Universidade Federal do Pará
Faculdade de Matemática
Curso de Matemática
Marcelo da Silva Alves
Geometria Diferencial das Curvas e a
Reparametrização pelo Comprimento de Arco
Marabá
2013
Marcelo da Silva Alves
Geometria Diferencial das Curvas e a
Reparametrização pelo Comprimento de Arco
Monografia apresentada ao Curso de Matemática
da UFPA, como requisito parcial para a obtenção
do grau de Licenciado em Matemática.
Orientador: Carlos Henrique de Jesus
Mestre em Matemática - UFPB
Marabá
2013
Alves, Marcelo
Geometria Diferencial das Curvas e a Reparametrização pelo Comprimento de Arco / Marcelo Alves - 2013
41.p
1.Geometria Diferencial. 2.Curvas. 3.Reparametrização.. I.Tı́tulo.
CDU - 22 ed.: 516.36
Marcelo da Silva Alves
Geometria Diferencial das Curvas e a
Reparametrização pelo Comprimento de Arco
Monografia apresentada ao Curso de Matemática
da UFPA, como requisito para a obtenção parcial
do grau de Licenciado em Matemática.
Aprovado em 19 de Agosto de 2013
BANCA EXAMINADORA
Carlos Henrique de Jesus
Mestre em Matemática - UFPB
Pablo Salermo Monteiro do Nascimento
Mestre em Matemática
Rigler da Costa Aragão
Mestre em Geofı́sica
Dedico este trabalho as pessoas que sempre me
apoiaram e me fizeram crer na realização dos
meus objetivos e que de alguma forma contribuı́ram para a realização deles, à minha mãe,
meu pai, e toda minha famı́lia.
Resumo
Os objetos de estudo da Geometria Diferencial são as curvas e as superfı́cies. O nome
se deve ao fato de que muitos dos conceitos e definições têm como pré-requisito técnicas
do Cálculo Diferencial e Integral e Geometria Analı́tica. É uma disciplina de grande
importância para o desenvolvimento cientı́fico e tecnológico, tendo aplicações em geologia,
estatı́stica, economia, processamento de imagens, teoria da informação, dentre muitas
outras. Este trabalho consiste numa revisão de literatura, abordando apenas o estudo de
curvas e reparametrização pelo comprimento de arco, que se faz necessário para o estudo
local das curvas.
Palavras-chave:Geometria Diferencial, curvas, reparametrização.
Abstract
The objects of study in Differential Geometry are curves and surfaces. The name is due
to the fact that many of the concepts and definitions have as pre-requisite techniques
from Differential and Integral Calculus and Analytic Geometry. This is a discipline of
great importance for the scientific and technological development, having applications in
Geology, Statistics, Economy, Image Processing, Information Theory and many others.
The present work consists in a literature review, approaching the study of curves and
reparametrization by the arc length, which is needed for the local study of curves.
Keywords:Differential Geometry, curves, reparametrization.
Agradecimentos
Agradeço aos meus pais, João e Maria Helena, que sempre me auxiliaram em toda minha
vida, à eles agradeço por tudo que sou e tudo que tenho.
Aos meus avós: Maria Félix e José.
A minha irmã Marcia.
Aos meus tios: Cidilândia, Jaciara, Lourdes, Paulo, Raquel e Sandra pelo
incentivo que sempre me deram.
As minhas primas: Dianna e Fiama, pela preocupação e apoio.
Ao meu professor Carlos Henrique pelo auxı́lio na elaboração deste trabalho.
A todos os meus colegas de turma e especialmente aos meus colgas Carlos e
Luzinaldo pelo tempo em que estudamos em casa, meu colega de turma Jonathan por
dedicar parte seu tempo para me auxiliar no uso do Latex.
Aos meus professores: Elizabeth, Carlos, Mangabeira, Pablo, Kátia, Marcelo
e Daltro, pois todos contribuı́ram para minha formação.
Ao meu amigo e colega de turma Thiago, por me incentivar a fazer este curso.
Sumário
1 Introdução
7
2 Funções
8
2.1
Funções, Aplicações, Transformações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.1.1
Classificações das funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.1.2
Funções contı́nuas em R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.3
Funções contı́nuas e diferenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Curvas planas
12
3.1
Curva Parametrizada Diferenciável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2
Vetor Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3
Curva Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.4
Mudança de Parâmetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.5
Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.6
Teoria local das Curvas Planas, Fórmulas de Frenet . . . . . . . . . . . . . 19
3.7
Teorema Fundamental das Curvas Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 Curvas no Espaço
24
4.1
Curva Parametrizada Diferenciável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2
Vetor Tangente; Curva Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3
Mudança de Parâmetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.4
Curva parametrizada pelo comprimento de arco . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.5
Teoria local das Curvas; Fórmulas de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.6
Teomema Fundamental das Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5 Reparametrizações pelo Comrimento de Arco
30
5.1
Reparametrização pelo comprimento de arco de uma curva no plano . . . . 30
5.2
Reparametrização pelo comprimento de arco de uma curva no espaço . . . 33
6 Considerações Finais
36
Referências Bibliográficas
37
7
1 Introdução
A geometria diferencial das curvas tem dois objetos de estudo: as curvas e as superficies.
Ela pode ainda ser classificada de duas maneiras: a geometria diferencial classica e a
geometria diferencial global. A geometria diferencial clássica é o estudo das propriedades
locais desses dois objetos, onde é dado um ponto arbitrário e então é feito o estudo do
comportamento da curva ou superfı́cie a partir desse ponto. A geometria diferencial global
é o estudo das propriedades das curvas e superfı́ciés de modo global (geral), da curva como
um todo, caracteriscas de um modo geral.
Apesar da geometria diferencial estudar as curvas e superfı́cies, neste trabalho
vamos estudar apenas as curvas. Este trabalho também tem a tendência para a geometria
diferencial classica, já que o nosso objetivo aqui é estudar as curvas e fazer uma reparametrização pelo comprimento de arco. O que podemos falar é que a geometria diferencial
das curvas direciona seu estudo às curvas parametrizadas pelo comprimento de arco.
O trabalho esta organizado em 6 capitulos, o primeiro é está apresentação. No
capı́tulo 2 apresentamos as definições de funções que durante o trabalho mencionamos e
as que achamos conveniente. No capı́tulo 3 começamos o estudo das curvas no plano e
onde é definida as curvas a serem estudadas, vetor tangente, mudança de parâmetro, a
curvatura de uma curva e o teorema fundamental das curvas. No capı́tulo 4 é estendido
os principais conceitos das curvas planas às curvas no espaço, onde aqui surge mais um
conceito (componente) para o estudo das curvas no espaço, a torção, necessário para
apresentar o teorema fundamental das curvas. No capı́tulo 5 fazemos as reparametrizações
de duas curvas uma no plano e outra no espaço. Por fim temos a considerações finais.
