova Brasil (BRASIL, 2011),
divulgado pelo Ministério da Educação (MEC), no site do Instituto Nacional de Pesquisas
Educacionais Anísio Teixeira (INEP).
Descritor 13: Reconhecer e utilizar características do sistema de numeração
decimal, tais como agrupamentos e trocas na base 10 e princípio do valor posicional.
Descritor 17:Calcular o resultado de uma adição ou subtração de números naturais.
Descritor 19: Resolver problema com números naturais, envolvendo diferentes
significados da adição ou subtração: juntar, alteração de um estado inicial (positiva
ou negativa), comparação e mais de uma transformação (positiva ou negativa)
(BRASIL, 2011)
A seguir, apresentamos o item, o desempenho dele na Prova Brasil e o desempenho
dos participantes do projeto.
O ITEM 3 da lista, relativo ao descritor 13, exigia que do aluno reconhecer e utilizar
características do sistema de numeração decimal em uma situação contextualizada, ou seja, o
aluno teria que saber a quantidade de centenas do número 7.500.
O Caderno da Prova Brasil (BRASIL, 2011) mostra que apenas 25% dos alunos
acertaram ao item. Trata-se, portanto, de um item difícil.
Figura 16. Item do descritor 13 retirado do caderno da Prova Brasil
A tabela a seguir, mostra que o desempenho dos alunos do Projeto foi bastante
superior, pois 13 acertaram ao item porque escolheram a alternativa B, o que representa
aproximadamente 72% do total de 18 alunos. 03 alunos, ou 17%, foram atraídos para a
alternativa A e 02 alunos, ou 11%, foram para a alternativa D. Nenhum aluno escolheu a
alternativa C.
Tabela 1 – Percentual de respostas as alternativas pelos alunos da Pesquisa
Percentual de respostas as alternativas pelos alunos da Pesquisa
A
B
C
D
17%
72%
0%
11%
O
resultado
indica que
os alunos
desenvolveram a habilidade, visto que o item não é trivial. Não se trata de apenas identificar o
valor posicional de um número, mas perceber que no número 7500, há 75 centenas.
2
3
Avaliação nacional de caráter censitário aplicada ao 5º e 9º ano do ensino fundamental, cujo nome oficial é
Unidade que compõe a Matriz de Referência e que descreve uma habilidade.
22
O ITEM 9 da lista, relativo ao descritor 17, exigia que o aluno efetuasse uma adição
de números naturais. Para chegar o resultado, o aluno terá que realizar a composição (vai um).
De acordo com as informações do Caderno da Prova Brasil (BRASIL, 2011), 72% dos
alunos brasileiros acertaram ao item, que se mostrou fácil.
Figura 17. Item do descritor 17 retirado do caderno da Prova Brasil
A tabela a seguir, mostra que o desempenho dos alunos do Projeto foi muito bom,
pois os 18 alunos acertaram ao item porque escolheram a alternativa D.
Tabela 2 – Percentual de respostas as alternativas pelos alunos da Pesquisa
Percentual de respostas as alternativas pelos alunos da Pesquisa
A
B
C
D
100%
O
ITEM 10 da lista, relativo ao descritor 19, exige que o aluno resolva um problema complexo,
pois envolve a comparação de quantidades e também a transformação positiva, portanto, é
uma situação do grupo 4.
De acordo com as informações do Caderno da Prova Brasil (BRASIL, 2011), 27% dos
alunos brasileiros acertaram ao item. Esse dado mostra que o item se revelou muito difícil.
23
Figura 18. Item do descritor 19 retirado do caderno da Prova Brasil
A tabela a seguir, mostra que o desempenho dos alunos do projeto foi bastante
superior à média nacional. Dos 18 alunos que responderam ao item, 12 ou 67% do total,
escolheram a alternativa D, que é a correta. Mas 4 alunos, ou 22% do total, escolheram a
alternativa A. Um aluno, ou 5,5% do total, escolheu a alternativa B e também 1 aluno, ou
5,5% escolheu a alternativa C.
