GEOMETRIA EUCLIDIANA II
AULA 04 – DEFINIÇÕES E TEOREMAS: CILINDRO, CONE E ESFERA
TÓPICO 03: ESFERA
DEF.38 (ESFERA)
Sejam O um ponto e r um número real positivo. O conjunto dos pontos
do espaço cuja distância a O é menor do que ou igual a r chama-se esfera de
centro O e raio r e será denotada por (O; r).
Duas esferas são ditas concêntricas se possuem o mesmo centro.
DEF.39
Dados uma esfera e um ponto P, dizemos que P é um ponto interior
ou exterior de se, respectivamente, d(P,O) < r ou d(P,O) > r. O conjunto
de todos os pontos interiores de a é chamado de interior de e é denotado
por int e o dos pontos exteriores é chamado de exterior de e é denotado
por ext .
DEF. 40
O subconjunto de uma esfera formado pelos pontos cuja distância ao
centro é igual ao raio chamaremos de superfície da esfera.
TEOREMA 20
Se um plano tem, pelo menos, dois pontos em comum com uma esfera,
então a interseção dos dois é um disco cujo centro é a projeção ortogonal do
centro da esfera no plano e cuja circunferência é a interseção deste com a
superfície da esfera.
PROVA 1
Sejam
a esfera;
o plano, e, A e B pontos distintos
pertencentes a e . Seja O’ a projeção ortogonal de O em . Como A
e B são distintos, então
. Digamos que
Seja
tal que
está bem definido e é
positivo, pois
E mais, d(O,C) = r, pois caso
o triângulo OO’C é retângulo em O’. Mostraremos que o disco
D contido em
de centro O’ e raio
De fato, seja
Temos
por conseguinte
Tomemos agora X
Temos
donde, d
portanto
Isso mostra
que
Seja C a circunferência de D. C é a interseção de com
a superfície de Para provar isso é só seguir os mesmos passos que
foram utilizados na demonstração de que
=.
FONTES DAS IMAGENS
Responsável: Prof. José Ailton Forte Feitosa
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual
trocando-se
por