F887 - Física Nuclear
Aula 08





Propriedades macroscópicas do núcleo.
Modelo de Gás de Fermi
Números mágicos
Modelo de Camadas
Interação Spin-Órbita
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2
Modelo Nuclear:
 Queremos um modelo relativamente simples que
descreva as propriedades macroscópicas do núcleo de
forma que possamos calcular quantitativamente
algumas grandezas observáveis.
 O modelo deve descrever as propriedades nucleares já
conhecidas.
 O modelo deve prever novas propriedades que possam
ser confirmadas com novos experimentos.
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3
O spin e o momento angular:
No caso do átomo de hidrogênio, na resolução da equação de Schrödinger, o
operador do momento angular orbital dos elétrons satisfaz a relação:
L2op    1 2
Lzop  m
e dizemos que ℓ é o número quântico orbital, associado ao momento angular
orbital, e mℓ é o número quântico magnético.
Usualmente se utiliza a notação espectroscópica dada por:
valor do número quântico
orbital
ℓ
símbolo
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0
1
2
3
4
5
6
s
p
d
f
g
h
i
4
Momento angular total:
O spin (S) e o momento angular orbital (L) são acoplados (=se somam),
resultando no momento angular total (J):
  
J  LS
2
J op
  j  j  1 2
onde j é o número quântico do momento angular total.
Se estivermos tratando de uma partícula de spin ½ :
 1  j  1
2
2
j  1
2
e a componente na direção z é dada por:
J z  m j 
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m j   j , j  1, j  2 j  1, j
5
O spin nuclear I:
No caso de um próton ou um nêutron, ambos são férmions e também
possuem spin=1/2. Portanto, é possível aplicar o mesmo tratamento
dado para os elétrons no caso atômico.
Desta forma, é possível designar a cada próton e nêutron de um núcleo
os números quânticos:
, s,
j
O momento angular total do núcleo seria então a soma vetorial das
componentes de momento angular de cada nucleon que compõe este
núcleo. O momento angular total do núcleo é geralmente conhecido como
o “spin nuclear” e representado pelo símbolo I. Valem as relações:
2
I op
total  I I  1 2total
I ztotal  mI total
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mI  I ,  I  1,,  I  1,  I
6
Spin nuclear:
A combinação de spins e momentos angulares orbitais dos prótons e
nêutrons em um núcleo é um pouco mais complicada. Como regra geral, um
núcleo com A ímpar sempre terá spin semi-inteiro, e um de A par terá spin
inteiro.
Isótopos do Ferro
Z
A
Atomic Mass
(u)
Nuclear Mass
(GeV/c2
Binding Energy
(MeV)
Spin
26
54
53.939613
50.2315
471.77
0
26
55
54.938296
51.1618
481.07
3/2
26
56
55.934939
52.0902
492.26
0
26
57
56.935396
53.0221
499.91
1/2
26
58
57.933277
53.9517
509.96
0
26
60
59.934077
55.8154
525.35
0
Isótopos do Cobalto
Z
A
Atomic Mass
(u)
Nuclear Mass
(GeV/c2)
Binding Energy
(MeV)
Spin
27
56
55.939841
52.0943
486.92
4
27
57
56.936294
53.0225
498.29
7/2
27
59
58.933198
54.8826
517.32
7/2
27
60
59.933820
55.8147
524.81
5
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7
De forma análoga ao magneton de Bohr, o magneton
nuclear é definido por: μN= 3.1525 x 10-8 eV/T
 N  B
Na maioria dos casos, o efeito magnético atômico é muito maior do que o
efeito magnético nuclear. Portanto, os efeitos magnéticos da matéria, como o
ferromagnetismo, são dominados pelo momento magnético atômico.
O momento magnético nuclear devido ao movimento orbital pode ser re-escrito
da seguinte forma:
e

