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Universidade Federal de Ouro Preto
Instituto de Ciências Exatas e Biológicas
Departamento de Matemática
Mestrado Profissional em Educação Matemática
E#SI#O DE FU#ÇÕES, LIMITES E CO#TI#UIDADE
EM AMBIE#TES EDUCACIO#AIS I#FORMATIZADOS:
UMA PROPOSTA PARA CURSOS DE
I#TRODUÇÃO AO CÁLCULO
Autor: Davis Oliveira Alves
Orientador: Prof. Dr. Frederico da Silva Reis
Ouro Preto
2010
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Ao Professor de Introdução ao Cálculo ou Matemática do Ensino Médio
Professor, este material apresenta uma sugestão de atividades para o ensino de
Funções, Limites e Continuidade com a utilização de softwares gráficos. As atividades aqui
apresentadas foram aplicadas a alunos de uma turma da disciplina “Introdução ao Cálculo” do
curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Federal de Ouro Preto e são fruto da
nossa Dissertação do Mestrado Profissional em Educação Matemática do programa de pósgraduação da Universidade Federal de Ouro Preto, intitulada “Ensino de Funções, Limites e
Continuidade em Ambientes Educacionais Informatizados: Uma proposta para cursos de
Introdução ao Cálculo”.
Para aplicação das atividades, utilizamos o software GeoGebra, devido à sua interface
amigável e às possibilidades manipulativas e dinâmicas. Porém, podem ser utilizados outros
softwares gráficos do seu domínio, como Winplot, GrafhMat e outros. Contudo, outros
softwares podem não ter alguns recursos presentes no software GeoGebra, como por exemplo,
o seletor que torna o software mais dinâmico.
Ressalta-se que são apresentadas 10 atividades que perpassam desde conceitos iniciais
do conteúdo de funções aos conceitos de limite e continuidade; por essa razão, acreditamos
que essas atividades podem ser utilizadas tanto no Ensino Superior quanto no Ensino Médio.
Nessa proposta de ensino, tentamos trazer primeiramente uma discussão a respeito da
utilização de tecnologias no ensino e no ensino de Cálculo, levando em consideração as
mudanças ocorridas em sala com a presença das TIC’s – Tecnologias da Informacionais e
Comunicacionais. Logo após, apresentamos alguns comandos do software GeoGebra que são
necessários para implementação das atividades aqui sugeridas e por fim, apresentamos as
atividades.
Esperamos que esse material contribua de forma significativa para sua prática
pedagógica, bem como propicie reflexões a respeito da utilização de TIC’s na sala de aula.
3
Í#DICE
1. O E#SI#O DE MATEMÁTICA E AS TIC´S..........................................................
4
2. O E#SI#O DE CÁLCULO E AS TIC´S...................................................................
9
3. APRESE#TA#DO O SOFTWARE GEOGEBRA..................................................
13
3.1. APRENDENDO ALGUNS RECURSOS DO GEOGEBRA..................................... 13
4. APRESE#TA#DO AS ATIVIDADES EXPLORATÓRIAS.................................
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ATIVIDADE 1: FUNÇÕES EM GERAL.......................................................................
19
ATIVIDADE 2: FUNÇÕES DO 1º E 2º GRAU..............................................................
23
ATIVIDADE 3: FUNÇÕES MODULARES...................................................................
26
ATIVIDADE 4: FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS.............................
30
ATIVIDADE 5: FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS......................................................
34
ATIVIDADE 6: FUNÇÕES POLINOMIAIS...................................................................
38
ATIVIDADE 7: FUNÇÕES RACIONAIS E ALGÉBRICAS.......................................... 40
ATIVIDADE 8: EXISTÊNCIA DE LIMITES E LIMITES LATERAIS.........................
43
ATIVIDADE 9: LIMITES FUNDAMENTAIS, INFINITOS E NO INFINITO..............
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ATIVIDADE 10: CONTINUIDADE ............................................................................... 49
REFERÊ#CIAS .............................................................................................................. 52
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1. O E#SI#O DE MATEMÁTICA E AS TIC’S
A utilização de Tecnologias Informacionais e Comunicacionais no ensino e
aprendizagem da Matemática, com destaque para os ambientes informatizados, destaca-se
como uma das principais Tendências da Educação Matemática, e vem levantando diversas
questões, propiciando várias pesquisas nas áreas como destaca Borba (1999):
A introdução das novas tecnologias – computadores, calculadoras gráficas e
interfaces que se modificam a cada dia – tem levantado diversas questões.
Dentre elas destaco as preocupações relativas às mudanças curriculares, às
novas dinâmicas da sala de aula, ao “novo” papel do professor e ao papel do
computador nesta sala de aula. (p. 285, grifo do autor)
Essa discussão nos remete as idéias de Valente (1999, p. 107), destacando que, quando
utilizadas de forma questionadora, as TIC’s podem ser uma poderosa ferramenta para auxiliar
o aluno na construção de seu conhecimento: “A possibilidade que o computador oferece como
ferramenta para ajudar o aprendiz a construir o conhecimento e a compreender o que faz,
constitui uma verdadeira revolução do processo de aprendizagem.”
Outro destaque é o poder atrativo que tal utilização pode gerar, fazendo com que o
aluno tenha aguçado seu interesse. Ressalta-se, é claro, que para isto, esta ferramenta
metodológica tem que ser utilizada de forma a instigar o aluno a construir seu conhecimento,
através de experiências e visualização na tela de um computador. Segundo Ponte e Canavarro
(1997):
No que diz respeito aos valores e atitudes, a calculadora e o computador são
particularmente importantes no desenvolvimento da curiosidade e do gosto
por aprender, pois proporcionam a criação de contextos de aprendizagem
ricos e estimulantes, onde os alunos sentem incentivada a sua curiosidade.
(p. 101)
Porém, o uso do computador em sala de aula tem que ser feito de forma criativa e
investigativa, para que esta ferramenta metodológica não se torne só mais um adereço na sala
de aula, como o quadro negro, o giz e o caderno, tornando-se só mais um componente no
processo ensino e aprendizagem da Matemática. O uso desta ferramenta tem que gerar na sala
de aula um ambiente de curiosidade e questionamento, de forma a instigar o aluno, para que
com isto, este construa seu conhecimento a partir da visualização e concretização de seus
questionamentos na tela do computador ou calculadoras gráficas. Essas ideias nos remetem a
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Gravina e Santarosa (1998, p. 1), que trazem uma reflexão sobre o que significa “fazer
Matemática: experimentar, interpretar, visualizar múltiplas facetas, induzir, conjeturar,
abstrair, generalizar e, enfim, demonstrar”.
Podemos salientar também que a presença das TIC’s em sala de aula pode gerar
mudanças no papel do professor e do aluno. Silva (1990) afirma que uma das mudanças e
transformações decorridas na inserção de TIC’s na sala de aula é a transição do papel do
professor de tradicional, para facilitador da construção da aprendizagem. E este processo de
mudança de atitudes é longo e com diferentes graus de evolução, devido à diversidade de
professores. Ressaltando que a construção de uma nova ação pedagógica comprometida com a
“filosofia” da utilização de ambientes informatizados em sala de aula não se apresenta de
forma homogênea, dependendo de diversos fatores. Tais fatores podem ocorrer desde a
dificuldade pessoal de cada professor, até problemas financeiros, físicos e operacionais.
Essa mudança de papel torna o professor, um mediador na construção do ensino
(VALENTE, 1999, p. 109), instigando e sugerindo questionamentos aos seus alunos. Estes
assumiriam uma postura de agentes ativos na construção de seu conhecimento, testando e
experimentando em tempo real seus próprios questionamentos, pois, segundo Penteado (1999,
p. 302): “Com a presença do computador, a aula ganha um novo cenário, refletindo-se na
relação do professor com os alunos e no papel desempenhado pelos demais atores presentes.”
