COLÉGIO DE APLICAÇÃO – UFRJ
SETOR CURRICULAR DE MATEMÁTICA
MATEMÁTICA FINANCEIRA - INTRODUÇÃO
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MATEMÁTICA FINANCEIRA - INTRODUÇÃO
O desenvolvimento da Matemática Comercial e Financeira deve-se ao aprimoramento de
conceitos como juros, porcentagem, imposto, valor, moeda, banco etc. As noções de
porcentagem e de juros vêm sendo empregadas ao longo da história desde pelo menos
2000 a.C., quando se tem registro de sua utilização pelos babilônios. Tais noções
surgiram provavelmente quando se percebeu a existência de uma relação entre tempo e
dinheiro. Na Babilônia, por exemplo, quando alguém emprestava sementes para o
plantio, esperava seu pagamento na próxima colheita. Isso fazia com que o cálculo de
juros ocorresse em uma base anual. Com o passar do tempo, criaram-se novas
maneiras de se trabalhar com a relação tempo-juros, por meio de juros semestrais,
bimestrais, mensais, diários etc. Essa relação foi vinculando-se cada vez mais à
instituição bancária, criada pela primeira vez em Veneza no século XII. O acúmulo de
capital e a desvalorização da moeda ao longo do tempo estimularam o aprimoramento
do conceito de juros e fizeram surgir as instituições bancárias. Hoje, podemos constatar,
em jornais e revistas, o uso dos conceitos de Matemática Financeira para projetar
diferentes situações econômicas.
(adaptado de Bianchini & Paccola, Matemática, Ed. Moderna)
Em geral, as variáveis presentes em um problema de Matemática Financeira, são:
C
i
t
J
M
principal ou capital inicial, quantia empregada na transação;
taxa de juros, taxa porcentual que incide sobre o capital inicial ou sobre o saldo
anterior;
tempo de duração da operação financeira, prazo;
juros, quantia devida pelo empréstimo ou pela aplicação do capital inicial durante o
prazo estabelecido;
montante, valor acumulado no final da transação (capital inicial + juros).
ATENÇÃO!
Taxa de juros (i) e prazo (t) devem estar sempre na mesma unidade de tempo.
Os juros cobrados podem ser de naturezas distintas.
1) Juros Simples: a taxa de juros incide sempre sobre o capital inicial. O crescimento é linear,
um exemplo típico de Progressão Aritmética.
2) Juros Compostos: a taxa de juros incide sobre o saldo anterior. O crescimento é
exponencial, um exemplo típico de Progressão Geométrica.
Na prática, os juros compostos são mais utilizados do que os juros simples.
A situação representada pelo gráfico adiante compara o montante obtido na aplicação de um capital
de R$ 100,00, a taxa de juros de 1% ao mês, com juros simples e com juros compostos. Uma
modelagem é feita através de uma Função Afim (juros simples) e a outra através de uma Função
Exponencial (juros compostos).
Observe que a aplicação a juros compostos é mais vantajosa do que a juros simples para quem
aplica, ou seja, para quem recebe, pois o montante aumenta exponencialmente e não linearmente.
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Em instituições financeiras, só se utiliza juros compostos, ou seja, juros sobre juros, seja em
aplicações, seja em empréstimos.
Já a situação representada por este outro gráfico também compara a evolução de um mesmo capital
inicial, através de juros simples e de juros compostos, considerando a mesma taxa de juros em
ambos os casos.
Neste caso, porém, observa-se que antes de se ter uma unidade de tempo completa, os juros
simples são mais vantajosos que os juros compostos para quem recebe. Isto é, se uma taxa de
juros mensal incide sobre uma fração do primeiro mês, o retorno será maior se for utilizado juros
simples.
Este caso é típico para o cálculo de mora no atraso de contas como luz, gás, telefone e água, já que,
usualmente, o usuário percebe que atrasou o pagamento no máximo ao chegar a conta do mês
seguinte.
A seguir, tem-se alguns exercícios para fixação do conteúdo estudado.
1) Um investidor possui R$ 20 000,00. Ele aplica 40% desse dinheiro em um investimento, que
rende juros simples de 5% ao mês, durante 4 meses, e aplica o restante em outro investimento,
que rende juros simples de 6% ao mês, durante 4 meses. Calcule quanto o investidor irá ganhar
ao fim desse período.
2) À taxa anual de 15%, em que tempo aproximadamente, o capital de R$ 8 000,00 produz
R$ 3 600,00 de juros simples?
3) Uma conta de R$ 700,00 vencia no dia 25 de abril de 2008 e foi paga em 5 de maio de 2008.
Quais os juros pagos, se os juros de mora (regime simples) são de 12% ao mês?
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Considere um capital de R$ 200,00 aplicado à taxa de juros de 5% ao mês por um período de 3
meses e responda.
a) Qual o montante obtido no regime de juros simples?
b) Qual o montante obtido no regime de juros compostos?
c) Compare os dois resultados e faça uma representação gráfica das duas situações.
5) Um investidor teve seu capital aumentado de R$ 2 000,00 para R$ 3 380,00 num prazo de 2
anos. Determine a taxa porcentual de crescimento anual desse capital, considerando primeiro o
regime de juros simples e, em seguida, o regime de juros compostos.
6) Precisando de R$ 2 000,00, Otília procurou dois amigos, João e Paulo. João emprestaria esse
valor a juros compostos de 5% a.m. por 4 meses. Já Paulo se propôs a emprestar essa quantia
a juros simples de 5,39% a.m. por 4 meses. Qual dos amigos de Otília oferece melhores
condições? Justifique quantitativamente sua resposta. Considere 1, 054 = 1, 2155 .
4)
Respostas:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
R$ 4 480,00.
3 anos.
R$ 28,00.
a) JS Æ R$ 230,00.
b) JC Æ R$ 231,25.
JS Æ 34,5% a.a.
JC Æ 30% a.a.
João Æ R$ 2 431,01.
Paulo Æ R$ 2 431,20.
As condições, praticamente, se equivalem.
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