Resposta de Sistemas de 2a Ordem à Excitação Periódica Não Harmônica
1
Resposta de
Sistemas de 2a Ordem à
Excitação Periódica
Não Harmônica
18
1 INTRODUÇÃO
Muitas vezes, a excitação é uma função periódica, porém não harmônica. Por exemplo, um mecanismo
biela-manivela, largamente utilizado em motores de combustão interna e em compressores
alternativos, desenvolve torques que são periódicos (considerando constante a velocidade de rotação
da árvore de manivelas), porém não harmônicos, conforme ilustra a fig. 1:
Fig. 1
Qualquer função periódica f(t) que satisfaça às chamadas Condições de Dirichlet:
•
•
ter um número finito de descontinuidades em um período,
ter um número finito de máximos e mínimos em um período,
•
ter a integral
τ
∫ | f (t ) | dt
0
finita (τ é o período da função),
pode ser expandida em uma série trigonométrica infinita de senos e cossenos, cuja soma dos termos
reproduz a função. Tal série denomina-se Série de Fourier.
Os termos em senos e cossenos têm freqüências múltiplas da freqüência fundamental. Evidentemente,
na prática, teremos que abandonar alguns termos, retendo apenas os mais importantes. Com isso,
cometeremos um erro que será tanto menor quanto maior for a quantidade de termos retidos. A fig. 2
ilustra uma função periódica não harmônica e a sua expansão em séries de Fourier. Podemos observar
que, quanto maior a quantidade de termos retidos, mais próxima da função original estará a expansão
em série de Fourier.
Resposta de Sistemas de 2a Ordem à Excitação Periódica Não Harmônica
2
Fig. 2
Assim, dada uma excitação periódica não harmônica, podemos desenvolvê-la em série de Fourier e,
para sistemas lineares, aplicar o Princípio da Superposição dos Efeitos, ou seja, podemos considerar
cada um dos termos em senos e cossenos da série como sendo uma excitação harmônica isolada e, de
acordo com o estudado até agora, calcular a resposta individual a cada uma dessas excitações
isoladas. Finalmente, aplicando o citado Princípio, podemos somar as respostas individuais para obter a
resposta total.
2 DESENVOLVIMENTO DA EXCITAÇÃO EM SÉRIE DE FOURIER
Consideremos uma excitação periódica não harmônica, f(t), a qual pode representar uma força, um
torque ou um deslocamento da base. A fig. 3 ilustra f(t), onde são mostrados 3 períodos τ:
Fig. 3
Se f(t) satisfaz as condições de Dirichlet, então ela pode ser expandida na série de Fourier
Resposta de Sistemas de 2a Ordem à Excitação Periódica Não Harmônica
f( t ) =
(1)
A0
+
2
3
∞
∑ (A
n
n =1
cos nωt + Bn sen nωt )
onde o termo A0/2 é o termo médio da função periódica f(t). A freqüência ω é denominada freqüência
fundamental ou 1a harmônica, 2ω é a 2a harmônica, 3ω é a 3a harmônica, etc.
Na série descrita pela eq. (1), An e Bn são os coeficientes de Fourier, dados por
(2)
An =
2 τ/2
f(t) cos nωtdt
τ ∫− τ / 2
n = 0, 1, 2, ...
(3)
Bn =
2 τ/2
f(t) sen nωtdt
τ ∫−τ / 2
n = 1, 2, ...
Existem certos casos em que a série de Fourier pode ser simplificada. Assim, no caso de f(t) ser uma
função ímpar, isto é, uma função em que
(4)
podemos mostrar que
(5)
(6)
f(t) = -f(-t)
An = 0
Bn =
4
τ
n = 0, 1, 2, ...
τ/2
∫0
f(t) sen nωtdt
n = 1, 2, ...
reduzindo-se, assim, a eq. (1) à série de senos
∞
f(t) = ∑ Bn sen nωt
(7)
n =1
Um segundo caso que simplifica a série de Fourier é aquele em que f(t) é uma função par, definida
como
(8)
f(t) = f(-t)
Nesse caso, podemos demonstrar que
(9)
(10)
An =
4 τ/2
f(t) cos nωtdt
τ ∫0
n = 0, 1, 2, ...
Bn = 0
n = 1, 2, ...
reduzindo-se, assim, a eq. (1) à série de cossenos
(11)
f(t) =
A0 ∞
+ ∑ An cos nωt
2 n =1
Portanto, a eq. (7) estabelece que uma função periódica ímpar não pode conter componentes
harmônicos pares (cossenos), enquanto que a eq. (11) mostra que uma função periódica par não pode
conter componentes harmônicos ímpares (senos).