2m

  g   N
g  1
prótons
g  0 nêutrons
Analogamente, o momento magnético devido ao spin do próton ou do nêutron
é dado por:
s=1/2 para prótons, nêutrons e elétrons
S  g s s  N
gs (elétron) = 2.0023
gs (próton) = 5.5856912
gs (nêutron) = -3.8260837
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O fato de ser diferente de 2,
é evidência de que não são
partículas pontuais!
8
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9
Modelo do Gás de Fermi
Tratamos o núcleo como um
poço de potencial quadrado, e
os nucleons se movimentam
dentro dele como se fossem
partículas independentes (elas
não interagem entre si).
nEF  
V0
EF
p
n
2 m3 2 a 3
3 2 3
A
32
EF 
4
Calculamos o número de
estados possíveis para cada
nível de energia.
Tratamos separadamente os prótons e os nêutrons, cada um em seu
poço de potencial, e aplicamos o princípio de exclusão de Pauli para
preencher os níveis de energia.
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10
Resumindo:
 O modelo do gás de Fermi é um modelo bastante simples, que
consegue explicar algumas propriedades nucleares que foram
deduzidas empiricamente.
 Permite calcular a energia máxima que um nucleon pode ter dentro
do núcleo.
2 
2 2 3
  3  
EF 
2m  2 
 Permite calcular a energia média dos nucleons dentro do núcleo.
 Em núcleos leves, o valor mínimo da energia total do sistema ocorre
quando Z=N. Isto está de acordo com a nossa observação de que
em núcleos leves, a linha de estabilidade se encontra próximo da
linha N=Z.
 Explica o termo de assimetria da fórmula de Weizsäcker.
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11
Resumindo:
V(r)
Em núcleos mais pesados, o número
maior de prótons aumenta a repulsão
coulombiana, o que torna o poço de
prótons do modelo do Gás de Fermi
mais “raso” do que o poço equivalente
para os nêutrons. Em conseqüência, o
número de prótons fica menor que o
número de nêutrons, o que também
concorda com nossas observações da
tabela de nuclídeos.
p
n
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12
Resumindo:
V(r)
p
O modelo do gás de Fermi explica o
número reduzido de núcleos ímparímpar estáveis na natureza. Se
considerarmos um núcleo com um
número ímpar de prótons e um número
ímpar de nêutrons, significa que
teremos 1 próton e 1 nêutron isolados
em um nível de energia, cada qual em
seu poço de potencial.
Mas, geralmente existe uma pequena
diferença de energia entre os níveis de
Fermi de prótons e nêutrons, o que abre
a possibilidade da passagem de um
nucleon de um poço para outro através
da emissão de radiação beta, formando
um estado de energia mais baixo.
n
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13
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14
Números mágicos da física atômica:
Os números mágicos observados nas
propriedades atômicas são bem descritos
dentro do modelo atômico que considera os
elétrons confinados em estados quantizados em
torno do núcleo e obedecendo ao princípio de
exclusão de Pauli.
Os níveis das camadas eletrônicas são
definidos resolvendo a equação de Schrödinger
considerando o potencial coulombiano gerado
pelo núcleo.
COULOMB
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15
Números mágicos da física atômica:
A estabilidade e a
periodicidade dos diferentes
elementos da tabela periódica
podem ser explicadas pela
quantização do momento
angular orbital, pela existência
do spin e pela estatística de
Fermi-Dirac.
Em particular, as propriedades
atômicas variam suavemente
entre átomos que possuem o
mesmo número de camadas
eletrônicas, e apresentam
variações abruptas quando se
começa a preencher nova
camada eletrônica (próximo
aos gases nobres).
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16
Números mágicos nucleares:
Observando os isótopos do cálcio,
observamos que existem dois
isótopos, com os números de nêutrons
20 e 28, para os quais a energia de
ligação do nêutron é maior do que a
energia de ligação do nêutron dos
demais isótopos.
O mesmo ocorre com outros nuclídeos, como por exemplo:
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17
Números mágicos nucleares, na energia de
separação de prótons e nêutrons:
Energia de separação de dois
prótons para seqüências de
isótonos.
Energia de separação de dois
nêutrons para seqüências de
isótopos.
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18
O núcleo 208Pb (Z=82, N=126), que tem Z e N
mágicos, tem o primeiro nível de excitação
excepcionalmente elevado.
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19
Abundância relativa:
A abundância dos diferentes
isótopos/isótonos na Terra é
maior para os isótopos com
número atômico Z ou número de
nêutrons N iguais aos números
mágicos:
2, 8, 20, 28, 50, 82 ou 126
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20
Características dos núcleos mágicos
Maior quantidade de isótopos e isótonos com N e Z mágicos.
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21
Outras peculiaridades de núcleos mágicos:
Núcleos com N ou Z mágicos
possuem momento de quadrupolo
próximo de zero (não são
deformados).
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22
Seção de choque de absorção de nêutrons:
Núcleos com número de
nêutrons N mágico possuem
uma seção de choque de
absorção de nêutrons menor
do que os núcleos com N não
mágicos.
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23
Propriedades nucleares que apresentam
números mágicos 2, 8, 20, 28, 50, 82 e 126:
 Energia de ligação acima do valor dado pela fórmula semi-empírica
da massa.
 Energia de separação de nêutrons (prótons) tem picos para N (Z)
mágicos.
 Elementos com Z (N) mágicos possuem isótopos (isótonos) em
maior abundância do que os demais isótopos.
 Elementos com Z mágico são mais abundantes que os elementos
vizinhos.
 Núcleos com N mágico possuem uma seção de choque de absorção
de nêutrons menor do que os núcleos com N não mágicos.
 A energia do primeiro estado excitado 2+ de núcleos par-par possui
valor excepcionalmente elevado no caso de Z e N mágicos.
 Existência de “ilhas de isomerismo” (estados excitados com meia
vida longa).
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24
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25
Modelo atômico e modelo nuclear:
A existência de números mágicos nucleares, similar aos números
mágicos no caso atômico, nos leva a considerar que o núcleo pode
ser descrito por um modelo de camadas similar ao modelo de
camadas atômico.
No entanto existem diferenças:
No caso atômico, o potencial que atua nos elétrons é um potencial
externo.
No caso nuclear, os nucleons estão sujeitos a um potencial que eles
mesmo criam.
No caso atômico, os elétrons se movimentam em camadas
quantizadas que podem ser interpretadas como órbitas espaciais.
Já no caso de um núcleo atômico, compactado, é difícil imaginar
camadas orbitais onde os nucleons estariam se movimentando dentro
de um núcleo.
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26
Etapas que vamos tomar para a determinação
do modelo nuclear:
 Supomos que os nucleons se movem dentro do núcleo
sem interagir (como no modelo do gás de Fermi), ou
seja, tratamos o problema como se fossem partículas
independentes.
 A escolha natural a se fazer de início é escolher entre os
potenciais conhecidos do poço de potencial finito,
oscilador harmônico e o potencial de Woods-Saxon.
 Resolvemos a equação de Schrödinger e obtemos os
auto-estados.
 Utilizando o princípio de Pauli, vamos preencher cada
estado (nível) com nucleons.
 Agora vamos buscar os números mágicos.
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27
QUADRADO
OSC. HARMÔNICO
Exemplo : Casos unidimensionais!!
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28
Poço esférico infinito tridimensional:
A solução da equação de Schrödinger para um potencial V(r) com
simetria esférica é obtida resolvendo as equações:
d 2
d 2
 m2  0
m2 
1 d 
d  
  0
 sen
    1 
2
sen d 
d  
sen  
 2  d 2 R 2 dR  
  1 2 