Tabela 3 – Percentual de respostas as alternativas pelos alunos da Pesquisa
Percentual de respostas as alternativas pelos alunos da Pesquisa
A
B
C
D
22%
5,5%
5,5%
67%
O resultado mostra que os quatro alunos que marcaram a alternativa A apenas
repetiram um dado do enunciado. O aluno que assinalou a alternativa B somou 210 à
diferença resultante de 3879 e 2416. E o aluno que marcou a alternativa C somou duas vezes
210 à diferença.
Muito embora o resultado mostre que o desempenho tenha sido melhor que a média
nacional, as respostas indicam que os alunos ainda têm dificuldade em problemas que
envolvem a categoria 3 de Vergnaud (2009), que exige que o estabelecimento de uma relação
entre dois números por meio da comparação, em síntese, problemas em que eles precisam
calcular a diferença. O resultado revela ainda que os alunos têm dificuldade em resolver
problemas que exigem a coordenação de mais de uma ideia.
A figura 18, a seguir, mostra o processo de resolução da aluna Bia para o problema 10.
Figura 19. Resolução do problema 10 pelo aluno Bia (11 anos)
24
O registro acima mostra que há muito para ser comemorado, mas os resultados
indicam que ainda há muito por fazer.
7. CONSIDERAÇÕES FINAIS
O principal objetivo desta pesquisa foi analisar como alunos do 6º ano do ensino
fundamental progridem no desenvolvimento e na aprendizagem dos conceitos relativos ao
campo conceitual aditivo. Para isso, tínhamos também como objetivo identificar situações que
pudessem tornar essa aprendizagem significativa e analisar que tipo de mediação poderia ser
feito para que acontecesse a construção conjunta dos conceitos das operações de adição e
subtração.
A primeira etapa da pesquisa, realizada com jogos sobre o tapetinho (QVL) permitiu
confirmar o que os professores já haviam adiantado, os estudantes do 6º ano tinham
dificuldades significativas em relação à estrutura do número e tais dificuldades eram
obstáculos para a construção das habilidades relativas ao campo conceitual aditivo. Essa etapa
mostrou também que os jogos são importantes instrumentos de mediação da aprendizagem
matemática. Após a primeira etapa, percebemos que muitos alunos compreendiam os
agrupamentos na base 10, valor posicional, composição e decomposição de quantidades.
Além disso, eles passaram a errar menos nas adições e subtrações de números que implicavam
na composição (vai um) e decomposição (pegar emprestado).
No circuito de problemas do campo aditivo, que constituiu a segunda etapa da
pesquisa, percebemos que alguns alunos ainda tinham problemas com a estrutura do número e
também percebemos que a principal dificuldade dos alunos estava na resolução dos problemas
do campo aditivo, que envolviam as ideias de comparar e completar, e também os problemas
que envolviam a coordenação de mais uma ideia. Esses problemas, relativos aos Grupos 3 e 4
(BRASIL, 2008) correspondiam as categorias 3 e 4 de Vergnaud (2009). Tais situações
mostraram as fragilidades dos alunos na resolução dos problemas, principalmente na
leitura/interpretação das situações. Foi observado que os alunos tinham dificuldade com as
terminologias de “a mais” ou “quantos faltam para”.
A terceira etapa da pesquisa consistiu no desenvolvimento de atividades,
principalmente para fazer os alunos avançarem na compreensão das situações do terceiro e
quatro grupo. Após análise dos problemas do circuito e discussão dos mesmos, os alunos
compreenderam a necessidade de ler/interpretar com mais cuidado cada problema,
observando as terminologias de cada um, conforme defende (FERREIRA, 2002). As
atividades foram desenvolvidas por meio de recursos lúdicos e situações contextualizados,
que motivaram e desafiaram os alunos construirem esquemas para a resolução de problemas.
As situações possibilitaram a construção conjunta do significado das operações como aponta a
teoria dos campos conceituais (VERGNAUD, 2002, 2009), e a vivência de situações
envolvendo o campo conceitual aditivo. Privilegiou-se nessa a ação concreta dos alunos e
também a elaboração de problemas a partir de um contexto dado.