No caso específico do conteúdo “Funções”, podemos destacar que as TIC’s
oportunizam um ambiente mais dinâmico, onde os alunos podem manipular gráficos
representados na tela do computador ou da calculadora, propiciando uma aprendizagem.
Segundo Santos (2005):
As novas tecnologias oferecem possibilidades para que a representação passe
a ter caráter dinâmico, e isto tem reflexos nos processos cognitivos,
particularmente no que diz respeito às concretizações mentais. Tal
dinamismo é obtido através de manipulação direta sobre as representações
que se apresentam na tela do computador. Por exemplo: no estudo de
funções são os objetos manipuláveis que descrevem relação de
crescimento/decrescimento entre as variáveis. (p. 27)
Podemos destacar também que a utilização de ambientes informatizados pode
ocasionar uma mudança na ênfase dada à formalização algébrica, deslocando-a para uma
interpretação geométrica. A construção dos conceitos surgiria a partir de construções e
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conjecturas representadas por programas gráficos, ficando a formalização analítica em
segundo plano, sem tirar sua importância, conforme destacam Ponte e Canavarro (1997):
[...] as capacidades gráficas das novas tecnologias viabilizam uma mudança
na abordagem das funções, valorizando os aspectos intuitivos na construção
de conceitos e na respectiva formalização. A abordagem geométrica, que nos
últimos anos pouco foi considerada, pode agora abrir caminho para o estudo
das funções, surgindo à abordagem analítica como um complemento mais
rigoroso, como sistematização das idéias matemáticas previamente tratadas
de modo mais informal. (p. 105)
Para Borba e Penteado (2003), o ensino tradicional de funções enfatiza, sobremaneira,
a dimensão algébrica, com destaque para a expressão analítica de uma função, sem quase
fazer referência à sua dimensão tabular (numérica) e gráfica (geométrica).
Essa ênfase
possivelmente é justificada pela mídia normalmente disponível: lápis e papel. Verifica-se,
assim, um predomínio da oralidade e da escrita como mídias determinantes do processo de
ensino e aprendizagem tradicional do conteúdo “Funções”:
Usualmente, a ênfase para o ensino de funções se dá via álgebra. Assim, é
comum encontrarmos em livros didáticos um grande destaque para a
expressão analítica de uma função e quase nada pra os aspectos gráficos ou
tabulares. Tal destaque muitas vezes está ligado à própria mídia utilizada.
Sabemos que é difícil a geração de diversos gráficos num ambiente em que
predomina o uso de lápis e papel e, então, faz sentido que não se dê muita
importância a esse tipo de representação. (BORBA e PENTEADO, 2003,
p. 29)
Ressaltam-se as possibilidades e diversidades de recursos proporcionados pelo uso das
TIC’s como ferramentas didático-pedagógicas auxiliares às aulas tradicionais, que podem
gerar um ambiente capaz de navegar pelas múltiplas representações no estudo do tema
“Funções”, podendo gerar uma mudança no destaque dado à representação algébrica em
detrimento das representações tabular e geométrica, contribuindo para uma melhor
compreensão do aluno. Segundo Borba e Penteado (2003):
Aplicativos que possibilitam a utilização de diversas representações, com a
mesma facilidade, dão chance ao educador e ao estudante de desenvolver
atividades em que a Álgebra não seja predominante e em que as diversas
representações sejam usadas em condições mais igualitárias. (p. 83)
Percebe-se que o estudo de funções através de suas múltiplas representações está
ligado ao uso de TIC’s. Assim, tal uso nos remete às idéias de representações múltiplas,
conforme destacam Borba e Penteado (2003, p. 30): “[...] conhecer sobre funções passa a
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significar saber coordenar representações. Essa nova abordagem só ganha força com
ambientes computacionais que geram gráficos vinculados a tabelas e expressões algébricas.”
Pode-se ressaltar também Gracias e Borba (1998) que, em suas pesquisas sobre a
utilização de calculadoras gráficas como ferramentas pedagógicas em sala de aula, propõem
seu uso envolvendo o estudo de funções. Para tal, desenvolvem atividade, onde os alunos
analisam famílias de funções, estabelecendo relações entre as representações gráficas e
algébricas dessas famílias. Afirmam que as calculadoras gráficas quando utilizadas como
instrumentos pedagógicos, permitem que os alunos, durante a construção dos gráficos,
reavaliem constantemente suas hipóteses e conjecturas possibilitando assim, um método
empírico de aprender matemática. Para eles o caráter empírico, deve-se a possibilidade de o
aluno experimentar a construção de gráficos, funções e tabelas.
Destacamos ainda, Borba e Penteado (2003, p. 28-29) que trazem uma discussão sobre
o uso de Tecnologias Informáticas em sala de aula no estudo de funções, especificamente, o
uso de calculadora gráfica e componentes acoplados a esta ferramenta, como o CBR – “que é
um detector sônico de movimento que, ao ser acoplado à calculadora gráfica, permite medir
distância desse sensor a um alvo. Esses dados são transmitidos para a calculadora que exibe
um gráfico cartesiano de distância x tempo.”
Os autores mostram, através de experiências realizadas em sala de aula, as
potencialidades do uso da calculadora gráfica no estudo deste tema. Para os autores, as
calculadoras gráficas, têm como ponto negativo resolução inferior à de um computador, mas
possuem a facilidade de transporte e de espaço físico. Assim, segundo os autores, podem
substituir programas como Excel, Fun, Grafhmática e outros relacionados às funções.
Na primeira atividade, os autores relatam uma experiência usando o CBR, realizada
com dois alunos de uma Escola Estadual de Rio Claro – SP, com intuito de estudar o tema
“Funções” através de sua representação geométrica, para logo em seguida, formalizá-lo de
forma tabular e algébrica.
Percebeu-se neste relato, a grande potencialidade deste recurso pedagógico para
construção do conhecimento do aluno, pois, segundo os autores, esta Tecnologia Informática
possibilitou que os alunos entendessem o gráfico de uma função como fragmentos: “Entender
que gráficos, de uma maneira geral, representam fragmentações é fundamental para o ensino
de funções afim de que o estudante possa em seguida coordenar essa representação com as
tabulares e algébricas.” (Ibidem, p. 34)
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Numa segunda atividade, os autores descrevem como a utilização de Tecnologias
Informáticas pode trazer benefícios para sala de aula, gerando, quando bem utilizadas, um
ambiente onde surgem questionamentos e interesse pelo aprendizado.
O relato feito pelos autores desta experiência, que foi realizada em uma disciplina de
um curso de Biologia, ministrada por Borba, desde 1993, deixa evidente que o uso de
softwares e calculadoras gráficas como ferramentas metodológicas podem propiciar uma
discussão sobre os coeficientes de uma função quadrática, através de testes e experimentos,
tornando a sala de Matemática um verdadeiro laboratório: “As novas mídias, como os
computadores com softwares gráficos e as calculadoras gráficas, permitem que o aluno
experimente bastante, de modo semelhante ao que faz em aulas experimentais de biologia ou
de física.” (Ibidem, p. 34)
Em consonância com a nossa idéia que os recursos tecnológicos podem ainda
possibilitar testes e estudos do gráfico de uma função, por alunos que ainda não tenham
estudado tal tema, os pesquisadores afirmam: “[...] podem experimentar com gráficos de
funções quadráticas do tipo y= ax2+bx+c, por exemplo, antes de conhecerem uma
sistematização de função quadrática.” (Ibidem, p. 34-35)
Em uma terceira experiência, realizada com a intenção de explorar as relações entre os
coeficientes e o gráfico de uma função, os autores afirmam que as conjecturas realizadas pelos
próprios alunos, através de testes realizados com a utilização de Tecnologias Informáticas,
podem influenciar no processo pedagógico dos anos seguintes. Esta reflexão nos leva a pensar
na postura que o professor terá que assumir em sala de aula, em um cenário utilizando as
Tecnologias Informáticas. Ele terá que ser um mediador da construção do conhecimento,
sabendo se relacionar com os alunos de forma a compartilhar experiências, deixando de ser o
único detentor da verdade.