 V r  
 R  ER
2
2


2m  dr
r dr  
2m r 
Considerando que a parte angular é dada pelas funções conhecidas
dos harmônicos esféricos, tudo que temos de fazer é resolver a parte
radial, considerando V(r):
0 r  a
V r   
  r  a
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29
Poço esférico infinito tridimensional:
Rℓ (r) é a solução da parte radial da equação radial de Schrödinger:
 2  d 2 R 2 dR  
  1 2 


 V r  
 R  ER
2
2m  dr2 r dr  
2m r 
Esta equação, para V(r)=0 possui soluções
conhecidas: as chamadas funções de Bessel
esféricas jℓ(kr) e as funções de Neumann
esféricas nℓ(kr).
 r   1 d   senkr  
j kr      
 

k
r
dr
kr

 
 



 r   1 d   coskr  
n kr      
 

 k   r dr   kr 


k
2m E

Mas as funções de Neumann não são regulares na origem, e como as
condições de contorno exigem que as soluções sejam finitas para qualquer
valor de r, as únicas soluções aceitáveis são as funções de Bessel esféricas.
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30
Poço esférico infinito tridimensional:
As autofunções da equação radial de Schrödinger
são dadas pelas soluções das funções esféricas de
Bessel aplicando as condições de contorno em
r=a:
j ka  0
Esta condição exige que ka=, onde “a” é o raio
do núcleo, e “” é um “zero” da função de Bessel.
As funções de Bessel terão um “zero” para cada
valor de “ℓ” e teremos diferentes autovalores de
energia para diferentes valores de “n” e “ℓ” .
E
2
2