8
2 Funções
2.1
Funções, Aplicações, Transformações
Neste capı́tulo iremos revisar alguns conceitos importantes a respeito das funções que
serão úteis para iniciarmos o estudo das curvas.
Definição 2.1.1. Sejam A e B dois conjntos, não vazios, e seja f uma relação de A em
B, ou seja, f ⊂ A × B, tal que:
a) Domf = A, todos os elementos de A estão na relação.
b) Para cada elemento de A, existe um único elemento de B que está na relação
com ele.
De acordo com a definição f é função, aplicação, transformação de A em B
e pode ser srepresentada por y = f (x), xf y, (x, y) ∈ f , T x = y, onde x ∈ A e y ∈ B.
Os elementos da relação entre esses dois conjuntos são os pares ordenados. Quanto a
representação geométrica, também conhecida como gráfico, traço, podemos definir ao
conjunto G(f ) = u = (x, f (x)) ∈ A × B.
Os exemplo mais comuns que conhcemos são as função reais, que tem os conjuntos no mesmo espaço, onde A = B = R. Porém devemos tomar cuidado com as que os
conjuntos A e B são quaisquer, pois é comum os elementos de A e de B serem n − uplas (
estruturas geradas pelos produtos cartesianos entre conjuntos) e com isso a representação
geométrica será distinta do que ja foi definido. [2]
Exemplos:
a) Seja uma função de A = R2 em B = R, definidas pela expressão: f (x, y) =
2x2 + 3y 2 = z. O gráfico é dado por G(f ) = ((x, y), z), que apesar dos elementos serem
pares a representação geométrica de f é em R3 .
b) A função linear f : R2 −→ R3 , dada por: f (x, y) = (2x+3y, 5x−4y, 8x+2y),
cujo o traço é G(f ) = (x, y), (u1 , u2 , u3 ).
Neste exemplo podemos considerar as seguintes funções:
f1 (x, y) = 2x + 3y, f2 (x, y) = 5x − 4y, f3 (x, y) = 8x + 2y
Agora vejamos alguns conceitos e definições iremos usar no estudo de curvas.
2.1.1
Classificações das funções
A esta seção iremos falar das classificações da funções, mas vamos apenas definir.
Injetora
Definição 2.1.2. Seja f ∈ (A × B), f é dita injetora, um a um, únivoca, se: x1 6= x2 ⇒
f (x1 ) 6= f (x2 ) ou, na forma equivalente, f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 .
Isto é, x diferentes são associados a y diferentes.
Sobrejetora
Definição 2.1.3. Seja f ∈ (A × B), f é dita sobrejetora, se Im(f ) = B.
Isto é, o contradomı́nio é igual ao conjunto imagem.
Bijetora
Definição 2.1.4. Seja f ∈ (A × B), f é dita bijetora a função. Se f é bijetora então
estabelece uma correspondência biunı́voca entre os elementos de A e B.
Isto é, cada elemento de A possui apenas uma correspondente em B e de B em
A.
Função composta
Definição 2.1.5. Sejam f : A −→ B e g : B −→ C, para todo x ∈ A definimos g
composta com f , g ◦ f = h, por h(x) = (g ◦ f )(x) = g(f (x)).
Inversa
Definição 2.1.6. Sejam: f : A −→ B e g : B −→ A, f e g bijetoras. Se f ◦ g = g ◦ f = I,
identidade, ou seja, (f ◦ g)(x) = (g ◦ f )(x) = x = I(x) dizemos que f e g são inversas e
indicamos: g = f −1 ou f = g −1 .
9
Isto é, apenas admitem funçao inversa, as funções bijetoras.
Estes são os conceitos de definições a respeito de funções que iremos usar no
decorrer dos estudos de curvas. Os que mais quero chamar atenção são os conceitos
de funções composta e funções inversa, que por sua vez atenta ao conceito de funções
bijetoras. As funções composta e funções inversa são importante, pois ao estudarmos a
mudança de parâmetro usamos as funções compostas e funções inversas, no caso de voltar
ao parâmetro antigo.
2.1.2
Funções contı́nuas em R
Definição 2.1.7. Seja f : R −→ R, dizemos que f é contı́nua no ponto x0 , se dado
> 0 (no Domı́nio) for sempre possı́vel determinar um δ > 0(na imagem), tal que
| x − x0 |< ⇒| f (x) − f (x0 ) |< δ.
Isto significa que os pontos próximos de x0 , tanto pela direita como pela esquerda, têm por imagem pontos próximos de f (x0 ). Dizemos que uma função é contı́nua
quando for contı́nuia em todos os pontos seus pontos.
agora vejamos as propriedades das funções que iremos precisar no estudo de
curvas:
1)Sejam f : A −→ B e g : B −→ C duas funções contı́nuas, então a função
composta h = g ◦ f é contı́nua.
2) Sejam f e g : A −→ R funções contı́nuas em x0 , então:
a) a soma (f + g) é definida por (f + g)(x) = f (x) + g(x)
b) o produto (f · g) é definido por (f · g)(x) = f (x) · g(x)
c) o quociente (f /g) é definido por (f /g)(x) = f (x)/g(x), g(x) 6= 0
d) α · f , é definida por (α · f )(x) = α · f (x) com α e R são contı́nuas em x0
3) Funções coordenadas: Sejam A, A1 , A2 , . . . , An espaços métricos e as funções
fi : A −→ Ai , contı́nuas num ponto u0 . A função f : A −→ A1 × A2 × . . . × An , definida
por f (u) = (f1 (u), f2 (u), fn (u)) é contı́nua no ponto u0 .
As funções fi (u) são chamadas de funções coordenadas e a função f , função
parametrizada pelo parâmetro u.
10
2.1.3
Funções contı́nuas e diferenciação
Agora que ja vimos os conceitos das classificações das funções e de continuidade, vamos
ver o conceito de função doferenciável e sua interpretação geométrica.
Teorema 2.1.1. Seja f : A ⊂ Rn −→ Rm , se f é diferenciável em u0 ∈ A, então f é
contı́nua em u0 .
Este teorema diz, se uma função é diferenciável em uma ponto dado então ela
é continua no mesmo, isso facilita verificar se uma funçao é contı́nua em um ponto ou
não.
Quanto a representaçao da derivada ou diferencial, temos:
1) Seja a função f : R −→ Rn definida por f 0 (t) = (f10 (t), f20 (t), . . . fn0 (t)) ou
df (t) = (df 1 (t), df 2 (t), . . . , ff n (t).