Vale ressaltar ainda que, nesta atividade, os autores mostram que a utilização de
recursos tecnológicos no estudo de um tema como “Funções” pode possibilitar o
desencadeamento de uma série de questionamentos que gerariam vários tipos de situações, a
partir de um problema proposto: “[...] deve ser destacada a dinâmica de como um problema
pode remeter a outro, bem como a possibilidade de gerar conjecturas e idéias matemáticas a
partir da interação entre professores, alunos e tecnologia.” (Ibidem, p.39)
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Em uma quarta atividade, os autores trazem um exemplo de como os recursos e
potencialidades das Tecnologias Informáticas podem ampliar a utilização da Modelagem
Matemática como recurso pedagógico no estudo de “Funções”. Segundo os autores, os
modelos matemáticos estão sendo utilizados assumem uma forma “paternalista”, as situações
investigadas fazem sempre referência à própria Matemática, situação que poderia ser mudada
com o advento de softwares e recursos tecnológicos: “Para tentar expandir a investigação em
sala de aula em direção a temas mais gerais, buscamos interagir a experimentação com
tecnologia ao trabalho de modelagem.” (Ibidem, p.39)
De uma maneira geral, estas experiências nos mostram que o estudo de funções com a
utilização de TCI’s pode ganhar uma nova perspectiva quando computadores e calculadoras
se tornam atores no cenário da sala de aula.
2. O E#SI#O DE CÁLCULO E AS TIC’s
Para uma grande maioria dos estudantes que ingressam na universidade em diversos
cursos da área de exatas, dentre eles, Licenciatura em Matemática, as disciplinas de Cálculo
Integral e Diferencial acabam se tornando um primeiro contato com uma Matemática
avançada e uma fonte de grandes dificuldades; talvez pela necessidade de formalização de
alguns conceitos ou então pela extensa quantidade de conteúdos programáticos das
disciplinas. Essa situação pode ser comprovada pelos elevados índices de reprovação nas
disciplinas de Cálculo, conforme destaca Meyer e Souza Júnior (2002):
No Brasil, o ensino do Cálculo tem sido responsabilizado por um grande
número de reprovações e de evasões de estudantes universitários. É comum
em nossas universidades a reclamação, por parte dos alunos ou por parte dos
professores de outras áreas, da inexistência de esforços para tornar o Cálculo
interessante ou útil. (p. 121)
Numa tentativa de buscar caminhos para estes problemas, diversos pesquisadores em
Educação Matemática (REIS, 2001, 2009; REIS et al, 2008; FROTA E COUY, 2009)
procuram investigar os fatores relacionados aos diversos problemas apontados nas disciplinas
e as estratégias que podem ser eficazes no processo de ensino e aprendizagem de Cálculo
Integral e Diferencial. Em suas pesquisas, destacam que o professor deve levar em
consideração as aplicações do Cálculo e as diferenças entre os diversos cursos universitários;
sugerem como estratégias eficazes e auxiliares no ensino e aprendizagem da disciplina, o uso
10
da história da matemática, com destaque para o desenvolvimento histórico do Cálculo, a
Modelagem Matemática, a Resolução de Problemas e o uso de Tecnologias da Informação e
Comunicação – TIC’s. Segundo Silva (1994):
Um dos caminhos que pode ensejar maior produtividade no processo de
ensino e aprendizagem no Cálculo Diferencial e Integral I pode estar na
diversificação das formas de abordagem de cada tema a ser apresentado, a
partir do que se adapta a cada um destes, da condição intrapessoal e
interpessoal de cada docente, do nível de aprofundamento desejado, etc.
Assim, algumas opções viáveis podem ser encontradas, além da resolução de
problemas que constituem a própria essência da Matemática, por meio da
explicitação dos seus conceitos e de suas teorias através da história; e estas
podem tornar-se um meio bastante estimulador, tanto para o professor como
para o aluno, criando-se uma atmosfera que facilite a compreensão do saber
matemático pelo contato com sua gênese e etapas de seu desenvolvimento;
além disso, fazer uso da experimentação, das aplicações e do uso da
computação. (p. 6)
Em particular, ressaltamos o uso do computador e de softwares gráficos como
ferramenta auxiliar no ensino de Cálculo, com destaque para questão da visualização, da
possibilidade de trabalhar com múltiplas representações e as possibilidades de
experimentação e investigação que essa ferramenta pode trazer para a sala de aula.
Destacamos que, para isso, essa ferramenta metodológica tem que ser usada de forma a criar
esse ambiente investigativo. Também acreditamos que o computador não é a única forma de
se diversificar o ensino e que outras estratégias são importantes para o processo de ensino,
cabendo ao professor essa difícil, porém, possível tarefa de saber qual estratégia usar e qual o
momento mais propício de utilizá-la. Nessa perspectiva, podemos destacar Villareal (1999),
ao afirmar que:
No ambiente computacional, alguns conteúdos se tornam obsoletos e outros
desnecessários. Se o computador pode fazer cálculos numéricos e até
algébricos mais rapidamente e melhor do que nós, seres humanos, ou
permite traçar gráficos com maior precisão, é necessário, que a ênfase em
um curso de Cálculo ou Pré-Cálculo esteja dirigida para aspectos ligados à
informação, à modelagem de situações reais, ou ao trabalho com projetos.
(p. 367)
Silva (1994) ressalta as potencialidades da utilização do computador no ensino de
Cálculo Integral e Diferencial, que possibilita ao aluno vivenciar verdades matemáticas,
sugerindo conjecturas e, ao mesmo tempo, destaca a resistência de alguns professores para
utilizar tal ferramenta. Para o autor:
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O Cálculo, por sua própria natureza de trabalhar com aproximações, é um
dos mais adequados para a utilização de computador em experimentação,
propiciando uma (re)descoberta dos seus conceitos. Infelizmente, esta
ferramenta de trabalho atualmente não é utilizada pelos professores. Uns, por
não a aceitarem como método de validação de uma verdade matemática,
outros por desconhecerem a sua utilidade. (p. 7)
Essa discussão nos leva novamente às reflexões de Meyer e Souza Júnior (2002,
p. 118), para os quais, “a presença do computador nessas situações pode contribuir
decisivamente para a criação de novos saberes e está proporcionando novas possibilidades de
trabalho e novas responsabilidades para o professor”.
Outra discussão interessante sobre a utilização do computador na aula de Cálculo é
feita por Costa e Souza Júnior (2007) ao afirmar que os diversos softwares que permitem a
visualização, em particular, softwares que permitem a construção de gráficos de funções e
cálculos de integrais definidas com apoio visual são ferramentas muito eficientes para o
ensino de funções, gráficos, limites, derivadas, integrais, áreas e volumes. Eles também
afirmam que o aluno, para modelar utilizando o software, tem que conhecer o conteúdo, para
que possa testar o que o software está calculando e entender o porquê do comportamento de
um gráfico de uma função representado na tela do computador. Isto corrobora com nosso
pensamento de que o computador pode também ser utilizado para ressignificar alguns
conceitos já estudados.
Salientamos que essas pesquisas nos levam a refletir sobre as potencialidades de um
software no ensino de Cálculo, em particular um software gráfico, que pode ser inserido no
contexto da sala de aula com intuito de auxiliar o ensino e a aprendizagem tornando a
construção dos conceitos, pelos alunos, mais intuitiva, onde eles podem testar e experimentar
suas conjecturas.
Apesar de ainda existir uma certa resistência por parte de alguns professores, o uso de
softwares é cada vez mais constante no Ensino Superior, em especial no ensino de Cálculo.