Resposta de Sistemas de 2a Ordem à Excitação Periódica Não Harmônica
A expansão de funções periódicas em série de Fourier é feita aplicando-se as fórmulas acima e é, em
geral, um procedimento trabalhoso, pois é muito comum termos que usar integração por partes. O
exemplo seguinte ilustra uma situação bastante simples.
Exemplo ilustrativo
A pressão no interior de um cilindro varia periodicamente, conforme o gráfico da fig. 4. Expandir a
função periódica p(t) em série de Fourier.
Fig. 4
Solução:
4
Resposta de Sistemas de 2a Ordem à Excitação Periódica Não Harmônica
p(t) = 25 +
5
100
100
100
sen πt +
sen 3πt +
sen 5πt + ...
π
3π
5π
[Kpa]
Na fig. 5 está representada, em linha interrompida, a expansão acima. Notemos que a função original
somente será fielmente atingida quando a quantidade de termos retidos for infinita.
Fig. 5
A Tabela 1, no final desta apostila, apresenta os desenvolvimentos em série de Fourier de algumas
funções periódicas importantes.
3 RESPOSTA À EXCITAÇÃO PERIÓDICA
Conforme já foi comentado, no caso de um sistema linear podemos calcular a resposta individual a
cada termo da série e, após, somar essas respostas individuais para obter a resposta total. Assim,
com base no que já foi estudado anteriormente, dada a n-ésima componente da excitação
(12)
fnc(t) = Ancosnωt
onde o índice nc significa a ené-sima componente em cosseno, a resposta correspondente é dada por
(13)
xnc (t) =
An
(FA)n cos(nωt + φn )
nk
onde (FA)n é o fator de amplificação correspondente, dado por
(14)
(FA)n =
1
[1 − (nν) 2 ] 2 + (2ςnν) 2
e φn é o ângulo de fase correspondente, dado por
(15)
φn = arctg[−
2ςnν
1 − (nν) 2
]
Analogamente, dada a n-ésima componente da excitação
(16)
fns(t) = Bnsennωt
Resposta de Sistemas de 2a Ordem à Excitação Periódica Não Harmônica
onde o índice ns significa a n-ésima componente em seno, a resposta correspondente é dada por
xnc (t) =
(17)
Bn
(FA)n sen(nωt + φn )
nk
Notemos que o fator de amplificação e o ângulo de fase correspondentes são os mesmos já dados
pelas eqs. (14) e (15).
Quanto à componente média da excitação, A0/2, a resposta à mesma é simplesmente a componente
A0
2 .
estática da resposta, ou seja,
k
Assim, a resposta total será obtida aplicando o Princípio da Superposição, ou seja:
(18)
x(t) =
A0
∞
1
2 +
[An (FA)n cos(nωt + φn ) + Bn (FA)n sen(nωt + φn )]
∑
k
n =1 nk
É importante observar agora que, se uma das harmônicas se aproxima da freqüência natural do
sistema, existirá risco de ressonância nessa harmônica.
Exemplo ilustrativo
A fig. 6 mostra um pistão com massa 3,68 kg que se desloca dentro de um cilindro de diâmetro 40
mm. A mola possui rigidez 284 N/m. O lado esquerdo do cilindro está aberto à atmosfera e o lado
direito é submetido a uma pressão p(t), que varia periodicamente, conforme exemplo ilustrativo
anterior. Determinar a resposta do pistão.
Fig. 6
Solução:
6
Resposta de Sistemas de 2a Ordem à Excitação Periódica Não Harmônica
x(t) = 0,1106 +
ou, em mm:
0,455x8
6,627 x13,3
1,147 x 40
sen 5πt + ...
sen 3πt −
sen πt −
5x284
3x284
1x284
x(t) = 110,6 + 161,5senπt – 103,45sen3πt – 2,56sen5πt + ...
Notemos que a terceira harmônica provoca uma amplitude relativamente grande. Isso se deve ao fato
de que a mesma (3ω = 3π = 9,425 rad/s) está mais próxima da freqüência angular natural (ωn = 8,785
rad/s) do que as demais harmônicas.
4 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
Em muitos casos, é praticamente impossível conhecer a função de excitação f(t) sob forma analítica,
como nos casos da Tab. 1. É mais comum que a excitação periódica seja dada sob forma de gráficos ou
tabelas, como no caso de testes de motores de combustão interna em dinamômetros, conforme ilustra
a fig. 1. Nesses casos, é mais conveniente obter a expansão em série de Fourier através de uma
técnica de integração numérica. Consideremos a fig. 7, onde é mostrado um período τ de uma função
periódica y(t), a qual não é conhecida analiticamente. Entretanto, é possível obter y(t) para uma certa
quantidade de pontos, seja através de uma tabela ou da leitura dos dados de um gráfico.