A derivada representa o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto
dado. Seja f : R −→ R, dada por y = f (x), temos: y 0 =
11
dy
dx
= f 0 (x) e f 0 (x0 ) = y00 .
12
3 Curvas planas
Uma curva no plano é descrita a partir das coordenadas dos seus pontos por meio de uma
função de uma variável independente, desta forma, como este capitulo trata das curvas
situadas no plano as curvas aqui serão de duas coordernadas.
Podemos dizer que as curvas têm dois tipos representação: a algébrica que é por
meio uma função de uma variável independente e a sua representação geométrica (traço)
que é por assim dizer o “desenho”que a curva tem, ou a trajetória que a representação
algébrica realiza. Uma representação geométrica, por exemplo, é o percurso que um
carro faz ao dar um passeio pela cidade que pode ser descrita dando-se cada uma das
coordenadas de seus pontos como funções.
3.1
Curva Parametrizada Diferenciável
Definição 3.1.1. Uma curva parametrizada diferenciável do plano é uma aplicação diferenciálvel α de classe C ∞ ,de um intervalo aberto I ⊂ R em R2 . A variável t ∈ I é dita
parâmetro da curva e o subconjunto de R2 dos pontos α(t), t ∈ I é chamado traço da
curva.
De acordo a esta definição, vemos que uma curva parametrizada diferenciavel
no plano é uma aplicação α : I → R2 de forma que para cada t de I associa a um
α(t)=(x(t) , y(t)), e as funções x(t) e y(t)são direnciáveis de classe C ∞ . Assim podemos
dizer que essas curvas são ”suaves” pois possuem derivadas de todas as ordens. Também
de acordo a definição o traço da curva ou do ”desenho”que da curva é o subconjunto de
R2 .
Então uma curva parametrizada diferenciável no plano é uma aplicação e o
traço é o subconjunto de R2 .
Exemplos:
a) Um exemplo de curva que temos, que é comum estudarmos nas aulas de
calculo é a circunferência α(t) = (cos(t), sen(t)) e seu traço é mostrado na figura 3.1
Figura 3.1: Circunferência
b) Outra curva que temos é a curva α(t) = (cos(3t)cos(t), cos(3t)sen(t)). O
traço dessa curva é conhecido como trevo, figura 3.2
Figura 3.2: trevo
c) Existem também, as curvas parametrizadas diferenciáveis que possuem o
mesmo traço, como por exemplo
α(r) = (2cos(r)(1 + cos(r)), 2sen(r)(1 + cos(r))
β(t) = (2cos(2t + 1)(1 + cos(2t + 1)), 2sen(2t + 1)(1 + cos(2t + 1))
curvas cujo o traço é conhecido como cardióide, que segue na figura 3.3
Figura 3.3: Cardióide
13
d) Um exemplo que não é considerado curva é a aplicação α(t) = (t, |t|) porque
contraria a definição de cuva parametrizada, onde α de classe C ∞ ,de um intervalo aberto
I ⊂ R em R2 , e nesse caso α não é diferenciável em t = 0 pata |t|, figura 3.4
Figura 3.4: Módulo
3.2
Vetor Tangente
Definição 3.2.1. Seja α:I → R2 uma curva parametrizada diferenciável, que a cada t ∈ I
associa α(t)=(x(t) , y(t)). O vetor
α0 (t) = (x0 (t), y 0 (t))
é chamado vetor tangente (ou vetor velocidade) a α em t.
A reta que passa por α(t) na direção de α0 (t) é dada pela função g(r) =
α(t) + rα0 (t), r ∈ R.
3.3
Curva Regular
Agora que está definido o vetor tangente de uma curva, para as curvas que estudaremos
há a necessidade de existência de uma reta tangente a curva α para cada t ∈ I, mas
existem os casos onde em que para um ponto de α tal que t ∈ I onde α0 (t) = 0.
Para darmos continuidade ao estudo das curvas consideraremos apenas as curvas que não ocorrem esse caso.
14
Definição 3.3.1. Uma curva parametrizada diferenciável α:I → R2 é dita regular se
∀t ∈ I, α0 (t) 6= 0.
A partir de agora restringiremos os estudo apenas as curvas parametrizadas
diferenciáveis, de acordo a definição, que são regulares.
3.4
Mudança de Parâmetro
Como vimos um exemplo na seção Curva Parametrizada Diferenciável existem as
curva que apesar da representação algébrica diferente possuem o mesmo traço, a mesma
representação geometrica. A partir desse conceito de que existem curvas com mesmo
traço, podemos obter várias curvas regulares a partir da seguinte definição:
Definição 3.4.1. Sejam I e J intervalos abertos de R, α : I → R2 uma curva regular e
h : J → I uma função diferenciável (C ∞ ), cuja derivada de primeira ordem é não nula em
todos os pontos de J e tal que h(J) = I. Então a função composta
β = α ◦ h → R2
é uma curva regular, que tem o mesmo traço que α, chamada reparametrização de α por
h. A função h é dita mudança de parâmetro.
Desta forma, a partir da definição, uma função diferenciável h em que o
domı́nio (J) leva a imagem (I) e esta imagem (I) de h é o domı́nio (I) da curva α,
então a funçao composta α ◦ h = β onde diz-se que β ( com novo parâmetro de h) é a
reparametrização de α por h, onde α e β tem o mesmo traço.
Exemplo 3.4.1. Consideremos a curva regular
α(t) = (cost, sent), t ∈ R,
s
onde a 6= 0 é constante. Seja h(s) = , s ∈ R.
a
s
s
A parametrização de α por h é a curva: β(s) = α ◦ h(s) = (acos , asen ).
a
a
Agora a curva α parametrizada passou do parâmetro t para o parâmetro s com
a curva β, já que a é uma constante.
Vejamos outro exemplo:
15
Exemplo 3.4.2. A curva regular
β(s) = α ◦ h(s) = (cos(s + 1), sen(s + 2))
é a parametrização da curva
α(t) = (cos(t − 1), sen(t))
pois houve uma mudança do parâmetro t para o parâmetro s por meio da função
h(s) = s + 2, s ∈ R.