Este fato é relatado por Salvador e Costa (2004) que destacam ainda, que tal uso tem que ser
feito de forma reflexiva e crítica. Segundo os autores:
Para evitar a contemplação do aluno apenas com a beleza gráfica e o mundo
colorido que o computador oferece, as simulações e conjecturas feitas com o
questionamento contínuo do professor-orientador propiciam uma análise
crítica e favorecem o tão desejado aprendizado significativo. (p. 7)
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Essa discussão nos remete à questão do professor e do seu papel no uso das
tecnologias, onde seu lugar, culturalmente, de poder e detentor de todo o saber é
constantemente questionado, forçando-lhe uma mudança de postura. Entretanto, conforme
Villareal (1999, p. 366): “isso não significa que o professor deva anular-se, nem que sua
presença seja dispensável em um ambiente computacional, mas que seu papel é diferente e,
talvez, mais difícil de assumir.”
Esse novo papel talvez seja propiciado pelas formas com que o pensamento se
processa com a presença das TIC’s em sala de aula. Tal discussão aparece em Villareal
(1999), ao refletir a respeito dos experimentos que realizou, em sua tese de doutorado, com
três duplas de estudantes de Cálculo, numa turma do curso de Biologia. Segundo a autora,
esses experimentos deixam evidente que a presença do computador torna a sala de aula um
ambiente de conjecturas e refutações, onde os estudantes desenvolvem estratégias diferentes;
uns centralizam o processo de visualização na elaboração de suas conjecturas e outros,
preferem abordagens mais algébricas. Segundo a autora, a combinação entre essas abordagens
é importante para a aprendizagem matemática. Na análise, Villareal (1999) destaca também
que:
[...] o computador pode ser tanto um reorganizador quanto um suplemento
nas atividades dos estudantes para aprender Matemática, dependendo da
abordagem que eles desenvolvam nesse ambiente computacional; do tipo de
atividades propostas, das relações que forem estabelecidas com o
computador, da freqüência no uso e da familiaridade no uso e da
familiaridade que se tenha com ele. (p. 362)
Por sua vez, Marin (2009) realizou uma pesquisa com treze professores universitários
em relação ao uso de TIC’s nas aulas de Cálculo. O autor realizou entrevistas com o intuito de
buscar compreender como professores do Ensino Superior estão usando TIC’s em suas aulas
de Cálculo e as potencialidades deste uso:
No que diz respeito ao desenvolvimento das aulas, identifica-se que a TIC
permite realizar atividades que seriam impossíveis de serem feitas somente
com o uso de lápis e de papel, proporcionando a organização de situações
pedagógicas com maior potencial para aprendizagem. É claro que isso
aumenta o tempo de dedicação do professor. (p. 136)
Outro destaque da pesquisa de Marin (2009) é a questão de quais conteúdos são mais
trabalhados com o uso de TIC’s. Em sua análise, o autor afirma que os mais citados nas falas
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“são aqueles que envolvem gráficos e a representação geométrica podendo ser: Funções,
Coeficiente Angular, Reta Tangente, Limites, Máximo e Mínimo de Funções, o inicio de
Derivadas e Integrais.” (MARIN, 2009, p.137)
Salientamos que a maneira de abordar esses conteúdos varia e está ligada à experiência
de vida de cada um, da relação que se tem com a disciplina, até mesmo para perceber em
quais tópicos pode ser mais interessante o uso do computador. Enfim, acreditamos que o
ensino de Cálculo deve ser ainda hoje, objeto de pesquisas em Educação Matemática,
tornando-se especialmente relevantes pesquisas que discutam a sala de aula no Ensino
Superior e que apresentem possibilidades metodológicas para os professores de Cálculo.
3. APRESE#TA#DO O SOFTWARE GEOGEBRA
O software GeoGebra foi desenvolvido por Markus Hohenwarte na Universidade de
Salzburg, podendo ser utilizado nos Ensinos Fundamental, Médio e/ou Superior. Ele é um
software livre, podendo ser copiado e utilizado para fins não comerciais, de interface
amigável e de fácil uso, que reúne Geometria, Álgebra e Cálculo. Foi desenvolvido em Java;
por esse motivo pode ser instalado nas plataformas Windows e Linux1.
Para fazer o download2 do software, bem como, adquirir todas as informações de instalação e
o tutorial contendo instruções de uso e exemplos do GeoGebra basta acessar o site
http://www.geogebra.org/cms/pt_BR.
3.1 APRE#DE#DO ALGU#S RECURSOS DO GEOGEBRA
O software GeoGebra possui vários recursos que podem ser utilizados para o estudo
de Geometria, Álgebra e Cálculo de forma dinâmica. Porém, iremos descrever apenas alguns
recursos que são necessários para a implementação das atividades apresentadas nesse
material. Para um aprofundamento em outros recursos do software, basta fazer o download do
tutorial no site descrito acima.
Ao iniciar o programa aparecerá a tela abaixo com os seguintes campos:
1
No site www.geogebra.org/cms/pt_BR contém instruções de instalação para sistemas operacionais diferentes
do Windows.
2
É necessário ter instalado e habilitado em seu computador a linguagem Java. Disponível em
http://www.java.com/pt BR.
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Barra de
Menu
Barra de
Ferramentas
Janela de
Visualização ou
Janela de Gráficos
Janela de
Álgebra
Campo de
Entrada
Operadores
• Janela de álgebra: onde aparecem indicações dos objetos (coordenadas de pontos,
equações de retas, de circunferências, comprimentos, etc). Essa janela pode ser habilitada e
desabilitada pelo menu Exibir na barra de menu.
• Janela de visualização ou de gráficos: onde aparecem os gráficos, figuras geométricas,
pontos, etc. Apresenta um sistema de eixo de coordenados que pode ser habilitado e
desabilitado pelo menu Exibir na barra de menu. Pode-se também habilitar uma “Malha” no
menu Exibir.
• Campo de Entrada: zona destinada à entrada dos comandos/condições que definem os
objetos. Neste campo escrevemos as equações, funções e coordenadas dos pontos e teclamos
“enter” para representá-los na janela de gráficos. (observação: alguns comandos podem ser
representados direto através da barra de ferramentas)
Ex:
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• Barra de Ferramentas: É dividida em 11 janelas que apresenta várias ferramentas que
podem ser visualizadas clicando na parte inferior de cada ícone.
Algumas ferramentas importantes:
Mover: Utilizada para selecionar, mover e manipular objetos. Também pode ser
selecionada apertando-se o “ESC” no teclado.
Seletor: É um pequeno segmento com ponto que se movimenta sobre. Ferramenta
importante para se modificar, de forma dinâmica, o valor de algum parâmetro.
Criando um seletor e um parâmetro vinculado a ele:
- Clique no ícone “Seletor” na barra de ferramentas.
- Clique na Janela de Gráficos. Aparecera a janela abaixo:
Nesta janela, é possível mudar o “Intervalo”
(min ou máx) de variação do seletor e
tamanho do passo ou “Incremento”. Podese editar outros detalhes (mudar o nome,
posição, animar etc.). Para criar o seletor,
basta clicar em “Aplicar”.
16
- Para criar uma função vinculada ao seletor basta colocar o nome do seletor no lugar
dos coeficientes que deseja mudar.
- Para movimentar o seletor clique no botão “mover” e arraste o ponto sobre o
segmento do seletor.
• Operadores: São comandos que auxiliam em cálculos e para escrever algumas funções.
São ativados digitando-se direto no campo de entrada ou utilizando a janela à direita desse
campo.
17
Alguns Operadores Importantes:
OPERADOR
COMA#DO
OPERADOR
COMA#DO
*
Multiplicação
ln(...)
Logaritmo natural
/
Divisão
sin(...)
Seno
^
Potência (Ex: x^2)
cos(...)
Cosseno
sqrt(...)
Raíz quadrada
tan(...)
Tangente
lg(...)
Logaritmo decimal
abs(...)
Módulo
• Usando o comando “se”: Este comando é útil para construirmos uma função definida por
mais de uma sentença. Para utilizá-lo basta escrever no campo de entrada “se” e aparecerá um
colchete. Então, basta digitar a condição ou intervalo e logo após a função e teclar “enter”.
