Apontamentos de matemática – 5.º ano - Múltiplos e divisores
Múltiplos e divisores (revisão do 1.º ciclo)
Os múltiplos de um número inteiro obtêm-se multiplicando esse número pela
sequência dos números inteiros.
Exemplos:
Alguns múltiplos de 6 são: 0, 6, 12, 18, 24, …
Alguns múltiplos de 10 são: 0, 10, 20, 30, …
Notas:
0 (zero) é múltiplo de todos os números inteiros.
Qualquer número inteiro é múltiplo de si próprio.
O zero é o único múltiplo de si próprio.
O número de múltiplos de um número natural é infinito.
Exercício proposto
1. Determine:
a) Três múltiplos de 5 menores que 30 formados por dois algarismos.
b) Todos os múltiplos de 10 menores que 50.
c) Os cinco menores múltiplos de 7.
d) Os múltiplos de 8 maiores que 20 e menores que 40.
e) Um número menor que 10 e que seja múltiplo de 2 e de 3.
Resolução:
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Os divisores de um número inteiros são os números naturais pelos quais se pode
dividir esse número de forma exata (resto zero).
Exemplos
- Os divisores de 4 são 1, 2 e 4
Pois 4 :1  4 , 4 : 2  2 e 4 : 4  1 (em todas estas divisões o resto é zero).
Se dividirmos 4 por qualquer outro número o resto não será zero.
- Os divisores de 10 são 1, 2, 5 e 10
- Os divisores de 20 são 1, 2, 4, 5, 10 e 20
- Os divisores de 29 são 1 e 29
Notas:
1 é divisor de todos os números.
Qualquer número natural é divisor de si próprio.
O menor divisor de um número natural é 1 e o maior é ele próprio.
Para determinarmos os divisores de um número tentamos dividir esse número pela
sequência dos números naturais, como a seguir se exemplifica.
Determinar os divisores de 30
1 e 30 são divisores de 30 (a unidade e ele próprio)
30:2=15, então 2 e 15 são divisores de 30
30:3=10, então 3 e 10 são divisores de 30
30:4 não dá resto zero
30:5=6, então 5 e 6 são divisores de 30
30:6=5 (como 5<6, podemos parar)
Os divisores de 30 são: 1, 2, 3, 4, 6, 10, 15 e 30
Este procedimento deve efetuar-se, sempre que possível, mentalmente.
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Exercícios propostos
2. Determine os divisores de: a) 7
b) 40 c) 50 d) 25 e) 24
3. Indique os divisores de 20 que são múltiplos de 5.
4. Qual é a soma de todos os divisores de 10?
5. Quantos divisores tem o número 8?
Números primos e compostos
Exercício resolvido
Determine os divisores de:
a) 6
b) 7
c) 15
d) 18
e) 19
Respostas
a) 1, 2, 3, 6
b) 1, 7
c) 1, 2, 3, 5, 15
d) 1, 2, 3, 6, 9 18
e) 1, 19
Do exercício anterior podemos reparar que alguns números (7 e 19) têm apenas dois
divisores.
Números primos são os que têm (só) dois divisores.
(Esses divisores são a unidade e o próprio número)
Exemplos de números primos: 2, 7, 19, 23.
Sugestão: Procure os seus divisores e verifique que são dois (a unidade e o próprio
número).
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Números compostos têm mais de dois divisores.
Por exemplo, os números 6, 15 e 18 são compostos.
(verifique, no exercício anterior, que têm mais de dois divisores).
O número 1 não é primo nem composto.
Os números compostos podem ser escritos como um produto de números primos, isto
é, como o resultado da multiplicação de números primos.
Exemplos: 12  2  2  2  3 , 15  3  5 , 34  2  17
12 é composto e 2 e 3 são primos
15 é composto e 3 e 5 são primos
34 é composto e 2 e 17 são primos
Nota: Nas multiplicações verifica-se o seguinte:
2  5  10 ; 2 e 5 são divisores de 10; 10 é múltiplo de 2 e de 5
2  5  4  40 ; 2, 5 e 4 são divisores de 40; 40 é múltiplo de 2, de 4 e de 5.
Dois números dizem-se primos entre si se têm como único divisor comum a unidade.
Nota: Esses dois números não têm que ser obrigatoriamente primos.
Exercício resolvido
Quais, dos pares de números seguintes, são primos entre si?
a) 3 e 10
b) 10 e 15
c) 5 e 11
d) 4 e 27
Resolução
a) Os divisores de 3 são 1 e 3. Os divisores de 10 são 1, 2, 5 e 10.
O 3 e o 10 têm um divisor comum, o 1, logo são primos entre si.
b) Os divisores de 10 são 1, 2, 5 e 10. Os divisores de 15 são 1, 3, 5 e 15.
O 10 e o 15 têm dois divisores em comum, o 1 e o 5, então não são primos entre si.
c) Os divisores de 5 são 1 e 5. Os divisores de 11 são 1 e 11.
O 5 e o 11 têm como divisor comum apenas o 1, então são primos entre si.
d) Os divisores de 4 são 1, 2 e 4. Os divisores de 27 são 1, 3, 9 e 27.
O 4 e o 27 têm como divisor comum apenas o 1, então são primos entre si.
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Notas
Não confunda números primos com números primos entre si.
Um número diz-se primo se tem (apenas) dois divisores.
Dois números dizem-se primos entre si se têm como único divisor comum a unidade.
Dois números primos são sempre primos entre si, pois os divisores de cada um são a
unidade e eles próprios, (que são diferentes) logo o único divisor comum é a unidade.
Dois números primos entre si podem não ser primos. Veja no exercício anterior:
a) 3 é primo e 10 não é, mas são primos entre si.
d) 4 e 27 não são primos, mas são primos entre si.
Exercícios propostos.
6. Considere os números: 5, 9, 10, 11 e 16.
a) Determine os divisores de cada um deles.
b) Quais são números primos e quais são números compostos.
Justifique a sua resposta.
c) Assinale com uma cruz os pares de números que são primos entre si:
5 e 10
9 e 10
11 e 16
10 e 16
Resolução
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Soluções dos exercícios propostos
1. a) Deve indicar três dos seguintes números: 10, 15, 20, 25
b) 0, 10, 20, 30, 40
2. a) 1,7
c) 0, 7, 14, 21, 28
d) 24 e 32
e) 6
b) 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
c) 1, 2, 5, 10, 25, 50
3. 5, 10, 20
d) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
4. 18 (1+2+5+10=18)
5. 4 (são 1, 2, 4 e 8)
6) a) Divisores de 5: 1 e 5; divisores de 9: 1, 3 e 9; divisores de 10: 1, 2, 5 e 10
Divisores de 11: 1 e 11; divisores de 16: 1, 2, 4, 8 e 16
b) Primos: 5 e 11 (têm dois divisores); compostos: 9, 10 e 16 (têm mais de dois divisores).
c) 9 e10; 11 e 16
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