A partir da curva de reparametrização, podemos reparametriza-la de forma
que volte a curva de origem. Nesse caso, se β é uma reparametrização de α por h, então
α é uma reparametrizaçao de β por h−1 , agora a mudança de parâmetro é h−1 . Pela
definição a função h, dita mudança de parâmetro deve ser diferenciável C ∞ , e temos
também que a função h−1 é mudança de parâmetro, então também é diferenciável C ∞ e
dessa relação temos o que é chamado de difeomorfismo. Por difeomorfismo entendemos
que se uma função f diferenciável de classe C n , que possui uma função inversa f −1 também
diferenciável de mesma classe C n , então a função f é denominada um difeomorfismo de
classe C n
Analisando a reparametrização de α em relação a função h que pode ser classificada em crescente e decrescente, podemos dizer que; se h for crescente teremos uma
curva com mesmo traço e orientação que α, mas se h for decrescente teremos uma curva
com o mesmo traço, porém com orientação oposta a de α, como mostra a figura 3.5
Figura 3.5: Curvas com orientações opostas
16
3.5
Comprimento de Arco
Uma pergunta interessante a se fazer é como calcular o comprimeto de arco de uma curva,
já que aprendemos nas aulas de cálculo, a calcular o comprimento de arco de uma função.
Para isso, vamos fixar um intervalo t0 e t1 no domı́nio de α, sendo α : I → R2 .
Subdividimos arbitrariamente o intervalo[t0 , t1 ] nos pontos t0 = a0 < a1 < · · · < an = t1 ,
agora ligamos retilineamente cada ponto α(a0 ), α(a1 ), · · · , α(an ), daı́ vamos obter uma
linha poligonal inscrita a curva entre os pontos do intervalo definido α(t0 ) e α(t1 ), como
mostra a figura 3.6
Figura 3.6: Linha poligonal inscrita a curva
Quando os intervalos dos pontos forem os menores possı́veis (próximo de zero),
o comprimento da linha poligonal inscrita será igual ao arco da curva no intervalo dado.
Como α é uma curva regular, existe o limite superior do conjunto dos comprimentos dessas
linhas polinomiais, e é igual a
Z
t1
|α0 (t)|dt
t0
é o comprimeto de arco da curva α no intervalo t0 a t1
17
Então é denominada função comprimento de arco da curva α no intervalo t0
a t:
Z
t
|α0 (t)|dt
s(t) =
t0
Por α ser uma curva regular, então a função s(t) é diferenciável de classe C ∞ .
Definição 3.5.1. Uma curva regular α : I ∈ R2 é dita parametrizada pelo comprimento
de arco, se para cada t0 , t1 ∈ I, t0 6 t1 o comprimento do arco da curva α de t0 a t1 é
igual a t1 − t0 . Isto é
Z
t1
|α0 (t)|dt = t1 − t0 .
t0
Proposição 3.5.1. Uma curva regular α : I ∈ R2 está parametrizada pelo comprimento
de arco se, e só se, ∀t ∈ I, |α0 (t)| = 1.
Demonstração Esta demonstração encontra-se em [1]
Suponhamos que α é uma curva parametrizada pelo comprimento de arco e
fixamos t0 ∈ I. Consideremos a função comprimento de arco s : I → R que para cada
Rt
Rt
t ∈ I associa s(t) = t0 |α0 (t)|dt. Se t0 6 t então por hipótese t 0 |α0 (t)|dt = t0 − t; se
Rt
t 6 t0 , então −s(t) = t 0 |α0 (t)|dt = t0 − t. Portanto para todo t ∈ I, s(t) = t − t0 , onde
s0 (t) = 1. Como s0 (t) = |α0 (t)|, concluı́mos que |α0 (t)| = 1, ∀t ∈ I.
Proposição 3.5.2. Seja α : I −→ R2 uma curva regular e s : I −→ s(I) ⊂ R a função
comprimento de arco de α a partir de t0 . Então existe a funçao inversa h de s, definida
no intervalo aberto J = s(I) e β = α ◦ h é uma reparametrização de α, onde β está
parametrizada pelo comprimento de arco.
Demonstração Esta demonstração encontra-se em [1]
α é uma curva regular, portanto
s0 (t) =| α0 (t) |> 0,
Isto é, s é uma função estritamente crescente. Logo existe a função inversa de s, h : J −→
I. Como ∀t ∈ I, h(s(t)) = t, temos que
dh ds
ds dt
= 1, portanto
18
a
1
dh
= 0
=
> 0.
0
ds
s (t)
| α (t) |
Concluı́mos que β(s) = α ◦ h(s), s ∈ J, é uma reparametrização de α e |
dα dh
dt ds
|=|
α0 (t)
|α0 (t)|
dβ
ds
|=|
|= 1. Portanto pela Proposição, que diz que ”Uma curva regular α : I ∈ R2
está parametrizada pelo comprimento de arco se, e só se, ∀t ∈ I, |α0 (t)| = 1”, então β está
parametrizada pelo comprimento de arco.
Esta proposição mostra que toda curva parametrizada diferenciável regular
permite parametrização pelo comprimento de arco. Como β é uma parametrização de
α pelo comprimento de arco, obeservamos que a reparametrização não é única, porque
depende da função comprimento de arco que depende de t0 fixado.
3.6
Teoria local das Curvas Planas, Fórmulas de Frenet
Como vimos na seção 3.5.2, toda curva regular adimite reparametrização pelo comprimento de arco, então vamos considerar a curvar regular α parametrizada pelo comprimento
de arco
α(s) = (x(s), t(s)), s ∈ I.
Para cada s ∈ I, α0 (s) é um vetor unitário, que o vamos nomear por t(s), ou seja
t(s) = α(s)0 = (x(s)0 , t(s)0 )
t(s)0 = (x(s)0 , t(s)0 ).
Definição 3.6.1. O vetor t(s) é chamado vetor tangente a curva α em α(t)
Denotamos por n(s) um vetor unitário ortogonal a t(s), talque a base base
ortogonal de R2 fomada pelos vetores t(s) e n(s) tem a mesma orientação que a base
e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1), como mostra a figura(colocar a figura da pg42), isto é
n(s) = (−y 0 (s), x0 (s))
19
Definição 3.6.2. Os dois vetores t(s) e n(s) é chamado ref erencialdeF renet da curva
α em s
A partir desses dois vetores t(s) e n(s), que são funções de I em R2 e diferenciaveis de classe c∞ , observamos que para cada s ∈ R2 os vetores t0 (s) e n0 (s) podem
ser escritos como uma combinação linear dos vetores α(s) e n(s). Também como t(s) é
unitário, então t0 (s) é ortogonal a t(s) e portanto temos que t0 (s) é prporcional a n(s)
Definição 3.6.3. Este fator de proporcionalidade, denotado por k(s), é chamado de
curvatura de α em s
ou seja t0 (s) = k(s)n(s).
considerando a curva regular α(s) = (x(s), t(s)), s ∈ I parametrizada pelo
comprimento de arco, pela definição temos que
k(s) = ht0 (s), n(s)i
k(s) = hα00 (s), n(s)i
assim
k(s) = −x00 (s)y 0 (s) + y 00 (s)x0 (s).
