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CPV seu pé direito também na Medicina
MATEMÁTICA
16. Considere, num sistema ortogonal, conforme a figura, a reta de equação r:y = kx (k > 0 um número real), os pontos A(xo, 0)
e B(xo, kxo) (com xo > 0) e o semicírculo de diâmetro AB.
a) Calcule a razão entre a área S, do semicírculo, e a área T, do triângulo OAB, sendo O a origem do sistema de coordenadas.
b) Calcule, se existir, o valor de k que acarrete a igualdade S = T, para todo xo > 0.
Resolução:
a) S =
2
πk 2 x 02
1 2 1  kx 0 
=
pr = p 
2 
8
2
2
x 0 . kx 0
kx 2
= 0
2
2
T=
πk 2 x 02
kx 2
4
= 0 Þ pk = 4 Þ k =
8
2
p
e
πk 2 x 02
A
pk
8
Portanto a razão será s =
=
2
Ar
4
kx 0
2
b) Para S = T, temos:
CPV
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17. Uma função f : R ® R diz-se par quando f(−x) = f(x), para todo x Î R, e ímpar quando f(−x) = − f(x), para todo x Î R.
a) Quais, dentre os gráficos exibidos, melhor representam funções pares ou funções ímpares? Justifique sua resposta.
b) Dê dois exemplos de funções, y = f(x) e y = g(x), sendo uma par e outra ímpar, e exiba os seus gráficos.
Resolução:
a) Função par: simétrica ao eixo x Þ f(–x) = f(x)
Função ímpar: simétrica a origem Þ f(–x) = –f(x)
Gráfico I – Função par
Gráfico II – Não é função par nem ímpar
Gráfico III – Função par
Gráfico IV – Função ímpar
Gráfico V – Função ímpar
b) Função par: y = f(x) = x 2
Função ímpar: y = g(x) = x
y
y
1
1
–1
1
x
1
–1
–1
CPV
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x
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18. Considere as funções quadráticas q1(x) e q2(x) cujos gráficos são exibidos na figura.
a) Faça o esboço de um possível gráfico da função produto q(x) = q1(x)q2(x).
b) Calcule o quociente do polinômio h(x) = xq(x) pelo polinômio k(x) = x + 1 e exiba suas raízes.
Resolução:
a) As formas fatorada das funções quadráticas são:
q1(x) = a1 . (x + 1) . (x – 3), com a1 > 0
q2(x) = a2 . (x – 1) . (x – 4), com a2 < 0
Assim, q(x) = a1 . a2 . (x + 1) . (x – 1) . (x – 3) . (x – 4), com a1 . a2 < 0
Então um possível gráfico dessa função q(x) seria:
y
–1
3
4
x
b) h(x) = x . q(x) = a1 . a2 . x . (x + 1) . (x – 1) . (x – 3) . (x – 4)
CPV
1
Como k(x) = x + 1 é um fator de h(x), o quociente da divisão será a1 . a2 . x . (x – 1) . (x – 3) . (x – 4), que tem como raízes 0, 1, 3 e 4.
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19. Um jovem possui dois despertadores. Um deles funciona em 80% das vezes em que é colocado para despertar e o outro em
70% das vezes. Tendo um compromisso para daqui a alguns dias e preocupado com a hora, o jovem pretende colocar os dois
relógios para despertar.
a) Qual é a probabilidade de que os dois relógios venham a despertar na hora programada?
b) Qual é a probabilidade de que nenhum dos dois relógios desperte na hora programada?
Resolução:
a) A probabilidade dos dois relógios despertarem na hora programada é 80% . 70% = 56%
b) A probabilidade de nenhum dos dois relógios despertarem na hora programada é:
(100% – 80%) . (100% – 70%) = 20% . 30% = 6%
CPV
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20. Um jogo eletrônico consiste de uma pista retangular e de dois objetos virtuais, O1 e O2, os
quais se deslocam, a partir de uma base comum, com O1 sempre paralelamente às laterais
p
da pista e O2 formando um ângulo x com a base, x Î (0, ). Considere v1 e v2 os módulos,
2
respectivamente, das velocidades de O1 e O2. Considere, ainda, que os choques do objeto O2
com as laterais da pista (lisas e planas) são perfeitamente elásticos e que todos os ângulos
de incidência e de reflexão são iguais a x.
a) Exiba o gráfico da função y = f(x) que fornece o módulo da componente da velocidade
de deslocamento do objeto O2, no sentido do deslocamento do objeto O1, em função do
p
ângulo, x Î (0, ).
2
p
), para os quais
2
os objetos O1 e O2, partindo num mesmo instante, nunca se choquem.
b) Se v1 = 10 m/s e v2 = 20 m/s, determine todos os valores de x, x Î (0,
Resolução:
a)
Essa função f(x) possui o seguinte gráfico:
y
v2
p
2
0
V2y
x
V2
Temos no triângulo retângulo da figura:
senx =
CPV
v2 y
v2
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Þ
v2y = v2 . senx
Þ
f(x) = v2 . senx
b) Para que os dois objetos não se choquem, temos:
f(x) ¹ v1 Þ v2 . senx ¹ v1
Þ senx ¹
Portanto, eles não se chocam em qualquer valor diferente
p
no intervalo dado.
de
6
Þ
20 . senx ¹ 10
Þ
p
1
Þ x¹
6
2