A quarta etapa e última etapa da pesquisa, foi constituída da aplicação de uma lista
com 10 itens da Prova Brasil, divulgados pelo Ministério da Educação. A resposta dos alunos
mostram que muitos deles construíram habilidades relativas à estrutura do número e as ideias
da adição e subtração, ou do campo conceitual aditivo. No entanto, ainda indicam que ainda é
preciso investir na resolução de problemas do campo aditivo, para que seja consolidada a
aprendizagem dos conceitos desse campo.
25
Como a maioria dos alunos apresentaram grandes dificuldades em produzirem
problemas do campo aditivo, no que se refere ao domínio da língua portuguesa, podemos
inferir também que a dificuldade de leitura e interpretação é um dos obstáculos à resolução de
problemas.
A pesquisa nos mostra, entretanto, que por meio de jogos e de situações
contextualizadas e significativas para os alunos, como os esportes, por exemplo, é possível
fazê-los progredir no desenvolvimento e na aprendizagem dos conceitos e adição e subtração.
Estudos adicionais precisam ser feitos no sentido de acompanhar os alunos, por um
período maior de tempo, tanto na resolução de problemas do campo aditivo, como na
produção desses problemas.
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iniciais. Brasília: MEC/SEF, 1998 a.
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Brasília
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da Sociedade Brasileira de Educação Matemática – SBEM, ano II, nº 2, 1989.
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mesmo e do Mundo. São Paulo – SP: Instituto Ayrton Senna, 2001.p. 83 – 84.
FAVERO,Maria Helena. Psicologia e conhecimento : subsídios da psicologia do
conhecimento para analise de ensinar e aprender.Brasília:Editora UNB,2005.
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FIORENTINI, Dario; LORENZATO, Sérgio. Investigação em educação matemática:
percursos teóricos e metodológicos. Campinas-SP: Autores Associados, 2006.
IGLIORI, Sonia B. C. A noção de “obstáculo epistemológico” e a educação matemática.
In: MACHADO, Silvia D. A. et al. São Paulo: EDUC, 2002.
26
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ciências e a pesquisa nesta área. Investigações em Ensino de Ciências (UFRGS), Porto
Alegre, v. 7, n. 1, 2002. Disponível em:
<http://www.if.ufrgs.br/ienci/artigos/Artigo_ID80/v7_n1_a2002.pdf>. Acesso em: 09 nov.
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SANTANA, Eurivalda Ribeiro dos Santos; OLIVEIRA, A. M.; CARZOLA, Irene Mauricio.
Estruturas aditivas: um estudo de caso com alunos de 5ª série do Ensino Fundamental 2007.
Disponível em: www.sbem.com.br/files/ix_enem/Poster/.../PO52976777500T.doc. Acesso
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SANTANA, Eurivalda Ribeiro dos. Santos.; CAZORLA, Irene. Mauricio;CAMPOS Tânia
Maria Mendonça. Desempenho de estudantes em diferentes situações no Campo
Conceitual das Estruturas. In: III Seminário Internacional de Pesquisa em Educação
Matemática,
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VERGNAUD, Gerárd. A criança, a matemática e a realidade: problemas do ensino da
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______. Teoria dos campos conceituais. In: NASSER, Lilian. (Ed.) Anais do 1º Seminário
Internacional de Educação Matemática do Rio de Janeiro, 2003. p. 1-26.
______. Teoria dos campos conceituais. In Nasser, L. (Ed.) Anais do 1º Seminário
Internacional de Educação Matemática do Rio de Janeiro, 1993. p. 1-14
27
ANEXO A: Jogo “Nunca 10”
Material: palitos, elásticos, um dado, fichas numéricas e tapetinho.
