Teoria de Filas
Agner Krarup Erlang
(*1878, Lonborg, Dinamarca; 1929, Copenhagen, Dinamarca).
Fernando Nogueira
Teoria de Filas
1
Introdução
O estudo de Teoria de Filas trata com o fenômeno de aguardar em fila usando medidas
representativas da performance do sistema, tais como comprimento médio da fila,
tempo médio de espera na fila, utilização média do sistema, entre outros.
USA (2001) ⇒ estimativa de 37.000.000.000 horas gastas em filas pela população/ano.
Pesquisa realizada nos E.U.A. em 1988, com 6000 pessoas. Fonte: Fitzsimmons e Fitzsimmons (2000).
Fernando Nogueira
Teoria de Filas
2
Exemplo de como calcular com incertezas
Dois trens vão ocupar um mesmo terminal de carga. Os horários de chegada, de saída e
de permanência dos trens no terminal são tratados como variáveis aleatórias.
A soma de 2 variáveis aleatórias,
f e g, é realizada pela
convolução de f e g:
Contínuo
G a n tt
∞
(f ∗ g )(t ) = ∫ f (τ)g(t − τ)dτ
terminal
−∞
1
2
Discreto
(f ∗ g )(m ) = ∑ f (n )g(m − n )
n
7 .6
8 .4
9 .2
10
1 0 .8
Fernando Nogueira
1 1 .6
1 2 .4
h o ra
1 3 .2
14
1 4 .8
1 5 .6
1 6 .4
1 7 .2
Teoria de Filas
3
distribuição de probabilidade do horario do trem 1 chegar no terminal: Tc1=8.4
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
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18
19
20
21
22
23
24
19
20
21
22
23
24
distribuição de probabilidade do periodo de terminal: Pt=4
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
distribuição de probabilidade do horario do trem 1 sair do terminal: Ts1 = Tc1 + Pt => Ts1 = conv(Tc1,Pt)=12.4
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
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4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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19
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22
23
24
4
distribuição de probabilidade do horario do trem 2 chegar no terminal: Tc2=12.4
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
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18
19
20
21
22
23
24
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20
21
22
23
24
distribuição de probabilidade do periodo de terminal: Pt=4
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
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distribuição de probabilidade do horario do trem 2 sair do terminal: Ts2 = Tc2 + Pt => Ts2 = conv(Tc2,Pt)=16.4
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
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10
11
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23
24
5
distribuição de probabilidade do horario do trem 1 sair do terminal: E(Ts1)=12.4
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
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21
22
23
24
22
23
24
distribuição de probabilidade do horario do trem 2 chegar do terminal: E(Tc2)=12.4
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
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18
19
20
21
distribuição de probabilidade do horario de haver 2 trens (FILA) no terminal: P(fila)=0.37333 E(h.fila)=11.9482
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
1
2
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23
24
6
distribuição de probabilidade do horario do trem 1 sair do terminal: E(Ts1)=12.4
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
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20
21
22
23
24
22
23
24
22
23
24
distribuição de probabilidade do horario do trem 2 chegar do terminal: E(Tc2)==12.4
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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15
16
17
18
19
20
21
distribuição de probabilidade do periodo de fila no terminal: E(Tempo.fila)=0.55533
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
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5
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7
distribuição de probabilidade do horario do trem 2 sair do terminal (SEM FILA): Ts2 = Tc2 + Pt => Ts2 = conv(Tc2,Pt)=16.4
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
22
23
24
distribuição de probabilidade do periodo de fila no terminal: E(Tempo.fila)=0.55533
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
distribuição de probabilidade do horario do trem 2 sair do terminal + FILA: TsF2 = Ts2 + f => TsF2 = conv(Ts2,f)=16.9553
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
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8
Estrutura Básica de um Modelo de Fila
Sistema de Fila
Fonte
de
Entrada
Clientes
Fila
Disciplina
da Fila
Mecanismo
de
Atendimento
Clientes
Atendidos
Fonte de Entrada ⇒ onde gera-se os clientes.
1)Tamanho da População: finita ou infinita.
2)Distribuição de Probabilidade que os clientes são gerados sobre o tempo (Poisson).