Da mesma forma, como n(s) é unitário, então n0 (s) é ortogonal a n(s) e portanto temos que n0 (s) é proporcional a t(s). como
k(s) = ht0 (s), n(s)i = −x00 (s)y 0 (s) + y 00 (s)x0 (s)
ht0 (s), n(s)i = −x00 (s)y 0 (s) + y 00 (s)x0 (s)
portanto
n0 (s) = −k(s)t(s).
Definição 3.6.4. Seja α : I −→ R2 , uma curva regular e parametrizada pelo comprimento
de arco s, então o referencial de frenet t(s), n(s) satisfaz as equações
20
t0 (s) = k(s)n(s),
n0 (s) = −k(s)t(s),
que são chamadas fórmulas de Frenet de uma curva plana.
A cuvatura aqui definda por k(s) indica a velocidade com que as retas tangentes
mudam de direção, com isso mostra o comportamento da curva. O sinal da curvatura
depende da orientação da curva [1]
Até agora o referencial de Frenet e a curvatura foram definidos para as curvas
regulares e parametrizadas pelo comprimento de arco. Apesar de que toda curva regular
pode ser reparametrizada pelo comprimento de arco, vamos considerar o referencial de
frenet e a curvatura para uma curva regular de qualquer parâmetro.
Tomemos α uma curva regular no plano e de qualquer parâmetro s ∈ I.
Tomemos agora por β uma reparametrização de α pelo comprimento de arco s, isto é
β(s(r)) = α(r). Se t(s), n(s) é referencial de Frenet da curva de reparametrização β(s) e
k(s) é a curvatura, então podemos dizer que t(r) = t(s(r)), n(r) = n(s(r)) é o referencial
de Frenet de α então k(r) = k(s(r)) é a curvatura.
Proposição 3.6.1. Seja α(r) = (x(s), y(r)), r ∈ I, uma curva regular. Então
t(r) = p
n(r) =
k(r) =
(x0 , y 0 )
(x0 )2 + (y 0 )2
;
(−y 0 , x0 )
(x0 )2 + (y 0 )2
−x00 y 0 + x0 y 00
3
((x0 )2 + (y 0 )2 ) 2
.
A demostração a está proposição encontra-se em [1].
Da interpretação geometrica do sinal da curvatura. Seja α(s) = (x(s), y(s)), s ∈
I uma curva regular parametrizada pelo comrimento de arco e o vetor tangente t(s) =
α0 (s) é unitário e portanto α00 (s) é ortogonal a α0 (s). Vamos fixar s0 ∈ I e supor que
21
k(s0 ) 6= 0. Teremos que k(s0 ) = hα00 (s0 ), n(s0 )i assim para k(s0 ) > 0 então n(s0 ) terá o
mesmo sentido que α00 (s0 ) e para k(s0 ) < 0 então n(s0 ) e α00 (s0 ) terão sentido opostos [1].
3.7
Teorema Fundamental das Curvas Planas
Teorema 3.7.1. Teorema fundamental das curvas planas
a) Dada uma função diferenciável k(s), s ∈ I ⊂ R, existe uma curva regular
α(s), parametrizada pelo comprimento de arco s, cuja curvatura é k(s).
b) A curva α acima é única quando fixamos α(s0 ) = p0 e α0 (s0 ) = v0 , onde v0
é um vetor unitário de R2 .
c) Se duas curvas α(s) e β(s) têm a mesma curvatura, então diferem por sua
posição no plano, isto é, existe uma rotação L e uma translação T em R2 , tal que
α(s) = (L ◦ T )(β(s)).
Demonstração
a) Vamos considerar θ(s) =
Rs
s0
k(s)ds, onde s0 ∈ I é fixo. Agora fixamos um
ponto p0 = (x0 , y0 ) de R2 e λ ∈ R.
Definimos uma curva α(s) = (x(s), y(s0)) por
Z
s
x(s) = x0 +
cos(θ(s) + λ)ds,
s0
Z s
sen(θ(s) + λ)ds.
y(s) = y0 +
s0
Vamos verificar que a curva α assim definida está parametrizada pelo comprimento de arco s e sua curvatura é k(s). De fato, o referencial de Frenet é
t(s) = α0 (s) = (cos(θ(s) + λ), sen(θ(s) + λ),
n(s) = (−sen(θ(s) + λ), cos(θ(s) + λ),
e portanto, temos que |α0 (s)| = 1 e a curvatura de α é dada por
ht0 (s), n(s)i = θ0 (s) = k(s).
22
b) Seja α(s) = (x(s), y(s)) uma curva regular parametrizada pelo comprimento
de arco s, cuja curvatura é k(s). Segue das equações de Frenet que
(x00 , y 00 ) = k(−y 0 , x0 )
isto é, x(s) e y(s) satisfazem as equações
x00 = −ky 0 ,
y 0 = −kx0 .
Portanto, segue do teorema de unicidade de solução do sistema de equações diferenciais
que, fixados α(s0 ) = p0 e α0 (s0 ) = v0 a curva α é única.
c) Sejam α e β duas curvas que têm a mesma curvatura. Fixado s0 , existe
uma rotação L e uma translação T de R2 tal que a curvatura α = L ◦ T ◦ β satisfaz
α(s0 ) = α(s0 ) e α0 (s0 ) = α0 (s0 ). Segue do item b) que α ≡ α.
Portanto, α = L ◦ T ◦ β.
como está demonstrado em [1].
O Teorema Fundamental das curvas Planas mostra que uma curva parametrizada pelo comprimento de arco α existe e é única, dependendo apenas da sua
curvatura k(s). Ainda que existir duas curvas parametrizadas pelo comprimento de arco
com mesma curvatura, então diferem apenas na sua posição no plano.
23
24
4 Curvas no Espaço
Neste capı́tulo faremos o estudo da teoria local de curvas no espaço euclidiano R3 . Muitos
dos conceitos básicos para o estudo de curvas no espaço já foram introduzidos no capı́tulo
do estudo de curvas planas.
Inicialmente temos que uma curva no espaço é a trajetória de ponto no espaço,
por isso, assim como no estudo de curvas planas as curvas no espaço é definida pelas coordenadas de seus pontos por meio de uma função variável independente, cada coordenada.
Por exemplo a trajetória que um avião faz no ar pode ser considerada uma curvas no
espaço.
4.1
Curva Parametrizada Diferenciável
Definição 4.1.1. Uma curva parametrizada diferenciável de R3 é uma aplicação diferenciável α, de classe C ∞ , de um intervalo aberto I ⊂ R em R3 . A variável t ∈ I é o
parâmetro da curva, e o subconjunto de R3 formado pelos pontos α(t), t ∈ I é o traço da
curva.