Objetivo: compreender o agrupamento (composição) e desagrupamento (decomposição) do número
dentro do sistema de numeração decimal
Regras: jogo para equipes de 4 ou 5 estudantes. Cada jogador, na sua vez, lança o dado e pega o
número de palitos correspondente. Se a quantidade for maior ou igual a dez ele deve amarrar
formando grupos de 10. O grupo de 10 deve passar para a segunda coluna (grupos). Se a quantidade
for menor, ele deve esperar a próxima rodada para fazer o agrupamento caso tenha 10 palitos. A
idéia é que “Nunca 10” palitos ficam soltos. A cada jogada, o estudante deve registrar a quantidade
com as fichas numéricas. Ganha a primeira fase do jogo o jogador que formar 10 grupos de 10 ou um
grupo de 100 primeiro. Nessa primeira fase está acontecendo à composição do número. A hora que
o primeiro estudante formar o grupão, todos param e começa o processo inverso. Agora cada
jogador vai desmanchar grupos de acordo com a quantidade tirada no dado. Se tiver tirado, por
exemplo, 9 no dado e não tiver palitos soltos, deverá desmanchar um grupo de 10 para poder retirar
o 9. Desta forma, os jogadores estarão desagrupando palitos ou decompondo o número. Na segunda
fase, ganha o jogo quem primeiro terminar de desagrupar, ou seja, tiver ficado sem palitos na mão.
Uma regra, em geral, criada pelas crianças é que se a pessoa tiver 6 palitos na mão, só pode vencer
caso tenha tirado 6. Se tirar mais que 6 deverá aguardar uma nova rodada.
Idade: a partir dos 6 anos.
O tapetinho que pode ser construído numa tampa de caixa de sapato, numa metade de folha de
cartolina ou em uma folha de emborrachado.
Centena
Dezena
Unidade
Grupões
Grupos
Soltos
2. Nunca 10 simbólico – neste caso deve se usar palitos coloridos e definir uma cor para a unidade,
uma cor para a dezena e uma cor para a centena.
Ex: soltos ou unidades – palito verde
grupos ou grupos de 10 – palito azul
grupões ou grupos de 10 x 10 – palito vermelho
3. Nunca 10 com dinheirinho – usando as notinhas de um, dez e cem.
4. Nunca 10 utilizando o material dourado.
5. Nunca 10 utilizando o ábaco.
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ANEXO B: Circuito de Problemas.
1)Em uma escola havia 548 alunos. Desse total, 389 eram meninas. Quantos meninos havia na escola?
2)Em uma banca na feira há 127 laranjas e 235 maças. Quantas frutas há na banca?
3)Para comemorar o aniversário de Paulo, sua mãe comprou 220 latas de refrigerante de laranja,370 latas de
refrigerante de limão e algumas latas de refrigerante de uva. O total de latinhas era de 700. Quantas latas de
refrigerante de uva foram compradas ?
4)Durante o ano, Caio conseguiu juntar R$127,00,economizando da mesada que recebe. Caio também ganhou
R$184,00 de presente do seu avô. Quanto Caio tem em dinheiro?
5) Mariana é desenhista e tinha 98 lápis de cor. Ela comprou uma caixa com mais 36 lápis. Quantos lápis ela
tem agora?
6)Carlos colecionava carrinhos em miniatura. Ele conseguiu juntar 96 carrinhos. Ele deu 29 carrinhos para um
amigo. Com quantos carrinhos Carlos ficou ?
7)Rita e Alexandre gostam muito de ler. O livro que Rita está lendo tem 120 páginas e ela leu 40 páginas.
Alexandre está lendo um que tem 228 páginas e ele já leu 57 páginas.
a)Quantas páginas o livro de Alexandre tem a mais que o livro de Rita ?
b) Quantas páginas faltam para Rita terminar de ler o livro?
c)Quantas páginas faltam para Alexandre terminar de ler o livro?
8)O time de basquete o Brasília disputou a final de um campeonato com o Flamengo-RJ. Na final, denominada
melhor de três, venceu a equipe que ganhou o maior número de partidas.
Veja os resultados das duas equipes na tabela a seguir
Brasília
78
X 82
Flamengo
Brasília
102
X 99
Flamengo
Brasília
99
x
97
Flamengo
a)Quem ganhou o campeonato?
b)Quantos Pontos fez o Brasília nas três partidas?
c)Quantos pontos fez o Flamengo nas três partidas?
d) Qual é a diferença entre o numero de pontos do Brasília e numero de pontos do Flamengo?
9)Na decisão de um campeonato de basquete, foram realizadas três partidas. Na primeira partida,
compareceram 2.853 pessoas ao ginásio. Na segunda, 1.987 e, na final, 3.587?
a)Em qual partida o publico foi maior?
b)Nos três jogos, quantas pessoas compareceram no total?
c)Qual a diferença de publico entre o terceiro e o primeiro jogo?