3)Distribuição de Probabilidade do tempo entre chegadas (Exponencial).
obs: 2) ⇔ 3) se 2) Poisson e 3) Exponencial
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Teoria de Filas
9
Fila ⇒ onde os clientes aguardam antes de serem atendidos.
1)Número máximo de clientes que a fila pode conter (buffer): finito ou infinito.
Disciplina da Fila ⇒ ordem que os clientes em fila são selecionados para atendimento.
First In First Out (FIFO) = First Come First Served (FCFS), Last In First Out (LIFO),
Randômica, Prioridade, entre outras.
Mecanismos de Atendimento (Serviço) ⇒ onde o cliente é atendido.
1)Número de instalações de atendimento em série (não necessariamente).
2)Numero de canais de atendimento (servidores) em paralelo para cada inst. de atend.
3)Distribuição de Probabilidade para cada servidor (Exponencial).
Clientes
Atendidos
Sistema de Fila
Clientes
6 4 4 4Fila
7 4 4 48
C C C C C C
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C
C
C
C
S11
S12
S13
instalação de
atendimento 1
6 44Fila
7 44
8 C
C C C C C
C
S14
Teoria de Filas
Clientes
Atendidos
s 21
s 22
s 23
instalação de
atendimento 2
10
Distribuição Exponencial
As variáveis aleatórias Tempo Entre Chegadas e Tempo de Atendimento são
modeladas geralmente pela Distribuição Exponencial. Seja t um v.a. com
Distribuição Exponencial com parâmetro λ, então:
pdf - Exponencial
PDF - Exponencial
1
λe − λt
f (t ) = 
0
f(t):probabilidade acumulada
f(t):densidade de probabilidade
λ
para t ≥ 0
para t < 0
0 E(t)=1/ λ
t
0.8
T
0.6
0
∞
0.4
P{t > T} = ∫ λe −λt dt =e −λT
T
0.2
(t ≥ 0)
0
t
1
var(t ) = 2
λ
1
E(t ) =
λ
Fernando Nogueira
P{t ≤ T} = ∫ λe −λt dt =1 − e − λT
Teoria de Filas
11
Perda de Memória
B
B contém A
A
=
A
⇒ P{A ∩ B} = P{A}
t >∆t+T
t >∆t
t >∆t+T ∩ t >∆t
∆t
t
Τ
P{t > T + ∆t t > ∆t} = P{t > T}
P{t > T + ∆t ∩ t > ∆t} P{t > T + ∆t} e −λ (T + ∆t )
P{t > T + ∆t t > ∆t} =
=
= −λ (∆t ) = e −λT = P{t > T}
P{t > ∆t}
P{t > ∆t}
e
Se agora são 8:20hs e a última chegada ocorreu 8:00hs, a probabilidade que a próxima chegada
irá ocorrer após 8:30hs é função apenas do intervalo entre 8:20hs e 8:30hs (T), ou seja, é
independente do intervalo entre 8:00hs (quando ocorreu a última chegada) e 8:20hs (∆t). Exemplo:
Uma máquina quebra a cada 40 minutos em média com distribuição exponencial. Assim, a taxa
média de quebra é:
A função densidade é: f (t ) = 1.5e
−1.5 t
,t > 0
λ=
60
= 1.5 quebra / hora
40
Se agora são 8:20hs, a probabilidade que a próxima quebra seja até 8:30hs é:
 10 
−1.5  
 10 
P t ≤  = 1 − e  60  ≈ 0.22
 60 
Porém, se agora são 7:00hs, a probabilidade que a próxima quebra seja até 8:30hs é:
 90 
Fernando Nogueira
−1.5 
 90 
P t ≤  = 1 − e  60  ≈ 0.89
 60 
Teoria de Filas
12
Processos de Nascimento e Morte: relação entre Poisson e Exponencial
Processo de Nascimento Puro ⇒ somente chegadas são permitidas. Ex: emissão de
certidão de nascimento.
Processo de Morte Puro ⇒ somente saídas são permitidas. Ex: retirada aleatória de
itens de um estoque.
Tempo entre Chegadas e Tempo entre Saídas possuem distribuição exponencial com
parâmetros λn e µn, respectivamente ⇒ Cadeia de Markov em Tempo Contínuo.
Processo de Nascimento Puro
Seja p0(T) a probabilidade de nenhuma chegada durante um período T. Dado que o
Tempo entre Chegadas t é exponencial e que a taxa de chegada é λ clientes por unidade
de tempo, então: p 0 (T ) = P{t ≥ T} = 1 − P{t ≤ T} = 1 − 1 − e − λT = e − λT
(
)
Expandindo p0(T) em Taylor, para um intervalo de tempo h > 0 , porém pequeno, fica:
2
(
)
λ
h
p 0 (h ) = e −λh = 1 − λh +
− ... = 1 − λh + O(h 2 )
2!
Considerando que em um intervalo pequeno, no máximo um evento pode ocorrer, então
para h → 0:
p1 (h ) = 1 − p 0 (h ) ≈ 1 − (1 − λh ) = λh
Fernando Nogueira
Teoria de Filas
13
Este resultado mostra que a probabilidade de uma chegada durante h é diretamente
proporcional à h com taxa de chegada λ (constante de proporcionalidade).
A distribuição do número de chegadas pn(T) durante um período T, pode ser deduzida
por: p n (T + h ) ≈ p n (T ).p 0 (h ) + p n −1 (T ).p1 (h ) = p n (T )(
. 1 − λh ) + p n −1 (T )(
. λh ), n > 0
p 0 (T + h ) ≈ p 0 (T ).p 0 (h ) = p 0 (T )(
. 1 − λh ), n = 0
Na primeira equação, n chegadas serão percebidas durante T + h se há n chegadas
durante T e nenhuma chegada durante h, ou n-1 chegadas durante T e uma chegada
durante h. Todas as outras combinações são impossíveis para a distribuição exponencial
(no máximo um evento pode ocorrer para um intervalo de tempo pequeno). Uma vez
que chegadas são eventos independentes, o produto das probabilidades pode ser
aplicado no lado direito das 2 equações acima. Na segunda equação, zero chegadas
durante T + h podem ocorrer somente se nenhuma chegada ocorrer durante T e h. As
derivadas das 2 equações dadas acima são:
p n (T + h ) − p n (T )