2 x + 1, se x < 0
Ex: Construir a função f ( x ) =  2
:
 x + 1 se x ≥ 0
Algumas dicas importantes:
- O comando Desfazer (Ctrl + z) do menu Editar é muito útil para retificar e anular a(s)
última(s) operação(ões);
- Pode-se formatar (ocultar objeto, ocultar rótulo, exibir rastro, etc) um objeto clicando com o botão
direito do mouse sobre ele.
- Para mudar o zoom, formatar os eixos, basta dar um clique com o botão do lado direito do
mouse e selecionar a opção desejada.
- Para trabalhar com funções trigonométricas, pode-se mudar os eixos para radianos. Basta
clicar com o botão direito do mouse, selecionar a opção “Propriedades”, clicar em “Distância”
e escolher a distância desejada.
18
4. APRESE#TA#DO AS ATIVIDADES EXPLORATÓRIAS
Na elaboração das atividades para o laboratório, procuramos explorar os principais
conceitos e propriedades dos conteúdos programáticos. Nessa perspectiva, elaboramos as
seguintes atividades:
1) Funções em Geral: Definição, Domínio, Imagem, Função Par e Ímpar;
2) Funções do 1º e 2º grau: Coeficientes, Crescimento e Decrescimento, Máximos e
Mínimos;
3) Funções Modulares: Funções do 1º e 2º grau, Funções definidas por mais de uma
sentença;
4) Funções Exponenciais e Logarítmicas: Crescimento e Decrescimento, Funções Inversas;
5) Funções Trigonométricas: Período, Imagem, Descolamentos Vertical e Horizontal;
6) Funções Polinomiais: Multiplicidade e Natureza das Raízes;
7) Funções Racionais e Algébricas: Assíntotas e Limites;
8) Existência de Limites e Limites Laterais: Identificação Algébrica e Geométrica;
9) Limites Fundamentais, Infinitos e no Infinito: Assíntotas Verticais e Horizontais;
10) Continuidade: Descontinuidades Removíveis e Não-removíveis.
Para a realização das atividades, sugerimos o software GeoGebra ou outro software
gráfico de domínio do professor (Winplot, GrafhMat, etc).
19
ATIVIDADE 1: FU#ÇÕES EM GERAL
1.1. Objetivo: Identificar o Domínio das funções algébrica e graficamente.
a)
f ( x ) = x2
b)
f(x)=
c)
f(x)=
x
d)
f(x)=
1
x -4
1
x
2
Sequência de Aplicação:
1) Faça o gráfico do item “a”;
2) O que você observa em relação aos valores de x para os quais a função está definida?
3) Determine o Domínio da função algebricamente e compare com o gráfico obtido;
4) Repita o procedimento para os demais itens.
Utilizando o seletor:
Faça o gráfico da função f ( x ) =
1
; crie um seletor “a” e digite no campo de entrada um ponto
x
A=(a,f(a)) sobre o gráfico da função. Movimente o seletor e observe as coordenadas do ponto tanto no
gráfico quanto na janela de álgebra, tentando identificar o conjunto domínio da função representada.
20
1.2. zObjetivo: Identificar a Imagem das funções algébrica e graficamente.
a)
f ( x ) = 2x + 1
b)
f ( x ) = −x 2
c)
f(x)=
d)
f(x)= x
1
x2
Sequência de Aplicação:
1) Faça o gráfico do item “a”;
2) O que você observa em relação aos valores de y que são imagem de algum valor de x?
3) Determine a Imagem da função algebricamente e compare com o gráfico obtido;
4) Repita o procedimento para os demais itens.
Utilizando o seletor:
Faça o gráfico da função f ( x ) = x ; crie um seletor “a” e digite no campo de entrada um ponto
A=(a,f(a)) sobre o gráfico da função. Movimente o seletor e observe as coordenadas do ponto tanto no
gráfico quanto na janela de álgebra, tentando identificar o conjunto imagem da função representada.
21
1.3 Objetivo: Caracterizar graficamente as Funções Pares e Ímpares.
a)
f ( x ) = 2x
b)
f ( x ) = 3x 2
c)
f ( x ) = x3
d)
f(x)= x
Sequência de Aplicação:
1) Faça o gráfico do item “a”;
2) Você observa algum tipo de simetria no gráfico obtido?
3) Anote os valores de f (1), f (−1), f ( 2), f ( −2) e, a partir deles, classifique as funções em pares
ou ímpares;
4) Repita o procedimento para os demais itens.
Utilizando o seletor:
a) Faça o gráfico da função f ( x ) = x ; crie um seletor “a” e um seletor “b” e faça dois pontos
A=(a,f(a)) e B=(b,f(b)). Movimente os seletores e observe, tanto no gráfico quanto na janela de
álgebra, as coordenadas dos pontos, os valores de f(x), de f(– x) e a simetria existente no gráfico.
22
b) Faça o gráfico da função f ( x) = x 3 ; crie um seletor “a” e um seletor “b” e faça dois pontos
A=(a,f(a)) e B=(b,f(b)). Movimente os seletores e observe, tanto no gráfico quanto na janela de
álgebra, as coordenadas dos pontos, os valores de f(x), de f(– x) e a simetria existente no gráfico.
23
ATIVIDADE 2: FU#ÇÕES DO 1º E 2º GRAU
2.1. Objetivo: Interpretar graficamente os coeficientes e reconhecer as principais propriedades
das Funções do 1º grau.
a)
f ( x ) = 3x + 1
b)
f ( x ) = 2x
c)
f ( x ) = −x + 2
d)
f ( x ) = −3 x − 5
Sequência de Aplicação:
1) Faça os gráficos de todas as funções em uma só tela;
2) Que característica comum você observa em relação ao coeficiente “a”?
3) Que propriedade gráfica possui o coeficiente “b”?
4) Tente generalizar a discussão sobre o gráfico da função f(x) = ax + b.
Utilizando o seletor:
Crie seletores “a” e “b” e no campo de entrada escreva a função f ( x ) = a * x + b . Movimente os
seletores verificando as relações dos coeficientes a e b com o gráfico da função.
24
2.2. Objetivo: Interpretar graficamente os coeficientes e reconhecer as principais propriedades
das Funções do 2º grau.
a)
f ( x ) = x2 − x − 6
b)
f ( x ) = x2 − 6 x + 9
c)
f ( x ) = −x2 + 5x − 4
d)
f ( x ) = −x2 − 1
Sequência de Aplicação:
1) Faça os gráficos de todas as funções em uma só tela;
2) Que característica comum você observa em relação ao coeficiente de “a”?
3) Que propriedade gráfica possui o coeficiente “c”?
4) Que propriedade gráfica possui o coeficiente de “b”?
Utilizando o seletor:
Crie seletores “a”, “b” e “c” e, no campo de entrada, escreva a função f ( x ) = a * x 2 + b * x + c .
Movimente os seletores verificando as relações dos coeficientes a, b e c com o gráfico da função.
25
2.3. Objetivo: Identificar graficamente as regiões de crescimento e decrescimento e os pontos de
máximo de mínimo locais e globais.
a) f ( x ) = 2 x + 1
b) f ( x ) = x 2 + 1
c) f ( x ) = x 3 − 9 x
d) f ( x ) = x 4 − 4 x 2
Sequência de Aplicação:
1) Faça o gráfico do item “a”;
2) Identifique os intervalos nos quais a função é crescente e decrescente;
3) Identifique os pontos de máximo e mínimo da função, classificando-os em locais ou globais;
4) Repita o procedimento para os demais itens.
Utilizando o seletor:
Faça o gráfico da função f ( x ) = x 3 − 9 x ; crie um seletor “a” e digite no campo de entrada um ponto
A=(a,f(a)) sobre o gráfico da função. Movimente o seletor observando, tanto no gráfico quanto na
janela de álgebra, a relação entre os valores de x e y e os intervalos onde a função é crescente ou
decrescente. Observe também os valores de máximo e mínimo da função. (Sugestão: aumente o
intervalo de variação do seletor)
26
ATIVIDADE 3: FU#ÇÕES MODULARES
3.1. Objetivo: Identificar as transformações gráficas em Funções do 1º grau.
a)
f(x)= x+1
b)
f(x) = x −1
c)
f(x)= x +1
d)
f(x) = x −1
Sequência de Aplicação:
1) Faça o gráfico da função f ( x ) = x
2) Faça, na mesma tela, os gráficos dos itens “a” e “b” e observe a diferença entre eles;
3) Determine a imagem dessas funções e compare com a função f ( x ) = x .
