Sistemas Complexos
•Sistemas Complexos & Mecânica Estatística
•Criticalidade Auto-Organizada (SOC)
•Dinâmica de terremotos e modelo OFC
Carmen P. C. Prado
Instituto de Física da USP
Curso de Verão - janeiro /2002
• No dia a dia, chamamos de “ complexo ” um sistema que
tem MUITOS COMPONENTES que INTERAGEM entre
si e se comportam COLETIVAMENTE de forma NÃO
TRIVIAL.
• A área de pesquisa que hoje denominamos genericamente
“ Sistemas Complexos ” é um novo campo da ciência, de
caráter fortemente interdisciplinar, que estuda como as
diversas partes de um sistema podem gerar padrões e
comportamentos coletivos - chamados emergentes - e como
tal sistema afeta ou é afetado pelo meio que o cerca.
• Como as iterações locais levam a padrões coletivos.
• Como podemos descrever tais sistemas / comportamentos.
• Como tais sistemas (redes) se formam.
•
No estudo de sistemas complexos estamos interessados em
efeitos indiretos, ou seja, em comportamentos
macroscópicos e coletivos (como sincronismo e
auto-organização) que não podem ser inferidos
trivialmente das regras de interação entre as partes.
• Problemas que são difíceis de resolver são, em geral, difíceis
de serem entendidos porque neles causas e efeitos não
estão obviamente relacionados. Perturbar um sistema
complexo “aqui” geralmente causa um efeito inesperado “lá”
porque suas partes são interdependentes de uma forma não
trivial.
• A compreensão de que o conhecimento do
funcionamento das partes muitas vezes não
é suficiente para explicar o comportamento
coletivo de vários sistemas levou ao
desenvolvimento de novos conceitos e
metodologias que afetam todos os ramos da
ciência exatas, da engenharia, biologia e
mesmo ciências humanas.
• A pesquisa envolvendo os sistemas complexos busca
desenvolver novas ferramentas que possibilitem entendê-los
e descrevê-los.
 Novos conceitos
 Ferramentas analíticas
 Simulações numéricas
• Mecânica Estatística
fornece ferramentas importantes para estes
estudos
Mas o que estuda a Mecânica Estatística?
Conexão entre
mundo
microscópico e
macroscópico
A MECÂNICA ESTATÍSTICA estuda,
quantitativamente, sistemas com
grande número de elementos (ou
graus de liberdade), tais como os
átomos ou moléculas de um sólido,
líquido ou gás.
Embora as leis que governam a interação entre cada par de
elementos desses sistemas possam ser bem compreendidas,
o grande número de elementos e a complexidade das
iterações que se estabelecem entre eles constitui, em geral,
um problema de enorme dificuldade.
1. Problema de um corpo ...
Sabemos como escrever e
integrar as equações de
movimento!


