Matemática 2 • Unidade III • Geometria espacial • Série 13 - Esfera
01
a) As = 4π • r2 = 4π • 32 = 36π cm2
b) V =
4
4
• π • r3 =
• π • 33 = 36π cm3
3
3
c) Seja r o raio da secção:
32 = r2 + 22 ⇒ r = 5 cm
Asecção = π • ( 5)2 = 5π cm2
d) Sendo d (com d ≥ 0) e r (com r ≥ 0), respectivamente, a distância do
plano de secção ao centro da circunferência e o raio da secção, temos:
32 = d2 + r2 ⇒ r2 = 9 – d2
Assim sendo, r2 é máximo quando d é mínimo (d = 0). Portanto, o raio
máximo é r = 3 cm, ou seja, igual ao raio da esfera; e a área do círculo
máximo será e igual a:
Ac = 9π cm2
Respostas:
a) 36π cm2
b) 36π cm3
c) 5π cm2
d) 9π cm2
1
Matemática 2 • Unidade III • Geometria espacial • Série 13 - Esfera
02
A circunferência da secção terá tamanho máximo quando passar pelo
diâmetro da esfera (raio da circunferência igual ao raio da esfera).
Sendo r o raio da esfera, temos:
2π • r = 4π ⇒ r = 2 cm
O volume será:
V=
4
32π
• π • 23 ⇒ V =
cm3
3
3
Resposta: A
2
Matemática 2 • Unidade III • Geometria espacial • Série 13 - Esfera
03
O menor trajeto terá comprimento igual à metade do comprimento da
circunferência que passa pela esfera. Portanto, sendo d o menor trajeto,
temos:
d=
2π ⋅ 50
1
π
m=
= 50π cm = 50π ⋅
m
2
100
2
Resposta: A
3
Matemática 2 • Unidade III • Geometria espacial • Série 13 - Esfera
04
Pelo teorema de Pitágoras no triângulo de hipotenusa 10 cm e catetos
5 3 cm e r cm, temos:
102 = r2 + ( 5 3 )2 ⇒ r2 = 25 ⇒ r = 5 cm
Portanto, o volume do cilindro será:
V = π • 52 • 20 ⇒ V = 500π cm3
Resposta: D
4
Matemática 2 • Unidade III • Geometria espacial • Série 13 - Esfera
05
O volume do tanque será equivalente ao volume do cilindro de 4 m de
comprimento e 2 m de raio da base mais o volume da esfera de raio 2 m.
Portanto:
Vtanque = 3 • 22 • 4 +
4
• 3 • 23
3
Vtanque = 80 m3
Resposta: A
5
Matemática 2 • Unidade III • Geometria espacial • Série 13 - Esfera
06
a) A1 = 4π • r2
A2 = 4π • (1,1r)2 = 1,21 • 4π • r2
Portanto:
A2
A2 = 1,21 • A1 ⇒
= 1,21 (aumento de 21% na área da superfície)
A1
4
• π • r3
3
4
4
• π • (1,1r)3 = 1,331 •
• π • r3
V2 =
3
3
Portanto:
V2
V2 = 1,331 • V1 ⇒
= 1,331 (aumento de 33,1% no volume)
V1
b) V1 =
Respostas:
a) 21%
b) 33,1%
6
Matemática 2 • Unidade III • Geometria espacial • Série 13 - Esfera
07
Volume da bola:
V=
4
•3•
3
 5,2 


 2 
3
⇒ V = 70,3 cm3
Como densidade é igual a
massa
, a massa será de:
volume
m = 1,8 • 70,3 = 126,5 g
Resposta: B
7
Matemática 2 • Unidade III • Geometria espacial • Série 13 - Esfera
08
Volume de um alvéolo, em cm3:
V=
4
•3•
3
3
 0,02 
–6