2
2m a
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31
Sobre o número quântico n:
 n=1, ℓ = 0 corresponde ao primeiro zero da função de
Bessel com ℓ = 0 ( estado 1s).
 n=2, ℓ = 0 corresponde ao segundo zero da função de
Bessel com ℓ = 0 ( estado 2s).
 n=3, ℓ = 0 corresponde ao terceiro zero da função de
Bessel com ℓ = 0 ( estado 3s).
 n=1, ℓ = 1 corresponde ao primeiro zero da função de
Bessel com ℓ = 1 ( estado 1p).
 n=2, ℓ = 1 corresponde ao segundo zero da função de
Bessel com ℓ = 1 ( estado 2p).
e assim por diante....
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32
Degenerescência dos estados:
Os autovalores de energia da equação de
Schrödinger tridimensional serão caracterizados
pelos números quânticos n e ℓ. Ou seja, os
níveis de energia só dependem dos números
quânticos n e ℓ. As soluções não dependem do
número quântico mℓ. Portanto, aparece uma
degenerescência de estados e para cada valor
de ℓ, podem existir mℓ= -ℓ,-ℓ+1,..,0,.,ℓ+1, ℓ, portanto
2 ℓ +1 estados.
Além disso, cada estado também terá dois
estados de spin : ms=+1/2, -1/2.
Portanto a degenerescência total será de 2(2ℓ +1)
estados com o mesmo valor de energia.
Ou seja, em cada estado de prótons (nível de
energia) podemos colocar 2(2 ℓ +1) prótons e em
cada estado de nêutrons, 2(2 ℓ +1) nêutrons.
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33
Degenerescência dos estados:
Momento angular
orbital
Número de prótons ou
nêutrons no estado
Número total de
nucleons até este nível
ℓ=0
s
2
2
ℓ=1
p
6
8
ℓ=2
d
10
18
ℓ=3
f
14
32
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34
ESFÉRICO
Caso tridimensional!
Os números mágicos aparecem somente parcialmente!!!
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35
ESFÉRICO
OSC. HARMÔNICO
Os números mágicos aparecem somente parcialmente!!!
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36
n=2, ℓ=0
n=1, ℓ=2
n=1, ℓ=1
n=1, ℓ=0
COULOMB
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ESFÉRICO
OSC. HARMÔNICO
37
Utilizando um potencial mais realista, o de
Woods-Saxon:
A utilização de um potencial tipo poço finito
faz com que as funções de onda se
estendam para fora de potencial, na região
proibida, o que tem como efeito reduzir o
valor da energia. Além disso, algumas
degenerescências do oscilador harmônico
são quebradas, mas os números
mágicos ainda não aparecem!!!
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38
Expressões para os potenciais :
 Tipo oscilador harmônico:

V ( r )  V0 1  r / R 2
0

para r  R
para r  R
 Tipo Woods-Saxon (grande desvantagem: apenas solução
numérica!) :

 r  R 
V ( r )   V0 1  exp

 a 

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1
39
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40
Interação Spin-Órbita.
Como podemos modificar o potencial para obter os números mágicos
observados experimentalmente?
A solução se encontra na inclusão de uma interação do tipo spin-órbita
L.S no potencial médio que descreve o núcleo. Neste caso, o
momento angular L e o spin S se referem às grandezas do nucleon se
movendo na órbita definida pelo potencial, como no caso do elétron se
movendo em torno do núcleo.
Para cada nucleon do núcleo, existirá uma interação L.S com cada um
dos demais nucleons do núcleo. Assim sendo, o efeito médio da
interação L.S em um nucleon no centro do núcleo será zero, pois o
efeito causado por um nucleon em uma direção será anulado por um
outro nucleon na direção oposta. Por este raciocínio, o efeito da
interação L.S deve ser maior na superfície do núcleo, e portanto deve
variar com o raio nuclear.
 
V r   V r   W r  L  S
Mayer, Haxel, Suess e Jensen em 1949.
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41
Maria Goeppert-Mayer e Hans Jensen:
PN Física 1963
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42
Observação:
 Ao contrário do que acontece no caso atômico,
em que a interação spin-órbita é de origem
eletromagnética e dá origem à estrutura fina,
aqui estamos introduzindo uma interação spinórbita de caráter nuclear, não eletromagnético, e
o seu efeito é substancial, a ponto de inverter a
ordem de alguns níveis!
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43
A presença da interação L.S faz com que novamente consideremos o
momento angular total dado por:
  