′
= −λp n (T ) + λp n −1 (T ), n > 0
p n (T ) = lim h →0
h

p 0 (T + h ) − p 0 (T )
p′ (T ) = lim
= −λp 0 (T ), n = 0
h →0
 0
h
Fernando Nogueira
Teoria de Filas
14
A solução do sistema de equações diferenciais resulta em:
n
(
λ T ) e − λT
p n (T ) =
, n = 0,1,2,...
n!
{ }
que é a distribuição de Poisson com média E n T = λT chegadas durante T. A variância
é var n T = λT. O resultado mostra que se o Tempo entre Chegadas é Exponencial com
média 1/λ então o número de chegadas durante T é Poisson com média λT.
{ }
Funçao Distribuiçao de Probabilidade:Poisson - Lambda = 3
Funçao de Probabilidade:Poisson - Lambda = 3
0.25
1
0.9
0.8
Probabilidade Acumulada
Probabilidade
0.2
0.15
0.1
0.05
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
n - numero de chegadas no periodo T = 1
Fernando Nogueira
10
0
Teoria de Filas
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
n - numero de chegadas no periodo T = 1
15
10
Exemplo:
Um terminal de carga recebe caminhões a uma taxa de 1 caminhão a cada 12
minutos. O Tempo entre Chegadas é exponencialmente distribuído.
60
* 24 = 120 ca min hoes / dia
12
b)O número médio de caminhões por ano é: λT = 120 * 365 = 43800 ca min hoes / ano
a)O número médio de caminhões por dia é: λ =
c)A probabilidade de nenhum caminhão chegar em um dia é:
p0
0
(
120 *1) e −120*1
(1) =
≈0
0!
d)A probabilidade de chegar 50 caminhões em 3 horas dado que 40 caminhões
chegaram durante as 2 primeiras horas do período de 3 horas é:
(50 − 40 )
60
− *1
 60

e 12
 * (3 − 2)
(10 )
5 * (1)) e −5*1
(
12


p 50−40 (3 − 2) =
= p10 (1) =
≈ 0.018
(50 − 40 )!
(10 )!
Processo de Morte Puro
O sistema possui N clientes e nenhuma chegada é permitida. Atendimentos
ocorrem em uma taxa µ clientes por unidade de tempo. A probabilidade pn(T)
de n clientes permanecerem após T unidades de tempo é:
Fernando Nogueira
Teoria de Filas
16
. 1 − µh )
p N (T + h ) = p N (T )(