dp
F
dt
d 2x
 g
2
dt
Uma bola caindo sob o
efeito da gravidade

Esquecendo do movimento
da Terra ... m << MT
x(t )  x0  v0t 
1
2
gt 2
• Também sabemos
resolver o problema de
dois corpos....
No referencial do CM,
movimento se dá de forma que o
momento e o momento angular
do corpo 1, são iguais e opostos
aos do corpo 2.
Leis de conservação
Conservação de
momento + conservação
de momento angular
O problema fica reduzido ao problema de um corpo...
3 corpos?
A estratégia falha
porque não temos
mais constantes
de movimento !
Até hoje não existe uma “forma
fechada” para o problema de 3
corpos.
E se temos 1023 partículas?
Esse número é tão grande que não dá nem para imaginar
escrevermos a equação de movimento para cada partícula.
Mesmo que o fizéssemos, Ninguém interpretaria o resultado!
• Contribuições de Clausius, Maxwell, Boltzmann, Gibbs,
Plank e muitos outros mostraram que é exatamente o
número enorme de partículas desses sistemas que permite
grandes simplificações , possibilitando um tratamento
estatístico.
Mecânica
Probabilidades
MECÂNICA ESTATÍSTICA
Termodinâmica
Grandezas macroscópicas,
como pressão, temperatura
ou magnetização.
Grandezas Microscópicas
?
Médias :
precisamos da “função de distribuição”
Idade média dos alunos desse auditório
(a) somar todas as idades e dividir pelo número total de alunos
(complicado se temos muitos alunos).
I 
1
N
I
j
j  1, ..., N
,
(b) se conhecemos a “distribuição de idades, isso é, quantos
alunos tem “x” anos
I 
1
N
n I
k k
,
k  1, ..., k max
(mais fácil se N é muito grande)
1
I 
N
n I
I 
,
k  1, ..., k max
nk
Ik ,
N
k  1, ..., k max
k k
nk
Pk 
N
Se soubermos calcular essas
probabilidades, podemos
calcular as médias!
Probabilidade
de um aluno ter
idade k
HIPÓTESE FUNDAMENTAL DA MECÂNICA ESTATÍSTICA
um sistema tem a mesma probabilidade de estar em qualquer uma de
suas configurações microscópicas.
Em sistemas macroscópicos medimos,
por exemplo, a sua energia total.
Duas partículas com energia E0
Vamos supor um sistema
de 2 partículas, que
podem ter 3 energias
diferentes, 0, E0 e 2E0
Duas partículas, com energias 2E0 e 0
Energia total = 2 E0
Energia total = 2 E0
Situação A - uma configuração
Situação B - duas configurações
(distinguíveis)
A teoria e as ferramentas matemáticas desenvolvidas
através da Mecânica Estatística, para estudo de
sistemas tipicamente “físicos” (sólidos, gases, etc)
tem sido importantes para o estudo dos chamados
sistemas complexos
 Modelagem e simulação numérica: Autômatos celulares,
monte carlo, algoritmos genéticos
 Análise de séries temporais
 Fractais
 Teoria da percolação, caminhadas aleatórias
 Fenômenos críticos
É mais do que um conjunto de técnicas. É uma
maneira de olhar para o problema, típica da física.
Alguns Exemplos
• Neurônios no cérebro;
• Dinâmica de Terremotos
• Problemas de tráfico;
• Avalanches
• Estratégia de busca e escolha;
• Teoria da evolução /
envelhecimento
• Funcionamento do sistema
imunológico;
• Crescimento urbano
• Robótica e inteligência artificial;
• Abertura dos estomatos
• Economia e mercado financeiro
• Proteínas
• Sincronização de vaga-lumes
• Opiniões/ crenças / decisões
• etc...
“El Farol”
“El Farol” é o nome de um bar que toda quinta-feira toca musica irlandesa.
A questão é: ir ou não ao bar?
Só vale a pena ir se não
estiver muito cheio...
Como saber com antecedência?
Como cada um decide?
• Melhor horário para voltar de um feriado prolongado...
• Que ações comprar ou vender...
O que esperar do comportamento coletivo dos possíveis
“fregueses”?
Sempre os mesmos vão?
O bar hora está cheio, hora está vazio?
De que modo isso depende das estratégias de escolha individuais?
Flutua em torno da média (50)?
O problema não é trivial porque a melhor
decisão não pode ser deduzida logicamente
das informações (série temporal), e
depende da decisão dos outros .
Se todos tem
uma estratégia de
decisão perfeita”
ela falha !!!
Você tem que evoluir sempre e ser criativo para
continuar no jogo !!!
Indução em vez de dedução
Público possível =
100 pessoas
Cada pessoa decide baseada em
informações sobre o que ocorreu nas
semanas anteriores:
Lotação máxima =
60 pessoas
44, 78, 56, 15, 23, 67, 84, 34, 45, 76, 40, 56, 23, 35 ....
Estratégias de escolha:
•
•
•
•
mesmo da última semana (= 35)
média das últimas 4 semanas (= 39)
reflexão especular em torno de 50 ( = 65)
mesmo que há duas semanas ( = 23)
Todos atualizam suas estratégias de escolha, mantendo a que mais funcionou
Desde que as regras não sejam todas iguais (ou muito óbvias)...
 O sistema se autoajusta, de forma que existe
uma flutuação limite em
torno do número máximo
de pessoas (60, no caso).
 A flutuação é “caótica”.
Problemas nas
células, defeitos
etc...
O processo de mutação /
seleção natural “seleciona”
o envelhecimento como
uma característica boa para
a espécie
Teorias
evolucionárias
Existem seres vivos
que não envelhecem
(menos evoluídos)
Taxa de mortalidade: M(x)
fração de indivíduos que morrem
entre a idade x e x+1
Tabelas Atuariais
Taxa de sobrevivência S(x)
% de indivíduos na idade x
idade (x)
População
óbitos
M(x)
S(x)
0
1
2
3
4
100.000
96.413
96.180
96.058
95.970
3.587
233
122
88
79
0,03587 100%
0,00242 96%
0,00127 96%
0,00092 96%
0,00082 96%
30
40
50
93.076
90.343
85.496
222
356
682
0,00239
0,00394
0,00798
93%
90%
85%
70
59.755
2.287
0,03827
60%
Tabela de vida da população brasileira, 1998
Fonte: IBGE
Se a população
envelhece, a taxa de
mortalidade varia com
a idade.
0,06
mortalidade
0,04
Brasil
EUA
0,02
0
0
20
40
60
80
anos
Curvas de mortalidade Brasil e
Estados Unidos
0,01
0,005
0
0
10
20
30
120.000
120.000
100.000
100.000
80.000
80.000
60.000
60.000
40.000
40.000
20.000
20.000
0
0
0
5
10
15
20
25
0
5
10
15
20
Modelos de simulação numérica mostraram que o
fator decisivo para o envelhecimento é a
diminuição do efeito de seleção natural com a
idade, que é conseqüência da idade do início (e fim) da
reprodução.
25
Movimento Browniano e caminhadas aleatórias
Problemas de difusão
Caminhada aleatória não é um processo muito
eficiente de se afastar de um ponto !
d 
N  

2
 d N
Se dou 25 passos, em média me
afasto 5 passos do ponto de
partida.
Para dobrar a distância (10),
tenho que quadruplicar o número
de passos (100)
Vôos de Levy
P   

Caminhada aleatória
onde os passos
variam de tamanho
Random walk
Vôo de Levy
Esta estratégia parece otimizar diversos
fatores (tempo, energia gasta, etc...)
Como buscar
alvos
distribuidos
aleatóriamente
?
Outras aplicações:
Crescimento urbano
Estratégias de busca em
geral ...