J  LS
J z  Lz  S z
Como o operador L.S comuta com J2,
L2, Jz e S2, mas não comuta com
Lz e nem com Sz, os números quânticos que irão descrever o nucleon são
dados por:
j
jz
 s
e os valores de j serão dados por:
j  1
2
j  1
2
Quando ℓ=0 , a única solução possível é j=1/2, pois não existe a interação
L.S. Mas para valores de ℓ>0, o potencial terá valores diferentes, e portanto,
assim como no caso atômico, o acoplamento L.S irá resultar na quebra da
degenerescência.
Os autovalores do operador L.S são dados por:
 
1
L .S   j  j  1    1  ss  1 2 Exercício 8.1 do Williams
2
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44
O que é este acoplamento spin-órbita?
Quais são seus autovalores?
J 2 j , , s  j  j  1 2 j , , s
L2 j ,  , s    1 2 j ,  , s
S 2 j , , s  ss  1 2 j , , s
  
J  LS
 
2
2
2
J  L  S  2L  S

  1 2
L  S  J  L2  S 2
2

 
1
L  S j ,  , s   j  j  1    1  ss  1  2 j , , s
2
j  1
j  1
2
 
L .S
2
 
L .S
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 1 2

1 2
 
2
1 2
     1
 1 2
2
Quebra a
degenerescência que
existia no momento
angular.
45
 
1
L .S   j  j  1    1  ss  1  2
2
Quando o momento angular orbital (ℓ ≠0) estiver alinhado com o spin teremos:
j  1

L .S
2

 1 2

1 
1 
3
1  1  2










1





  1  

2 
2 
2
2  2 
1 2 2
3
1 1 1
   2    2        2 
2 
4
4 2 2
Quando o momento angular orbital (ℓ ≠0) estiver antiparalelo com o spin
teremos:
j  1
 
L .S
2
1
   2   1
 1 2
2
Assim, a diferença entre os níveis será de:
 
L.S
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 1 2
 
 L .S
 1 2

1 2
 2  1
2
46
Quebra da degenerescência devido a interação
L.S e o aparecimento dos números mágicos:
V r 
 
 V r   W r  L  S
Portanto, a inclusão do termo de interação
spin-órbita no potencial do núcleo tem
como conseqüência a adição de um termo
extra no valor do nível de energia. Só que
este termo varia se o acoplamento spinórbita fôr paralelo: j=ℓ+1/2 ou antiparalelo:
j=ℓ-1/2.

En , , j  En ,  W ( r ) L.S
j
 
L .S
1 2
  
 1 2 2
 
1
L .S
   2   1
 1 2
2
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47
Quebra da degenerescência devido a interação
L.S e o aparecimento dos números mágicos:
 
L .S
1
  2
 1 2 2
 
L .S
1
   2   1
 1 2
2
Conseqüentemente, haverá o
cruzamento entre certos níveis de
energia.
No estado p(3/2), cabem 4
nucleons, pois:
mj=-3/2,-1/2,+1/2,+3/2.
Ou seja, para cada j, existem
(2j+1) estados.
Observe que p(3/2) é preenchido
antes do estado p(1/2).
Para obter concordância com os
dados experimentais, W(r) precisa
ser negativo. Assim, o estado
j=ℓ+1/2 tem energia menor do que o
estado j=ℓ-1/2.
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Os níveis de energia considerando a interação L.S
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Os níveis de energia considerando a interação LS
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50
Os níveis de energia considerando a interação LS
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51
Os níveis de energia considerando a interação L.S
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O diagrama de
níveis de MayerJensen
(PrêmioNobel 1963)
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Exercícios




Descreva em linhas gerais o princípio do modelo de camadas.
Discuta alguns exemplos que comprovam o modelo de camadas.
Para quais casos a previsão do modelo de camadas não é tão boa?
Por que os números mágicos nucleares não são os mesmos dos
números mágicos atômicos?
 (8.1 do Williams) Determine os autovalores do operador de
interação spin-órbita (L.S) e obtenha os valores médios de L.S
para o caso do momento angular orbital paralelo e antiparalelo ao
spin.
 Qual o conceito ou lei fundamental da física que é responsável pela
existência dos números mágicos?
 Cite três propriedades peculiares a núcleos contendo números de
prótons ou nêutrons iguais aos números mágicos.
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Exercícios:
 Cite algumas características dos núcleos com Z ou N
mágicos que estão evidenciadas no gráfico abaixo:
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Para o oscilador harmônico 3D em
coordenadas esféricas vale:


3
En ,  E    h
2
com
  2n  1  1  0 ,1,2 ,.....
( n  1,2 ,3....;  0 ,1,2 ,3...)
O número quântico n
está relacionado ao número de zeros da função de onda radial!
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