Assuntos Básicos
Progressão Aritmética
Números primos
“Um número natural primo é aquele que tem
exatamente dois divisores naturais”
Os divisores de um número primo são: o número um e
o próprio número.
Dois é o único número primo que é par.
Exemplo de exercício
Quantos números pares de três algarismos distintos podem
ser formados de modo que o primeiro algarismo seja um
número primo?
Resposta:
termina com 2
3,5,7
3 x 8 x 1
OU
não termina com 2
2,3,5,7
2
+
4 x 8 x 4
0,4,6,8
= 152 n os
Divisão
3’2’ | 3
-3
1,66…
020
-18
20
100’0’ | 99
-99
1,11…
100
-99
1
Método correto
3’2’ |3
-3 10,6…
020
-18
2
100’0’ |99
-99 10,1…
100
-99
1
Exercício de vestibular
(PUC-RJ, 2014) Qual é o resultado de divisão de
N = 123123123123123123 por 123?
123’1’2’3’123123123123 | 123
.
-123
1001001001001001
0123
-123
0
Progressões Aritméticas
"É uma sequência em que a diferença entre um termo e
seu antecessor é constante.”
( a1 , a2 , a3 , a4 , … , an-1 , an )
a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 =…= an - an-1 = r
Exemplos:
(2, 7, 12, 17, 22, 27…) r=5
(-3, -6, -9, -12, -15) r=-3
Classificação
1) Crescente r > 0
(-10, -5, 0, 5, 10, 15)
2) Decrescente
(25, 23, 21, 19, …)
3) Constante
(2, 2, 2, 2, 2)
r<0
r=0
Termo Geral
( a1 , a2 , a3 , a4 , … , an-1 , an )
(a1, a1+ r, a1+2r, … , an)
an= a1 + (n-1)r
Ex.: Dada a P.A. (0, 7, 14, 21, 28, … ), quanto vale o
décimo termo desta sequência?
a10 = 0 + (10 – 1)7 , então: a10=63.
(Uerj, 1997)
Eddie Sortudo não deseja contar com a sorte e espera
ganhar um pouco de tempo, acreditando que a
munição do inimigo acabe. Suponha então que, a partir
do primeiro número falado por Eddie, ele dirá, cada um
dos demais, exatamente 3 segundos após ter falado o
anterior, até que chegue ao número determinado pelo
seu comandante.
(A)177
(B) 188
(C) 237
(D) 240
Resposta:
1 2 3 4
( , , , ,...,10)
8 8 8 8
Soma entre termos equidistantes dos
extremos
(a1, a2, a3, a4, …, an-2, an-1, an)
(a1, a1 + r, a1 + 2r,…, an - 2r, an- r, an)
a2+ an-1= a1 + r + an – r = a1 + an
a1 + an = a2 + an-1 = a3 + an-2 e assim sucessivamente.
Média aritmética
Seja uma P.A. (A, B, C)
r=B–A
r=C–B
B–A=C–B
2B = A + C
B=A+C
2
Exemplo para verificar:
(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18)
Soma dos N primeiros termos da P.A.
(a1 + an )n
Sn =
2
Exemplo: Calcule a soma dos termos da P.A. (-2, 7,
16, 25, 34)
S5 =
(-2 + 34)5
= 80
2
Exercício de vestibular
1) (UFF, 2005) Numa progressão aritmética com 51
termos, o 26o é 2. A soma dos termos dessa
progressão é:
a)
b)
c)
d)
e)
13
52
102
104
112
Resposta:
(a1 + an )n
Sn =
2
(a1 + a51 )51
S51 =
2
S51= 2.51 = 102
Letra: C
Notação especial para P.A. de três termos.
2) Os ângulos internos de um triângulo estão em P.A.
Determine quanto mede um dos ângulos.
Resposta:
(x – r, x , x + r)
x – r + x + x +r = 180o
3x = 180o
x = 60o
Interpolação Aritmética
Interpole 5 meios aritméticos entre 2 e 14.
(2, a2, a3, a4, a5, a6, 14)
a7 = a1+6r
14= 2+6r
r= 2
(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14)
Gabriel Ritter
Professor