 = 4 • 10
 2 
Portanto, o número de alvéolos dessa pessoa será de, aproximadamente:
N=
1 618
= 4 045 • 105 alvéolos
4 ⋅ 10−6
Resposta: E
8
Matemática 2 • Unidade III • Geometria espacial • Série 13 - Esfera
09
VA =
1
• VB
8
4
1 4
• π • (rA)3 =
•
• π • 103
3
8 3
1
1
ra = 3 ⋅ 103 =
• 10 ⇒ ra = 5
8
2
Resposta: A
9
Matemática 2 • Unidade III • Geometria espacial • Série 13 - Esfera
10
Seja Q a quantidade de combustível em litros, V o volume do balão em
cm3, t o tempo em horas que o balão fica no ar e k uma constante,
Q
é
podemos deduzir a relação Q = k • V • t, ou seja, o termo
V⋅t
constante.
Logo:
0,1
4
⋅ π ⋅ 203 ⋅ 1
3
=
Q
4
1
⋅ π ⋅ 303 ⋅
3
2
⇒ Q = 0,16875 L
Portanto, o valor mais próximo é o da alternativa e.
Resposta: E
10
Matemática 2 • Unidade III • Geometria espacial • Série 13 - Esfera
11
a) A área do hemisfério será equivalente à metade da área da esfera mais
a área da circunferência de raio igual ao da esfera.
4 ⋅ π ⋅ 62
Ah =
+ π • 62 = 108π cm2
2
b) O volume do hemisfério será equivalente à metade do volume da
esfera.
1 4
Vh =
•
• π • 63 = 144π cm3
2 3
Respostas:
a) 108π cm2
b) 144π cm3
11
Matemática 2 • Unidade III • Geometria espacial • Série 13 - Esfera
12
1
4
1 1 − sen θ
=
4
2
a) Para f(θ) =
⇒ sen θ =
No ∆CNA, temos:
CA
⇒
sen 30º =
NC
1
2
1
r
=
2
r+d
∴ θ = 30º (pois 0 < θ < 90º)
⇒ d = r = 6 400 km
b) Como sen 15º = sen (45º – 30º) = sen 45º • cos 30º – sen 30º • cos 45º,
temos:
2
3
2
6 − 2 2,4 − 1,4
1
1
sen 15º =
•
– •
=
=
=
2
2
2 2
4
2
4
A fração visível da superfície da Terra será aproximadamente:
1
1−
4 = 3
2
8
Respostas:
a) 30° e 6 400 km
3
b)
8
Observação: Desconsidere o item b dado no enunciado do Caderno de
Exercícios e considere o seguinte:
b) Se um astronauta em uma nave N, a uma distância d da Terra,
avista a superfície da Terra com ângulo θ = 15°, determine a fração
visível da superfície da Terra pelo astronauta. (Use as
aproximações 2 = 1,4 e 6 = 2,4 .)
12
Matemática 2 • Unidade III • Geometria espacial • Série 13 - Esfera
13
Por uma regra de três, podemos determinar a área do fuso esférico:
360º ——— 4π • 52
72º ——— Afuso
72 ⋅ 4π ⋅ 52
⇒ Afuso =
= 20π m2
360
Resposta: A
13
Matemática 2 • Unidade III • Geometria espacial • Série 13 - Esfera
14
Por uma regra de três, podemos determinar o volume da fatia:
2π ———
4
• π • 153
3
π
——— Vfatia
4
π 4
⋅ ⋅ π ⋅ 153
⇒ Vfatia = 4 3
2π
Usando π = 3, vem:
Vfatia = 1 687,5 cm3 = 1,6875 L
Resposta: C
14
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15
a) O volume do anel será igual ao volume da esfera menos o volume do
cilindro e os das duas calotas esféricas. Sendo r o raio da base do
cilindro, pelo teorema de Pitágoras, temos:
2
R
R2 =   + r2
2
3R2
r2 =
4
R 3
r=
2
Assim:
Vanel = Vesfera – Vcilindro – 2 • Vcalota
4
Vanel =
• π • R3 – π •
3
Vanel =
2
2
R 3 
π R
•
•

 • R – 2 •
3  2 
 2 
R

 3R − 
2

πR3
6
b) A área do anel será a área da esfera menos a área das duas calotas
mais a área lateral do cilindro.
Aanel = Aesfera – 2 • Acalota + Acilindro
Aanel = 4 • π • R2 – 2 • 2 • π • R •
R 3
R
+2•π•
•R
2
2
Aanel = (2 + 3) • π • R2
Respostas:
πR3
a) V =
6
b) S = (2 + 3) • π • R2
15
Matemática 2 • Unidade III • Geometria espacial • Série 13 - Esfera
16
Considere a figura do enunciado.
a) med( B̂ ) = med( T̂ ) = 90º, e D̂ é comum aos dois triângulos.
Como med(Â) = med( Ĉ ), concluímos que ∆ABD ~ ∆CTD.
b) No ∆ABD:
BD
1
tg BÂD =
=
AB
2
BD
1
=
⇒ BD = 5
10
2
Ainda: AD2 = AB2 + BD2 = 100 + 25 ⇒ AD = 5 5 m
Da figura: AB = AT = 10
DT = AD – DT = 5 5 – 10 = 5( 5 − 2) m
Então, podemos esboçar a seguinte figura:
Como AB = 10, temos:
Por semelhança entre o ∆ABD e o ∆CTD, vem:
5( 5 − 2)
TD CT
R
=
⇒
=
⇒ R = 10( 5 − 2) m
BD AB
5
10
Respostas: a) Justificativa acima; b) 10( 5 − 2) m
16