7
Resposta de Sistemas de 2a Ordem à Excitação Periódica Não Harmônica
8
Fig. 7
O período τ pode ser dividido em N partes iguais, tal que
(19)
sendo a freqüência fundamental dada por
(20)
τ = N∆t
ω = 2π/τ
Substituindo as eqs. (19) e (20) nas eqs. (2) e (3), podemos trabalhar com somatórios no lugar de
integrais:
2nπti
2nπti
2 N
2 N
An = ∑ y(ti ) cos
n = 0, 1, 2, ...
∆t = ∑ y(ti ) cos
(21)
τ i=1
τ
N i=1
τ
(22)
Bn =
2nπti
2nπti
2 N
2 N
y(ti ) sen
∆t = ∑ y(ti ) sen
∑
τ i=1
τ
N i=1
τ
n = 1, 2, ...
onde i denota o i-ésimo intervalo e y(ti) é o valor da função no i-ésimo intervalo. Obviamente, quanto
maior o número N de intervalos usados, maior a precisão obtida. Uma vez determinados os
coeficientes de Fourier, usamos a série da eq. (1) normalmente. A seguir, um exemplo que esclarecerá
o método.
Exemplo ilustrativo
O torque de saída de um motor de combustão interna de 6 cilindros, ciclo Otto, de 4 tempos, é dado
pela tabela e gráfico mostrados na fig. 8. Desenvolver T(t) em série de Fourier.
Fig. 8
Resposta de Sistemas de 2a Ordem à Excitação Periódica Não Harmônica
9
Solução:
No caso, temos N = 24 pontos. Do gráfico, tiramos τ = 0,018 s, logo, ω = 2π/0,018 = 349,1 rad/s.
Problemas desse tipo têm suas soluções facilitadas com o uso de uma planilha como a que aparece a
seguir, a qual é de fácil implementação em uma linguagem de computador, tal como BASIC, FORTRAN,
PASCAL, etc., ou em uma planilha eletrônica, como o EXCEL.
i
ti [s]
Ti [N.m]
n=1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
...
21
22
23
24
Σ
0,00075
0,00150
0,00225
0,00300
0,00375
0,00450
0,00525
0,00600
410
420
440
480
540
640
740
860
An
396,03
363,73
311,13
240,00
139,76
0
-191,53
-430,00
-
14520
-2691,20
n=2
Bn
928,08
An
132,96
n=3
Bn
-862,08
An
265,56
Bn
265,26
Da tabela acima, tiramos os valores dos coeficientes de Fourier, usando as eqs. (21) e (22):
A0 = 14520/12 = 1210
A1 = -2691,20/12 = -224,27
B1 = 928,08/12 = 77,34
A2 = 132,96/12 = 11,08
B2 = -862,08/12 = -71,84
A3 = 265,56/12 = 22,13
B3 = 265,56/12 = 22,13
Logo, substituindo na eq. (1), chegamos finalmente a
T(t) = 605 – 224,27cos349,10t + 77,34sen349,10t +
+ 11,08 cos698,14t – 71,84sen698,14t +
+ 22,13 cos1047,21t + 22,13sen1047,21t
Resposta de Sistemas de 2a Ordem à Excitação Periódica Não Harmônica
5 ESPECTRO DISCRETO DE FOURIER
O espectro discreto de Fourier é um gráfico, no domínio da freqüência, que mostra o grau de
participação das várias harmônicas na excitação f(t) e na resposta x(t). Tal gráfico também é
conhecido como espectro de freqüências. Quando f(t) é periódica, o seu espectro de freqüências
consiste de componentes harmônicas com freqüências discretas, ou seja, ω, 2ω, 3ω, etc.
Assim, o espectro de Fourier tem nas abcissas as freqüências discretas ω, 2ω, 3ω, etc., e nas
ordenadas os valores das amplitudes de cada harmônica, dadas por
(23)
Dn =
An2 + Bn2
Para o exemplo anterior, teremos os seguintes valores para as amplitudes do torque:
D0 = A0 = 605 N.m
D1 =
A12 + B12 =
( −224, 27 )2 + 77, 342 = 237, 23 N.m
D2 =
A22 + B22 =
11 , 082 + ( −71, 84 )2 = 72, 69 N.m
D3 =
A32 + B32 =
22,13 2 + 22,13 2 = 31, 30 N.m
com os quais podemos traçar o espectro de Fourier das amplitudes:
Espectro Discreto de Fourier
Amplitudes
800
600
400
200
0
Harmônicas
Examinando o gráfico ao lado vemos que, nesse caso, a
contribuição de cada harmônica vai diminuindo
significativamente à medida que aumenta a ordem da
harmônica, sendo importantes apenas as duas primeiras
harmônicas.
10
Resposta de Sistemas de 2a Ordem à Excitação Periódica Não Harmônica
Tab. 1
EXERCÍCIOS
11
Resposta de Sistemas de 2a Ordem à Excitação Periódica Não Harmônica
1
12
Desenvolver em série de Fourier a excitação periódica da figura.