Observamos que definiçao de curvas no espaço tem mesmo fundamento que a
definiçao de cuvas no plano, porém que agora é no R3 . Assim, uma curva parametrizada
diferenciável de R3 é uma aplicação α : I → R3 de forma que para cada t de I associa a
um α(t)=(x(t), y(t), z(t)), e as funções x(t), y(t) e z(t) são direnciáveis de classe C ∞ .
Exemplos:
a) A aplicação
α(t) = (cos(t), sen(t), t)
é uma curva parametrizada diferenciável. Esta é a hélice circular de raio 1, cujo traço é
mostrado pela figura 4.1.
Figura 4.1: hélice circular
4.2
Vetor Tangente; Curva Regular
Os conceitos sobre vetor tangente e curva regular para curvas no espaço são os mesmo já
estudados para curvas planas. Sendo assim,abordaremos sem muitos comentários.
vetor tangente: Seja α(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ I ⊂ R, uma curva parametrizada diferenciável, o vetortangente a α em tinI, α0 (t) = 0.
curva regular:A curva α é regular regular se ∀t ∈ I, α0 (t) 6= 0, assim como é
nas curvas planas.
A reta tangente à curva regular α em t0 ∈ I é dada pela função g(r) =
α(t0 ) + rα0 (t0 ), r ∈ R, na qual temos que g passa por α(t0 ) na direção de α”(t0 ).
4.3
Mudança de Parâmetro
Os conceitos sobre mudança de parâmetro para curvas no espaço são os mesmo já estudados para curvas planas. Sendo assim,abordaremos sem muitos comentários.
Sejam I e J intervalos abertos de R, α : I → R3 uma curva regular e h : J → I
uma função diferenciável (C ∞ ), cuja derivada de primeira ordem é não nula em todos os
pontos de J e tal que h(J) = I. Então a função composta
β = α ◦ h → R3
é uma curva regular, que tem o mesmo traço que α, chamada reparametrização de α por
h. A função h é dita mudança de parâmetro.
25
na seção de curvas planas que trata deste assunto analisamos a orientação da
de reparametrização em relaçao curva de origem. Agora vamos analisar o caso
4.4
Curva parametrizada pelo comprimento de arco
A seção mudança de parâmetro, expõe a mudânça de parametro por uma função qualquer
h desde que essa função seja diferenciável de classe C ∞ . Agora vamos considera que
função mudança de é a função comprimento de arco s. Também vale comentar que os
conceitos sobre comprimento de arco efunção comprimento de arco vistos em cuvas planas
são analogos aos de curvas no espaço.
Seja α(t), t ∈ I, uma cuva regular de R3 . O comprimento de arco dessa curva
α de t0 a t1 , como foi visto na seção comprimento de arco é dado por
Z
t1
|α0 (t)|dt
t0
e a função comprimento de arco dessa curva α de t0 a t1 é
Z
t1
|α0 (t)|dt = t1 − t0 .
t0
Também, uma curva regular α : I −→ R3 é dita parametrizada pelo comprimento de arco e se para cada t0 , t1 ∈ I, desde que t0 6 t1 , então
Z
t1
|α0 (t)|dt = t1 − t0 .
t0
Proposição 4.4.1. Uma curva regular α : I −→ R3 está parametrizada pelo comprimento
de arco se, e só se, ∀t ∈ I, |α0 (t)| = 1.
4.5
Teoria local das Curvas; Fórmulas de Frenet
Para fazermos o estudo local das curvas é necessario que fixemos um elemento do intervalo
da curva e então é feito o estudo da curvas intervalo.
Agora vamos especificar a curva que vamos estudar. Seja α uma curva no R3
regular e parametrizada pelo comprimento de arco. Como vimos na seção 3.6 a curvatura
26
da curva α mostra a velocidade em que as retas tangentes mudam de direção, isto é
Definição 4.5.1. Se α : I −→ R3 é uma curva regular parametrizada pelo comprimento
de arco, então a curvatura de α é
k(s) =| α00 (s) | .
Proposição 4.5.1. Seja α : I −→ R3 uma curva regular parametrizada pelo comprimento
de arco. Então, α(I) é um seguimento se, e só se, k(s) = 0, ∀s ∈ I.
A demostração desta proposição encontra-se em [1]
Demonstração. Se α(I) é um seguimento de reta, então α(s) = p + vs, onde
p ∈ R3 e v é um vetor unitário de R3 . Portano, ∀s ∈ I, α0 (s) = v e α00 (s) = 0, donde
k(s) =| α00 (s) |= 0.
Reciprocamente, se | α00 (s) |= 0, ∀s ∈ I, então α00 (s) = 0. integrando novamente, obtemos α(s) = p + vs, cujo o traço é um seguimento de reta.
Essa demostração encontra-se em [1]
Essa proposição mostra que se quando uma curva regular parametrizada pelo
comprimento de arco tem curvatura igual a zero, então o traço dessa curva é um seguimento de reta.
Seja uma curva α no R3 parametrizada pelo comrpimento de arco, então |
α0 (s) |= 1 implica que α00 (s) é ortogonal a α0 (s). Então ∀s ∈ I onde k(s) 6= 0, ou seja,
α00 (s) 6= 0, podemos definir o vetor unitário na direção de α00 (s). [1]
Definição 4.5.2. Seja α :−→ R3 uma curva regular parametrizada pelo comprimento de
arco tal que k(s) > 0. o vetor
n(s0 =
α00 (s)
k(s)
é denominado vetor normal a α em s. A reta normal a α em s0 ∈ I é a reta
que passa por α(s0 ) na direção do vetor normal n(s).
Assim como no capitulo 3 o vetor que denotamos por t(s), um vetor unitário
α0 (s) então teremos que os vetores t(s) e n(s) são ortogonais e
t0 (s) = k(s)n(s).
27
Definição 4.5.3. sejá α : I −→ R3 uma curva regular parametrizada pelo comprimento
de arco tal que k(s) > 0. O vetor binormal a α em s é
b(s) = t(s) × n(s).
O referencial ortogonal t(s), n(s), b(s) é o triedo de Frenet da curva α em s.
Para cada ponto da curva teremos três planos ortogonais formados por:
a)Tangente e normal, chamado plano osculador ou tangente. Este é o mesmo
que no R2 .
b)Normal e binormal, chamado de normal.
c)Tangente e binormal, chamado de retificante.
Colocar figura da pg 63
Definição 4.5.4. o número real τ (s) definido por b0 (s) = τ (s)n(s) é denominado torção
da curva em s.