. 1 − µh ) + p n +1 (T )(
. µh ),0 < n < N
p n (T + h ) = p n (T )(
p (T + h ) = p (T )(
. 1) + p1 (T )(
. µh )
0
 0
Com h → 0
p′N (T ) = −µp N (T )

p′n (T ) = −µp n (T ) + µp n +1 (T ),0 < n < N
p′ (T ) = µp (T )
1
 0
prob. de realizar 0
(1 − µh ) ⇒ atendimentos em h
(µh ) ⇒
prob. de realizar 1
atendimento em h
A solução deste sistema de equações
diferencias resulta na Distribuição de
Poisson Truncada.
Distribuição de Poisson Truncada
( N − n ) −µT
(
µT )
e
p n (T ) =
, n = 1,2,..., N
(N − n )!
N
p 0 (T ) = 1 − ∑ p n (T )
n =1
Exemplo:
Uma loja de flores recebe 18 buquês de rosas no começo de cada semana.
Em média, a loja vende 3 buquês de rosas por dia sendo que tal demanda
possui distribuição de Poisson. Sempre que o nível do estoque alcança 5
buquês de rosas, um novo pedido de 18 buquês de rosas é feito para ser
entregue no começo da próxima semana. Todo o estoque no fim da semana
(sobra) é perdido.
Fernando Nogueira
Teoria de Filas
17
a) Uma vez que o atendimento é realizado numa taxa µ = 3, a probabilidade de
fazer um novo pedido (quando o estoque chega em 5 buquês) em qualquer dia
da semana é:
p n ≤5 (T ) = p 0 (T ) + p1 (T ) + ... + p5 (T )
(18− n ) −3T
(
3T )
e
= p 0 (T ) + ∑
, T = 1,2,...,7
(18 − n )!
n =1
5
Gráficos para T = 3
Fernando Nogueira
Teoria de Filas
18
b) O número médio de buquês de rosas que serão perdidos no fim de cada
semana (t ≥ 7 ⇔ T = 7 ) é:
18
E{n t ≥ 7} = ∑ np n (7 ) = .664 buquês
n =0
Gráficos para T = 7
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Teoria de Filas
19
Modelo de Fila de Poisson Generalizado
Processo de Nascimento e Morte combinados (Tempo entre Chegadas e
Tempo entre Saídas possuem distribuição exponencial)
Modelo é baseado em situação do processo operando sobre condições de
Estados Estavéis (Estados em Fase de Regime, Estados Estacionários).
O estado do sistema é o número n de clientes no Sistema de Fila.
Para n > 0 e h → 0, o estado n pode somente mudar para o estado n – 1
quando um atendimento ocorre na taxa µn ou para o estado n + 1 quando uma
chegada ocorreu na taxa λn. Obs: estado 0 só pode mudar para o estado 1
quando uma chegada ocorre na taxa λ0. µ0 não é definido porque nenhum
atendimento pode ocorrer para n = 0.
Probabilidades pn são obtidas através do Diagrama de Transição de Taxa:
Fernando Nogueira
Teoria de Filas
20
Em condições de Estados Estáveis, para n > 0, a taxa esperada de fluxo
entrando e saindo do estado n precisa ser igual. Uma vez que o estado n pode
mudar somente para o estado n – 1 ou n + 1, tem-se:
 taxa esperada de fluxo
 taxa esperada de fluxo

 = λn −1pn −1 + µn +1pn +1

 = (λ n + µ n )pn
 entrando no estado n 
 saindo do estado n

Igualando as 2 taxas, tem-se a seguinte equação de balanço:
λ n −1pn −1 + µn +1pn +1 = (λ n + µn )pn , n = 1,2,...
e
λ0 p0 = µ1p1 , n = 0
Para n = 0, tem- Para n = 1, temse:
se:
 λ0 
p1 =  p0
 µ1 
λ λ 
λ0 p0 + µ2p2 = (λ1 + µ1 )p1 ⇒ p2 =  1 0 p0
 µ2µ1 
Por indução:
 λ λ ...λ 
pn =  n −1 n −2 0 p0 , n = 1,2,...
 µnµn −1...µ1 
p0 é determinado através de:
∞
∑p
n
=1
n =0
Fernando Nogueira
Teoria de Filas
21
Exemplo 1:
Uma mercearia possui a seguinte regra para definir o número de caixas
operando na loja dependendo do número de clientes:
No de clientes
na loja
No de caixas
operando
1a3
1
4a6
2
+ de 6
3
A Taxa de Chegada, com distribuição Poisson, é 10
clientes/h e o Tempo de Atendimento, com
distribuição Exponencial, é 12 minutos/cliente.
Determine a distribuição de probabilidade pn de n
clientes no Sistema de Fila em condições de
Estados Estáveis.
λ n = λ = 10 clientes/ h, n = 0,1,...
 60 = 5 clientes/ h, n = 1,2,3
 12
µ n =  2 * 5 = 10 clientes/ h, n = 4,5,6
3 * 5 = 15 clientes/ h, n = 7,8,...