Solução
A função é ímpar com período τ = 0,04 s, logo ω =
τ
2π
2π
=
= 50 π rad/s. Também An = 0 e
τ
0, 04
0 , 02
4 2
4
10000 0, 02
f ( t ) sen n ω tdt =
− 5000 sen 50 n π tdt =
− 50 n π sen 50 n π tdt
0
0, 04 0
nπ
τ 0
10000
[cos 50 n π t ]00, 02 = 10000 (cos n π − 1 ) = − 10000 (1 − cos n π )
Bn =
nπ
nπ
nπ
20000
Podemos ver que Bn = 0 para n par e Bn = −
para n ímpar
nπ
Bn =
∫
∫
∫
Portanto, o desenvolvimento em série de Fourier fica
f( t ) = −
2
Resp.:
20000
π
∞
∑
n = 1, 3, 5...
1
sen 50nπt
n
Determinar os coeficientes de Fourier para a excitação periódica da figura
A0 = 1000 N
An =
2000
nπ
sen
nπ
2
Bn =
2000
nπ
(1 − cos
)
nπ
2
Resposta de Sistemas de 2a Ordem à Excitação Periódica Não Harmônica
3
13
A variação da pressão ao longo do tempo em uma linha hidráulica é dada pela tabela seguinte,
observando-se uma periodicidade a cada 0,24 s:
t [s]
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
0,22
0,24
p [Pa]
0
10,4
25,7
28,6
31,5
46,8
57,2
46,8
31,5
28,6
25,7
10,4
0
Desenvolver p(t) em série de Fourier até a 3a harmônica e traçar o seu espectro de Fourier.
Resp.: p(t) = 28,6 – 21,01cos26,18t – 7,6cos78,54t
4
Desenvolver um programa de computador (em BASIC ou Excel), genérico, que calcule
numericamente os coeficientes de Fourier e trace o espectro de amplitudes.
5
Uma plaina limadora vertical de massa 200 kg está montada sobre isoladores de borracha que
defletiram 2 mm quando da montagem. A plaina tem uma velocidade máxima de 225 rpm.
Determinar a resposta permanente da plaina para a excitação da figura, dada em N, na qual a
segunda harmônica origina-se do mecanismo de recuo rápido da máquina.
Resp.: x(t) = 0,224 cos ωt + 0,119 cos 2ωt
[mm]
Resposta de Sistemas de 2a Ordem à Excitação Periódica Não Harmônica
6
14
Uma máquina alternativa trabalha com rotação constante de 86 rpm, gerando uma força
desbalanceadora, em N, que pode ser representada analiticamente por
f(t) = 25 + 20 sen 9t - 3 sen 18t - 2 sen 27t
Dispõe-se de 2 tipos de isoladores, A e B, os quais defletem, respectivamente, 2 e 20 mm
quando a máquina é colocada sobre eles. Considerando nulo o amortecimento, determinar a
força transmitida por cada um deles à fundação. Qual deve ser escolhido?
Solução
Como não existe amortecimento, a força transmitida à fundação é dada por
ftr = f0 +
f1
1 − ν2
sen ωt +
f2
1 − (2ν )2
sen 2ωt +
f3
1 − ( 3ν )2
sen 3ωt + ...
(a) Isolador A:
ωn =
ftr = 25 +
g
δ est
=
20
9, 81
2x10
1 − 0,1285 2
−3
= 70, 04 rad / s
⇒
ν =
9
ω
=
= 0,1285
70, 04
ωn
Nesse caso, a força transmitida será:
−3
−2
sen 9 t +
sen 18 t +
sen 27 t
2
1 − (2x 0,1285 )
1 − ( 3x 0,1285 )2
ftr = 25 + 20, 33 sen 9 t − 3, 21 sen 18 t − 2, 35 sen 27 t
(b) Isolador B:
ωn =
ftr
g
=
δ est
9, 81
20 x10 − 3
= 22,15 rad / s
⇒
ν =
9
ω
=
= 0, 4064
22,15
ωn
Nesse caso, a força transmitida será:
20
−3
−2
sen 9 t +
sen 18 t +
sen 27 t
= 25 +
1 − 0, 40642
1 − (2x 0, 4064)2
1 − ( 3x 0, 4064 )2
ftr = 25 + 23, 96 sen 9 t − 8, 84 sen 18 t + 4,11 sen 27 t
Portanto, devemos escolher o isolador A, que transmite menor força à fundação.
7
O oscilador linear da figura é excitado pela onda quadrada de amplitude f0 e período ajustável
τ. Para que valores de τ podemos esperar ocorrência de ressonância?
Resp.: τ = 2nπ
k
,
m
n = 1, 2, ...