Assim como na curvatura que nos mostra a velocidade com que as retas tangentes mudam de direção, a torção nos mostra a variação do vetor binormal. [2]
Agora vamos apenas definir as fórmulas de Frenet, [1] mostra como chegar a
elas
Definição 4.5.5. Seja α : I −→ R3 uma curva regular parametrizada pelo comprimento
de arco, e tal que k(s) > 0, ∀s ∈ I, então o triedo de Frenet definido por t(s) = α0 (s),
n(s) =
α00 (s)
,
|α00 (s)|
b(s) = t(s) × n(s) satisfaz as equações
t0 (s) = k(s)n(s),
n0 (s) = −k(s)t(s) − τ (s)b(s),
b0 (s) = τ (s)n(s).
que são chamadas fórmulas de Frenet.
Até aqui o triedro de Frenet, a curvatura e a torção foram definidos apenas
para curvas parametrizadas pelo comprimento de arco.
28
Proposição 4.5.2. Seja α : I −→ R3 uma curva regular de parâmetro t e beta : J −→ R3
uma reparametrização de α pelo comprimento de arco, isto é, β(s(t)) = α(t), ∀t ∈ I.
Sejam k(s) > 0 e τ (s) a curvatura e a torção de β em s ∈ J, então
k(s(t)) =
τ (s(t)) =
| α0 (s) × α00 (t) |
| α0 (t) |3
hα0 (t) × α000 (t), α00 (t)i
.
| α0 (t) × α00 (t) |2
A demonstração dessa proposição encontra-se em [1].
Essa proposição permite obter a curvatura e a torção de uma curva regular em
qualquer parâmetro, ja que as definições anteriores foram apenas para as curvas parametrizadas pelo comprimento de arco.
4.6
Teomema Fundamental das Curvas
Teorema 4.6.1. a) Dada duas funções diferenciáveis, k(s) > 0 e τ (s), s ∈ I ⊂ R,
existe uma curva regular α(s) parametrizada pelo comprimento de arco, tal que k(s) é a
curvatura e τ (s) é a torção de α em s.
b) A curva α(s) é única se fixarmos um ponto α(s0 ) = p0 ∈ R3 , α0 (s0 ) =
v1 , α00 (s0 ) = k(s0 )v2 , onde v1 e v2 são vetores ortonormais de R3 .
c) Se duas curvas α(s) e β(s) têm a mesma curvatura e torção (a menos de
sinal), então α e β são congruentes.
A demonstração desse teorema encontra-se em [1]
29
30
5 Reparametrizações pelo Comrimento de
Arco
A este capı́tulo reservamos para fazer duas reparametrizações pelo comprimeto de arco.
Para fazê-la seguiremos os seguintes passos:
1) Vamos encontrar a função comprimento de arco no ponto t0 dado;
2) Calcular a função inversa da função comprimento de arco que denotaremos
por h e fazer a mudança de parâmetro.
3) Verificar se a curva obtida está mesmo paramatrizada pelo comrimento de
arco pelas proposições 3.5.1 e 4.4.1, nas quais, dizem que se uma curva está parametrizada
pelo comprimento de arco então ∀t ∈ I, |α0 (t)| = 1.
5.1
Reparametrização pelo comprimento de arco de
uma curva no plano
A curva α(t) = (et cos(t), et sen(t)), onde o parâmetro é o ângulo da curva com o centro,
curva essa que tem traço conhecido como espiral logaritmica. Vamos reparametrizar pelo
comprimento de arco α para t0 = 0.
1o Passo:
Z
t
s(t) =
|α0 (t)|dt
t0
α0 (t) = (et0 cos(t) + et cos0 (t), et0 sen(t) + et sen0 (t))
α0 (t) = (et cos(t) − et sen(t), et se(t) + et cos(t))
α0 (t) = (et (cos(t) − sen(t)), et (sen(t) + cos(t)))
| α0 (t) |=
| α0 (t) |=
| α0 (t) |= (et )
| α0 (t) |= et
p
(et (cos(t) − sen(t)))2 + (et (sen(t) + cos(t)))2
p
(et )2 (cos(t) − sen(t))2 + (et )2 (sen(t) + cos(t))2
p
(cos2 (t) − 2sen(t)cos(t) + sen2 (t)) + (sen2 (t) + 2sen(t)cos(t) + cos2 (t))
p
(sen2 (t) + cos2 (t)) + (sen2 (t) + cos2 (t)) + (2sen(t)cos(t) − 2sen(t)cos(t))
| α0 (t) |=
Z
√
2et
t
0
|α (t)|dt =
s(t) =
t0
Z t√
2et dt
t0
para t0 = 0
s(t) =
Z t√
0
√ Z t t
√
√
2e dt = 2
e dt = 2(et − e0 ) = 2(et − 1)
t
0
então a função comprimento de arco s(t) =
√
2(et − 1).
2o Passo:
O comprimento de arco s de 0 a t é dado pela equação s =
vamos encontrar a equação em função de t substituir em α.
s=
√ t
2(e − 1)
s
√ = et − 1
2
s
√ + 1 = et
2
s
ln( √ + 1) = ln(et )
2
31
√
2(et − 1), agora
s
t = ln( √ + 1)
2
β =α◦h
ln( √s +1)
β(s) = (e
2
s
s
ln( √s +1)
2
cos(ln( √ + 1)), e
sen(ln( √ + 1)))
2
2
s
s
s
s
β(s) = (( √ + 1)cos(ln( √ + 1)), ( √ + 1)sen(ln( √ + 1)))
2
2
2
2
Agora o novo parâmetro é o comprimento de arco s, β é a curva parametrizada
pelo comprimento de arco e h a função de parametrização.