3
 10 
p1 =   p 0 = 2 p 0
 5 
Fernando Nogueira
 10 
  p0 = 8p0
 10 
3
 10 
 
 10 
 10 
p6 =  
5
3
 10 
pn =  
5
3
 2
= 8 
 3
 10 
p 3 =   p 0 = 8p 0
 5 
 10 
p4 =  
 5 
3
2
 10 
p 2 =   p 0 = 4p 0
 5 
Teoria de Filas
 10 
  p 0 = 8p 0
 10 
2
 10   10 
p5 =     p0 = 8p0
 5   10 
3
3
 10 
 
 15 
n −6
n −6
p0 , n = 7,8,...
22
p0
p0 é determinado por:
2
3

  2   2 2



 2  2
 2
p0 + p0 2 + 4 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8  + 8  + 8  + ... = 1 ⇒ p0 31+ 81 +   +   + ... = 1
  3  3


 3  3
 3





∞
1
Usando a soma da série geométrica ∑ x i =
, x < 1 , tem-se:
1− x
i=0





1  
1
 = 1 ⇒ p 0 =
p 0  31 + 8 
55
 1 − 2 




3  

De posse de p0, pode-se calcular então qualquer probabilidade pn. Por
exemplo, a probabilidade que somente um caixa esteja operando é dada por:
p 1 + p 2 + p 3 = (2 + 4 + 8 )
1
≈ 0 . 255
55
e o número esperado de caixas ociosos é:
3 p 0 + 2 (p 1 + p 2 + p 3 ) + 1(p 4 + p 5 + p 6 ) + 0 (p 7 + p 8 + ... ) = 1 caixa
Fernando Nogueira
Teoria de Filas
23
Terminologia
Fernando Nogueira
Teoria de Filas
24
Em condições de Estados Estáveis (não transiente)
Relações entre L, W, Lq e Wq
L = λW ⇒ Fórmula de Little
L q = λWq
obs: se λ n ≠ cte utiliza − se λ
Fernando Nogueira
W = Wq +
1
µ

