MECÂNICA CLÁSSICA I
3a. folha de problemas de 2007/2008
(1) Escreva as equações de Lagrange para uma partı́cula sujeita à acção de um campo conservativo em
coordenadas cartesianas.
(2) Escreva as equações de Lagrange para uma partı́cula sujeita à acção de um campo conservativo em
coordenadas polares (num espaço a 2 dimensões).
(3) Escreva e resolva as equações de Lagrange para a máquina de Atwood.
(4) Escreva e resolva as equações de Lagrange para a máquina de Atwood, considerando que a roldana
tem massa.
(5) Escreva e resolva as equações de Lagrange para um disco (ou esfera, ou anel, ou cilindro) homogénio
de massa m, raio r e momento de inércia I = kmr 2 (em que k é uma constante - raio de giração), que
rola sem escorregar num plano inclinado que faz um ângulo θ com a horizontal segundo a direcção
de máxima inclinação.
(6) Considere os seguintes sistemas (em todos os sistemas envolvendo pêndulos excepto na alı́nea a), o
movimento do pêndulo é constrangido a efectuar-se num plano vertical):
(a) um pêndulo esférico;
(b) um pêndulo elástico plano;
(c) um pêndulo duplo plano;
(d) um pêndulo plano cujo ponto de suporte se move com movimento rectilı́neo uniforme vertical
descendente;
(e) um pêndulo plano cujo ponto de suporte se move com movimento circular uniforme num plano
vertical (plano esse que é também o plano do movimento do pêndulo);
(f) um pêndulo plano cujo ponto de suporte se move com movimento harmónico simples segundo
uma direcção horizontal. Supõe-se que o plano vertical em que se move o pêndulo também
contém a recta onde se move o ponto de suporte;
(g) um pêndulo plano cujo ponto de suporte se move com movimento harmónico simples segundo
uma direcção vertical;
(h) um pêndulo plano de massa m2 com o ponto de suporte ligado a uma partı́cula de massa m1 ,
que se move sem atrito sobre uma recta horizontal. Supõe-se que o movimento de ambas as
partı́culas se efectua no mesmo plano vertical;
(i) um pêndulo plano de massa m2 com o ponto de suporte ligado a uma partı́cula de massa
m1 , que se move sem atrito sobre uma recta horizontal ligada a uma mola elástica cuja outra
extremidade está fixa. Supõe-se que o movimento de ambas as partı́culas se efectua no mesmo
plano vertical;
(j) uma anilha que se move sem atrito sobre um arame com a forma de uma recta horizontal e que
roda com uma velocidade angular constante em torno de um eixo vertical;
(k) uma anilha ligada a uma mola elástica com a outra extremidade fixa, que se move sem atrito
sobre um arame com a forma de uma recta horizontal, o qual roda com velocidade angular
constante em torno de um eixo vertical;
(l) uma anilha sujeita ao campo gravı́tico, que se move sem atrito sobre um arame com a forma de
uma recta inclinada que faz um ângulo α com a vertical, o qual roda com velocidade angular
constante ~
ω em torno de um eixo vertical.
Para cada alı́nea,
A - classifique as suas ligações.
B - Quantos graus de liberdade tem o sistema?
C - Escolha as suas coordenadas generalizadas e escreva as expressões para a energia cinética e para
a energia potencial em função destas coordenadas.
D - Escreva as equações de Lagrange para esse sistema.
E - A função h é a energia do sistema?
F - A função h mantém-se constante? E a energia?
1
1
m1
2
m2
6.a)
6.b)
6.c)
v
m
m
m
6.d)
6.e)
6.f)
m1
m1
m
m2
6.h)
z
z
6.i)
x
6.g)
m2
y
ω
y
y
z
x
α
ω
x
6.j)
6.k)
6.l)