4) Repita o procedimento para os gráficos “c” e “d”.
Utilizando o seletor:
a) Crie um seletor “a” e construa o gráfico da função f ( x) = x + a . Movimente o seletor e verifique
as mudanças no gráfico da função.
27
b) Crie um seletor “a” e construa o gráfico da função f ( x) = x + a . Movimente o seletor e verifique
as mudanças no gráfico da função.
3.2. Objetivo : Identificar as transformações gráficas em Funções do 2º grau.
a) f ( x ) = x 2
b) f ( x ) = − x 2
c) f ( x ) = x 2 − 4
d) f ( x ) = − x 2 + 4 x − 5
Sequência de Aplicação:
1) Faça o gráfico da função do item “a” sem o módulo;
2) Faça, agora, o gráfico do item “a” (com o módulo) e compare com o gráfico obtido
anteriormente;
3) Determine geometricamente e algebricamente a imagem da função;
4) Repita o procedimento para os demais itens.
28
Utilizando o seletor:
Crie seletores “a”, “b” e “c” e, no campo de entrada, escreva a função f ( x ) = a * x 2 + b * x + c .
Movimente os seletores verificando as mudanças que ocorrem no gráfico da função.
3.3. Objetivo: Caracterizar algébrica e graficamente as funções definidas por mais de
uma sentença.
a)
f(x)= −x
b)
f ( x ) = x2 − 1
c)
2 x + 1, se x < 0
f(x)=  2
 x + 1 se x ≥ 0
d)
 x 3 , se x ≤ 1

f ( x ) =  x , se 1 < x < 4
2 , se x ≥ 4

Sequência de Aplicação:
1) Faça o gráfico do item “a”;
2) Determine geometricamente e algebricamente o domínio da função;
3) Determine geometricamente e algebricamente a imagem da função;
4) Repita o procedimento para os demais itens.
29
Utilizando o seletor:
2 x + 1, se x < 0
Faça o gráfico da função f ( x ) = 
; crie um seletor “a” e digite no campo de entrada
2
 x + 1 se x ≥ 0
um ponto A=(a,f(a)) sobre o gráfico da função. Movimente o seletor e observe as coordenadas do
ponto tanto no gráfico quanto na janela de álgebra tentando identificar os conjuntos domínio e imagem
da função representada.
30
ATIVIDADE 4: FU#ÇÕES EXPO#E#CIAIS E LOGARÍTMICAS
4.1. Objetivo: Identificar graficamente as principais propriedades das Funções Exponenciais.
a) f ( x ) = 3 x
1
3
x
b) f ( x ) =  
c) f ( x ) = e x −1
d) f ( x ) = 3.2 − x + 1
Sequência de Aplicação:
1) Faça os gráficos dos itens “a” e “b” e identifique se as funções são crescentes ou decrescentes,
relacionando tal classificação com a base das funções;
2) Determine o Domínio e a Imagem das funções e identifique possíveis assíntotas horizontais
e/ou verticais;
3) Faça o gráfico da função f ( x ) = e x e, na mesma tela, faça o gráfico do item “c”, verificando
o tipo de deslocamento gráfico ocorrido;
4) Faça o gráfico da função f ( x ) = 2 − x e, na mesma tela, faça o gráfico do item “d”,
verificando o tipo de deslocamento gráfico ocorrido.
Utilizando o seletor:
a) Crie um seletor “b” e digite no campo de entrada a função f(x) = 2x+b. Movimente o seletor e
observe as mudanças no gráfico da função representada. Observe qual será o conjunto imagem da
função. A função tem assíntota?
31
b) Crie um seletor “b” e digite no campo de entrada a função f(x) = 2x+b. Movimente o seletor e
observe as mudanças no gráfico da função representada.
4.2. Objetivo: Identificar graficamente as principais propriedades das Funções Logarítmicas.
a)
f ( x ) = log 3x
x
b) f ( x ) = log 1
3
c) f ( x ) = log( x + 1 )
d) f ( x ) = log( x ) + 1
Sequência de Aplicação:
1) Faça os gráficos dos itens “a” e “b” e identifique se as funções são crescentes ou decrescentes,
relacionando tal classificação com a base das funções;
2) Determine o Domínio e a Imagem das funções e identifique possíveis assíntotas horizontais
e/ou verticais;
3) Faça o gráfico da função f ( x ) = log x e, na mesma tela, faça o gráfico do item “c”,
verificando o tipo de deslocamento gráfico ocorrido;
4) Faça o gráfico da função f ( x ) = log x e, na mesma tela, faça o gráfico do item “d”,
verificando o tipo de deslocamento gráfico ocorrido.
32
Utilizando o seletor:
a) Crie um seletor “b” e digite no campo de entrada a função f ( x) = log( x ) + b . Movimente o seletor
e observe as mudanças no gráfico da função.
b) Crie um seletor “b” e digite no campo de entrada a função f ( x) = log( x + b) . Movimente o seletor
e observe as mudanças no gráfico da função.
33
4.3. Objetivo: Caracterizar algébrica e graficamente as Funções Inversas.
a)
f ( x ) = log 1x
4
b)
1
f(x)= 
4
c)
f ( x ) = ln x
x
d) f ( x ) = e x
Sequência de Aplicação:
1) Faça os gráficos dos itens “a” e “b” e identifique as principais semelhanças e diferenças entre
eles;
2) Nesta mesma tela, faça o gráfico da função f ( x ) = x e identifique a simetria entre os
gráficos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares;
3) Verifique, algebricamente, que a exponencial e a logarítmica são funções inversas;
4) Repita o procedimento para os itens “c” e “d”.
34
ATIVIDADE 5: FU#ÇÕES TRIGO#OMÉTRICAS
Sugestão: #as discussões dessa atividade, pode-se retomar o conceito de função par e ímpar.
5.1.
Objetivo:
Identificar
graficamente
as
principais
características
das
Funções
Trigonométricas.
a)
f ( x ) = tg ( x )
b)
f ( x ) = cot g ( x )
c)
f ( x ) = sec( x )
d)
f ( x ) = cos sec( x )
Sequência de Aplicação:
1) Faça o gráfico do item “a” identificando as suas características;
2) Determine algébrica e geometricamente o domínio e a imagem da função;
3) Determine algébrica e geometricamente o período da função;
4) Repita o procedimento para os demais itens.
5.2. Objetivo: Interpretar graficamente as alterações no Período e na Imagem.
a)
f ( x ) = sen( 2 x )
b)
 x
f ( x ) = sen 
2
c)
f ( x ) = 2 cos( x )
d)
f ( x ) = −3 cos( x )
Sequência de Aplicação:
1) Faça o gráfico da função f ( x ) = sen( x ) determinando algébrica e geometricamente
período e a imagem;
2) Faça, na mesma tela, os gráficos dos itens “a” e “b” determinando algébrica
geometricamente o período e a imagem e compare com a função f ( x ) = sen( x ) ;
3) Faça o gráfico da função f ( x ) = cos( x ) determinando algébrica e geometricamente
período e a imagem;
4) Faça, na mesma tela, os gráficos dos itens “c” e “d” determinando algébrica
geometricamente o período e a imagem e compare com a função f ( x ) = cos( x ) .
o
e
o
e
35
Utilizando o seletor:
a) Crie um seletor “a” e digite no campo de entrada a função f ( x) = sen ( a * x) . Movimente o seletor
e observe as mudanças no período e na imagem da função representada em relação à função
g ( x) = sen ( x ) . Repita o procedimento para função f ( x) = cos( a * x ) .
b) Crie um seletor “a” e digite no campo de entrada a função f ( x) = a * cos( x ) . Movimente o seletor
e observe as mudanças no período e na imagem da função representada em relação à função
g ( x ) = cos( x ) . Repita o procedimento para função f ( x) = a * sen( x) .