1
λ
λ
Wλ =  Wq + λ ⇒ Wλ = Wq λ + ⇒ L = L q +
µ
µ
µ

número médio de
λ
s
s
=
L
−
L
=
ρ
=
q
servidores ocupados
µ
s
Teoria de Filas
25
Exemplo 2:
A taxa de chegada de carros é 6 carros/h com distribuição de Poisson em um
estacionamento que possui 5 vagas. O intervalo de tempo que os carros ficam
estacionados é distribuído exponencialmente com média de 30 min. Os carros
que não encontram uma vaga disponível, podem esperar em uma área
provisória até que algum carro estacionado deixe o estacionamento. Esta área
pode suportar até 3 carros. Demais carros que não conseguem estacionar nem
aguardar na área provisória vão embora.
a) a probabilidade, pn, de ter n carros no sistema:
s=5
λ n = 6 carros/ h, n = 0,1,...,7
(
)
3n
 p0 , n = 1,2,...,5
n!
pn =  n
 3 p , n = 6,7,8
5!5n −5 0
n 60 = 2n carros/ h, n = 1,2,...,5
30
µn = 
60
 5 30 = 10 carros/ h, n = 6,7,8
 3 32 33 34 35 36 37
38 
p0 + p1 + ... + p8 = 1 ⇒ p0 + p0  + + + + + + 2 + 3  = 1
 1! 2! 3! 4! 5! 5!5 5!5 5!5 
n
pn
(
)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
.04812 .14436 .21654 .21654 .16240 .09744 .05847 .03508 .02105
Fernando Nogueira
Teoria de Filas
26
b) A taxa efetiva de chegada (λeff):
Fonte
λ
λ eff
λ lost
Sistema
λ=λ eff + λ lost
Se 8 carros já estão no estacionamento, então um outro carro não poderá
entrar, assim a proporção de carros que não entrarão é p8.
λlost = λp8 = 6x0.02105= 0.1263carro/ h e λeff = λ − λlost = 6 − 0.1263= 5.8737carro/ h
c) O número médio de carros no estacionamento e na área provisória é:
L = 0p0 +1p1 + ... + 8p8 = 3.1286carros
d) O tempo médio que um carro aguarda na área provisória (W q) é:
W=
L 3.1286
=
= .53265hora
λeff 5.8737
1
1
Wq = W − = .53265− = .03265hora
µ
2
e) O número médio de vagas ocupadas (servidores ocupados) é:
s = L − Lq =
λeff 5.8737
=
= 2.9386vagas
µ
2
f) O fator de utilização do estacionamento:
s 2.9368
ρ= =
= .58737
s
5
Fernando Nogueira
ou ρ =
λ eff 5.8737
=
= .58737
sµ
5*2
Teoria de Filas
27
Notação (a/b/c):(d/e/f)
a: distribuição do tempo entre chegada (M, D, Ek, G, GI);
b: distribuição do tempo de atendimento (M, D, Ek, G, GI);
c: número de servidores (canais de atendimento);
d: disciplina da fila (FIFO, FCFS, LIFO, Randômica, Prioridade, Qualquer, ...)
e: número máximo de clientes no sistema (finito ou infinito);
f: tamanho da fonte de entrada (finito ou infinito).
onde:
M: Markoviano (Exponencial (tempo) ↔ Poisson (taxa));
D: Determinístico (tempo constante);
Ek: Distribuição de Erlang ou Gama ↔ soma de distrib. exponenciais independentes
G: distribuição geral (não se sabe nada sobre os tempos de chegada/serviço);
GI: distribuição geral em que os tempos de chegada/serviço são i.i.d..
Exemplos: (M/M/1):(Fifo/∞/∞), (M/D/10):(Rand/20/∞)
Fernando Nogueira
Teoria de Filas
28
Modelo (M/M/s):(qq/∞/∞)
nµ, n < s
µ
=
λeff = λ ⇒ fila (buffer) infinita λ n = λ, n ≥ 0 n sµ, n ≥ s

(n −s ) −1
n
s ∞
n
n
n
s
−
1


(
λ
λ
λ µ)
 λ  
 (λ µ) (λ µ)
p0 = n p0 =
p0 , 0 ≤ n < s
   =
p0 = ∑
+

∑
n!µ
n!
s! n=s  sµ  
n=0 n!
µ(2µ)(3µ)...(nµ)
n
pn = 
−1
(
λn
λn
λ µ)
n
s
s−1


p0 = (n−s) n p0 = (n−s) p0 , n ≥ s
(λ µ) + (λ µ)  1  , λ < 1
 s
= ∑
s
!
s
µ
s
!
s


 1− λ (sµ)  sµ
∏iµ(sµ)
n
!
s
!
n
=
0



 i=1 
s
s
∞
∞
∞
∞
λ µ) k (λ µ)
d ρk
(
L
Lq
Lq = ∑(n −s)pn =∑kpk+s = ∑k
ρ p0 =
ρp0 ∑
= L=L +λ
W
=
W
=
q
s!
s!
q
n=s
k=0
k=0
k=0 dρ
λ
µ
λ
(λ µ)s ρp d  ∞ ρk  = (λ µ)s ρp d  1  = (λ µ)sρp0
s–1 e não s porque é a probabilidade de um cliente
chegar e não ficar em fila. Se um cliente chegar, quando
∑
0
0
s!
dρ k=0  s!
dρ1−ρ s!(1−ρ)2
já houver s clientes, este ficará na fila.
( )
s−1
1− e
 p{ω > T} = (1− p{ω = 0})e−sµ(1−ρ)T
p{ωq = 0} = ∑pn


q
q
n =0
 s −1 − λ µ 
n=0 e não n=1 porque se nunca
−µT( s−1−λ µ )
houver fila p{wq=0} = 1 e sem p0 a
se s −1− λ µ = 0 ⇒1− e
s −1 − λ µ = µT