Agora vamos verificar se | β 0 (s) |= 1
3o Passo: Vamos fazer
√s
2
+ 1 = a então
da
ds
=
√1
2
Assim,
β(s) = (acos(ln(a)), asen(ln(a)))
β 0 (s) = (a0 cos(ln(a)) + acos0 (ln(a)), a0 sen(ln(a)) + asen0 (ln(a)))
1
1
β 0 (s) = (a0 cos(ln(a)) − a a0 sen(ln(a)), a0 sen(ln(a)) + a a0 cos(ln(a)))
a
a
β 0 (s) = (a0 cos(ln(a)) − a0 sen(ln(a)), a0 sen(ln(a)) + a0 cos(ln(a)))
Como
da
ds
=
√1 ,
2
então
1
1
1
1
β 0 (s) = ( √ cos(ln(a)) − √ sen(ln(a)), √ sen(ln(a)) + √ cos(ln(a)))
2
2
2
2
1
1
β 0 (s) = ( √ (cos(ln(a)) − sen(ln(a)), √ (sen(ln(a)) + cos(ln(a)))
2
2
s
| β 0 (s) |=
1
1
( √ (cos(ln(a)) − sen(ln(a)))2 + ( √ (sen(ln(a)) + cos(ln(a)))2
2
2
32
s
1
1
( √ )2 (cos(ln(a)) − sen(ln(a)))2 + ( √ )2 (sen(ln(a)) + cos(ln(a)))2
2
2
1 p
(cos(ln(a)) − sen(ln(a)))2 + (sen(ln(a)) + cos(ln(a)))2
| β 0 (s) |= √
2
| β 0 (s) |=
Por conveniêcia vamos fazer ln(a) = b, assim
1 p
(cos(b) − sen(b))2 + (sen(b) + cos(b))2
| β 0 (s) |= √
2
1 p
| β 0 (s) |= √
(cos2 (b) − 2sen(b)cos(b) + sen2 (b)) + (cos2 (b) + 2sen(b)cos(b) + sen2 (b))
2
1 p
| β 0 (s) |= √
(sen2 (b) + cos2 (b)) + (2sen(b)cos(b) − 2sen(b)cos(b)) + (sen2 (b) + cos2 (b))
2
1 √
| β 0 (s) |= √ 2 = 1
2
| β 0 (s) |= 1
Portanto β é a reparametrização de α pelo comprimento de arco.
5.2
Reparametrização pelo comprimento de arco de
uma curva no espaço
1o Passo:
Z
t
s(t) =
|α0 (t)|dt
t0
α0 (t) = (cos0 (t), sen0 (t), t0 )
α0 (t) = (−sen(t), cos(t), 1)
33
| α0 (t) |=
p
(−sen(t))2 + (cos(t))2 + 12
p
sen2 (t) + cos2 (t) + 1
| α0 (t) |=
| α0 (t) |=
Z
√
2
t
0
|α (t)|dt =
s(t) =
Z t√
t0
2dt
t0
para t0 = 0
s(t) =
Z t√
√ Z t
√
√
2dt = 2
dt = 2(t − 1) = 2t
0
0
então a função comprimento de arco s(t) =
√
2t.
2o Passo:
O comprimento de arco s de 0 a t é dado pela equação s =
√
2(et − 1),
agora vamos encontrar a equação em função de t e fazer a composta de α pela função h
encontrada.
s=
√
2t
s
h:t= √ =
2
√
2s
2
β =α◦h
√
√
√
2s
2s
2s
β(s) = (cos(
), sen(
),
)
2
2
2
Agora o novo parâmetro é o comprimento de arco s, β é a curva parametrizada
pelo comprimento de arco e h é a função de reparametrização.
Vamos verificar se | β 0 (s) |= 1
3o Passo: vamos fazer
√s
2
+ 1 = a então
34
da
ds
=
√1
2
Assim,
√
√
2s
2s
2s
), sen(
),
)
β(s) = (cos(
2
2
2
√
√
√
√
2s
2s
2s 0
0
β (s) = (cos (
), sen (
), (
))
2
2
2
0
0
√
√
√
√
√
2
2s
2
2s
2
β (s) = (−
sen(
),
cos(
),
)
2
2
2
2
2
0
√
√
√
√
2
2s 2
2
2s 2
2 2
sen(
)) + (
cos(
)) + (
)
(−
2
2
2
2
2
s
0
| β (s) |=
| β (s) |=
√
√
√
√
√
2
2s 2
2
2s 2
2 2
(−
sen(
)) + (
cos(
)) + (
)
2
2
2
2
2
s
0
√
s
√
2
2
2
1
2s
sen2 (
) + cos2 ( ) +
2
2
4
4
4
s
√
2
1
2s
(sen2 (
) + cos2 ( ) + 1)
2
2
4
| β 0 (s) |=
| β 0 (s) |=
r
0
| β (s) |=
r
0
| β (s) |=
1
(1 + 1)
2
√
1
2= 1=1
2
| β 0 (s) |= 1
Portanto β é a reparametrização de α pelo comprimento de arco.
35
36
6 Considerações Finais
O presente trabalho apresentou o estudo das curvas, um dos objetos de estudo da geometria diferencial, e a reparametrização pelo comprimento de arco. Ambos os objetivos
que determinamos no decorrer do trabalho podemos dizer que concluı́mos. No que se fala
de estudo de curvas, o que podemos dizer é que não fizemos diferentes do que os livros
fazem.
No estudo das curvas de modo geral, têm como objetivo chegar ao Teorema
funadmental das curvas. Para as curvas situadas no plano, o teorema fundamental das
curvas planas mostra que a curvatura determina uma curvas plana a menos de sua posição
no plano, um movimento rigido, existindo uma rotação L e uma translação T . Para as
curvas no espaço, o teorema fundamental das curvas mostra que a curvatura e a torção
determina uma curva no espaço. Quanto ao objetivo de reparametrizar uma curva no
plano e outra no espaço, em ambos os casos procedemos da seguite forma: (1) calculamos
a função inversa da função comprimento de arco, (2) calculamos a composta da curva
pela função inversa e por fim (3) verificamos calculando o módulo do vetor tangente da
curvas reparametrizada pelo comprimento de arco.
Estudar geometria diferencial das curvas foi uma experiência nova, pois a disciplina de Geometria Diferencial não está na grade do curso de licenciatura plena em
Matemática da UFPA. Diante do que foi estudado, podemos perceber que ainda têm
muito a ser estudado sobre a geometria diferencial, pois curvas é apenas o começo dessa
geometria.
Visto que apenas estamos iniciando o estudo à geometria diferencial, esperamos
que este trabalho possa ser útil a outras pessoas que desejam estudar geometria diferencial,
e mais especificamente, queira estudar superfı́cies (muito interessante devido a visualização
das superfı́cies por meios de programas de computador), pois muitos dos conceitos aqui
abordados são necessários ao se estudar superfı́cies. Também esperamos este trabalho
possa servir em minicursos, pois esta disciplina não faz parte da grade curricular do curso,
então seria muito interessante e enrriquecedor neste respeito, pois daria a oportunidade
do alunos presenciar e estudar que não são comuns do curso.
Referências Bibliográficas
[1] KETE KENENBLAT Introducão à Geometria Diferencial São Paulo: Editora
EDGARD BLUCHER 2008.
[2] WALDEMAR DE MAIO Geometrias: Geometria Diferencial Rio de Janeiro:
LTC 2007.
[3] MANFREDO P. DO CARMO Geometria Diferencial de Curvas e Superficies
São Paulo: SBM 2006.