10) No estacionamento do restaurante comunitário há 12 gols e 17 Pálios. Quantos carros há nesse
estacionamento?
11)Amanda ganhou de sua mãe 12 canetinhas. E do seu pai ganhou 16 canetinhas. Quantas canetinhas ela tem
agora?
12)Na casa da vovó há alguns cachorros e 26 gatos, sendo o total de 48 animais. Quantos cachorros há na casa
da vovó?
13)Eduardo tinha 26 bolinhas de gude. Jogando com Carlos perdeu 11.Quantas bolinhas de gude Eduardo tem
agora?
14)Na casa do seu Raimundo há algumas tartarugas e 18 coelhos, sendo o total de 29 animais. Quantas
tartarugas há na casa de Raimundo?
15)Na casa de Raimundo há algumas tartarugas e 18 coelhos, sendo o total de 29 animais. Quantas tartarugas
há na casa de Raimundo ?
16) Juliana tinha algumas bonecas antes do natal, ganhou 16 dos seus parentes no dia de Natal e ficou com 30
bonecas, mas doou para o bazar 6 bonecas. Quantas bonecas ela tinha antes do natal?
ANEXO C – Lista de problemas da Prova Brasil
Resolva os problemas abaixo, deixando registrados todos os seus cálculos:
1. (PB – 5º ano) Uma escola recebeu a doação de 3 caixas de 1 000 livros, mais 8 caixas de 100 livros,
mais 5 pacotes de 10 livros, mais 9 livros. Esta escola recebeu
(A) 3 589 livros.
(B) 3859 livros.
(C) 30 859 livros.
(D) 38 590 livros.
2. (PB – 5º ano) No número 10.060, o algarismo 6 ocupa a ordem da
(A) Centena simples
(B) Dezena simples
(C) Unidade simples
(D) Dezena de milhar
3. (PB – 5º ano) O litoral brasileiro tem cerca de 7.500 quilômetros de extensão.
Este número possui quantas centenas?
(A) 5
(B) 75
(C) 500
(D) 7.500
4. (PB – 5º ano) Um número pode ser decomposto em 5 x 100 + 3 x 10 + 2.
Qual é esse número?
(A) 532
(B) 235
(C) 523
(D) 352
5. (PB – 5º ano) Adriana vai fazer esta subtração: 679 – 38
O resultado dessa operação será
(A) 299
(B) 399
(C) 631
(D) 641
6. (PB – 5º ano) Faltam 31 dias para o aniversário de João. Quantas semanas completas faltam para o
aniversário dele?
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
30
7. (PB – 5º ano) Numa fazenda, havia 524 bois. Na feira de gado, o fazendeiro vendeu 183 de seus
bois e comprou mais 266 bois. Quantos bois há agora na fazenda?
(A) 507
(B) 607
(C) 707
(D) 727
8. (PB – 9º ano) Pedro e João jogaram uma partida de bolinhas de gude. No final, João tinha 20
bolinhas, que correspondiam a 8 bolinhas a mais que Pedro.
João e Pedro tinham juntos
(A) 28 bolinhas.
(B) 32 bolinhas.
(C) 40 bolinhas.
(D) 48 bolinhas.
9.(PB – 5º ano) No mapa abaixo está representado o percurso de um ônibus que foi de Brasília a João
Pessoa e passou por Belo Horizonte e Salvador.
João Pessoa
956 km
Salvador
Brasília
714 km
1430 km
Belo Horizonte
Quantos quilômetros o ônibus percorreu ao todo?
(A) 1670 km.
(B) 2144 km.
(C) 2386 km.
(D) 3100 km.
10. (PB – 5º ano) Na escola de Ana há 3 879 alunos. Na escola de Paulo há 2 416 alunos. Então, a
diferença entre elas é de 1 463 alunos.
Se, no próximo ano, 210 alunos se matricularem em cada escola, qual será a diferença entre elas?
(A) 2 416 alunos.
(B) 1 673 alunos.
(C) 1 883 alunos.
(D) 1 463 alunos.