COLÉGIO DE APLICAÇÃO – UFRJ
Portal Professor /Cônicas - Circunferência - 2009
SETOR CURRICULAR DE MATEMÁTICA
www.cap.ufrj.br/matematica
Cônicas - Circunferência
Considere um plano, uma distância r e um ponto C neste plano.
Circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão a uma mesma distância r,
chamada de raio, de um ponto fixo C, denominado centro da circunferência, ou seja, qualquer ponto P que
atender à condição d(P, C) = r pertencerá à circunferência.
Elementos da Circunferência:
•
C: centro
•
r: raio
Dedução da equação reduzida da circunferência com centro fora da origem:
Considere P=(x,y) e C=(h, k).
CP = r
CP = P − C = (x, y) - (h,k)=(x-h, y-k)
( x − h)
+ (y − k ) = r
2



( x − h)
2
( x − h)
2
( x − h)
2
+ ( y − k ) = r2
2
2
2
2 
+ ( y − k )  = r2

+ ( y − k ) = r2
2
Equação reduzida da circunferência com centro fora da origem.
Dedução da equação geral da circunferência:
Para obtermos a equação geral da circunferência, basta desenvolvermos a equação reduzida.
( x − h)
2
+ ( y − k ) = r2
2
x2 − 2xh + h2 + y2 − 2yk + k 2 = r2
x2 + y2 − 2xh − 2yk + h2 + k 2 = r2
x2 + y2 − 2xh − 2yk + h2 + k 2 = r2
Equação geral da circunferência.
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Exemplo 1: Achar a equação geral da circunferência que passa pelos pontos (4,2), (-6,-2) e tem centro sobre o
eixo OY.
Temos que a equação reduzida da circunferência é ( x − h) + ( y − k ) = r 2 ,
2
2
onde C=(h,k) é o centro da mesma. Como o centro pertence ao eixo y,
o mesmo é da forma C=(0,k).
Portanto, a equação fica na forma x2 + ( y − k ) = r 2
2
Assim, chamando A=(4,2) e B=(-6,-2), temos:
Para A=(4,2): 42+ ( 2-k ) =r 2 ∴ 16+4-4k+k 2=r 2 ∴ 20-4k+k 2=r 2 (1)
2
Para B=(-6,-2): (-6 ) + (-2-k ) =r2 ∴ 36+4+4k+k 2=r 2 ∴ 40+4k+k 2=r 2 (2)
2
2
-5
2
Daí, substituindo o valor de k encontrado em (1), segue:
Subtraindo (2) de (1): 20+8k=0 ∴ k=
2
25
145
 -5   -5 
20-4.   +   = r 2 ∴ 20+10+
= r2 ∴ r2 =
2
2
4
4
   
2
5  145

Logo, x 2 +  y +  =
2
4

Para encontrarmos a equação geral precisamos desenvolver o resultado
acima:
2
5  145
25 145
145 25

x 2 +  y+  =
∴ x2+y2+5y+
=
∴ x2+y2+5y=
2
4
4
4
4
4

120
x2+y2+5y=
∴ x2+y2+5y=30 ∴ x2+y2 +5y-30=0
4
Exemplo 2: Encontre o centro e o raio da circunferência x² + y² - 4x – 6y – 13 = 0.
Dada a equação na forma geral, devemos transformá-la na forma reduzida
para encontrarmos o centro C e o raio r.
Utilizaremos o processo de completamento de quadrados.
Portanto,
x² + y² - 4x – 6y – 13 = 0
x² - 4x + y² – 6y – 13 = 0
x² - 4x + 4+ y² – 6y + 9 – 13= 4 + 9
( x-2 ) + ( y-3) =4 +9+13
2
2
( x-2 ) + ( y-3) =26
2
2
Assim, temos que o centro é dado por C=(2, 3) e o raio é r= 26.