1 + p0 (λ µ)
p{ω > T} = e−µT 
 s!(1− ρ)
s
−µT(s−1−λ µ )
somatória não resulta em 1.
obs: (M/M/s) é um caso especifico do Modelo de Fila de Poisson Generalizado.
Modelo de Fila de Poisson Generalizado → independente da disciplina de fila.
Fernando Nogueira
Teoria de Filas
29
Exemplo:
Um hospital possui apenas um médico de plantão.Um estudo foi realizado para analisar
a viabilidade de contratar mais um médico plantonista, sendo o intervalo entre chegadas
estimado de 30 min. e o tempo de atendimento estimado de 20 min, ambos distribuídos
exponencialmente.
λ = 2, µ = 3.
De posse dos resultados acima, o hospital entendeu que o tempo aguardado esperado na
fila para um único médico (Wq= 2/3 horas = 40 min.) é grande, fato que justifica a
contratação de mais médico plantonista.
Fernando Nogueira
Teoria de Filas
30
Modelo (M/M/s):(qq/N/∞), s ≤ N
Difere do modelo (M/M/s):(qq/∞/∞) no número máximo de clientes no sistema
que é finito e igual a N. O comprimento máximo da fila é Lq = N-s e λeff ≠ λ.
λ, 0 ≤ n < N
λn = 
0 n ≥ N
 nµ, 0 ≤ n < s
µn = 
sµ, s ≤ n ≤ N
λ
Para
≠1
sµ
λ
Para
=1
sµ
(λ µ)n
p,

 n! 0
pn = 
n
(λ µ) p ,
 s!s(n−s ) 0
1≤ n < s
λeff
µ
( n −s )
λ
 
∑
n =s+1  sµ 
N




−1
s≤n≤N
( N−s )
( N−s )
s
 λ    λ  
p0 (λ µ) (λ (sµ))   λ 
Lq =
− (N − s)  1 −   
1 −  
2
s!(1 − λ (sµ))   sµ 
 sµ    sµ  
s
(
λ µ) (N−s)(N−s +1)
L=
p
q
0
2s!
λlost = λpN e λeff = λ − λlost = (1 − pN )λ
L = Lq +
 s (λ µ)n (λ µ)s
p0 =  ∑
+
 n =0 n!
s!

Wq =
Fernando Nogueira
Lq
λeff
W=
L
λeff
ρ=
λ eff
sµ
Teoria de Filas
Mesmo quando (λ/sµ) ≥ 1 o sistema
pode alcançar a condição de estados
estáveis porque λn= 0 para n ≥ N.
31
Exemplo:
Uma companhia de entrega possui 4 caminhões. São observados em média 16 pedidos
de entregas por hora com distribuição Poisson e o intervalo de tempo gasto por entrega
é em média 12 minutos com distribuição Exponencial. Do ponto de vista de Teoria de
Filas, os caminhões são os servidores e os pedidos de entregas são os clientes. A
companhia está estudando a possibilidade de implementar (ou não) a seguinte política:
advertir a pessoa que solicita um pedido de entrega de um potencial atraso excessivo
toda vez que houver 6 pedidos de entrega na fila. Comparar os resultados do modelo
sem e com a implantação da política citada.
λ= 16, µ = 5
Cenário 1: (M/M/4):(qq/∞/∞) ⇒ Sem política: Fila (Buffer) infiníta
Cenário 2: (M/M/4):(qq/10/∞) ⇒ Com política: Fila (Buffer) finíta, N = 4 + 6 = 10
Fernando Nogueira
Teoria de Filas
32
Modelo (M/M/R):(qq/K/K), R ≤ K
Aplicação típica: existem R pessoas para dar manutenção em K máquinas. λ é a taxa em
que as máquinas quebram e µ é a taxa em que as máquinas são reparadas.
Se todas as máquinas estão quebradas não há mais máquinas para quebrarem ⇒
Tamanho da População Finita: λn = (K – n)λ, 0 ≤ n ≤ K.
 K!  λ n
  p0 , 0 ≤ n ≤ R