36
5.3. Objetivo: Interpretar graficamente os Deslocamentos Vertical e Horizontal.
a)
f ( x ) = sen( x ) + 1
b)
f ( x ) = cos( x ) − 2
c)
π

f ( x ) = sen x − 
2

d)
f ( x ) = cos( x + π )
Sequência de Aplicação:
1) Faça o gráfico da função f ( x ) = sen( x ) e, na mesma tela, faça o gráfico do item “a”,
observando as diferenças entre eles;
2) Faça o gráfico da função f ( x ) = cos( x ) e, na mesma tela, faça o gráfico do item “b”,
observando as diferenças entre eles;
3) Repita o procedimento 1 para o item “c”;
4) Repita o procedimento 2 para o item “d”.
Utilizando o seletor:
a) Crie um seletor “a” e digite no campo de entrada a função g ( x ) = sen ( x ) + a . Movimente o seletor
e observe as mudanças no gráfico da função representada em relação à função f ( x) = sen ( x ) . Repita
o procedimento para função g ( x) = cos( x ) + a .
37
b) Crie um seletor “a” e digite no campo de entrada a função g ( x ) = sen ( x + a ) . Movimente o
seletor e observe as mudanças no gráfico da função representada em relação à função f ( x) = sen ( x ) .
Repita o procedimento para função g ( x) = cos( x + a ) .
38
ATIVIDADE 6: FU#ÇÕES POLI#OMIAIS
6.1. Objetivo: Reconhecer algébrica e graficamente as Funções Polinomiais do tipo f ( x ) = x n ,
onde n ∈ I .
a)
f ( x ) = x4
b)
f ( x ) = x6
c)
f ( x ) = x5
d)
f ( x ) = x7
Sequência de Aplicação:
1) Faça os gráficos dos itens “a” e “b”, identificando as suas características;
2) Tente generalizar tais características para a função f(x) = xn, onde n é par;
3) Faça os gráficos dos itens “c” e “d”, identificando as suas características;
4) Tente generalizar tais características para a função f(x) = xn, onde n é ímpar.
Utilizando o seletor:
Crie um seletor “a” e mude o intervalo de variação para: Min=0 e Max=100. Digite no campo de
entrada a função g ( x) = x a . Movimente o seletor e observe as características do gráfico da função
representada quando “a” for par e quando “a” for impar.
39
6.2. Objetivo: Identificar algébrica e graficamente as naturezas das raízes das Funções
Polinomiais.
a) f ( x ) = x 3 − x
b) f ( x ) = x 3 + x
c) f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 2 x
d) f ( x ) = x 4 − 1
Sequência de Aplicação:
1) Faça o gráfico do item “a” identificando as suas raízes;
2) Verifique algebricamente se os valores identificados são, de fato, raízes;
3) Decomponha a função como produto de fatores do 1º grau;
4) Repita o procedimento para os demais itens.
6.3 Objetivo: Identificar algébrica e graficamente a multiplicidade das raízes das Funções
Polinomiais.
a) f ( x ) = x 3 − x 2
b) f ( x ) = x 4 − x 3
c) f ( x ) = x 4 − 2 x 2 + 1
d) f ( x ) = x 5 + 2 x 3 + x
Sequência de Aplicação:
1) Faça o gráfico do item “a” identificando as suas raízes;
2) Verifique algébrica e graficamente a multiplicidade das raízes;
3) Decomponha a função como produto de fatores do 1º grau;
4) Repita o procedimento para os demais itens.
40
ATIVIDADE 7: FU#ÇÕES RACIO#AIS E ALGÉBRICAS
Sugestão: #esta atividade, a ideia de limite deve ser trabalhada apenas intuitiva/graficamente.
7.1 Objetivo: Identificar geometricamente as principais características das Funções Racionais
do tipo f ( x ) =
1
, onde n ∈ I .
xn
a)
f(x)=
1
x
b)
f(x)=
1
x3
c)
f(x)=
1
x2
d)
f(x)=
1
x4
Sequência de Aplicação:
1) Faça os gráficos dos itens “a” e “b”, identificando as suas características;
2) Tente generalizar tais características para a função f ( x ) =
1
, onde n é impar;
xn
3) Faça os gráficos dos itens “c” e “d”, identificando as suas características;
4) Tente generalizar tais características para a função f ( x ) =
1
, onde n é par.
xn
Utilizando o seletor:
Crie um seletor “a” e mude o intervalo de variação para: Min=0 e Max=100. Digite no campo de
entrada a função g ( x ) = 1 x a . Movimente o seletor e observe as características do gráfico da função
representada para quando “a” for par e para quando “a” for impar.
41
7.2 Objetivo: Identificar algébrica e graficamente as assíntotas das Funções Racionais.
a)
f(x)=
1
( x − 1)
b)
f(x)=
2
(x+ 2)
c)
f(x)=
x2
( x − 1)
d)
f(x)=
( x3 + 2 )
( x2 − 1)
Sequência de Aplicação:
1) Faça o gráfico do item “a”, identificando o seu domínio;
2) Identifique e classifique as assíntotas;
3) Determine os limites infinitos e no infinito;
4) Repita o procedimento para os demais itens.
Utilizando o seletor:
Crie um seletor “a” e digite no campo de entrada a função g ( x) = 1 ( x + a ) . Movimente o seletor,
observando o domínio da função e suas assíntotas. Tente generalizar.
42
7.3 Objetivo: Identificar graficamente as principais propriedades das Funções Algébricas.
a)
f(x)=
x+3
b)
f(x)= 3 x
c)
f ( x ) = 4 x2 − 9
d)
f ( x ) = x 3 .( x − 2 ) 2
2
Sequência de Aplicação:
1) Faça o gráfico do item “a” identificando as suas raízes;
2) Identifique o domínio e a imagem;
3) Determine os limites no infinito;
4) Repita o procedimento para os demais itens.
43
ATIVIDADE 8: EXISTÊ#CIA DE LIMITES E LIMITES LATERAIS
8.1 Objetivo: Identificar algébrica e graficamente a existência do limite
a) f ( x ) = x 2 − x + 2 ( x → 2 )
b) f ( x ) =
c) f ( x ) =
x+1
( x → 1)
x2 − 1
x2 + 9 − 3
(x →0)
x2
π 
 (x →0)
 x
d) f ( x ) = sen
Sequência de Aplicação:
1) Faça o gráfico do item “a”, identificando o seu domínio;
2) Identifique e classifique as assíntotas;
3) Verifique se existe e, caso exista, determine o limite no valor indicado;
4) Repita o procedimento para os demais itens.
Utilizando o seletor:
Faça o gráfico da função f ( x ) =
x+1
; crie um seletor “a” e digite no campo de entrada um ponto
x2 − 1
A=(a,f(a)). Movimente o seletor aproximando de valores à esquerda e à direita de 1 e verifique se
existe o limite da função quando x
1 ; caso exista, determine esse limite.
44
8.2 Objetivo: Identificar algébrica e graficamente a existência dos limites
a) f ( x ) = e x ( x → ±∞ )
b) f ( x ) = ln x ( x → ±∞ )
c) f ( x ) = sen( x ) ( x → ±∞ )
d) f ( x ) = cos( x ) ( x → ±∞ )
Sequência de Aplicação:
1) Faça o gráfico do item “a”, identificando o seu domínio;
2) Verifique se existe e, caso exista, determine o limite quando x → +∞ ;
3) Verifique se existe e, caso exista, determine o limite quando x → −∞ ;
4) Repita o procedimento para os demais itens.
Utilizando o seletor:
Faça o gráfico da função f ( x ) = sen( x ) ; crie um seletor “a” (mude o intervalo de variação para um
Min bem pequeno e um Max bem grande) e digite no campo de entrada um ponto A=(a,f(a)).
