INF2511/INF1754: Modelagem Analítica do Desempenho de Sistemas de
Computação
Prof.: Sérgio Colcher
5a. Lista de Exercícios
1. Considere a Cadeia de Markov cujo diagrama de estados é representado a seguir.
1-p
1
2
1
p
α
3
1-α
a) Escreva a matriz P de probabilidades de transição
b) Resolva o sistema de eqüações para achar o vetor de probabilidades π no equilíbrio.
c) Qual é o tempo médio de retorno para o estado 2 ?
2. Seja { X n , n ≥ 0} uma CMTD com espaço de estados S = {1, 2, 3, 4} e com a seguinte matriz
de transições
 0,1 0, 2 0,3 0, 4 
 0, 2 0, 2 0,3 0,3 

P=
 0, 5 0 0, 5 0 


 0, 6 0, 2 0,1 0,1 
A distribuição inicial é π (0) = [0, 25 0, 25 0, 25 0, 25] . Calcule:
a) P{ X 3 = 4, X 2 = 1, X 1 = 3, X 0 = 1}
b) P{ X 3 = 4, X 2 = 1, X 1 = 3}
c) π(4)
3. Administradores de sistema têm a tendência de se preocupar em assegurar que o sistema
tenha uma vazão alta. Usuários, por outro lado, estão mais preocupados com o seu tempo de
resposta. Infelizmente, em boa parte dos casos, conforme a vazão do sistema aumenta, o
tempo de resposta também aumenta. Uma medida de compromisso para o desempenho,
alguma vezes chamada de potência do sistema, denotada por φ, é definida como a razão entre
a vazão média λ e o tempo médio de resposta T. Assim, φ cresce conforme λ cresce e
conforme T decresce. Obtenha uma expressão para a potência φ de um sistema de único
servidor (com capacidade de buffer infinita) em função da utilização ρ do sistema. Depois
trace um gráfico φ x ρ. Finalmente, responda: para que valor de ρ a potência do sistema é
máxima ?
4. Considere um sistema computacional com um único processador que recebe, em média, λ
transações por segundo (tps) para serem processadas. A capacidade de armazenamento
(buffers) disponível é limitada, de forma que é possível comportar até, no máximo, K
transações dentro do sistema em qualquer instante. Sendo µ tps a vazão média do sistema
quando há pelo menos um usuário a ser processado, desenhe a Cadeia de Markov
correspondente aos estados desse sistema e mostre que a probabilidade de se encontrar k
transações no sistema é dada por
1− λ µ  λ 
 
Pk =
K +1
1 − (λ µ )  µ 
k
k = 0,..., K
5. Considere um sistema cuja vazão, quando há pelo menos um usuário a ser processado, é µ
tps. Assuma que a taxa média de chegada de transações a esse sistema é dependente do
número de transações já presente no sistema, de tal forma que essa taxa diminui se esse
número aumenta, conforme ilustrado a seguir.
λk =
λ0
0
k +1
k = 0,1, 2…
µk = µ
k = 0,1, 2…
λ1
λn −1
1
µ
α
2
µ
λn
n
µ
n+1
µ
Esse sistema é conhecido como um sistema de “chegadas desencorajadas”.
Ache a expressão para Pk nesse sistema.