(K − n )!n!  µ 
pn = 
n

λ
K!
(K − n )!R!R (n −R )  µ  p0 , R ≤ n ≤ K
 

(K − n )λ, 0 ≤ n < K
λn = 
0 n ≥ K
 nµ, 0 < n < R
µn = 
 Rµ, R ≤ n ≤ K
n
n
K
R





K
!
λ
K
!
λ

p0 = ∑
.  + ∑
.  
(
n −R )  
 n =0 (K − n )!n!  µ  n=R +1 (K − n )!R!R
 µ  

K
L = ∑ npn
−1
λeff = E{λ(K − n )} = λ(K − L)
n =0
Lq = L −
λeff
µ
Wq =
Fernando Nogueira
Lq
λeff
W=
L
λeff
ρ=
λ eff
sµ
Teoria de Filas
33
Exemplo:
Uma companhia possui 22 máquinas. Cada máquina quebra, em média, a cada 2 horas,
sendo gastos 12 minutos, em média, para realizar o reparo. O tempo entre quebras e o
tempo de reparo são distribuídos Exponencialmente. Analisar a produtividade da
companhia em função do número de pessoas encarregadas de dar manutenção.
produtividade  máquinas disponiveis − máquinas quebradas 22 − L
λ= 0.5, µ = 5 
 =
=

 máquinas 
Fernando Nogueira
máquinas disponiveis
Teoria de Filas
22
34
Modelo (M/G/1):(qq/∞/∞)
Distribuição do tempo de atendimento é qualquer com média 1/µ e variância
σ2. ρ = λ < 1
µ
Para
1
Lq
λ2σ2 + ρ2 L = L + ρ
pn é intratável
W
=
W
+
p0 =1 − ρ Lq =
Wq =
q
q
µ
analiticamente
λ
2(1 − ρ)
Exemplo:
Um lava-jato recebe, em média, 4 carros por hora com distribuição Poisson e o tempo
de atendimento é 10 minutos por carro com distribuição exponencial se a lavagem é
realizada por um funcionário. Se a lavagem for realizada por uma máquina o tempo de
atendimento é também 10 minutos, porém constante (determinístico ⇒ σ2 = 0).
Comparar as medidas de performance do sistema operando com o funcionário e com a
máquina. λ = 4, µ = 6.
Fernando Nogueira
Teoria de Filas
35
Modelo de Custos para Filas
Modelos de Custos
x = (µ ou s)
custos
ETC(x) = EOC(x ) + EWC(x)
onde:
ETC
Nível de
serviço
ótimo
EOC
EW C
nível de serviço
ETC = custo total esperado
EOC= custo de operação do sistema esperado
nível de serviço
EWC= custo de aguardar por unidade de tempo esperado
Geralmente utiliza-se:
EOC(x ) = C1x
EWC(x) = C2L
onde:
C1 = custo por unidade de x por unidade de tempo
C2 = custo por aguardar por unidade de tempo por cliente
Fernando Nogueira
Teoria de Filas
36
Exemplo:
Uma gráfica necessita comprar uma copiadora. Existem 4 modelos de copiadoras no
mercado com suas características dada na tabela abaixo. Os Jobs chegam com
distribuição Poisson com média de 4 jobs/dia. O tamanho de cada job é em média de
10000 folhas. Contratos com os clientes da gráfica estipula uma penalidade de $80,00
por job/dia de atraso. Qual copiadora a gráfica deve comprar?
Modelo
custo de
operação ($/h)
15
20
24
27
1
2
3
4
velocidade
(cópias/min)
30
36
50
66
i = 1,2,3,4 ⇒ modelo i
ETCi = EOCi + EWCi
ETCi = C1i × 24 + C2i × Li
ETCi = 24C1i + 80Lsi
Os valores de C1i são os custos de operação dados na tabela acima. Para fins práticos,
cada copiadora pode ser tratada como um modelo (M/M/1):(qq/∞/∞). A taxa de
chegada é λ = 4 jobs/dia e a taxa de atendimento µi (jobs/dia) é:
Modelo i
1
2
3
4
λi
4
4
4
4
Fernando Nogueira
µi
30*60*24/10000 = 4.320
36*60*24/10000 = 5.184
50*60*24/10000 = 7.200
66*60*24/10000 =9.504
Lsi
12.50
3.39
1.25
0.73
Teoria de Filas
EOCi($)
360,00
480,00
576,00
648,00
EWCi($)
1000,00
271,20
100,00
58,40
ETCi($)
1360,00
751,20
676,00
706,40
37