Movimente o seletor e verifique se existe o limite da função quando x → ±∞ ; caso exista, determine
esse limite.
45
8.3 Objetivo: Identificar algébrica e graficamente a existência dos limites laterais
 f(x) = 0, se x < 0
a) 
 f(x) = 1, se x ≥ 0
(x →0)
b) f ( x ) = x 2 , se x ≠ 0
(x →0)
 f(x) = x se x < 1
c) 
2
 f(x) = x se x ≥ 1
( x → 1)
 f(x) = 2 - x, se x < -1
d) 
 f(x) = x , se - 1 ≤ x < 1 ( x → −1 ) e ( x → 1 )
 f(x) = (x - 1) 2 , se x ≥ 1

Sequência de Aplicação:
1) Faça o gráfico do item “a”, identificando o seu domínio;
2) Determine os limites laterais no valor indicado;
3) Verifique se existe e, caso exista, determine o limite no valor indicado;
4) Repita o procedimento para os demais itens.
Utilizando o seletor:
 f(x) = x se x < 1
; crie um seletor “a” e digite no campo de entrada um
Faça o gráfico da função 
2
 f(x) = x se x ≥ 1
ponto A=(a,f(a)). Movimente o seletor aproximando de valores à esquerda e à direita de 1. Determine
os limites laterais e verifique se existe o limite da função quando x
limite.
1 ; caso exista, determine esse
46
ATIVIDADE 9: LIMITES FU#DAME#TAIS, I#FI#ITOS E #O I#FI#ITO
9.1 Objetivo: Identificar algébrica e graficamente a existência dos Limites Fundamentais
a) f ( x ) =
sen(x )
(x →0)
x
1
b) f ( x ) = ( 1 + x ) x ( x → 0 )
c) f ( x ) =
2x − 1
(x →0)
x
d) f ( x ) =
ex − 1
(x →0)
x
Sequência de Aplicação:
1) Faça o gráfico do item “a”, identificando o seu domínio;
2) Determine os limites laterais no valor indicado;
3) Verifique se existe e, caso exista, determine o limite no valor indicado;
4) Repita o procedimento para os demais itens.
Utilizando o seletor:
1
Faça o gráfico da função f ( x ) = ( 1 + x ) x ; crie um seletor “a” e digite no campo de entrada um ponto
A=(a,f(a)). Movimente o seletor aproximando de valores à esquerda e à direita de 0. Verifique se
existe o limite da função quando x
0 ; caso exista, determine esse limite.
47
9.2 Objetivo: Identificar algébrica e graficamente a existência das Assíntotas Verticais
a) f ( x ) = 12 ( x → 0 )
x
b) f ( x ) =
2
( x → 3)
x−3
c) f ( x ) =
x
x −x−2
2
( x → −1 ) e ( x → 2 )
d) f ( x ) = tg( x ) ( x →
π
)
2
Sequência de Aplicação:
1) Faça o gráfico do item “a”, identificando o seu domínio;
2) Identifique e classifique as assíntotas;
3) Verifique se existe e, caso exista, determine o limite no valor indicado;
4) Repita o procedimento para os demais itens.
Utilizando o seletor:
Faça os gráficos da função f ( x ) =
2
e da reta x = 3 ; crie um seletor “a” e digite no campo de
x−3
entrada um ponto A=(a,f(a)). Movimente o seletor aproximando de valores à esquerda e à direita de 3.
Verifique se existe o limite da função quando x
classifique as assíntotas de f(x).
3 ; caso exista, determine esse limite. Identifique e
48
9.3 Objetivo: Identificar algébrica e graficamente a existência das Assíntotas Horizontais
a) f ( x ) =
x2 − 1
x2 + 1
( x → ±∞ )
2
b) f ( x ) = 3 x2 − x − 2 ( x → ±∞ )
5x + 4x + 1
c) f ( x ) =
2x2 + 1
3x − 5
( x → ±∞ )
d) f ( x ) = arctg( x ) ( x → ±∞ )
Sequência de Aplicação:
1) Faça o gráfico do item “a”, identificando o seu domínio;
2) Identifique e classifique as assíntotas;
3) Verifique se existe e, caso exista, determine o limite no valor indicado;
4) Repita o procedimento para os de mais itens.
Utilizando o seletor:
Faça o gráfico da função f ( x ) = arctg( x ) , das retas y = π 2 e y = - π 2 ; crie um seletor “a” (mude o
intervalo de variação para um Min bem pequeno e um Max bem grande) e digite no campo de entrada
um ponto A=(a,f(a)). Movimente o seletor e verifique se existe o limite da função quando x → ±∞ ;
caso exista, determine esse limite. Identifique e classifique as assíntotas de f(x).
49
ATIVIDADE 10: CO#TI#UIDADE
10.1 Objetivo: Reconhecer graficamente as condições de Continuidade.
a) f ( x ) = x 2 ; x ≠ 0
 x − 1; x ≤ 0
b) f ( x ) = 
2
x ; x > 0
x 2 ; x ≠ 0
c) f ( x ) = 
1; x = 0
d) f ( x ) = x 2
Sequência de Aplicação:
1) Faça o gráfico do item “a” determine seu domínio.
2) Verifique geometricamente se f ( x ) é contínua para todo valor de x ;
3) Verifique algebricamente se f ( x ) é contínua para todo valor de x ;
4) Repita o procedimento para os demais itens .
Utilizando o seletor:
 x − 1; x ≤ 0
; crie um seletor “a” e digite no campo de entrada um
Faça o gráfico da função f ( x ) =  2
x ; x > 0
ponto A=(a,f(a)). Movimente o seletor e verifique se a função é contínua para todo valor de x.
50
10.2 Objetivo: Identificar algébrica e graficamente as Descontinuidades Removíveis
 x + 1; x 0
a) f ( x ) = 
0 ; x = 0
 x; x < 0
b) f ( x ) =  x 2 ; x > 0
1; x = 0

x 3 ; x < 0
c) f ( x ) = 
 x 4 ; x > 0
d) f ( x ) =
x2 − x − 2
;x ≠ 2
x−2
Sequência de Aplicação:
1) Faça o gráfico do item “a” .
2) Verifique geometricamente e algebricamente se f ( x ) é contínua para todo valor de x;
3) Caso f ( x ) seja descontinua verifique se essa descontinuidade é removível;
4) Repita o procedimento para os demais itens .
Utilizando o seletor:
x 3 ; x < 0
Faça o gráfico da função f ( x ) = 
; crie um seletor “a” e digite no campo de entrada um
 x 4 ; x > 0
ponto A=(a,f(a)). Movimente o seletor e verifique se a função é contínua para todo valor de x. Caso
f ( x ) seja descontínua, verifique se essa descontinuidade é removível.
51
10.3. Objetivo: Identificar algébrica e graficamente as Descontinuidades #ão removíveis
a) f ( x ) = 1
x
b) f ( x ) = 12
x
 x; x 0
c) f ( x ) =  2
 x + 1; x > 0
d)
1; x < 1

f ( x ) =  x 2 ;1 < x < 2
3; x > 2

Sequência de Aplicação:
1) Faça o gráfico do item “a” .
2) Verifique geometricamente e algebricamente se f ( x ) é contínua para todo valor de x;
3) Caso f ( x ) seja descontinua verifique se essa descontinuidade é removível;
4) Repita o procedimento para os demais itens .
Utilizando o seletor:
 x; x 0
Faça o gráfico da função f ( x ) =  2
; crie um seletor “a” e digite no campo de entrada um
x
+
1
;
x
>
0

ponto A=(a,f(a)). Movimente o seletor e verifique se a função é contínua para todo valor de x. Caso
f ( x ) seja descontínua, verifique se essa descontinuidade é removível.
52
REFERÊ#CIAS
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Pensamento. In: BICUDO, M. A. V. (org.). Pesquisa em Educação Matemática: Concepções
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